Luận án Về các radical của các PI-đại số trình bày về các nội dung: các kiến thức căn bản, ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal và modun, các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc, một số định lý quan trọng như định lý về trù mật; xem xét các radical của các PI-đại số. Mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÀ SỐ 1.01.03 THÁNG 02 NĂM 1998 BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.01.03 NGƢỜI HƢỚNG DẪN: PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ THÁNG 02 NĂM 1998 LỜI MỞ ĐẦU Ngƣời ta thƣờng xét đại số vành kèm thêm điều kiện Các điều kiện thƣờng đƣợc thể "hệ thức" địi hỏi chúng ln Chẳng hạn: Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = ∀a,b ∈ A đƣợc gọi đại số giao hoán Đại số A thỏa mãn hệ thức a = a ∀a∈ A đƣợc gọi đại số Boolean Đại số A thỏa mãn hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = ∀a,b, c ∈ A đƣợc gọi đại số Lie… Trong luận án này, ta trình bày khái niệm đồng thức (Identity) đại số xét đến PI- đại số xem nhƣ đại số thỏa mãn đồng thức Khi xét đến PI đại số, vấn đề đƣợc quan tâm chủ yếu luận án nàv radical Chúng ta không xét đến radical Tacobson mà định nghĩa xem xét lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical Pl-đại số Với định nghĩa PI đại số đại số giao hốn chẳng qua Pl-đại số với đồng thức cụ thể Các kết đại số giao hoán phong phú dễ nhận biết, cách tiếp cận nhằm đạt đƣợc kết cho PI đại số tổng quát bắt đầu với đại số giao hốn để từ tiến hành tổng qt hóa Vì PI đại số đƣợc xem nhƣ đại số thỏa mãn đồng thức, kết radical khơng từ lý thuyết đại số mà phải từ việc nghiên cứu tính chất đồng thức Việc xét kỹ tính chất cùa đồng thức PI đại số cho thấy tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đƣa việc xét đồng thức chuẩn tắc Sự kết hợp lý thuyết đại số với kết đồng thức Pl-đại số nhƣ việc xét chi tiết số PI- đại số cụ thể nhƣ : đại số ma trận vuông trêu vành, đại số đa thức biến vành giao hoán v.v dẫn đến kết trình bày luận án Luận án đƣợc chia thành hai phần: Phần I: Trình bày kiến thức Ngoài khái niệm loại đại số, ideal modun đƣợc dùng đến ƣong phần II, chúng tơi cịn trình bày đồng thức (identity) đại số, đa thức chuẩn tắc Một số định lý quan trọng nhƣ định lý trù mật đƣợc trình bày mà khơng chứng minh Các phép chứng minh tìm thấy [1] Phần II: Trong phần này, để xem xét radical Pl-đại số, chúng tơi trình bày theo nhƣ sau: A Các radical đại số B Các PI-dại số C Các radical đại số giao hốn Với khái niệm PI-đại số đại số giao hốn trƣờng hợp riêng Vì việc xem xét radical PI đại số đƣợc bắt đầu với việc xét trƣờng hợp riêng Kết đƣợc chúng tối lƣu tâm tới để tiến hành tổng quát hóa việc lower nil radical, Levitzki lùi radical upper nil radicaỉ đại số giao hoán trùng D Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki cho phép "đa tuyến tính hóa " đồng thức PI đại số Đây phƣơng pháp đƣợc chúng tơi dùng tới việc tổng qt hóa kết vẻ radical đại số giao hoán cho PI đại số E Các Pl-đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh Việc xét radical PI đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh khơng tổng quát hóa bƣớc kết đạt đƣợc radical đại số giao hốn mà cịn cơng cụ để tiếp tục tổng quát hóa F Các radical PI-đại số Dựa tất kết có đƣợc phần trên, cuối chứng minh đƣợc PI-đại số bầt kỳ lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical trùng Tuy nhiên chúng không trùng với radical Jacobson Ta có phản ví dụ cho thấy điều Bản luận văn cịn cố gắng trình bày số trƣờng hợp PI-đại số tất radical chúng trùng LỜI CẢM ƠN Luận án đƣợc hoàn thành trƣớc hƣớng dần tận tình PGS.PTS Bùi Tƣờng Trí Khơng có hƣớng dần tận tình ấy, chắn khơng thể có luận án Vì vậy, tơi xin gửi tới thầy lịng kính trọng biết ơn sâu sắc Tôi xin chân thành cám ơn thầy, cô Khoa Tốn Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ Chí Minh ngƣời trang bị cho nhiều kiến thức phƣơng pháp tƣ mà nhờ vào đố tơi hồn thành đƣợc luận án Tơi xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành tất điều kiện thuận lợi mà Quí thày cô dành cho Cuối cùng, xin cho đƣợc cám ơn Ban Giám Hiệu trƣờng Đại Học Kiên Trúc Tp Hồ Chí Minh nơi tơi cơng tác tất bạn bè gần xa động viên, giúp đỡ nhiều ƣơng suốt thời gian làm luận án Bản luận án chắn khơng tránh khỏi ứiiếu sót Kính mong góp ý bảo Q thầy, tất bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.JACOBSON LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441 PI - ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER - VERLAG - BERLIN - HEIDELBERG - NEWY0RK 1975 [2] N.JAC0BS0N STRUCTURE OF RING A.M.S.1968 [3] I.N.HERSTEIN NON COMMUTATIVE RING A.M.S 1968 [4] M.F.ATIYAH, I.G.MACDONALD INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY MASSACHUSETTS 1969 MỤC LỤC CHƢƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN A Các đại số, Ideal Môđun B Các đồng thức CHƢƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ A Các Radical đại số B Các Pi – đại số 19 C Các radical đại số giao hoán 21 D Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI 23 E Các Pi – đại số thảo mãn đồng thức qui mạnh 40 F Các Radical Pi – đại số 45 LỜI KẾT LUẬN 57 CHƢƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN Chƣơng trình bày khái niệm kết đƣợc sử dụng đến luận án Nếu khơng nói khác, ta xét phạm trù đại số có đơn vị (khơng thiết giao hốn) vành giao hỗn có đơn vị K Các modun đƣợc nói tới khơng nói khác ln đƣợc hiểu modun trái A Các đại số, Ideal Môđun Giả sử A K-đại số Modun bất khả qui: Một A-mođun M đƣợc gọi bất khả qui (ireducible) M ≠ M có hai modun M Các điều kiện sau modun M tƣơng đƣơng: a) M A-modun bất khả qui b) M = Ax x ∈M , x ≠ c) M A/I với I ideal trái A Modun hoàn toàn khả qui: Một A-modun M đƣợc gọi hoàn toàn khả qui (completely reducible) M= ∑ M A-modun bất khả qui Các điều kiện sau modun M tƣơng đƣơng: a) M A-modun hoàn toàn khả qui b) M tổng trực tiếp A-raodun bất qui c) Đối với modun N M tồn modun N' M cho M = N N' Modun trung thành: Một A modun M đƣợc gọi trung thành (faithful) a,b∈ A, a b x∈M cho ax bx Đại số nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi đại số nguyên thủy (primitive) có A-modun M bất khả qui, trung thành Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi đại số nửa nguyên thủy (semi piimitive) hay nửa đơn (semi simple) có A-modun M hồn tồn khả qui, trung thành Ideal nguyên thủy: Một ideal đại số A đƣợc gọi ideal nguyên thủy A/ đại số nguyên thủy Ideal qui: Một ideal phải gọi ideal phải qui đại số A (khơng thiết có đơn vị) đƣợc ∀x∈A Tƣơng tự ideal trái a∈A để x-ax∈ qui Rõ ràng A đại số có đơn vị ideal qui 8.Ideal tựa qui: Phần tử a∈A (A khơng thiết có đơn vị) đƣợc gọi tựa qui phải a'∈A cho a+ a’ + aa’ = Một ideal phải đại số A đƣợc gọi ideal phải tựa qui phải ∀x∈p tựa qui phái Tƣơng tự ideal trái tựa qui trái Khi A đại số có đơn vị, a∈A phần tử tựa qui phải từ đẳng thức a+ a + aa' = 1+ a+ a + aa' = (1 + a)(l + a') = 1 + a khả nghịch phải Tƣơng tự a∈ A phần tử tựa qui trái 44 Mệnh đề II.18: Nếu A đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh bậc d ln(A) = L(A) = Un(A) Chứng minh: Gọi U = Un(A)thì U N(0) Đồng thời theo bổ đề II.17 ta có U/N(0) lũy linh A/N(0) Do U Nhƣng theo mệnh đề II.8 ln(A) [ ] N(0)Cho nên N(1) Từ định nghĩa ln(A) ta có U ln (A) L(A) Un(A) suy điều phải chứng minh 45 F Các Radical Pi – đại số Chúng ta chứng minh trùng lower nil radical Levitzki nil radical upper nil radical mót Pl-đại số Đó tổng quát hóa mệnh đề II 13 Dựa vào định nghĩa radical , ta chứng minh ln(A) nil ideal tối đại A Muốn ta chứng minh A/ln(A) khơng có nil ideal Nhƣng A/ln(A) tích trực tiếp đại số nguyên tố cần chứng minh điều cho PI-đại số nguyên tố Nhờ định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki ta chứng minh đƣợc PI-đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc cách nhúng vào đại số đa thức biến Nhƣng thức chuẩn tắc qui mạnh dùng kết PI-đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh, ta chứng minh đƣợc mệnh đề II 19 sau đây: Mệnh đề II.19: Mếu A PI- đại số ln(A) = L(A) = Un(A) Trƣớc hết ta xét số khái niệm bổ đề sau: Nếu S vị nhóm vị nhóm nhân vành giao hốn K M K-modun ta ký hiệu MS địa phƣơng hóa M với S Đó K -modun Vì K lại K modun nên nói đến K-modun KS Ta có đẳng cấu K-modun: MS s-1x s-11 KS X ) MS xem nhƣ KS -modun với định nghĩa: = (k1x), ∀ ∈K ∀ ∈ Khi đẳng cấu K modun nói đƣợc xem nhƣ đẳng cấu KS -modun Khi P KM ( Cho 46 ideal nguyên tố vành K, gọi S= K\ P MS Trƣờng hợp đƣợc ký hiệu Mp Rõ ràng KP đại số địa phƣơng Đặc biệt A K đại số As Bổ đề II.19.1: Nếu f(x1 ,x2, KS KA đại số KS ,xm ) đồng thức đại số A đồng thức AS xem đại số K Chứng minh Bổ đề II 19.1: Ta cần chứng minh Ta viết Khi ∀ s∈ S, ∀ai ∈ A ta có Lần lƣợt thay s 1, s, s2 , ., sd ta đƣợc hệ phƣơng trình: (*) (ở xj = fj(a1,a2,…,am)) Ta có : với t e = (d3 - d)/6 h(t) ∈ Z[t] Nếu ta nhân phƣơng trình (* ) với phần phụ đại số phần tử cột j+l định thức có đƣợc cách thay t s định thức nói cộng phƣơng trình thu đƣợc lại ta nhận đƣợc se(1- sh(s))xj = 1-1 h(s)xj Có nghĩa với j d Suy s-1xj = 47 (s-11)(1-1xj) = (1-1h(s))(1-1xj) Do (s-11)j(1-1xj) = (1-1h(s))j(1-1xj) Cho nên s-1xj = 1-1h(s)jxj Vì vậy: f(s-1a1, s-1a2 ,…, s-1am) = ∑ fj(a1,a2 ,…, am) = ∑ xj = ∑ h(s)jxj = Bổ đề II.19.1 đƣợc chứng minh xong Bổ đề II.19.2: Nếu B vành giao hốn, có đơn vị g(λ ) = a0+ a1λ + + anλ n, ƣớc đơn vị B[λ ] a0 ƣớc đơn vị a1,a2, , an phẫn tử lũy linh B Chứng minh bổ đề II.19.2 : Vì g(λ ) = a0+ a1 λ + +anλn nên ƣớc đơn vị B[λ ] h ∈ [ ] cho g(λ)h(λ) =1 Do đó: Suy a ƣớc đơn vị Ta chứng minh với r mà r m có (an)r+1bm-r = Thật với r = đẳng thức thứ m+1 hệ Nhân đẳng thức thứ m với an ta đƣợc (an)2bm-1 + anan-1bm = (an)2ta đƣợc (an)3 bm-2 + (an )2 bm-1 =0 Lại nhân đẳng thức thứ m-1 với 48 + (an)2 an-1 bm-1 + (an)2an-2 bm = =0 (an)m+1 b0a0 =0 (an)3bm-2 =0 … Từ kết với r= m ta có (an)m+1 b0 (an)m+1 =0 an luỹ linh -anλn lũy linh B[λ] Xét g(λ) + (-anλn ) , g(λ) + (-anλn ) khơng ƣớc đơn vị g(λ) + (-anλn ) thuộc một, ideal tối đại ρ B[λ] Mà -anλn lũy linh II.13) - an λn∈ρ g(λ) ∈ρ -anλn ∈∩ideal nguyên tố B[λ] (theo Mệnh đề II.2 ∈ρ (vì g(λ) ƣớc đơn vị) Vô lý Chứng tỏ g(λ) + ( -anλn ) ƣớc đơn vi Tức a0 + a1λ + + an-1 λn-1 ƣớc đơn vị Lặp lại chứng minh ta suy an-1 lũy linh Tiếp tục nhƣ ta suy a1,a2 , an lũy linh Ta nhận thấy rằng: Nếu A đại số ngun thủy A có modun M bất khả qui, trung thành Khi B, C ideal ≠ A CM BM modun ≠ M CM=BM=M Vì (BC)M = B(MC) = BM = M Suy BC ≠ Vậy A đại số ngun tố Chính bổ để II.19.3 sau theo mộtt nghĩa mở rộng định lý Kaplansky-Amitsur-Levtzki Bổ đề II.193: Nếu A đại số nguyên tố thỏa mãn thức hoàn tồn f bậc n A thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc S2[n/2] Chứng minh Bổ đề II 19.3: Ta gọi C tâm A xem A đại số C Nếu k ∈K k1∈ C ka = (k1)a Thay hệ số k f k1 ta đƣợc đồng thức 49 hoàn toàn f0 đại số A C Gọi S= C\ {0}, địa phƣơng hóa A với S đƣợc ký hiệu A0 Do A đại số nguyên tố nên C miền nguyên Gọi F trƣờng thƣơng miền ngun C A0 F K A Theo bổ đề II.19.1 f0 đồng thức A0 trƣờng F f0 đồng thức qui mạnh Giả sử (s-1 x)(t-1a)(u-1y) t-1a ∈A0 Khi xay=0 với a∈ A Do A nguyên tố nên x = y= Vì s-1= u-1 y = Suy A0 nguyên tố Nếu A0 chứa nil ideal ≠ theo mệnh đề II.16 chứa ideal lũy linh ≠ 0, mâu thuẫn với việc A0 nguyên tố Vậy A khơng có nil ideal ≠0 Xét đại số đa thức biến A0[λ] Do A0 khơng có nil ideal ≠0 nên J(A0[λ])=0 Thật giả thiết J(A0[λ]) ≠0 Chọn phần tử ≠ J(A0[λ]) φ(λ) = a0 + a1λ + + am λm với số hệ số khác khơng Ta giả thiết am ≠ 0.Ta có [ai,φ(λ)] nhƣ [ai,φ(λ)] ≠ có số hệ số khác khơng φ(λ , [ai ,aj] = ∀i, j Điều cho thấy đại số trái với việc chọn φ(λ) Do [ai , φ[λ]= B A0 sinh đại số giao hốn Theo Mệnh đề II.5 J(A0[λ]) tựa qui hai phía, mà h(λ) = λφ(λ) ∈ J(A0[λ]) nên g(λ) cho h(λ) + g(λ) +h(λ)g(λ)=0 (*) h(λ)]g(λ)=1 [1+h(λ)] + [1+ [l+h(λ)][l+g(λ)]=1 Tƣơng tự g'(λ)h(λ) = 1 + h(λ) + g(λ) + h(λ)g(λ)=1 g'(λ) cho h(λ) + g'(λ) + g'(λ)h(λ) = (**) + h(λ) + g'(λ) + [1+h(λ )] + g'(λ) [1 + h(λ)] =1 [1+g'(λ)] [1 + h(λ)]= l Đồng thời, từ (*) suy g'(λ)h(λ) + g'(λ)g(λ) + g'(λ)h(λ)g(λ) = từ (**) ta suy h(λ)g(λ) + g'(λ)g(λ)+ g'(λ)g(λ)+ g'(λ)h(λ)g(λ)= 0- Từ hai đẳng thức 50 ta có: h(λ)g(λ) = g'(λ)h(λ) Thay vào (*) (**) ta đƣợc + g(λ) = h(λ) + g'(λ) g(λ) = g'( ) Tóm lại ta đƣợc: Gọi thì: Nhƣng gọi n bậc g(λ) Thì : Nhân + g(λ) vào bên trái hai vế đẳng thức đƣợc: Mà : Vì : Suy : Vì bậc deg g(λ)= n nên từ đẳng thức ta suy hệ số g(λ) nhận đƣợc từ hệ số ψ(λ) + + ψ(λ)n Có nghĩa hệ số g(λ) thuộc đại số B A0 sinh hệ số φ(λ) Tức g(λ) Áp dụng bổ đề II 19.2 ta suy a lũy linh Do aφ(λ) φ(λ)a∈ J(A0 [λ]) ∀a∈A0 aam ama lũy linh ∀a ∈A0 Suy A0 có nil ideal ≠ Mâu thuẫn Chứng tỏ J(A0[λ]) = Theo bổ đề II 14.4, ta xem f f0 đa tuyến tính Do A0 (λ) thỏa mãn đồng thức hoàn toàn bậc n Với P ideal nguyên thủy A0 [λ] A0[λ]/Plà đại số nguyên thủy trƣờng thỏa mãn đồng thức hoàn toàn bậc n Theo định lý Kaplansky -AmitsnrLevitzki S2[n/2] đồng thức A0[λ]/P.Do φ1 ,φ2, φ2[n/2] = A0 [λ] S2[n/2] (φ1 ,φ2, ,φ2[n/2]) ∈P Do JA0[λ] = nên⋂ =0 Suy 51 nhúng vào A0[ λ] S2[n/2] đồng thức A Bổ đề II 19.3 đƣợc chứng minh xong Bổ đề II.19.4: Nếu A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức hoàn toàn A khơng có nil ideal ≠ Chứng minh Bổ đề II.19.4: Ta cần chứng minh cho trƣờng hợp A đại số nguyên tố Khi theo bổ đề II 19.3 A thỏa mãn đồng thức chuẩn tác dĩ nhiên đông thức qui mạnh Nếu nhƣ A chứa nil ideal ≠ theo Mệnh đề II.16 A chứa ideal lũy linh ≠ trái với việc A đại số nguyên tố Bổ đề II 19.4 đƣợc chứng minh xong Áp dụng bổ đề nêu trên, ta chứng minh Mệnh đề II.19: Giả sử A PI -đại số Gọi N = ln(A), theo Mệnh đề II.2 A/N tích trực tiếp đại số nguyên tố Mặt khác, A PI-đại số nên A/N thỏa mãn đồng thức hoàn tồn Do vậy, theo bổ đề II 19.4 A/N khơng có nil ideal ≠ Giả sử P nil ideal A, P N P/N nil ideal A/N P/N = P = N Do vậy, N nil ideal tối đại A Tức ln(A) = N = Un(A) Từ Mệnh đề II.8, ta suy ln(A) = L(A) = Un(A) Mệnh đề II 19 đƣợc chứng minh xong Bổ đề II 19.3 bổ đề đƣợc ấp đụng để chứng minh trùng lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical PI đại số Khơng cịn cho ta điểu kiện cần đủ để đại số PI-đại số nhƣ hệ dƣới đây: Hệ II.19.5: A mót PI-đại số A thỏa mãn đồng thức Chứng minh Hệ II.19.5: với n m 52 Giả sử A PI đại số Khi tồn đồng thức f A cho SfA = A(ở Sf = {α 1, α , , αr } ) Gọi d bậc f đặt n=[d/2] Xét A2n = AxAx….xA ( Tích 2n lần A ) Gọi A' = ∏ Aα = A∀α ∈A2n Theo Mệnh đề II.11, tồn ai∈A để: Giả sử ãj ∈ ∏ ∏ phần tử mà thành phần aj∈A Thế ∑ j Do A' PI-đại số Gọi N' = ln(A') = Un(A') theo mệnh đề II.2 A'/N' tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn f f đồng mức hoàn toàn tất đại số nguyên tố Áp dụng bổ đề II.19.3 ta suy S2n đồng thức A/N' Gọi âj ∈A' phần tử mà thành phần thứ α= (a1, a2, .,a2n ) ∈ A2n aj S2n (â1, ……, â2n )∈ N' Do đó, N' = Un(A') nil ideal A' (â1, .,â2n )]m = Từ suy [S2n (â1, .,â2n )]m A2n m cho [S2n = Cho α chạy khắp tập số ta suy [S2n (a1,…… , a2n )]m =0∀a1,…… , a2n∈ A Có nghĩa đồng thức A Ngƣợc lại ( với n, m ) đồng thức A đồng thức hoàn toàn ảnh đồng cấu khác không A Cho nên A PI đại số Từ suy đại số PI-đại số PI-đại số Nhƣ vơi PI-đại số ln(A) = L(A) = Un(A) liệu với PI-đại số lower nil radical, Levitzki nil radical, J(A) Vấn để đƣợc đặt 53 upper nil radical có trùng hay khơng với radical Jacobson ? Trong mệnh đề II.17, II 18, II 19 ta đƣa số trƣờng hợp PI-đai số tất radical trùng phần cuối luận văn ta đƣa mót phản ví dụ PI-đại số mà lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical không trùng với radical Jacobson Mệnh đề II.20: Nếu K vành giao hốn có đơn vị đại số đa thức biến A = K[ λ] ta có ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Chứng minh: Giả sử φ ∈J(A),φ = a0 +…… + a n λn Nếu 1- φ không ƣớc đơn vị xét họ tất ideal A chứa 1-φ áp dụng bổ đề Zorn ta suy 1-φ thuộc ideal tối đại P Nhƣng J(A) = ∩ ideal tối đại φ ∈J(A) nên φ ∈P Do l ∈P p = A vô lý Vậy 1-φ ƣớc đơn vi Theo bổ đề II 16.5 1- a0 ƣớc đơn vi K a1, a2, an lũy linh Mặt khác với ψ =λ , J(A) ideal ψ φ ∈ J(A) Chứng minh tƣơng tự nhƣ - ψ φ ta suy - ψ φ ƣớc đơn vị Tức 1- a0λ- a1λ2 - -anλn+1 ƣớc đơn vị Lại áp dụng bổ đề II.16.5 ta suy ra a0 lũy linh Tóm lại tất hệ số φ lũy linh φ lũy linh Theo bổ đề II.13.1 φ ∈Un(A) Do ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Mệnh đề :II.21: Nếu A đại số giao hốn cho ideal khơng chứa ln(A) có phần tử lũy đẳng ≠ thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Chứng minh: Giả sử X∈J(A) Nếu X ln(A) tồn ideal nguyên tố P cho x ∈P Xét ideal (x) (x) ln(A).Theo giả thiết (x) có phần 54 tử lũy đẳng ≠ Vậy a∈A cho (ax)2 = ax ≠ Suy ax(l- ax) = Nếu nhƣ 1-ax ƣớc đơn vị xét họ tất ideal chứa 1- ax áp dụng bổ đề Zorn ta suy 1- ax∈ p với P ideal tối đại Nhƣng x∈J(A) P = A vơ lý Vậy 1-ax ƣớc đơn vị =0 ax∈J(A) ax∈P Do ∈P y∈A cho (1- ax)y=l Từ đẳng Thức ax(l - ax) ax - vô lý Nhƣ ∀x∈J(A) ta suy x∈ln(A) Cho nên ln(A) ax(l -ax)y = = L(A) = Un(A) = J(A) Mệnh đề II.21 đƣợc chứng minh xong Để tất radical PI-đại số trùng điều kiện đại số đố giao hốn khơng phải điều kiện bắt buộc Có PI-đại số khơng giao hốn nhƣng có tính chất Sau ta xét trƣờng hợp nhƣ vây Ta xét đại số M2(K) ma trận vuông cấp vành K Theo định lý Amitsur Levitzki ( Mệnh đề II.15) M2(K) PI-đại số PI-đại số khơng giao hốn Ta gọi: I2 = {X = ( ) ∈ M2(K)/x,y∈J(K)} I1 = {X = ( ) ∈ M2(K)/x,y∈J(K)} Với X = ( ) ∈ I1 phần tử Vì x ∈ J(K) nên x’ ∈ K Để x + x’ + xx’ = Gọi X’ = ( ) ta có W = X + X’ + XX’ = ( gọi Z=-W ta có W+Z+WZ =0 X'Z) +X(X'+Z+X'Z) =0 ) ∈ I1 W2 = X+X'+XX'+Z+(X+X'+XX')Z=0 X tựa qui phải Nhƣ chứng minh đƣợc X∈ I1, tựa qui phải Vì I1 tựa qui phải Theo mệnh đề II I1 Tƣơng tự I2 có dạng M2(P) X+(X'+Z + J(M2(K)) Suy M2(J(K)) J(M2(K)) J(M (K)) Ngƣợc lại, J(M2(K)) ideal nên 55 P ideal K Giả sử b∈P, xét B = ( ) ∈ M2(P) = J(M2(K)) nên B tựa qui phải Suy b tựa qui phải Vì P tựa qui phải K Do P J(K) Suy M2(P) M 2(J(K)) Tức J(M2(K)) M2(J(K)) Tóm lại J(M2(K)) = M2(J(K)) Ta xét trƣờng hợp đặc biệt K vành nửa nguyên thủy (tức J(K) = ) Khi J(M2(K)) = Mà ln(M2(K)) = L(M2(K)) = Un(M2(K)) J(M2(K)) Cho nên suy ln(M2(K)) = L(M2(K)) = Un(M2(K)) = J(M2(K)) Nhƣ Chúng ta đạt đƣợc mệnh đề II 19, PI đại số ta có lower radical, Levitzki radical, upper radical trùng Ở trên, ta đƣa số trƣờng hợp khơng lower radical, Levitzki radicaỊ upper radical trùng mà chúng trùng vơi radical Jacobson Sau ta đƣa ví dụ PI-đại số mà radical Jacobson khơng trùng với radical Ta xét đại số A=:{ x/ x ∈ Q, x = , n lẻ} đại số số n hữu tỷ Q xem nhƣ đại số vành số nguyên Đây đại số giao hoán ln(A) - L(A) - Un(A) trùng với lùi radical cứa A Do ln(A) = L(A) = Un(A) = Gọi = { x/ x = ∈ A, m chẵn, n lẻ } Đây ideal tối đại A Cho nên J(A) = Vậy ln(A) - L(A) = Un(A) J(A) Sau mót ví du PI-đại số khơng giao hốn mà lower radical, Levitzki radical, upper radical khơng trùng với radical Jacobson Xem vành K= { x/ x ∈Q, x = , n lẻ } xét đại số M2(K) 56 Ta biết với vành K (M2(K)) = M2(J(K)) Cho nên trƣờng hợp ta có J(M(K)) :M2(ρ ) với p { x/ x= ∈ A, m chẵn, n lẻ } Nhƣng dễ dàng thấy M2( ρ) nil ideal upper, nil radical M2(K) Nhƣ radical Jacobson cùa M2(K) không trùng với upper nil radical 57 LỜI KẾT LUẬN Đối với PI-đại số có đơn vị vành giao hốn có đơn vị lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical trùng Kết nói tổng quát Tuy nhiên cịn vấn đề khơng đơn giản cần tiếp tục giải Đó chẳng hạn là: 1.Nếu xét PI-đại số nhƣng xem nhƣ đại số khơng có đơn vị vành giao hốn có đơn vị radical chúng ? 2.Nếu xét PI-đại số nhƣng xem nhƣ đại số khơng có đơn vị vành khơng giao hốn, khơng có đơn vị radical chúng ? Cũng luận án này, biết đối vơi PI-đại số có đơn vị vành giao hốn có đơn vị lower nil radical, Levitzky nil radical upper nil radical trùng nhƣng không thiết trùng với radical Jacobson Ngoài trƣờng hợp đƣợc nêu (mà tất Các radical trùng ) cần tìm trƣờng hợp khác tổng quát hơn, đẹp mắt 58 Ngồi ra, PI-đại số khơng phải có vấn đề nghiên cứu radical chúng Chúng ta cần phải xét khía cạnh khác chẳng hạn xét lớp PI-đại số chung tập đống thức Chúng ta cần phải xem xét tính chất phạm trù PI-đại số vv Những vẩn đề đƣợc phác qua chắn phần tất cần nghiên cứu xung quanh vấn đề PI-đại số Trong phạm vi thời gian sức lực mình, tơi cịn chƣa giải đƣợc Nhƣng tơi tin vấn đề hấp dẫn hứa hẹn kết khả quan Chắc chắn tơi cịn tiếp tục bƣớc đƣờng tìm tịi cịn chƣa đƣợc giải Một lần xin gửi tới ngƣời thầy - PTS Bùi Tƣờng Trí lịng biết ơn sâu sắc Xin cám ơn tất q thày tất bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên nhiều thời gian làm luận án NINH QUANG THĂNG HẾT ... HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.01.03 NGƢỜI HƢỚNG DẪN: PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ THÁNG 02 NĂM... bày theo nhƣ sau: A Các radical đại số B Các PI-dại số C Các radical đại số giao hốn Với khái niệm PI-đại số đại số giao hoán trƣờng hợp riêng Vì việc xem xét radical PI đại số đƣợc bắt đầu với... niệm đại số giao hoán 21 C Các radical đại số giao hốn Mục tiêu ta xem xét radical PI-đại số Một đại số giao hoán nhƣ thấy chẳng qua PI-đại số với đồng thức đặc biệt Ta xét tính chất cùa radical