Công cụ đại số trong dạy học hình học không gian lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Hiếu CƠNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Hiếu CƠNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS.Vũ Như Thư Hương, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tơi kiến thức quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn: - Ban lãnh đạo chun viên Phịng SĐH, Khoa Tốn – Tin trường ĐHSP TP HCM tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi suốt khóa học - Lãnh đạo Sở GD&ĐT Long An, Tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Cơng Trứ hết lịng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt khóa học Tơi xin cám ơn mẹ tơi hai tôi, người lặng lẽ lo lắng cho tôi, động viên tinh thần sa sút Cuối xin chân thành cám ơn bạn bè, ân nhân, đặc biệt bạn NTD, bạn lớp Didactic Tốn khóa 24, người chia sẻ vui buồn giúp vượt qua khó khăn học tập sống Nguyễn Văn Hiếu MỤC LỤC Nội dung trang MỞ ĐẦU 0.1) Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát 0.2) Mục đích nghiên cứu 0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu 0.3.1) Thuyết nhân học Didactic Toán 0.3.2) Lý thuyết tình 0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu 0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu 0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu 0.5.2) Phương pháp nghiên cứu 0.6) Cấu trúc luận văn CHƯƠNG TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI SỐ VÀ VAI TRỊ CƠNG CỤ CỦA ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 1.1) Đại số vai trị cơng cụ đại số hình học 10 1.1.1) Đại số 10 1.1.2) Vai trị cơng cụ đại số hình học 21 1.2) Một số kết luận 37 CHƯƠNG CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG THỂ CHẾ DẠY-HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 2.1) Phân tích chương trình 39 2.1.1) Chương trình Hình học 11 39 2.1.2) Chương trình Hình học 11 nâng cao 41 2.2) Phân tích Sách giáo khoa tập 43 2.3) Một số kết luận 77 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM 3.1) Phần dành cho giáo viên 79 3.1.1) Phân tích câu hỏi 80 3.1.2) Phân tích hậu nghiệm 83 3.2) Phần dành cho học sinh 87 3.2.1) Phân tích câu hỏi 88 3.2.2) Phân tích hậu nghiệm 93 3.3) Một số kết luận 104 KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 PHỤ LỤC .112 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt BT BĐT CL GV HHKG HHKG11 HHGT HHTH HHVT KNV KNVĐS SBT SBT6T2 SBT9T1 SBH11 SBH11N SGK SGH11 SGH11N SGK6T1 SGK7T2 SGK9T1 SGK9T2 SGV SH11 SH11N THCS THPT Viết đầy đủ Bài tập Bất đẳng thức Chiến lược Giáo viên Hình học khơng gian Hình học khơng gian lớp 11 Hình học giải tích Hình học nghiên cứu phương pháp tổng hợp Hình học vectơ Kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ đại số đóng vai trị cơng cụ Sách tập Sách tập Tốn tập Sách tập Toán tập Sách tập Hình học 11 Sách tập Hình học 11 nâng cao Sách giáo khoa Hình học 11 Sách giáo viên Hình học 11 nâng cao Sách giáo viên Sách giáo khoa Toán tập Sách giáo khoa Toán tập Sách giáo khoa Toán tập Sách giáo khoa Toán tập Sách giáo viên Sách giáo khoa Hình học 11 Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao Trung học sở Trung học phổ thông MỞ ĐẦU 0.1) Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Nói vai trị cơng cụ đại số, theo tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006), “ Về mặt lịch sử, đại số đời để giải số “bài toán số học” can thiệp công cụ giải toán thuộc lĩnh vực khác” [19, tr 11] Đặc biệt, nói ảnh hưởng đại số đời Hình học giải tích (HHGT), tác giả Lê Thị Hồi Châu (2008) có nhận định sau: Sự phát triển hình học địi hỏi phải xét đến tốn có liên quan đến đường cong, mặt cong phức tạp Chính mà phương pháp tổng hợp bộc lộ hạn chế Nó khiến nhà hình học mong muốn tìm kiếm phương pháp tổng qt khơng lệ thuộc vào hình vẽ Vào cuối kỷ 16, vật liệu cần thiết cho việc xây dựng phương pháp đáp ứng địi hỏi đạt đến độ hoàn hảo Cụ thể phát triển đại số mang lại hiệu không số mà loại đại lượng Xu hương ký hiệu hóa đối tượng nghiên cứu Viète (1540-1603) làm cho tính tốn đại số trở nên dễ dàng, phương pháp đồ thị Oresme cho phép biểu diễn tương quan đại lượng v.v… Những điều mang lại cho phương pháp đại số sức mạnh mới, cho phép thay lời giải viện dẫn đến hình học trước lời giải túy đại số, thường gọn gàng Tất sẵn sàng cho toán học chuyển qua bước tiến định , làm đảo ngược mối quan hệ thiết lập lúc đại số hình học [ 3, tr 34] Có thể nói, HHGT (cịn gọi Hình học tọa độ) đỉnh cao việc vận dụng đại số vào việc nghiên cứu hình học Thế nhưng, thể chế giảng dạy, xếp Chương trình, khơng phải lúc cơng cụ HHGT tham gia vào việc giải vấn đề hình học Trường hợp Hình học khơng gian lớp 11 (HHKG11) ví dụ Ta biết, HHGT không gian đến HKII lớp 12 xuất hiện, HHKG11 xem nội dung khó học sinh Câu hỏi đặt hồn cảnh đó, đại số can thiệp, hỗ trợ việc dạy học mơn hình học này? Trong lúc tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tơi ý đến tốn sau: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD AB=CD=AC=a Trên đoạn AC lấy M với AM=x Qua M ta vẽ mặt phẳng (P) song song với AB, CD Mặt phẳng (P) cắt BC, BD, AD N, R, T Tìm x để diện tích S tứ giác MNRT lớn (Trích BT 3.54, sách BT Hình học 11, trang 165, 166) [14] Trang 194, 195, sách BT Hình học 11(SBH11) trình bày lời giải toán sau: AB=(ABC)∩(ABD) (P)//AB a)� ⟹MN // R T(1) (P)⋂(ABC)=MN (P)⋂(ABD)=RT Tương tự, (P) // CD, ta có MT//NR (2) � =90o (3) � =(AB,CD) Mặt khác NMT Từ (1), (2) (3) cho ta MNRT hình chữ nhật b)Tính diện tích S hình chữ nhật MNRT Ta có S= MN MT ∆ABC cân A nên ∆MNC cân M Do MN=MC=a-x ⇒S=(a-x)x (0≤x≤a) Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (a-x)+x a2 S=(a-x)x≤ � � = Dấu xảy khi: a-x=x⇔x= Vậy S đạt giá trị lớn S = a a2 ⇔ M trung điểm AC a ⇔x= [14, tr 194, 195] Trong lời giải trên, xuất bất đẳng thức (BĐT) Cô-si với phép tính đại số, đại số giúp đem đến câu trả lời xác cho tốn tìm diện tích lớn thiết diện Vấn đề dùng kiến thức hình học gặp nhiều khó khăn Bài tốn cho thấy xuất đại số với vai trò cơng cụ hiệu giải tốn HHKG11 Phát dẫn đến câu hỏi xuất phát sau: 1/ Trong HHKG11, loại toán cần đến công cụ đại số để giải quyết, công cụ đại số thường vận dụng vận dụng nào? Lợi ích việc vận dụng gì? 2/ Học sinh thường gặp khó khăn việc vận dụng cơng cụ đại số giải tốn HHKG11? Giáo viên có biện pháp để giúp học sinh khắc phục khó khăn đó? Từ ghi nhận, thắc mắc đó, định chọn đề tài: “Công cụ đại số dạy-học Hình học khơng gian lớp 11” để thực việc nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ 0.2) Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn làm rõ vai trò công cụ đại số việc giải toán HHKG11 0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu Công cụ lý thuyết chọn làm sở cho việc đưa câu trả lời cho vấn đề nêu thuộc phạm vi Didactic Toán mà cụ thể Thuyết nhân học Didactic Toán, Lý thuyết tình với khái niệm Hợp đồng didactic Didactic Tốn khơng tài liệu tham khảo tốt nhà nghiên cứu, giáo viên sinh viên khoa Toán, mà tất quan tâm đến hoạt động dạy học, trăn trở tìm sở lí thuyết, cơng cụ hữu hiệu lí giải tượng giảng dạy học tập có khám phá thú vị tham khảo giáo trình [1, tr 9] Nếu gọi đối tượng O tri thức đại số (những tri thức thường vận dụng cơng cụ giải tốn chương trình Tốn phổ thông); I thể chế dạy học hành Việt Nam vấn đề cách tiếp cận HHKG11 thông qua công cụ đại số liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế R(I;O) thuyết nhân học Chevallard đặt móng Các câu hỏi “Những công cụ đại số thường vận dụng vận dụng nào?”, “Học sinh thường gặp khó khăn việc vận dụng cơng cụ đại số giải toán HHKG11?” liên quan đến khái niệm quan hệ cá nhân lý thuyết Ngoài ra, câu hỏi giải đáp khái niệm Hợp đồng didactic trình bày G Brousseau (1980) 0.3.1) Thuyết nhân học Didactic Toán Khái niệm quan hệ tri thức đưa vào Chevallard (1989) Chevallard đặt khái niệm phạm vi nhân chủng học, tượng liên quan đến việc dạy học tri thức (tốn học) mơ tả theo mối quan hệ thể chế Theo Chevallard, “Một tri thức không tồn “lơ lửng” khoảng rỗng: tri thức xuất thời điểm định, xã hội định, cắm sâu vào nhiều thể chế” [1, tr 299] Nói cụ thể hơn, tri thức tri thức thể chế, tri thức sống thể chế khác Mỗi tri thức muốn tồn thể chế cần phải tuân thủ theo số ràng buộc Do đó, phải biến đổi để phù hợp với thể chế mà đứng Nói cách khác, phải tự thay đổi, khơng, khơng thể trì thể chế Lý thuyết nhân chủng học tri thức chủ yếu dựa thuật ngữ: đối tượng, cá nhân thể chế khái niệm khái niệm thể chế rõ hệ thống thực tiễn xã hội “Trong phạm vi lý thuyết hóa này, người ta nói đối tượng O tồn thể chế I tồn quan hệ thể chế R(I, O) I với O Cũng thế, đối tượng O tồn cá nhân X tồn quan hệ cá nhân R(X, O) X với O” [9, tr 3] Quan hệ cá nhân Một đối tượng O tồn cá nhân X Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng O tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Một người cá nhân, thời điểm xác định lịch sử nó, tập hợp mối quan hệ cá nhân với đối tượng mà biết [1, tr.315, 317] Dưới quan điểm này, học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Quan hệ thể chế Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I, … Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O q trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O) Tất nhiên, tri thức O tồn thể chể I khác (chẳng hạn thể chế dạy học Việt Nam, thể chế dạy học Pháp) nên có mối quan hệ khác với cá nhân X (chẳng hạn giáo viên, học sinh) Do muốn nghiên cứu quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, cần phải đặt mối quan hệ thể chế I mà cá nhân X đứng với tri thức O Một câu hỏi đặt làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) quan hệ cá nhân R(X, O)? Nhằm giải vấn đề này, Chevallard đưa khái niệm tổ chức praxéologie (hay ngắn gọn Praxéologie) Khái niệm Praxéologie, Praxéologie Tốn học Trình bày Praxéologie, Praxéologie Toán học (Tổ chức toán học), theo tác giả Đồn Hữu Hải (2001): Khái niệm praxéologie hình thành dựa định đề nhân chủng học Định đề Toàn thực tiễn thể chế đưa vào phân tích, theo quan điểm khác theo phương pháp khác nhau, hệ thống nhiệm vụ tương đối giới hạn tách từ dòng chảy thực tiễn Định đề Việc thực nhiệm vụ vận dụng kĩ thuật Định đề Để tồn thể chế, kĩ thuật phải xuất cho hiểu được, thấy phải lý giải Định đề Bất kì yếu tố cơng nghệ cần lý giải Tương ứng với định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm Praxéologie Đó tứ hình thành từ: 1.Các kiểu nhiệm vụ T-hiện diện thể chế đó; 2.Kĩ thuật τ-cho phép thực nhiệm vụ t kiểu nhiệm vụ T; 3.Công nghệ θ-văn lý giải cho kĩ thuật τ; 4.Lý thuyết Θ-là công nghệ công nghệ θ Trong trường hợp thành tố T, τ, θ, Θ Praxéologie mang chất tốn học, người ta nói đến tổ chức toán học Praxéologie toán học [9, tr 5] Đánh giá tổ chức toán học Đánh giá kiểu nhiệm vụ: việc đánh giá dựa tiêu chuẩn 101 Hay làm "Hình 3.9", học sinh khơng ghi khoảng khảo sát bảng biến thiên Hình 3.9 Hình chụp làm với bảng biến thiên khiếm khuyết Các sai lầm cho thấy, việc vận dụng công cụ đại số vào hình học, học sinh gặp khó khăn khơng kết hợp hợp lý liệu tốn hình học với công cụ đại số Điều lần cho thấy khó khăn mà học sinh thường gặp việc huy động công cụ đại số vào giải tốn hình học liên quan đến vấn đề “phạm vi hệ thống biểu đạt” mà nói đến Trong trường hợp này, học sinh huy động công cụ khảo sát hàm đa thức bậc lúc học sinh đặt suy nghĩ phạm vi đại số Do phạm vi kiến thức đại số, hàm đa thức bậc có tập xác định R nên học sinh thực khảo sát hàm số R , trong phạm vi hình học x > x < AC=a phải thực khảo sát hàm số khoảng (0;a) Vấn đề tương tự diễn với học sinh sử dụng CL khác không thành công Xem xét làm học sinh này, nhận thấy điểm chung sai lầm học sinh cho diện tích MNPQ lớn chiều dài chiều rộng lớn Ví dụ, làm “Hình 3.10” Trong làm này, 102 học sinh vận dụng sai mệnh đề “tích hai số dương lớn hai số lớn nhất” Rõ ràng cảm nhận chủ quan đánh lừa học sinh Hình 3.10 Hình chụp làm áp dụng sai kiến thức đại số Đối với hai số dương x, y biến thiên độc lập với “x, y lớn nhất⇔x.y lớn nhất” mệnh đề đúng, phạm vi toán Câu 1b) hai “số” dương PQ MN biến thiên phụ thuộc vào khơng thể áp dụng mệnh đề Sai lầm lại lần cho thấy việc vận dụng kiến thức đại số phù hợp với ngữ cảnh toán HHKG11 vấn đề khó học sinh Cịn với sử dụng CL HS không thành công, nhận thấy có khơng đến kết hết thời gian làm bài, kết luận sai sai kết tính tốn khơng xác Các sai lầm có chung ngun nhân học sinh phát cách giải thời gian làm khơng cịn nhiều nên vội vã, làm khơng cẩn thận dẫn đến sai sót Thất bại làm cho thấy, việc vận dụng dụng công cụ đại số thành cơng hay khơng cịn phụ thuộc vào ý định sử dụng công cụ đại số đến sớm hay muộn Trong phạm vi hình học, ý định khơng phải lúc dễ dàng xuất Chúng ta xem học sinh nói khó khăn mà thường gặp việc huy động công cụ đại số vào việc giải tốn HHKG11: 103 3.2.2.3) Phân tích hậu nghiệm Câu Bảng 3.6 Thống kê kết thực nghiệm Câu Câu trả lời a) Số học sinh chọn 19 Tỷ lệ học sinh chọn 38% Theo "Bảng 3.6", có 35 học sinh chọn b), tỷ b) 35 70% lệ học sinh chọn c) 12 24% b) 70% (cao nhất), có 19 học sinh chọn a), tỷ lệ học sinh chọn a) 38% (đứng thứ 2), có 12 học chọn c) (bổ sung ý kiến) Như nói, theo ý kiến học sinh, khó khăn mà học sinh thường gặp việc huy động cơng cụ đại số giải tốn HHKG11 khó khăn b): Khơng biết kết hợp kiến thức hình học với kiến thức đại số để thiết lập biểu thức cần cho việc tính tốn, chứng minh theo yêu cầu đề Điều phù hợp với nhận định phần phân tích khó khăn mà học sinh gặp phải giải Câu 1b) Kế đến khó khăn a) có 38% học sinh cho thường gặp, điều có lẽ ảnh hưởng từ việc giải Câu 1b) Trong Câu 1b), học sinh gặp khó khăn việc tìm cách giải toán kiến thức đại số Theo kết khảo sát Câu 1b) trên, có đến 80% học sinh nghĩ đến cách giải Chúng ta xem ý kiến bổ sung học sinh nói vấn đề này: Bảng 3.7.Các ý kiến bổ sung học sinh thực nghiệm Câu Ý kiến Số học sinh 1 1 1 1/Không thuộc công thức 2/Cần gợi ý, hướng dẫn giáo viên làm 3/Khó phân biệt việc vận dụng kiến thức đại số vào HHKG 4/Không biết khai thác giả thiết đề 5/Không biết dùng công thức nào, hướng giải 6/Chưa vững kiến thức hình học 7/Khơng biết vẽ hình giải tốn HHKG khó 8/ Theo khả em khó nhận biết cần sử dụng kiến thức đại số, áp dụng Ví dụ, câu 1b) 9/Chưa nắm cách chứng minh cho phù hợp với đề Không có gợi ý khơng giải 10/Gặp khó khăn HHKG, vận dụng kết hợp hình học đại số Các ý kiến 2/, 4/, 9/ cách nói khác khó khăn a) Tương tự vậy, ý kiến 5/ 10/ xem cách nói khác khó khăn b) Ý kiến 8/, phần 104 đầu thừa nhận khó khăn a), phần lại, “…áp dụng nào” thừa nhận khó khăn b/ Cịn ý kiến 6/, 7/ khơng liên quan đến việc vận dụng công cụ đại số Chúng quan tâm đến ý kiến 1/và 3/: Ý kiến 1/, “Không thuộc công thức” Khó khăn này, phần lực học sinh (trí nhớ kém), phần giải tốn hình học, học sinh thường chuẩn bị trí nhớ kiến thức hình học nên đột ngột phát phải giải tốn kiến thức đại số thường kiến thức đại số học sinh sử dụng kiến thức đề cập đến khoảng thời gian gần với thời điểm giải tốn kiến thức học sinh thực hành nhiều thực tế nên nhớ Chính điều mà kết thực nghiệm Câu 1b), thấy số lượng học sinh vận dụng CL HS nhiều áp đảo so với số lượng học sinh vận dụng CL lại khảo sát hàm số kiến thức mà học sinh lớp 12 (đối tượng áp dụng cho thực nghiệm) học thực hành nhiều thời điểm tiến hành thực nghiệm Ý kiến 3/, “Khó phân biệt việc vận dụng kiến thức đại số vào HHKG” Theo chúng tơi khó khăn học sinh phạm vi hình học, cơng cụ đại số thường bị che khuất cách biểu đạt chịu ảnh hưởng ngơn ngữ hình học, điều chúng tơi nêu phần phân tích thể chế Chính cơng cụ đại số bị che khuất mà học sinh không nhận xuất công cụ đại số lời giải toán 3.3) Một số kết luận Kết thực nghiệm cho thấy, thực tế dạy-học HHKG11 vai trị cơng cụ đại số giáo viên học sinh quan tâm nhiều toán định lượng vai trị việc tìm diện tích lớn (nhỏ nhất) thiết diện, thiết lập biểu thức cho phép tính độ dài đoạn thẳng số đo góc, diện tích hình tốn định tính vai trị việc chứng minh quan hệ vng góc Dạng tốn mà qua giáo trình chúng tơi thấy thể chế vận dụng cơng cụ đại số nhiều lại giáo viên quan tâm giải công cụ đại số “Chứng minh hai đường thẳng song song” Số liệu thực nghiệm cho thấy có 26,7 % giáo viên 105 nghĩ đến việc vận dụng công cụ đại số với dạng tốn này, dạng tốn “Tìm diện tích lớn (nhỏ nhất) thiết diện” số 93,3 % Thực nghiệm cho thấy khó khăn mà học sinh thường gặp việc huy động cơng cụ đại số tốn HHKG11 chủ yếu trình chuyển đổi qua lại hai phạm vi, hệ thống biểu đạt hình học đại số địi hỏi học sinh phải có nhạy bén, linh hoạt suy nghĩ trình bày lời giải tốn Cụ thể, có khó khăn sau: Khó khăn thứ I: Ngồi dấu hiệu biểu đạt đại số độ dài đoạn thẳng, học sinh khơng có dấu hiệu khác giúp nhận tốn HHKG11 giải cơng cụ đại số Khó khăn thứ II: Học sinh cách vận dụng công cụ đại số phù hợp với kiện toán Học sinh thường mắc sai lầm vận dụng công cụ đại số theo điều kiện vốn có cơng cụ đại số mà khơng ý đến điều kiện tốn hình học Ví dụ, M thuộc đoạn thẳng AB AB=a, học sinh đặt MA=x tìm giá trị lớn hàm y=x(a-x)=-x2+ax cách lập bảng biến thiên thường học sinh lập bảng biến thiên hàm khoảng (-∞;+∞) quen làm đại số Trong khi, kết hợp với kiến thức hình học 0< MA