Chứng minh định lý amitsur levitzki về đồng nhất thức của đại số mn k bằng lý thuyết đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lyù Thanh Bình CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ AMITSUR – LEVITZKI VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐẠI SỐ M n (K) BẰNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương 1: Những kiến thức §1 Phép §2 Một số khái niệm lý thuyết đồ thị §3 Một số khái niệm PI – đại số 18 Chương 2: Chứng minh định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) lý thuyết đồ thị 29 §1 Định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) 29 §2 Chứng minh định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) lý thuyết đồ thị 31 2.2.1 Chứng minh (Amitsur – Levitzki) 31 2.2.2 Chứng minh (bằng lý thuyết đồ thị) 38 §3 Ứng dụng định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) 49 Tài liệu tham khảo 51 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn quý thầy cô tổ môn Đại số, khoa Toán – Tin, phòng Khoa học Công nghệ – Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, quý thầy cô tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn này, bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Huệ – Tây Ninh tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu hoàn thành chương trình khóa học Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đặc biệt thầy PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình xây dựng hoàn thành luận văn Quá trình xây dựng hoàn thành luận văn, nhận giúp đở động viên tinh thần bạn học viên khóa 14 – chuyên ngành Đại số Tôi xin ghi nhận nơi lòng biết ơn sâu sắc Tác giả luận văn LỜI MỞ ĐẦU Ta biết đại số ma trận vuông cấp n vành giao hoán có đơn vị K không thỏa mãn đồng thức thực có bậc nhỏ 2n Ta biết đa thức chuẩn tắc Sn +1 đồng thức đại số ma trận vuông cấp n vành giao hoán có đơn vị K Tuy nhiên bậc đa thức chuẩn tắc Sn +1 n + lớn Câu hỏi đặt có đồng thức thực đại số ma trận vuông cấp n vành giao hoán có đơn vị K có bậc nhỏ n + hay không ? Trả lời cho câu hỏi hai nhà toán học Amitsur Levitzki chứng minh kết quan trọng : “Đa thức chuẩn tắc S2 n đồng thức đại số ma trận vuông cấp n vành giao hoán có đơn vị K” Với kết quan trọng nhiều nhà toán học giới thử chứng minh định lý Amitsur – Levitzki nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn R Swan (đã chứng minh định lý lý thuyết đồ thị), Kostant gần Rowen… Do phạm vi nghiên cứu đề tài, luận văn không trình bày hết tất cách chứng minh định lý Amitsur – Levitzki nhà toán học nói trên, mà luận văn trình bày hai cách chứng minh định lý Amitsur – Levitzki: dựa theo cách chứng minh Amitsur Levitzki; hai dựa vào lý thuyết đồ thị, nhằm thấy rõ chất định lý Nội dung luận văn chia thành hai chương: + Chương 1: Những kiến thức Trong chương trình bày số kiến thức làm sở lý luận cho chương sau bao gồm : khái niệm, định lý, bổ đề có sẵn phép thế, lý thuyết đồ thị, PI – đại số vành giao hoán có đơn vị + Chương 2: Chứng minh định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) lý thuyết đồ thị Trong chương trình bày định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số ma trận vuông cấp n vành giao hoán có đơn vị K hai phương pháp chứng minh định lý Sau trình bày định lý Kaplansky – Amitsur – Levitzki ứng dụng định lý Amitsur – Levitzki Vì thời gian khả hạn chế, chắn luận văn không tránh khỏi sai sót, kính mong ghi nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp gần xa CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương chủ yếu trình bày ngắn gọn số kiến thức làm sở lý luận cho chương sau bao gồm : khái niệm, định lý, bổ đề có sẵn phép thế, lý thuyết đồ thị, PI – đại số vành giao hoán có đơn vị Hầu hết chứng minh chương bỏ qua, tìm chứng minh [1] – [8] (phần tài liệu tham khảo) §1 PHÉP THẾ Trong phần trình bày số kiến thức phép thế, dùng làm sở cho phép chứng minh sau 1.1.1 Định nghóa: 1.1.1.1 Phép thế: Định nghóa: Giả sử X tập hợp khác rỗng Một song ánh σ : X ⎯⎯ →X gọi phép tập X Ở ta xét trường hợp X tập hữu hạn Vì tập hữu hạn gồm n phần tử biểu diễn dạng X = {x1,x2 , ,x n } nên đơn giản coi X = Xn = {1,2, ,n} Khi phép σ biểu thị sau: ⎛ i n ⎞ σ =⎜ ⎟, ⎝ σ (1) σ (2) σ (i) σ (n) ⎠ σ (i) ảnh phần tử i viết dòng cột với i Tập hợp phép tập gồm n phần tử kí hiệu Sn ⎛ i n ⎞ Ví dụ 1: σ = ⎜ ⎟ phép Xn , xác định ⎝ i n ⎠ σ (i) = i, ∀i ∈ Xn Nó gọi phép đồng ⎛1 3⎞ Ví dụ 2: σ = ⎜ ⎟ phép tập X3 = {1,2,3} xác ⎝ ⎠ định : σ (1) = 3, σ (2) = 1, σ (3) = 1.1.1.2 Chuyển vị: Định nghóa: Phép σ gọi k – chu trình (hay chu trình độ dài k) tồn số i1,i , ,i k ∈ X cho : σ (i1 ) = i , σ (i ) = i3 , , σ (i k −1 ) = i k , σ (i k ) = i1 vaø σ ( j) = j, ∀j ∉ {i1,i , ,i k } Khi đó, ta kí hiệu : σ = (i1 i i k ) Định nghóa: Phép σ gọi chuyển vị σ (i) = j,σ (j) = i,σ (k) = k, k ≠ i, k ≠ j (i, j,k ∈ X) Chuyển vị kí hiệu (i, j) Như vậy, chuyển vị – chu trình ⎛1 ⎞ Ví dụ: Với X5 = {1,2,3,4,5} , (2,5) = ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ Định lý: Mỗi phép σ khác với phép đồng phân tích thành tích chuyển vị 1.1.2 Nghịch – Dấu phép thế: 1.1.2.1 Nghịch thế: Định nghóa: Giả sử σ phép tập Xn Nếu với i, j ∈ Xn ,i < j ta có σ (i) > σ (j) ta nói cặp (σ (i),σ (j) ) nghịch gây σ (hay đơn giản nghịch σ ) ⎛ 5⎞ Ví dụ 1: σ = ⎜ ⎟ có nghịch sau: ⎝ 5⎠ (4, 2), (4, 3), (4, 1), (2, 1), (3, 1) ⎛1 5⎞ Ví dụ 2: σ = ⎜ ⎟ có nghịch theá sau: (2, 1), (5, 4) ⎝ ⎠ Hệ 1: Nếu (σ (i),σ (j) ) nghịch i− j 1) Khi đó: ⎡ i− j ∏ σ (i) − σ (j) = ⎢ −1 ⎣ {i, j} số nghịch số chẵn số nghịch số lẻ {i, j} chạy khắp tập hợp tập gồm hai phần tử Xn Chứng minh: Trước hết theo hệ 1, số nghịch số chẵn i− j i− j ∏ σ (i) − σ (j) > , số nghịch số lẻ ∏ σ (i) − σ (j) < Ta {i, j} {i, j} vieát i− j ∏ σ (i) − σ (j) = {i, j} ∏ (i − j) ∏ (σ (i) − σ (j)) chứng minh với thừa số i − j tử số mẫu số có thừa số i − j j − i ngược lại Thật vậy, σ song ánh nên tồn k,m ∈ X cho i = σ (k), j = σ (m) Do mẫu số có thừa số σ (k) − σ (m) = i − j (nếu tử số có k − m ) hoaëc σ (m) − σ (k) = j − i (nếu tử số có m − k ) Ngược lại, với thừa số σ (i) − σ (j) mẫu số σ (i) = r,σ (j) = s tử số có r − s = σ (i) − σ (j) hoaëc s − r = σ (j) − σ (i) Vì tử số mẫu số khác dấu Hệ chứng minh 1.1.2.2 Dấu phép : Định nghóa: Giả sử σ phép tập Xn gồm n phần tử i− j gọi dấu σ kí hiệu sgn( σ ), − σ σ (i) (j) {i, j} ( n > 1) ∏ (ở {i, j} chạy khắp tập hợp tập gồm hai phần tử Xn ) σ gọi phép chẵn sgn(σ ) = 1, phép lẻ sgn(σ ) = −1 Hệ 3: Một phép chẵn (lẻ) gây số chẵn (lẻ) nghịch Hệ 4: Mọi chuyển vị phép lẻ Chứng minh: Nếu chuyển vị có dạng (i,i + 1) tức phép theá: i i + n ⎞ ⎛ ⎜ i + i n ⎟⎠ ⎝ phép lẻ có nghịch (i + 1,i) Bây xét chuyển vị σ = (i, j) với j − i > 1, tức σ có dạng: ⎛ i − i i + j − j j + n ⎞ σ =⎜ ⎟ ⎝ i − j i + j − i j + n ⎠ Khi σ gây nghịch sau: (j,i + 1), ,(j, j − 1),(j,i) (1) (i + 1,i), ,(j − 1,i) (2) Vì j − = i + (j − − i) neân dòng (1) có j − i nghịch thế, dòng (2) có j − i − nghịch Do σ gaây : (j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − nghòch Do σ phép lẻ 37 e1 = e11, ., ei −1 = ei −1, i −1, e,i , ei +1 = ei +1, i +1, ., e r = e rr , e,r +1 Do S2 n (e1, , ei −1, e,i , ei +1, , e r , e,r +1, ) = Vì e,i = eii − eij e,r +1 = eij + e jj nên: S2 n ( , eii , , eij , ) − S2 n ( , eij , , eij , ) + S2 n ( , eii , , e jj , ) −S2 n ( , eij , , e jj , ) = Maø S2 n ( , eij , , eij , ) = eij lặp lại S2 n ( , eii , , e jj , ) = chứa r + lũy đẳng trực giao hạng S2 n ( , eij , , e jj , ) = áp dụng bổ đề với e jj lũy đẳng f ( j) ≤ Do S2 n ( , eii , , eij , ) = nên có điều phải chứng minh { } { + Neáu e ji ∈ ei1 j1 , ei2 j2 , , ei2 n j2 n = e11, e22 , , e rr , ei r +1 jr +1 , , ei2 n j2 n } ta đặt e,i = eii − e ji vaø e,r +1 = e ji + e jj r + phần tử lũy đẳng trực giao hạng Lý luận tương tự ta có điều cần chứng minh Do ta chứng minh định lý trường hợp K trường Bây xét K vành giao hoán có đơn vị Vì trường số hữu tỷ nên (2.2) M n ( ) Maø M n ( ) ⊂ M n ( ) , nên (2.2) M n ( ) Mặt khác M n (K) ≅ M n ( ) ⊗ K S2n đa tuyến tính nên (2.2) M n (K) Do định lý chứng minh xong Bây giờ, trình bày cách chứng minh định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) lý thuyết đồ thị 38 2.2.2 Chứng minh (bằng lý thuyết đồ thị): Giả sử Sk (x1, x , , x k ) = ∑ sgn(σ )xσ 1xσ xσ k đa thức theo k biến σ không giao hoán với tổng lấy tất phép σ k biến sgn(σ ) kí hiệu cho dấu σ Không khó khăn để chứng minh Sn +1 (A1,A , ,A n +1 ) = với A i ∈ M n (K ) Amitsur vaø Levitzki chứng minh kết đẹp: S2n (A1,A , ,A 2n ) = đa thức khác k biến với k < 2n thỏa mãn ma trận vuông cấp n Ở đây, sử dụng phương pháp lý thuyết đồ thị R Swan để chứng minh kết này, cho ta nhìn hình học định lý Amitsur Levitzki Kết phép chứng minh lý thuyết đồ thị độc lập với cách chứng minh Amitsur Levitzki đáng để quan tâm Trước tiên, có nhận xét sơ cấp quan trọng sau : Sk (x1 , x , , x k ) đa thức đa tuyến tính theo biến x i Do đó, để chứng minh định lý ta cần chứng minh đồng thức Amitsur – Levitzki cho ma trận đơn vị eij Ở eij ma trận vuông cấp n, có phần tử dòng i cột j 1, phần tử khác Chú ý tích: ⎧e eij.e kl = ⎨ il ⎩0 j = k j ≠ k 39 Lý thuyết đồ thị đưa vào theo cách sau Ta quan tâm đến đồ thị hữu hạn có hướng Giả sử A1, ,A 2n ma trận đơn vị Chúng ta định nghóa đồ thị có hướng Γ sau: Γ có n đỉnh P1, ,Pn với ma trận đơn vị Ai có cạnh ei cho: A i = e jk ei có điểm đầu Pj điểm cuối Pk Rõ ràng đồ thị Γ này, E số cạnh V số đỉnh có đẳng thức E = 2V e5 Q e1 P e4 e2 e3 e6 e7 Hình 2.1 Phép nhân ma trận đơn vị chứng tỏ tích Aσ (1) Aσ (2n) ma trận có phần tử vị trí (i, j) (tức phần tử dòng i cột j) khác dãy tương ứng cạnh eσ (1) eσ (2n) đường đơn giản từ Pi đến Pj Ở đây, đường đơn giản có nghóa cách từ Pi đến Pj dọc theo cạnh cho cạnh ngang qua lần (xem hình 2.1), ngang qua theo hướng thực Trong trường hợp đường đơn giản tồn tại, phần tử vị trí (i, j) Aσ (1) Aσ (2n) 40 Do đó, đồ thị cố định thứ tự cạnh, đường đơn giản = (e1 , , eE ) cho ta phép cạnh đồ thị Γ Ta định nghóa sgn( ) dấu phép Chú ý đồ thị có hướng, khái niệm đường đơn giản đường Euler Trong trường hợp đồ thị xét, ý phần tử vị trí (i, j) S2n (A1 , ,A 2n ) số đường Euler đến Pj với sgn( ) = với số đường Euler từ Pi từ Pi đến Pj với sgn( ) = −1 Thật ra, điều cho đồ thị tổng quát hơn, chẳng hạn như: 2.2.2.1 Định lý: Trong đồ thị có hướng Γ với E ≥ 2V Nếu P Q hai đỉnh cố định đồ thị Γ (P Q không thiết phân biệt) số đường Euler từ P đến Q với sgn( ) = với số đường Euler từ P đến Q với sgn( ) = −1 Như quan sát đây, định lý dẫn đến định lý sau đây: 2.2.2.2 Định lý: (Amitsur Levitzki) Với 2n ma trận vuông cấp n A1, , A 2n , với phần tử thuộc vành giao hoán có đơn vị bất kỳ, ta có S2n (A1, ,A 2n ) = Trước chứng minh định lý 2.2.2.1, có vài quan sát đơn giản sau nhớ lại hai định nghóa Trong đồ thị có hướng, đỉnh nối với hai đỉnh nối với nhiều cách Nếu P đỉnh đồ thị Γ bậc đỉnh P 41 định nghóa tổng số cạnh vào khỏi đỉnh P Một cạnh nối đỉnh P với tính lần Từ trở sau, giả sử đồ thị Γ đỉnh có bậc Lý cho giả sử tính liên thông đồ thị cần thiết cho tồn đường Euler • Các nhận xét: Giả sử hai cạnh e e* Γ có điểm đầu có điểm cuối Khi định lý 2.2.2.1 đồ thị Γ Để thấy điều này, nhận xét với đường Euler thể tạo đường Euler * nào, có cách hoán chuyển vị trí e e* đường Euler Bởi thực chuyển vị trí mà chuyển vị trí tương đương với việc thêm vào – chu trình cho phép tương đương với thay đổi dấu phép này, sgn( ) = − sgn( * ) Định lý 2.2.2.1 đồ thị Γ không liên thông đường Euler nối tất đỉnh đồ thị Γ Nếu định lý 2.2.2.1 cho trường hợp E = 2V định lý 2.2.2.1 cho trường hợp E > 2V Để thấy điều này, thay đổi đồ thị Γ cách đưa vào k = E − 2V đỉnh k = E − 2V cạnh hình 2.2, để có đồ thị Γ* Ta có : E* = E + k = E + (E − 2V) = 2(E − V) V* = V + k = V + (E − 2V) = E − V Suy ra, đồ thị Γ* thỏa mãn điều kiện E* = 2V* 42 Có tương ứng – đường Euler từ P1 đến Q đồ thị Γ* đường Euler từ P đến Q đồ thị Γ , đường từ P1 đến Q đồ thị Γ* , đường từ P1 đến P luôn thực mà không cần phép Tương tự, đường từ P mở rộng để có đường từ P1 có số loại phép trước Tương ứng bảo toàn dấu sgn( ) e1 P1 e2 P2 ek Pk P3 P Γ Hình 2.2 Nếu định lý 2.2.2.1 cho trường hợp E = 2V với đỉnh K đồ thị Γ mà K có bậc vào bậc định lý 2.2.2.1 trường hợp tổng quát Để thấy điều này, ý với đỉnh K đồ thị Γ , mà K có bậc bậc vào có trường hợp không tầm thường tất đỉnh có bậc bậc vào, ngoại trừ P Q, P có bậc lớn bậc vào đơn vị Q có bậc nhỏ bậc vào đơn vị Hệ 1.2.10 đường Euler từ P đến Q trường hợp khác Bây định nghóa đồ thị Γ* cách thêm vào đồ thị Γ hai cạnh đỉnh hình 2.3 43 P Γ R Q Hình 2.3 Trong đồ thị Γ* , ta có: E* = 2V* Thaät vaäy, E* = E + , V* = V + Suy ra: 2V* = 2(V + 1) = 2V + = E + = E* (do E = 2V ) Rõ ràng, có tương ứng – đường Euler từ P đến Q đồ thị Γ đường Euler từ R đến R đồ thị Γ* Chúng ta thấy điều cách tương tự lý luận trước tương ứng đường đồ thị Γ* đồ thị gốc Γ Lần sgn( ) bảo toàn tương ứng Trở lại chứng minh định lý 2.2.2.1 Bởi nhận xét trên, giả sử đồ thị Γ có E = 2V với đỉnh K đồ thị Γ , K có bậc bậc vào Tất phép biến đổi đồ thị Γ thực bảo toàn điều kiện Bây tiến hành chứng minh quy nạp theo V, với V số đỉnh đồ thị Γ Với V = , định lý 2.2.2.1 tầm thường nhận xét phần Giả sử định lý 2.2.2.1 với V > Chúng ta chứng minh tất đồ thị có khả xảy rơi vào giả thiết ( E = 2V với đỉnh K đồ thị Γ , K có bậc bậc vào) phân 44 thành trường hợp Khi đó, đồ thị thỏa mãn giả thiết biến đổi thành đồ thị có đỉnh thỏa mãn giả thiết, dẫn đến trường hợp định lý • Trường hợp 1: Γ chứa cấu hình (configuration) hình 2.4 ( Γ có chứa khuyên) + Nếu P = B ý đường Euler phải bắt đầu kết thúc cạnh e2 Di chuyển cạnh e2 từ đầu cuối ngược lại, có tương ứng − * đường Euler Điều có nghóa đường Euler với dấu sgn( ) , có đường Euler với dấu − sgn( ) = sgn( * ) Vì định lý 2.2.2.1 trường hợp e2 e1 A B e3 C Hình 2.4 + Nếu P ≠ B , thay cấu hình chứa e1, e , e3 B cạnh đơn e hình 2.5, đồ thị Γ* Có tương ứng – đường Euler từ P đồ thị Γ đồ thị Γ* , đường từ A đến C phải qua e1 , e , e3 theo thứ tự đó, đó, loại bỏ cần thiết đỉnh B Tương ứng bảo toàn sgn( ) trường hợp phần A C hoán vị Mặt khác, Γ* có đỉnh 45 Γ , áp dụng giả thiết quy nạp ta có định lý 2.2.2.1 cho đồ thị Γ* cho đồ thị Γ e A C Hình 2.5 • Trường hợp 2: Γ có đỉnh bậc Vì E > V nên không xảy trường hợp tất đỉnh có bậc Bởi nhận xét trên, giả sử Γ liên thông Do Γ chứa cấu hình 2.6, với đỉnh A có bậc lớn e’ e A C B e1 ek Hình 2.6 Với cạnh ei , i = 1, , k có đỉnh cuối A, ta định nghóa đồ thị Γ i cách biến đổi hình 2.7 Phần đồ thị Γ không không đổi e e’ A e1 ei−1 e i+1 B ek ei C 46 Hình 2.7 Trong đường Euler đồ thị Γ , cạnh ei phải đứng trước e Hệ đường đường Euler đồ thị Γ i Hơn nữa, đường không đường Euler đồ thị Γ j với j ≠ i , đồ thị Γ j cạnh e j đứng trước e Ngược lại, chứng minh đường Euler đồ thị Γ i đường Euler đồ thị Γ Để thấy điều tách đỉnh B đồ thị Γ i làm hai đỉnh A0 B, với A0 B nối với cạnh e, nối đỉnh A0 với đỉnh A cho đồ thị Γ Do tương ứng nên để chứng minh định lý 2.2.2.1 ta cần chứng minh cho đồ thị Γi Nhưng Γi lại thỏa mãn điều kiện trường hợp • Trường hợp 3: Các trường hợp khác Vì đỉnh K đồ thị Γ , K có bậc bậc vào, nên K phải có bậc chẵn Suy đỉnh có bậc lớn (vì không thỏa mãn trường hợp 2) Nhưng bậc trung bình đỉnh E V = , cạnh có đầu mút Điều dẫn đến đỉnh có bậc Do đó, đồ thị Γ chứa cấu hình 2.8 e3 e1 e7 e4 A e2 B e5 Hình 2.8 e6 47 Bây thử áp dụng cách xây dựng trường hợp Điều cho đồ thị Γ i với i = 1;2 hình 2.9 Ở đây, giả sử i0 = i = i0 = i = e4 e3 ei e7 B A ei0 e6 e5 Hình 2.9 Như trường hợp 2, đường Euler đồ thị Γ đường Euler đồ thị Γ1 đường Euler đồ thị Γ Tuy nhiên, ý có đường đồ thị Γ i mà vào đỉnh B cạnh ei , sau khỏi B cạnh e6 e7 mà không quanh e4 Những đường đường Euler đồ thị Γ Tuy nhiên, tất đường chứa đường e5e4e j với j = j = Kết đường đường Euler đồ thị Γ j0 , j = 6;7 hình 2.10 Ở j0 = j = j0 = neáu j = e3 e j0 e4 e1 ee22 ej AA B e5 Hình 2.10 48 Bây giờ, đường Euler đồ thị Γ i với i = 1, , đường Euler đồ thị Γ đồ thị Γ j0 với j = 6, Áp dụng trường hợp cho đồ thị Γ i trường hợp cho đồ thị Γ j0 , ta định lý 2.2.2.1 đồ thị Γ P Hình 2.11 Cuối cùng, chứng tỏ điều kiện E ≥ 2V thật cần thiết cho định lý 2.2.2.1 Xét đồ thị Γ hình 2.11 Ở E = 2V − hiển nhiên có đường Euler từ đỉnh P đến đỉnh P 49 §3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ AMITSUR – LEVITZKI VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐẠI SỐ M n (K) 2.3.1 Định nghóa: Cho A đơn tâm hữu hạn chiều trường K Một trường F/K gọi trường chẻ A A F = F ⊗K A ≅ M n (F) 2.3.2 Định lý: Bao đóng đại số K K trường chẻ A Nếu A ≅ M r (Δ ) với Δ đại số chia F trường tối đại Δ F trường chẻ A Chứng minh: Với trường F K, A F đại số F Nếu A đại số đơn tâm hữu hạn chiều A F đơn tâm hữu hạn chiều với ⎡ A F : F⎤ = ⎡ A : K ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ định lý Wedderburn ta có A F ≅ M n (Δ) với Δ đại số chia F Nếu F = K có đại số chia hữu hạn chiều F K Khi A K ≅ M n (K) Do K trường chẻ Để thấy khẳng định thứ hai định lý ta cần dùng đến phép chứng minh định lý Kaplansky – Amitsur Ở đó, chứng minh A đại số dày đặc phép biến đổi tuyến tính V , với Δ đại số chia F trường tối đại Δ Δ A' = FL A đại số dày đặc phép biến đổi tuyến tính V Áp dụng vào trường hợp đặc biệt A đơn tâm hữu hạn chiều, ta có F thể lấy V hữu hạn chiều Δ Δ hữu hạn chiều K Ta coù 50 A' = FL A ≅ F ⊗K A Mà A' đại số đầy đủ phép biến đổi tuyến tính V Do đó, [ V : F] = n F ⊗K A ≅ M n (F) F 2.3.3 Heä quả: Số chiều đại số đơn tâm hữu hạn chiều số phương 2.3.4 Định lý Kaplansky – Amitsur – Levitzki: Một đại số nguyên thủy A thỏa mãn đồng thức thực A đại số đơn hữu hạn chiều tâm Nếu d bậc tối tiểu đồng thức thực đại số A d = 2n (d chẵn) [A:C] = n , với C tâm A Hơn nữa, A thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc Sd Chứng minh: (⇒) Áp dụng định lý Kaplansky – Amitsur ta có kết (⇐) Ngược lại, A đại số đơn hữu hạn chiều tâm C theo hệ 2.3.3 ta có [ A : C] = n ta có trường chẻ F cho F ⊗C A = M n (F ) Theo định lý Amitsur – Levitzki, ta có M n (F) thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc S2 n , nên F ⊗C A thoả mãn đồng thức chuẩn tắc S2 n Mặt khác, tính đa tuyến tính S2 n nên A thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc S2 n Định lý chứng minh xong 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Chúng, Graph giải toán phổ thông, NXB Giáo dục – 1996 [2] Hoàng Chúng, Đại cương toán học hữu hạn, NXB Giáo dục – 1997 [3] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2000 [4] Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức sở graph hữu hạn, NXB Giáo dục – 2002 [5] Nguyễn Hữu Ngự, Lý thuyết đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2000 [6] Nguyễn Duy Thuận, Toán Cao Cấp A1, NXB Giáo dục – 2000 [7] Bùi Tường Trí, Đại số tuyến tính, Tài liệu lưu hành nội Trường ĐHSP Tp.HCM – 1997 Tiếng Anh [8] Nathan Jacobson, PI Algebras an Introduction, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York – 1975 ... n (K) lý thuyết đồ thị 29 §1 Định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) 29 §2 Chứng minh định lý Amitsur – Levitzki đồng thức đại số M n (K) lý thuyết đồ thị 31 2.2.1 Chứng. .. 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ AMITSUR – LEVITZKI VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐẠI SỐ M n (K) BẰNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Trong chương trình bày định lý Amitsur – Levitzki chứng minh chúng hai cách: dựa theo cách chứng. .. (K) Một cách chứng minh sơ cấp k? ??t với n Rowen chứng minh gần R Swan sử dụng lý thuyết đồ thị để chứng minh đồng thức Amitsur – Levitzki 31 §2 CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ AMITSUR – LEVITZKI VỀ ĐỒNG NHẤT