Bước chuyển từ số học sang đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Huyền BƢỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƢỜNG HỢP KHÁI NIỆM PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Huyền BƢỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƢỜNG HỢP KHÁI NIỆM PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lí luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Đỗ Thị Huyền LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Lê Thị Hồi Châu, người tận tình hướng dẫn động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, cô Vũ Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Tăng Minh Dũng giảng didactic bổ ích Tơi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 để tơi có hướng tốt nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Claude Comiti GS.TS Annie Bessot lời góp ý cho đề cương luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Xin kính chúc q thầy dồi sức khỏe hạnh phúc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn anh chị lớp Didactic tốn khóa 26 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THCS Bình Chuẩn (Bình Dương) tồn thể học sinh lớp 9A1 giúp tơi hồn thành tốt thực nghiệm Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành khóa học Người thực Đỗ Thị Huyền MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình MỞ ĐẦU Chƣơng TỔNG QUAN VỀ BƢỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ VÀ ĐẶC TRƢNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG 1.1 Vài nét đặc trưng Số học Đại số 1.2 Một vài kết nghiên cứu bước chuyển từ Số học sang Đại số dạy học 10 1.3 Khái niệm phương trình tương đương 16 1.4 Các định lý phương trình tương đương 17 1.5 Phương trình tương đương mối liên hệ với phép tương đương 18 Chƣơng MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ BƢỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƢỜNG HỢP PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG 20 3.1 Các phép toán biểu thức quy tắc biến đổi đẳng thức lớp 20 3.2 Các phép toán biểu thức quy tắc biến đổi đẳng thức lớp 22 3.2.1 Phép toán biểu thức 22 3.2.2 Quy tắc biến đổi đẳng thức 25 3.3 Các phép toán liên quan đến đa thức phân thức đại số SGK Đại số 29 3.3.1 Phép nhân phép chia đa thức 29 3.3.2 Phân thức đại số SGK 31 3.4 Phương trình tương đương (PTTĐ) SGK Đại số 8: 34 3.4.1 Phân tích SGK 34 3.4.2 Các tổ chức toán học liên quan đến PTTĐ SGK đại số 52 3.4.3 Tiểu kết phần nghiên cứu sách giáo khoa 52 3.5 Kết luận chương 53 Chƣơng THỰC NGHIỆM 56 4.1 Đối tượng thực nghiệm 56 4.2 Mục đích thực nghiệm 56 4.3 Các toán thực nghiệm 56 4.4 Kịch dạy học 58 4.5 Phân tích tiên nghiệm 61 4.6 Phân tích hậu nghiệm 78 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : Giáo viên HS : Học sinh Nxb : Nhà xuất SGK : Sách giáo khoa (Đại số) SGV : Sách giáo viên (Đại số) SBT : Sách tập BTĐS: Biểu thức đại số PTĐS: Phân thức đại số ĐS : Đại số SH : Số học THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông tr : Trang PT : Phương trình TCTH : Tổ chức toán học KNV : Kiểu nhiệm vụ PTTĐ : Phương trình tương đương SL Số lượng : DANH MỤC HÌNH Hình 1 Mơ hình phát triển liên tục kiến thức việc hiểu khái niệm đại số 13 Hình Lời giải tốn nhóm sử dụng quy tắc ứng với chiến lược S biến đổi 80 Hình Lời giải tốn nhóm khơng sử dụng quy tắc ứng với chiến lược S biến đổi tương đương chiến lược Sxét tập nghiệm 81 Hình 3 Lời giải tốn nhóm sử dụng quy tắc ứng với chiến lược 82 Hình Lời giải tốn 2, nhóm 84 Hình Lời giải tốn 2, nhóm 86 Hình Lời giải sai tốn 2, nhóm 86 Hình Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (1) (1c) 87 Hình Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (2) (2a), (3) (3c) 87 Hình Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (4) (4a), (5) (5c) 88 Hình 10 Lời giải học sinh, toán 89 DANH MỤC BẢNG Bảng 1 Tổng hợp đặc trưng số học đại số 10 Bảng Thống kê quy tắc thực phép toán BTĐS yếu tố công nghệ tương ứng SGK 23 Bảng 2 Thống kê quy tắc thực phép toán với PTĐS yếu tố công nghệ tương ứng 33 Bảng Thống kê KNV liên quan đến PTTĐ SGK đại số tập 52 Bảng Bảng phương trình đề toán 56 Bảng Các đáp án dùng chiến lược S biến đổi 63 Bảng 3 Các đáp án dùng Chiến lược S biến đổi tương đương 64 Bảng Các đáp án dùng chiến lược S biến đổi 66 Bảng Các đáp án dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 67 Bảng Các lời giải dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 67 Bảng Các đáp án dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 70 Bảng Thống kê số lượng nhóm sử dụng quy tắc R1, R2, R3 79 Bảng Thống kê câu trả lời học sinh theo chiến lược 79 Bảng 10 Các chiến lược học sinh toán 83 MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong lịch sử toán học, bước chuyển từ số học sang đại số, tương ứng với việc chuyển từ tính tốn biểu thức số sang biểu thức chữ, ví cách mạng Để biểu diễn đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định, người ta dùng kí hiệu chữ thực tính tốn chúng tương tự đại lượng biết Điều không tạo thuận lợi cho việc tìm đại lượng chưa biết mà cịn cho phép làm tăng khả tính tốn giảm đáng kể khối lượng công việc cần phải làm Phân tích lợi ích lớn lao việc sử dụng hệ thống ký hiệu, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) rằng: trước người ta phải viện dẫn ngơn ngữ hình học để giải nhiều tốn Đại số, kể từ hệ thống ký hiệu đời, Đại số phát triển độc lập với Hình học Thậm chí, nhìn thấy sức mạnh việc tính tốn chữ mà Descartes Fermat nảy sinh ý tưởng đại số hóa Hình học, xây dựng nên tảng Hình học Giải tích [3, tr.29 - 42] Tuy nhiên, dạy học bước chuyển lại khơng dễ dàng với học sinh Những tính tốn hình thức nhiều thực với điều kiện chữ, nhiều quy tắc tính tốn lại tương tự số học Một đối tượng quan trọng đặc trưng Đại số phương trình Mỗi phương trình Đại số đại diện cho số lượng lớn tốn số học Để tìm tập hợp nghiệm phương trình buộc phải cần đến phép biến đổi tương ứng phương trình Nhưng khơng phải phép biến đổi phương trình hồn tồn thực biến đổi đẳng thức số tiếp cận trước Mà chúng có khác biệt điều kiện tồn biểu thức chứa chữ Để giải phương trình ta thường biến đổi phương trình cho phương trình đơn giản biết cách giải Nếu phép biến đổi không làm thay đổi miền xác định phương trình tạo phương trình tương đương với phương trình ban đầu, cịn thay đổi miền xác định tập hợp nghiệm phương trình cho bị thay đổi Vậy vai trị phương trình tương đương việc tìm lời giải? Phải đối tượng trung gian trình tìm lời giải cho phương trình hay cịn cơng cụ giúp HS thấy 82 Hình 3 Lời giải tốn nhóm sử dụng quy tắc ứng với chiến lƣợc S biến đổi chiến lƣợc Sxét tập nghiệm Chúng tơi khơng thấy nhóm sử dụng chiến lược Sxét tập nghiệm cho toán Từ kết cho thấy rằng, nhóm nối phương trình bên trái tương đương với phương trình bên phải biến đổi em không quan tâm đến điều kiện mà cố gắng biến đổi cho xuất phương trình bên phải Do đó, qua làm học sinh, nhận định em chưa quan tâm đến điều kiện biến đổi tương đương phương trình Hơn số học sinh cho hai phương trình tương đương có biến đổi theo quy tắc R1, R2, R3 gấp đôi số học sinh cho chúng không tương đương Điều thể ảnh hưởng mạnh mẽ việc biến đổi hình thức, nghĩa coi biểu thức chữ số cụ thể Nói cách khác HS dậm chân giai đoạn Tiền đại số, chưa thực bước sang giai đoạn Đại số Trong đó, để giải tốn nêu trên, việc hiểu rõ vận dụng phép toán, khái niệm (mang đặc trưng Đại số) PTTĐ phép biến đổi tương đương thực cần thiết Như vậy, giả thuyết kiểm chứng 83 b Sự tiến triển việc quan tâm đến điều kiện phép biến đổi tạo PTTĐ Bắt đầu pha 2a, chúng tơi cho học sinh trình bày lời giải trước lớp dựa làm phiếu số Qua đó, cho thấy đa số nhóm cố gắng biến đổi phương trình cột trái thành phương trình cột phải quy tắc quen thuộc biến đổi phương trình (trong chứa quy tắc R1, R2, R3) không quan tâm đến điều kiện phép biến đổi (phạm vi hợp thức quy tắc trên) Ở cuối pha 1, thấy số phương trình khơng nối, GV đặt câu hỏi “Tại khơng nối phương trình (1) (1c), (2) (2a)…?”, có 3/6 nhóm cho khơng biến đổi từ phương trình cột trái thành phương trình cột phải được, 2/6 nhóm im lặng khơng có lời giải thích Ở cuối pha 2a, nhận xét giải bạn Bình, có nhóm phát lời giải Bình khơng (có lời giải thích thỏa đáng) nhóm cho Bình sai khơng giải thích được, cịn lại nhóm ln cho Bình Bảng 10 Các chiến lƣợc học sinh toán Chiến lược Chiến lƣợc S biến đổi Chiến lƣợc S biến đổi tƣơng đƣơng Số lượng (nhóm) 3 Trong lúc thảo thuận riêng nhóm, chúng tơi ghi nhận số giải thích HS nhóm đây: Câu 2a: “Học sinh 1: Tối giản hai bị nghiệm Học sinh 2: Vậy, chuyển sang đặt nhân tử chung… Học Sinh 2: Vậy hồi trình bày bảng sai rồi… Học sinh 1: Rồi, rồi… giải lại đi…” Câu 2b: “… Học sinh 2: Giải sai rồi…mất nghiệm 84 Học sinh 2: Cái bình phương (HS vào số mũ) số số âm số dương có đâu… Học sinh 1: Vậy chuyển qua dùng đẳng thức số đó…” Câu 2c: “Học sinh 1: Bước chuyển vế sang rồi” Học sinh 1: Chuyển vế sang rút gọn lại x  dùng đẳng thức số 3, tìm x  với x  1 … Học sinh 2: À, bỏ x  thay vào mẫu kìa…” Sau kết tốn 2, nhóm 1: Hình Lời giải tốn 2, nhóm Nhận xét: Khi yêu cầu toán đề cập đến giải phương trình, HS phát thiếu nghiệm nên dần thấy việc chia hai vế phương trình cho x  làm nghiệm, HS chưa điều kiện để phép chia thực giá trị x  phải khác Nhưng qua nhóm số 2, chúng tơi thấy HS nhận rõ điều Sự tiến triển nhận thức HS qua toán điều kiện 85 phép biến đổi tạo PTTĐ qua toán khớp với dự đoán ban đầu phân tích tiên nghiệm chúng tơi Sau đoạn đối thoại làm nhóm Câu 2a: “Học sinh 1: Chia hai vế cho x  bị nghiệm ta đâu biết hay khác đâu Học sinh 1: ví dụ nha, 2.x  2.4 gạch bỏ ta có x  khơng? Cịn 0.x  0.4 x  có không? Rõ ràng với x mà… Học sinh 2: Vậy, chuyển sang đặt nhân tử chung… Học sinh 1: Rồi… giải lại đi…Tuấn Anh giải câu nha…” Câu 2b: “… Học sinh 2: Sai rồi, số âm hay dương bình phương lên hết nên đưa vế dùng đẳng thức số đi….” Câu 2c: “Học sinh 1: Sai thiếu điều kiện xác định để phân số ( khác 1, mà bên có x kìa, loại đi…” ) xác định, x x 1 86 Hình Lời giải tốn 2, nhóm Bên cạnh đó, tồn lời giải mà HS không phát sai lầm cho Bình giải Hình Lời giải sai tốn 2, nhóm Pha 2b: Để chứng minh lời giải khác đúng, làm tăng tính thuyết phục nhóm chưa đưa lời giải đúng, GV yêu cầu HS giải thích “làm để biết x  2; x  1 nghiệm phương trình 2a 2b?” Một ba nhóm đưa lời giải khác (nhóm 2) lấy giá trị x khác lời giải Bình để vào phương trình ban đầu, việc đưa đẳng thức thuyết phục nhóm cịn lại Trên sở đó, GV tiến hành phát biểu thành quy tắc với 87 phạm vi hợp thức tương ứng, đồng thời dẫn dắt HS lời giải khác cho dạng phương trình câu 2a, 2b Riêng phương trình 2c, HS dễ dàng chấp nhận giá trị x  vốn có sẵn Qua việc cho HS nhận xét tính sai tốn phát biểu lại quy tắc có điều kiện kèm, đa số HS sử dụng chiến lược Sbiến đổi tương đương để xét tương đương hai phương trình Thật vậy, GV sửa lại toán cho HS, GV yêu cầu HS vận dụng quy tắc vừa hợp thức để làm lại Hình Quá trình biến đổi tƣơng đƣơng để nối phƣơng trình (1) (1c) Hình Quá trình biến đổi tƣơng đƣơng để nối phƣơng trình (2) (2a), (3) (3c) Các cặp phương trình cịn lại thực tương tự, bao gồm phương trình (4) (4a), (5) (5c) 88 Hình Quá trình biến đổi tƣơng đƣơng để nối phƣơng trình (4) (4a), (5) (5c) Quá trình biến đổi tương đương phương trình cuối pha diễn sôi hào hứng HS khắc sâu quy tắc “có thể nhân hay chia vào hai vế phương trình với biểu thức chữ có giá trị khác khơng để tạo phương trình tương đương” Điều có biến đổi phương trình dịng dòng 5, cụ thể: Dòng 1:  x  3 x  1    x  3    x  3  x  1  với x  Dòng 5:  x  8  x2  8x  19     x    x  2  3    x      x    x2  1    với  x  42   Như vậy, thông qua pha 2, HS biết sử dụng chiến lược Sbiến đổi tương đương để giải toán điều khiển GV Ở pha 3, kết làm cá nhân HS tốn cho thấy có 26/33 HS lớp vận dụng Sbiến đổi tương đương để giải phương trình, ghi nhận từ làm HS: 89 Hình 10 Lời giải học sinh, tốn c Kết luận Ở pha 1, đa số HS (chiếm 67%) vận dụng quy tắc R1, R2, R3 để xét tương đương hai phương trình khơng quan tâm đến điều kiện q trình biến đổi Qua hai pha 2a, 2b rõ ràng HS có bước chuyển nhận thức việc quan tâm đến điều kiện biến đổi phương trình để tạo PTTĐ Ở pha 3, đa số HS (chiếm 79%) có ý thức quan tâm đến điều kiện ứng với quy tắc R1, R2, R3 biến đổi phương trình 90 KẾT LUẬN Trong chương 1, chúng tơi trình bày đặc trưng SH ĐS để thấy bước chuyển chúng trình dài lịch sử thực tế dạy học Sự phát triển ĐS đánh dấu bước ngoặt quan trọng Tốn học Tuy nhiên, khơng thể phủ nhận khó khăn từ chuyển đổi tạo Việc phân tích, tổng hợp kết có cơng trình nghiên cứu từ thực tế dạy học phép biến đổi biểu thức phương trình cho thấy tồn sai lầm tính tốn hình thức tạo nên Đặc biệt cần thiết kiến thức tiền đại số Nhờ mà khái niệm phức tạp ĐS phát triển cách có tuần tự, đầy đủ Thật vậy, đặc trưng giảng dạy tiền đại số bao gồm việc sử dụng chữ ẩn số phương trình, sau biến biểu thức, phép nghịch đảo sử dụng để tìm ẩn số phương trình tuyến tính Dấu “=” dùng để hai vế phương trình có giá trị, tạo nối khớp nghĩa kí hiệu số học với đại số, thuận lợi cho lĩnh hội quan hệ tương đương đại số Trong chương 2, tiến hành phân tích giáo trình (ứng với bậc THCS Việt Nam) để vai trò TCTH liên quan đến PTTĐ xác định mối quan hệ cá nhân HS PTTĐ phép biến đổi tương đương giai đoạn chuyển giao từ SH sang ĐS Từ đó, chúng tơi có sở để đưa giả thuyết nghiên cứu “H: Học sinh gặp khó khăn việc phân biệt khác tính tốn biểu thức số biểu thức chữ (phép chia đa thức, lũy thừa, rút gọn phân thức) Nó thể việc vận dụng quy tắc biến đổi đẳng thức số vào biến đổi số phương trình đặc biệt dẫn đến sai lầm liên quan đến ba quy tắc R1, R2, R3, cụ thể: “+ Quy tắc R1: A( x)  B( x)  A( x)  C ( x)  B( x)  C ( x) Lược bỏ A(x) hai vế phương trình mà khơng tính đến điều kiện tồn A(x) + Quy tắc R2: A( x).B( x)  A( x).C( x)  B( x)  C( x) Chia hai vế phương trình cho A(x) khơng tính đến điều kiện A( x)  + Quy tắc R3: A( x)m  B( x)m  A( x)  B( x) Đồng hai số hai lũy 91 thừa mà không phân biệt mũ chẵn hay lẻ.” Giả thuyết kiểm chứng thông qua thực nghiệm chương Như vậy, xây dựng tình mà qua HS nhìn lại sai lầm tồn đọng liên quan đến biến đổi phương trình Đồng thời làm thay đổi mối quan hệ cá nhân HS với PTTĐ phép biến đổi tương đương Chúng hy vọng nghiên cứu giúp ích cho GV HS giảng dạy học tập 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hoá để phát triển lực hiểu biết định lượng học sinh lớp 10, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Lê Thị Hồi Châu (2008), Phương pháp dạy - học hình học trường phổ thơng, Giáo trình lưu hành nội khoa Tốn - Tin Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Annie Bosset, Claude Comiti (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập 1, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (2016), Toán Tập SBT, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SGV, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập 2, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SBT, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (2016), Toán Tập SGV, Nxb Giáo dục 10 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập 1, Nxb Giáo dục 11 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SBT, Nxb Giáo dục 12 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SGV, Nxb Giáo dục 13 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập 2, Nxb Giáo dục 14 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SBT, Nxb Giáo dục 15 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SGV, Nxb Giáo dục 16 Phan Đức Chính (2016), Toán Tập 1, Nxb Giáo dục 17 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SBT, Nxb Giáo dục 18 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SGV, Nxb Giáo dục 19 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập 2, Nxb Giáo dục 20 Phan Đức Chính (2016), Toán Tập SBT, Nxb Giáo dục 21 Phan Đức Chính (2016), Tốn Tập SGV, Nxb Giáo dục 22 Hoàng Chúng tác giả dịch (1999), Từ điển Tốn học 23 Hồng Chúng (2001), Phương pháp dạy học số học đại số trường trung học sở, Nxb Giáo dục 93 24 Lâm Thị Ngọc Dung (2009), nghiên cứu didactic phép kéo theo phép tương đương dạy học toán trung học sở, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 25 Phạm Hải Dương (2011), nghiên cứu didactic phương trình bậc hai chứa tham số lớp 9, 10, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh 26 Phạm Gia Đức, Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung mơn tốn, Nxb Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh 27 Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc (2005), Phương pháp giải Toán Đại số, Nxb Đại học Sư phạm 28 Hoàng Thị Hồng Hà (2016), Bước chuyển từ số học sang đại số dạy học toán trung học sở: Trường hợp phân thức đại số, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 29 Đồn Hữu Hải (2001), Giảng dạy hình học khơng gian đầu THPT mối liên hệ với hình học phẳng, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 30 Lê Thanh Hải (2009), Tiếp cận khái niệm phương trình phép biến đổi phương trình bậc ẩn trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 31 Nguyễn Thị Nhung (2012), Một nghiên cứu didactic dạy học hệ bất phương trình bậc hai ẩn, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 32 Đỗ Thất Thắng, (2009), nghiên cứu didactic phép kéo theo phép tương đương dạy học tốn trung học phổ thơng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 33 Nguyễn Thùy Trang (2006), Algorit tham số dạy- học phương trình trường trung học phổ thơng Trường hợp: hệ phương trình bậc nhiều ẩn, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 34 Trịnh Duy Trọng (2009), Cuộc sống ngầm ẩn tính tốn đại số dạy học hàm số trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP.HCM 94 Tiếng Anh 35 Kieran C (1990), “Cognitive processes involved in learning school algebra”, Mathematics and cognition: A research synthesis by the International group for the psychology of mathematics Education, pp 96-112 36 Collis K F (1974), “Cognitive development and mathematics learning”, Paper prepared for the Psychology of Mathematics Education Workshop 37 Pillay H & Wilss L & B-Lewis G (1998), “Sequential Development of Algebra Knowledge: ACognitive Analysis”, Mathematics Education Research Journal, 10, (2), pp.87-102 38 Boulton-Lewis G M & Cooper T J & Atweh B & Pillay H & Wilss L A & Mutch S J (1995), “Concrete representations and strategies for solving linear equations”, Galtha, pp 121-127 39 Linchevski L (1995), “Algebra with numbers and arithmetic with letters: A definition of pre-algebra”, Journal of Mathematical Behaviour, 14, pp.113-120 40 Scandura J M (1971), “Mathematics: Concrete behavioural foundations”, New York, NY: Harper and Row 41 Linchevski L & Herscovics N (1996), “Crossing the cognitive gap between arithmetic and algebra: Operating on the unknown in the context of equations”, Educational Studies in Mathematics, 3D, pp.39-65 42 Booth L R (1988), “Children's difficulties in beginning algebra”, The tdeas of algebra, pp 20-32 43 Filloy E & Rojano T (1989), Solving equations: the transition from Arithmetic to Algebra, 9, pp.19-26 PL1 PHỤ LỤC PHIẾU SỐ Bài 1: Trong phương trình cột bên phải, nối tất phương trình mà em cho tương đương với phương trình cột bên trái (1a) (3x  1)2   x   (1) (3x  1)2  5 1    x  2  (1b) (3x  1)2  x  1   x    x  1 ;  x   4  4x 1 4x 1 (1c) x3  3x2  x   (2) ( x  4)( x2  x  6)  ( x  4)( x  1)   (2a) x  x   x      (2b)  x   x  x   (2c) x  x   x  (3) ( x  1)(3x  8x  5)  ( x  1)( x  1) 2   (4) x2  x    x  1 2    (3a) x2  x  x   (3b) 3x  8x   x  (3c)  x  1 x  3    (4a) x2  10 x  24  x  1    (5)  x  5    x   (4b) x  x  x  x   (4c) x2  x   x    (5a)  x  8 x2  x  19  (5b) x    x   (5c)  x   x   Giải thích ý kiến em theo mẫu : Phương trình (1) phương trình ( ) tương đương, Phương trình ( ) phương trình ( ) tương đương, Phương trình ( ) phương trình ( ) tương đương, PL2 PHIẾU SỐ Bài 2: Cho phương trình: a) ( x  2)( x  x)  ( x  2)(2 x  3) b)  x      x  2 1 c) x   1 x 1 x 1 Bạn Bình giải ba phương trình sau: a) ( x  2)( x  x)  ( x  2)(2 x  3) b)  x  2    x 2 c) x    x 1 x 1  x2  x  x   3x    x  x  4x    x  8  x  hay x   x  4 S  1;3 S  4 1  1 x 1 x 1  x2   x2   x  hay x  1 S  1;1 Hãy xét tính sai lời giải Bình giải thích ý kiến em PHIẾU SỐ Bài 3: Hãy giải phương trình sau đây: x   x  16  x  1  2  x  3 11 12    x   3x    5( x  4) 5(2 x  3)  x  3 x   ... quan đến bước chuyển từ số học sang ĐS THCS: Hoàng Thị Hồng Hà (2016), Bước chuyển từ số học sang đại số dạy học toán trung học sở: trường hợp phân thức đại số, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư... Phương pháp dạy học số học đại số trường trung học sở, NXB Giáo dục - Hoàng Thị Hồng Hà (2016), Bước chuyển từ số học sang đại số dạy học toán trung học sở: trường hợp phân thức đại số, Luận văn... trưng Số học Đại số, đôi nét ảnh hưởng từ trình chuyển đổi từ Số học sang Đại số trình dạy học, cách phân tích tổng hợp kết nghiên cứu có từ vài cơng trình nghiên cứu khoa học giáo trình đại học