SO TAY TOAN HOC SO CAP

Một số ứng dụng của tích phân xác định a Tính diện tích hình phẳng Diện tích của hình giới hạn bởi đường cong y=fx và các đường y=0, x=a, x=b, trong đó y có cùng một dấu với mọi giá trị [r]

2008 Công Thức Toán Học Sơ Cấp Handbook of Primary Mathematics Tóm tắt các định lý, tính chất và công thức toán nhất, dễ hiểu Deltaduong TND® Corp 12/10/2008 Mục lục I SỐ HỌC Các dấu hiệu chia hết Các giá trị trung bình II GIẢI TÍCH KẾT HỢP A CÁC LOẠI KẾT HỢP Hoán vị (không lặp) Hoán vị lặp Chỉnh hợp (không lặp) 10 Chỉnh hợp lặp 10 Tổ hợp (không lặp) 11 Tổ hợp lặp 11 B NHỊ THỨC NEWTON 12 III ĐẠI SỐ 14 Các phép toán trên các biểu thức đại số 14 Tỷ lệ thức 17 Số phức 18 Phương trình 19 Bất đẳng thức và bất phương trình 24 Cấp số; số tổng hữu hạn 29 Logarith 30 IV HÌNH HỌC 31 A CÁC HÌNH PHẲNG 31 ii Tam giác 31 Đa giác 35 Hình tròn 37 Phương tích 39 B THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH 41 Hình lăng trụ 41 Hình chóp 41 Hình chóp cụt 41 Hình trụ 42 Hình nón 42 Hình nón cụt 42 Hình cầu 43 V LƯỢNG GIÁC 44 Hàm số lượng giác và dấu nó 44 Hàm số lượng giác số góc đặc biệt 45 Một số công thức đổi góc 46 Các công thức 46 Hàm số lượng giác góc bội 47 Công thức hạ bậc 48 Hàm số lượng giác tổng và hiệu các góc 48 Biến đổi tổng và hiệu hai hàm số lượng giác 49 Biến đổi tích hai hàm số lượng giác 50 10 Công thức góc chia đôi 51 iii 11 Một số công thức các góc tam giác ( là các góc tam giác) 52 12 Một số công thức khác 52 13 Công thức liên hệ các hàm số lượng giác 55 VI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 56 Điểm 56 Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) 56 Tọa độ cực (Hình 21) 57 Phép quay các trục tọa độ 57 Phương trình đường thẳng 58 Hai đường thẳng 58 Đường thẳng và điểm 59 Diện tích tam giác 60 Phương trình đường tròn 61 10 Ellipse (Hình 23) 61 11 Hyperbola (Hình 24) 63 12 Parabola(Hình 25) 65 VII ĐẠI SỐ VECTOR 67 Các phép toán tuyến tính trên các vector 67 Phép chiếu vector lên trục vector () 68 Các thành phần và tọa độ vector (Hình 34) 69 Các phép toán tuyến tính trên các vector cho nhờ các tọa độ 69 Tích vô hướng hai vector 69 iv Tích vector hai vector 71 Tích hỗn hợp ba vector 72 VIII ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 73 Giới hạn 73 Đạo hàm và vi phân 74 Ứng dụng hình học đạo hàm 77 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 77 IX PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 84 A TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 84 Định nghĩa 84 Các tính chất đơn giản 84 Tích phân các hàm hữu tỷ 85 Tích phân các hàm vô tỷ 87 Tích phân hàm lượng giác 90 B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 92 Định nghĩa 92 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 92 Một số ứng dụng tích phân xác định 92 v MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC =    < >    Bằng Đồng Không (khác) Xấp xỉ bẳng Nhỏ Lớn Nhỏ Lớn hoăc Tương đương |…| + (hoặc  ) : (hoặc ) Giá trị tuyệt đối số Cộng Trừ Nhân Chia am a lũy thừa m Căn bậc hai Căn bậc n Đơn vị ảo Logarith số a b Logarith thập phân a Logarith tự nhiên (cơ số e) a n giai thừa Tam giác Góc phẳng Cung Đoạn thẳng AB n i log a b lga lna n!    AB, AB  AB   Vector AB Vuông góc Song song a=b ab a b ab a<b a>b ab ab Mệnh đề A  mệnh đề B |a| a+b a-b a.b a  b a a:b b 2 4 2 32  2 i  1 log3  log10=1 4!=1.2.3.4=24 ABC  ABC  AB #     Song song và Đồng dạng Song song và cùng chiều     Song song và ngược chiều  độ   phút  góc phẳng cung giaây  ' ''   AB  DC   AB  CD 1310'35'' I SỐ HỌC Các dấu hiệu chia hết Cho 2: Số (và số đó) có chữ số tận cùng chẵn không Cho 4: Số (và số đó) có hai chữ số tận cùng không làm thành số chia hết cho (quy ước 4=04; 8=08) Cho 8: Số (và số đó) có ba chữ số tận cùng không làm thành số chia hết cho (quy ước 8=008; 16=016) Cho 3: Số (và số đó) có tổng các chữ số chia hết cho Cho 9: Số (và số đó) có tổng các chữ số chia hết cho Cho 6: Số (và số đó) đồng thời chia hết cho và Cho 5: Số (và số đó) có chữ số tận cùng là Cho 25: Số (và số đó) có hai chữ số tận cùng là làm thành số chia hết cho 25 Cho 11: Số (và số đó) có tổng các chữ số vị trí chẵn và tổng các chữ số vị trí lẻ hiệu chúng là số chia hết cho 11 Các giá trị trung bình a  a   an n   Trung bình cộng: M1  n n i 1 Trung bình nhân: M  n a1.a2 an Trung bình điều hòa: M 1  n 1    a1 a2 an a12  a22   an2 n Trung bình bình phương: M  II GIẢI TÍCH KẾT HỢP A CÁC LOẠI KẾT HỢP Hoán vị (không lặp) Một hoán vị n phần tử là dãy có thứ tự n phần tử đó, phần tử có mặt dãy đúng lần Số hoán vị khác tạo thành n phần tử ký hiệu là Pn Số này tích tất các số nguyên liên tiếp từ n, nghĩa là n! Pn=1.2.3…n=n! (n giai thừa) Quy ước 1!=1 và 0!=1 Hoán vị lặp Cho n phần tử, đó có n1 phần tử giống thuộc loại 1, n2 phần tử giống thuộc loại 2,… nk phần tử giống thuộc loại k, (n1+n2+…+nk=n) Sắp xếp n phần tử đã cho thành dãy (cùng độ dài) có thể có Mỗi dãy thu gọi là hoán vị lặp n phần tử đã cho Số lượng Pn  n1 , n2 , , nk  hoán vị lặp bằng: Pn  n1 , n2 , , nk   n n1 !n2 ! nk !  n1  n2   nk  n, k là số loại  Chỉnh hợp (không lặp) Cho n phần tử khác nhau, k  n Ta gọi chỉnh hợp chập k n phần tử là dãy có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, phần tử có mặt dãy không quá lần Số chỉnh hợp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: Ank  n  n  1 n    n   k  1   n  n  1 n    n  k  1 Hay Ank  n!  n  k ! Đặc biệt k=n, ta có Ank  n !  Pn Chỉnh hợp lặp Cho n phần tử khác nhau, có k là số tự nhiên ( k  n ) Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu mục ta cho phép phần tử có thể có mặt trên lần thì ta có định nghĩa chỉnh hợp lặp chập k Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo thành tử n phần tử: 10 Ank  nk Tổ hợp (không lặp) Từ n phần tử khác ta tạo nên nhóm gồm k phần tử khác không để ý đến thứ tự các phần tử nhóm tạo thành Mỗi nhóm thu theo cách đó gọi là tổ hợp chập k n phần tử đã cho ( k  n ) Số lượng tổ hợp chập k có thể thành lập từ n phần tử bằng: Ank n  n  1  n  k  1 C   k! k! k n n! = n(n-1)(n-2) Hay: Cnk  n! (quy ước Cn0  ) k ! n  k ! Các tính chất Cnk : Cnk  Cnnk ; (0.1) Cnk1  Cnk 1  Cnk ; (0.2) Cnk  Pn  k ; n  k  Tổ hợp lặp Nếu định nghĩa tổ hợp mục ta cho phép phần tử có mặt nhiều lần thì nhóm thu gọi là tổ hợp lặp chập k n phần tử đã cho Số các tổ hợp lặp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: 11 Cnk  Cnk k 1   n  k  1! k ! n  1! Hay: Cnk  Pn k 1  k ; n  1 B NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton1 là công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n nguyên dương, dạng đa thức theo các ẩn số a và b: a  b n n  n  1 n 2 a b  2! n  n  1  n  k  1 n k k  a b   b n k!  a n  na n 1b  Hay là:  a  b n n  a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b   Cnk a n k b k   b n   Cnk a n k b k k 0 Các hệ số: 1, n, n  n  1 n  n  1  n  k  1 , , ,   k  n  2! k! Gọi là các hệ số nhị thức Sir Isaac Newton, FRS (4 January 1643 – 31 March 1727) was an English physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist, theologian and one of the most influential men[5] in human history More… 12 Tính chất các hệ số: Các hệ số các số hạng cách hai mút nhau; Biết các hệ số Cnk 1 và Cnk khai triển  a  b  ta tìm n các hệ số Cnk1 khai triển  a  b  n 1 theo công thức (1.2) mục Dựa vào các tính chất này,người ta lập tam giác số cho các hệ số khai triển, gọi là tam giác Pascal: 1 1 1 10 15 10 20 1 15 Dòng thứ n(n=0,1,2,…) bảng trên liệt kê các hệ số khai triển (a+b)n Công thức nhị thức Newton có thể tổng quát cho trường hợp lũy thừa bậc n nguyên dương tổng k số hạng:  a1  a2   ak  n  n! a1n1 a2n2 aknk n1 !n2 ! nk ! Blaise Pascal (June 19, 1623 – August 19, 1662) was a French mathematician, physicist, and religious philosopher More… 13 Trong đó lấy tổng (  ) lấy theo số hạng có thể có dạng: n! a1n1 a2n2 aknk n1 !n2 ! nk ! Với  ni  n và n1  n2   nk  n III ĐẠI SỐ Các phép toán trên các biểu thức đại số Giá trị tuyệt đối số |a|=a a  0, |a|=-a a<0 Quy tắc dấu nhân và chia:                        Các phép toán trên các đa thức          a  b  c  x  ax  bx  cx;  a  b  c  m  n   a  m  n   b  m  n   c  m  n   am  an  bm  bn  cm  cn; abc a b c    x x x x Các phép toán trên các phân thức 14                a c ad  cd a/b + c/d = (a.d + c.b)/bd   ; a/b - c/d = (a.d - c.b)/bd b d bd a c ac  ; b d bd This is wrong "cb", not "cd" a c ad :  (m : a/b = m.b/a) b d bc Odd "+" Thua Một số đồng thức:  a  b   a  2ab  b ;  a  b   a  3a 2b  3ab  b3 ; a  b   a  b  a  b  ; a  b3   a  b   a  ab  b  ; a  b3   a  b   a  ab  b  ; a m  b m   a  b   a m 1  a m  2b   ab m   b m 1  ; a  b   a  b   2a b 2     a  2ab  b a  2ab  b ;  a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc;  a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc;  a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc;  a  b  c   a  b3  c3  6abc  3  a 2b  ab  b c  bc  c a  ca  ;  a1  a2   an   a12  a22   an2   a1a2  a1a3   an 1an  ; a m  b m   a  b   a m 1  a m  2b  a m 3b   b m 1  15 (nếu m là số tự nhiên lẻ) Các phép toán với lũy thừa a m  a a a m laàn am  a mn ; n a a m a n  a m  n ;  a.b  m a  m n  a mb m ;  a m n ; m am a  b  0 ;   bm b a  1,  a   ; am  ,  a  0 ; am m n a  n am Các phép toán với số (nếu có nghĩa) 16 n am  n a.b  n a n b ; n a na  , b  0 ; b nb n a a ; a  m.n a ;  a n a m p ; m n m m n n p m  n am ; x x n a n 1  ,  a  0 ; n a a   x a b x  , a  b a b a b Tỷ lệ thức a c Định nghĩa:  b d Tính chất bản: ad=bc Tìm các số hạng tỷ lệ thức: a  Các dẫn xuất: 17 bc ad ;b  d c a b d c d b a b cd  ;  ;  ;  ; c d b a c a b d ab cd ab cd  ;  ; a b c d a c a c b d  ;  ab cd ab cd Số phức Các phép toán trên số phức i  1 i  1, i  i i  i, i  i i  i.i  1, , i n  1, i n 1  i, i n   1, i n 3  i;  a  bi    a ' b ' i    a  a '   b  b ' i;  a  bi  a ' b ' i    aa ' bb '   ab ' ba ' i;  a  bi  a  bi   a  b ; a  bi aa ' bb ' ba ' ab '   a ' b ' i a '2  b '2 a '2  b '2 Biểu diễn hình học số phức Hình 18 Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1) r  OM  a  bi  a  b2 là module số phức   xOM là argument số phức, b a b tan   ;cos   ;sin   2 a a b a  b2 Dạng lượng giác số phức: a  bi  r  cos   i sin   Công thức Moivre3: r  cos   i sin    r n  cos n  i sin n  n Phương trình a) Phương trình tương đương Nếu biểu thức C(x) có nghĩa miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì: A x  B  x  A x   C  x   B  x   C  x  Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory He was elected a Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux More… 19 Nếu biểu thức C(x) có nghĩa và khác không miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì: A  x   B  x   A  x  C  x   B  x  C  x  Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì: A  x   B  x    A  x  n 1   B  x  n 1 b) Một số phương trình đại số  Phương trình bậc b ax+b=0, a  0; nghiệm x   a  Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a1 x  b1 y  c1  a2 x  b2 y  c2 Nếu   x        y     a1 b1 hệ có nghiệm nhất:  a2 b2 c1 b1 c2 b2 cb c b  2 a1 b1 a1b2  a2b1 a2 b2 a1 c1 a2 a1 c2 a1c2  a2 c1  b1 a1b2  a2b1 b2 a2 20 Nếu a1 b1 c1 thì hệ vô định:   a2 b2 c2   x tuøy yù    y  c1  b1 x  b1     b1    y tuøy yù   c b y   x  1  a1   a1   Nếu a1 b1 c1 hệ vô nghiệm   a2 b2 c2  Phương trình bậc hai ax2  bx  c  0, a  Nghiệm x  b  b  4ac 2a Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực và khác nhau; Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực và (nghiệm kép); Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm là cặp số phức liên hợp Tính chất nghiệm (công thức viết) b x1  x2   ; a c x1.x2  a 21  Phương trình bậc ba Dạng tổng quát: ax  bx  cx  d  0,  a   Dạng chính tắc với x  y  b 3a y3  py  q  Trong đó p   b2 c 2b3 bc d  ; q    3a a 27a 3a2 a Công thức Cardano4 q q p3 q q p3 y3       27 27 Tính chất các nghiệm b x1  x2  x3   ; a c x1 x2  x2 x3  x3 x1  ; a d x1.x2 x3   a Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler More… 22 c) Phương trình mũ và phương trình logarith  Phương trình mũ a  c,  a   x Với c>0, a  có nghiệm x  log a c; c=1, a=1 vô số nghiệm; c  1, a=1 vô nghiệm; c  vô nghiệm  Phương trình logarith log a x  c,  a  0, a  1 Với c phương trình có nghiệm x=ac d) Phương trình lượng giác cos x  m m  có vô số nghiệm x    2k ,   arccos m,0     ; |m|>1 vô nghiệm sin x  m m  có vô số nghiệm 23  x1    2k1   x2       2k2       arcsin m,      2  |m|>1 vô nghiệm tan x  m Với m thực có vô số nghiệm: x    k       arctan m,      2  cot tan x  m Với m thực có vô số nghiệm x    k   arc cot tan m,      Bất đẳng thức và bất phương trình a) Bất đẳng thức Định nghĩa: a  b  a  b   a  b     Các tính chất bản: Nếu a>b thì b<a; ngược lại a<b thì b>a Nếu a>b và b>c thì a>c Cũng vậy, a<b và b<c thì a<c 24 Nếu a>b thì a+c>b+c Nếu a>b bà c>d thì a+c>b+d Nếu a>b bà c<d thì a-c>b-d Nếu a>b và m>0 thì am  bm a b  m m Nếu a>b và m<0 thì am<bm Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd b) Bất phương trình  Bất phương trình tương đương A B B A A  B  C  A  B  C (với C có nghĩa miền xác định bất phương trình A  B ) Nếu C có nghĩa và >0 miền xác định bất phương trình A>B, thì: A  B  AC  B.C Nếu C có nghĩa và <0 miền xác định bất phương trình A>B, thì: A  B  AC  B.C Nếu B  miền xác định thì: A   A.B  B 25  Bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối Giả sử   , đó: F      F   ; F   F     F    B  x   A  x   B  x  A x  B  x    B  x     B  x    A  x   B  x  A  x   B  x      B  x    A  x    B  x     B  x    A  x   B  x    A  x     B  x   2  Bất phương trình bậc ẩn ax  b,  a   b b Nếu a>0 thì x  ; a<0 thì x  a a 26  Bất phương trình bậc hai ẩn ax  bx  c    b  4ac  nghiệm đúng với x;  b a  0, b  4ac  nghiệm đúng với x   2a    x  x1 b  4ac  nghiệm đúng với   x  x2  b  4ac  voânghieäm a  0,  b  4ac  nghiệm đúng với x1  x  x2 ; Ở đây x1, x2 là hai nghiệm thực tam thức bậc hai ax2  bx  c  Bất phương trình mũ và logarith Bất phương trình mũ a    a   với a>1 tương đương với bất phương trình A(x)>B(x); với 0<a<1 tương đương với bất phương trình A(x)<B(x) A x B x Bất phương trình logarith log a A  x   log a B  x  Với a>1 tương đương với hệ:  B  x     A  x   B  x  Với 0<a<1 tương đương với hệ: 27  A  x     A  x   B  x   Bất phương trình lượng giác cos x  m Với m  1 nghiệm đúng với x; Với m  vônghiệm; Với m  nghiệm đúng với    2k  x    2k , đó  arccos m,     sin x  m Với m  1 nghiệm đúng với x; Với m  vônghiệm; Với m  nghiệm đúng với   2k  x       2k , đó  arcsin m,      tan x  m với m nghiệm đúng với   k  x  đó  arctan m,        2k  1 , cot tan x  m với m nghiệm đúng với k  x    k , đó  arc cottan m,     28 Cấp số; số tổng hữu hạn  Cấp số cộng a1 , a2 , , an1 , an , a2  a1  d , a3  a1  2d , , an  a1   n  1 d Trong đó an là số hạng thứ n cấp số cộng, d là công sai Sn   a1  an  n  2a1   n  1 d  n 2 Trong đó Sn là tổng n số hạng đầu tiên cấp số (tổng riêng thứ n)  Cấp số nhân a1 , a2 , a3 , , an 1 , an , a2  a1q, a3  a1q , , an  a1q n1 Trong đó an là số hạng thứ n cấp số nhân, q là công bội Tổng riêng thứ n: Sn  a1  a2   an  a1 qn 1 ,  q  1 q 1 Sn  na1 ,  q  1 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  q  1 29 S a1 1 q  Một số tổng hữu hạn n  n  1  q  p  q  p  1 p   p  1    q  1  q  2      2n  3   2n  1  n      n  1  n       2n    2n  n  n  1 12  22  32    n  1  n  n  n  1 2n  1 n  n  1      n  1  n  n  n  1      2n  3   2n  1  2 3 2 13  33  53    2n  3   2n  1  n  2n  1 3      n  1  n  4 4 Logarith Định nghĩa: Cho N>0, 0<b, b  logb N  x  b x  N Tính chât 30 n  n  1 2n  1  3n  3n  1 30 log b  N1 N   log b N1  log b N ,  N1 N   ; log b N1  log b N1  log b N ,  N1 N   ; N2 log b N    log b N ,  N   ; log b  N   log b N ,  N   ; log b N  log b a.log a N ,  a  0, a  1, N   ; log b a  ,  a  0, a  1 log a b Logarith thập phân: lg N  x  10x  N  cô soá b  10  Logarith tự nhiên ln N  x  e x  N n  1 đó b  e  lim 1    2, 718281828 n   n IV HÌNH HỌC A CÁC HÌNH PHẲNG Tam giác a) Tam giác a là cạnh, h là đường cao, S là diện tích 31 a 3h  1,566h; 3 a  0,866a; a2 S  0, 433a ; h S  0,578h h b) Tam giác vuông Hình b và c là cạnh góc vuông; a là cạnh huyền;  và  là các góc nhọn; S là diện tích; h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền; b’, c’ là hình chiếu b và c lên cạnh huyền 32     90 ; a  b2  c2 ; b  a sin   a cos   c cot tan   c tan  ; S  bc; 2 c  c ' a '; b  b ' a; h  c ' b '; 1   2 h b c c) Tam giác thường a, b, c là các cạnh;  là các góc đối tương ứng với các cạnh; r, R là bán kính vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; p là nửa chu vi; S là diện tích Hình 33 a b c    R; sin  sin  sin  a  b  c  2bc cos  ; b  a  c  2ac cos  ; c  a  b  2ab cos  ;    tan cot tan ab  ;  a  b tan    tan    2   cos ab ;   c sin   sin a b ;   c cos S  p  p  a  p  b  p  c   pr  1 ab sin   ac sin   bc sin  ; 2 r   p  a  tan    p  b  tan  2b2  2c  a ; Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A: 34    p  c  tan ; 2 Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A: ma  abc  4R p  p  a  p  b  p  c   a ; Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A: ga  bcp  p  a  ; bc Tính chất đưởng phân giác (AI là phân giác góc A): BI IC  ; AB AC Trong tam giác, giao điểm ba đường phân giác là tâm vòng tròn nội tiếp, giao điểm ba đường trung trực là tâm vòng tròn ngoại tiếp Đa giác a) Hình vuông a là cạnh; d là đường chéo; S là diện tích d  0, 707 d ; d  2a  1, 414a; a S d  a2 a b) Hình chữ nhật và hình bình hành a là cạnh đáy; h là đường cao; S là diện tích S=ah 35 c) Hình thoi a là cạnh đáy; d là đường chéo lớn; d’ là đường chéo nhỏ; S là diện tích: S dd '; Nếu góc nhọn hình thoi 60 thì a=d’ và: S a  0,866a ; d) Hình thang a và b là cạnh đáy; b là đường cao; S là diện tích S  a  b  h e) Tứ giác lồi d1, d2 là độ dài hai đường chéo;  là góc chúng; S là diện tích S d1d sin  f) Đa giác n cạnh n là số cạnh; a là cạnh;  là góc đa giác;  là góc tâm; r và R là bán kính vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; S là diện tích 36 Hình 180 na cot tan  arn; n  a 180 r  cot tan ; n a  180 R  cos sec ; 180 n 2sin n S a  2r tan   R sin  ; n2 180 ; n 360  n  Hình tròn a) Hình tròn r là bán kính; C là độ dài vòng tròn; S là diện tích 37 C  2 r  6, 283r; C   S  3,545 S ; S   r  3,142r ; Cr S b) Hình quạt tròn r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; n là số đo góc tâm; S là diện tích Hình 2 rn l  0,1745rn ;  360  r n S  0, 00872r n 360 c) Hình viên phân r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; a là độ dài dây cung; n là số đo góc tâm; h là độ cao viên phân; S là diện tích 38 Hình n ;  n  a n h  r 1  cos   tan ; 2  a  2r sin n  0, 01795rn; 180  r   n S   sin n    180  l r Phương tích a) Phương tích Phương tích điểm I vòng tròn tâm O, bán kính r là đại lượng d  r , đó d là khoảng cách OI Nếu I nằm ngoài hình tròn thì phương tích dương, I nằm đường tròn thì phương tích âm, I nằm trên đường tròn thì phương tích 39 Hình Ký hiệu giá trị tuyệt đối phương tích là p2, thì p2  d  r ; p  IA.IB  IT b) Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Trục đẳng phương hai vòng tròn O1 và O2 ( O1  O2 ) là quỹ tích các điểm M có phương tích hai vòng tròn đã cho Trục đẳng phương vuông góc với đường nối hai tâm điểm N, mà: O1 N  d r12  r22  2d Hoặc NO2  d r22  r12  2d Trong đó d là độ dài đường nối tâm; r1 và r2 là các bán kính hai vòng tròn 40 Đặc biệt hai vòng tròn cắt hai điểm thì trục đẳng phương qua hai điểm ấy; hai vòng tròn tiếp xúc thì trục đẳng phương là tiếp tuyến chung tiếp điểm Tâm đẳng phương ba vòng tròn là giao điểm ba trục đẳng phương cặp các vòng tròn đó B THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH Ký hiệu chung: h là đường cao; p là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quanh; V là thể tích Hình lăng trụ V  Sh; S xq  ph Hình chóp (Nhớ chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, đáy là đa giác đều) Hình 8: Hình lăng trụ a là trung đoạn hình chóp đều: V  Sh; S xq  pa Hình chóp cụt Hình 9: Hình chóp a là trung đoạn hình chóp cụt đều; S1 và S2 là các diện tích đáy; p1 và p2 là các chu vi đáy 41   V  h S1  S2  S1S ; S xq   p1  p2  a Hình trụ r là bán kính vòng tròn đáy Hình 10: Hình chóp cụt V  Sh  r h; S xq  2 rh Hình nón r là bán kính vòng tròn đáy; l là đường sinh Hình 11: Hình trụ 1 V  Sh  r h; 3 S xq   rl Hình nón cụt R và r là các bán kính vòng tròn đáy và đáy trên; h là đường cao nón cụt; H là đường cao hình nón; l là đường sinh nón cụt Hình 12: Hình nón V   h  R  r  Rr  ; S xp    R  r  l ; H  h hr Rr Hình 13: Hình nón cụt 42 Hình cầu a) Hình cầu R là bán kính; V là thể tích; S là diện tích mặt cầu V   R3 ; S  4 R Hình 14: Hình cầu b) Hình chỏm cầu R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt chỏm cầu   V  h  R  h    h  h  3r  ;   S  2 Rh    r  h  Hình 15: Chỏm cầu c) Hình đới cầu R là bán kính hình cầu; r1 và r2 là các bán kính vòng tròn đáy đới cầu; h là đường cao đới cầu; V là thể tích; S là diện tích xung quanh đới cầu 1 V   h3    r12  r22  h; S  2 Rh Hình 16: Hình đới cầu d) Hình quạt cầu 43 R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt quạt cầu V   R h; S   R  r  2h  Hình 17: Hình quạt cầu V LƯỢNG GIÁC Hàm số lượng giác và dấu nó a) Hàm số lượng giác các góc nhọn c b sin   ; cos   ; a a c b tan   ; cot tan   ; b c a a cos sec   sec   ; c b Hình 19 Hình 18 b) Dấu hàm số lượng giác góc Góc phần tư I sin cos tan cottan sec cossec       44    II III IV                Hàm số lượng giác số góc đặc biệt 0 30 45 60 90 2 cos 2 2 tan cottan  3  sin sec cossec  120 180 270 360 -1 0  -1    1 3   2  -2 -1  2 3  -1  45  Một số công thức đổi góc sin      sin  cos     cos  tan  360      tan  cot tan  360      cot tan  tan      tan  sin  90     cos  cot tan      cot tan  cos  90      sin  sin 180      sin   tan  90      cot tan  cos 180      cos   cot tan  90      tan  tan 180      tan   sin  270      cos  cot tan 180      cot tan  cos  270      sin  sin  360      sin   tan  270      cot tan  cos  360     cos   cot tan  270      tan  Các công thức sin   cos   1; tan  cot tan   1; sin  tan    ; cos  cot tan  cos  cot tan    ; sin  tan  1  tan    sec  ; cos  1  cot tan    cos sec  sin  46 Hàm số lượng giác góc bội sin 2  2sin  cos  ; cos 2  cos     2sin   cos   sin  ; tan  ;  tan  cot tan   cot tan   tan  cot tan 2   ; cot tan  sin 3  3sin   4sin  ; tan 2  cos 3  cos3   3cos  ; tan   tan  ;  tan  cot tan   3cot tan  cot tan 3  ; 3cot tan   sin n  2sin  n  1  cos   sin  n    ; tan 3  cos na  cos  n  1  cos   cos  n    47 Công thức hạ bậc sin   1  cos 2  ; cos   1  cos 2  ; sin    3sin   sin 3  ; cos3    3cos   cos 3  ; 1 6 sin    cos 4  cos 2   ; 8 2 1 6 cos    cos 4  cos 2   ; 8 2 sin    sin 5  5sin 3  10sin   ; 16 cos5    cos 5  5cos 3  10 cos   16 Hàm số lượng giác tổng và hiệu các góc sin      sin  cos   cos  sin  ; cos      cos  cos   sin  sin  ; tan   tan  ;  tan  tan  cot tan  cot tan   cot tan      cot tan   cot tan  tan      48 Biến đổi tổng và hiệu hai hàm số lượng giác     sin   sin   2sin cos ; 2     sin   sin   cos sin ; 2     cos   cos   cos cos ; 2     cos   cos   2sin sin ; 2     sin   cos   sin      cos     ; 4  4      sin   cos   sin       cos     ; 4  4  sin     tan   tan   ; cos  cos  tan   tan   sin     cos  cos  cot tan   cot tan   cot tan   cot tan   ; sin     sin  sin  sin      sin  sin  tan   cot tan   cos sec 2 ; tan   cot tan   2 cot tan 2 49 ; ; Biến đổi tích hai hàm số lượng giác sin  sin   cos      cos      ; cos  cos   cos      cos      ; sin  cos   sin      sin      ; tan   tan  tan   tan  tan  tan    ; cot tan   cot tan  cot tan   cot tan  cot tan   cot tan  cot tan   cot tan  cot tan  cot tan    ; tan   tan  tan   tan  cot tan   tan  cot tan   tan  cot tan  tan    tan   cot tan  tan   cot tan  50 10 Công thức góc chia đôi sin cos tan      cos  ;   cos  ;  cot tan sin   cos   cos    ;  cos  sin   cos   sin    sin   cos   cos    ;  cos  sin   cos  tan  ;  tan cos    tan  tan tan   tan  tan cos     2;   2 ; cot tan   2 cot tan 1  ; cos   sin    sin 2 51 11 Một số công thức các góc tam giác ( là các góc tam giác) sin   sin   sin   cos  cos   cos   cos   4sin sin   sin   sin   4sin   cos   cos   cos   cos  cos sin sin   cos ; 2   sin   1;  cos ; 2    1; 2 sin   sin   sin   cos  cos  cos   2; cos sin sin   sin   sin   2sin  sin  cos  ; sin 2  sin   sin 2  4sin  sin  sin  ; sin 2  sin   sin 2  cos  cos  sin  ; tan   tan   tan   tan  tan  tan  ; cot tan   cot tan   cot tan   cot tan    cot tan ; 2 2 2 cot tan  cot tan   cot tan  cot tan   cot tan  cot tan   12 Một số công thức khác 52 cot tan  cos   cos  cos   2sin   ; ;        sin    sin  cos   cos    ; 2  4 2        sin    sin  cos   2sin    ; 2  4 2     sin     sin     4  4 ;  tan    cos  cos cos    sin     4   cot tan   ; sin  sin   sin 2  sin 3   sin n  cos   cos  2n  1  2sin cos   cos 2  cos 3   cos n  sin  ;  2n  1   sin  2sin  2; a sin x  b cos x  a  b sin  x     a  b cos  x    2 53 đó a a  b2 b a  b2 a a  b2 b a  b2  cos  ,  sin  ;  sin  ,  cos  54 13 Công thức liên hệ các hàm số lượng giác Hàm sin cos   cos2  sin cos tan cottan=  sec cossec  tan    sin   sin   sin    sin  sin   tan   tan  1  tan     cos   cos    sin  sin   cottan  cos   cos  sec 1  cot tan  cot tan  cot tan    tan  1  tan   tan    cot tan  55 sec    cot tan  cot tan    cos   sec2    tan  sec   sec  sec   cot tan  cos   cossec cos sec  cos sec2    cos sec   sec  sec2   cos sec2    cossec2     cos sec  cos sec2   VI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG Điểm Khoảng cách hai điểm (x1, y1) và (x2, y2): d  x2  x1    y2  y1  2 Khoảng cách từ điểm (x, y) đến gốc tọa độ: d  x2  y Dạng tổng quát khoảng cách hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) hệ tọa độ xiên góc  d  x2  x1    y2  y1  2   x2  x1  y2  y1  cos  Tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n nx1  mx2 ; mn ny  my2 y mn x Phép đổi trục tọa độ (Hình 20)  x  a  x1  x1  x  a    y  b  y1  y1  y  b 56 Hình 20 Tọa độ cực (Hình 21) Ox: Trục cực; O: Cực; r: Bán kính vector; : Góc cực x  r cos  ; y  r sin  ; Hình 21 r  x2  y Phép quay các trục tọa độ x,y: Tọa độ cũ điểm M; M y  x1, y1: Tọa độ điểm M  : Góc quay  x  x1 cos   y1 sin  ;   y  x1 sin   y1 cos  Hình 22 57 x Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát Ax+By+C=0 Phương trình chính tắc y=kx+b Phương trình theo các đoạn chắn trên các trục tọa độ x y  1 a b Phương trình pháp dạng x cos   y sin   p  Hệ số pháp dạng M   A  B2 (dấu chọn cho ngược dấu với dầu C) Hai đường thẳng Các phương trình dạng tổng quát A1 x  B1 y  C1  C A2 x  B2 y  C2  Góc hai đường thẳng đã cho (với hệ số góc k1, k2) tan   k2  k1 A1 B2  A2 B1   k1k2 A1 A2  B1B2 Điều kiện để hai đường thẳng song song k1  k2 A1 B1  A2 B2 Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc 58 k1k2  1 A1 A2  B1B2  Tọa độ giao điểm hai đường thẳng C1 B2  C2 B1  x  B A  B A  2  C B  C A2 y   B1 A2  B2 A1 Đường thẳng thứ ba A3 x  B3 y  C3  qua giao điểm hai đường thẳng trên nếu: A1 B1 C1 A2 B2 C2  A3 B3 C3 Đường thẳng và điểm Phương trình đường thẳng qua điểm cho trước M  x0 , y0  theo hướng đã cho: y  y0  k  x  x0  k  tan  ( là góc lập đường thẳng với chiều dương trục hoành) Khoảng cách từ điểm  x1 , y1  tới đường thẳng d  x1 cos   y1 sin   p (a là góc lập đường thẳng với chiều dương trục hoành) d   chọn ngược dấu với C) 59 Ax1  By1  C A2  B (dấu Phương trình đường thẳng qua hai điểm đã cho A  x0 , y0  , B  x2 , y2  : y  y1 x  x1  y2  y1 x2  x1 Phương trình đường thẳng qua điểm M  x0 , y0  và song song với đường thẳng y=ax+b y  y0  a  x  x0  Phương trình đường thẳng qua điểm M  x1 , y1  và vuông góc với đường thẳng y=ax+b y  y1    x  x1  a Diện tích tam giác Tam giác có đỉnh gốc tọa độ S  x1 x2 y1 y2   x1 y2  y1 x2  Tam giác có vị trí A  x1 , y1  , B  x2 , y2  , C  x3 , y3  60 S  x2  x1 x3  x1 y2  y1 y3  y1     x2  x1  y3  y1    x3  x1  y2  y1       x1  y2  y3   x2  y3  y1   x3  y1  y2   Phương trình đường tròn Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r x2  y  r Đường tròn với tâm có tọa độ (a,b) bán kính r  x  a    y  b 2  r2 Phương trình tham số đường tròn  x  r cos t   t  2    y  r sin t 10 Ellipse (Hình 23) O: Tâm; AA1=2a: Trục lớn; BB1=2b: Trục nhỏ; F, F1: Các tiêu điểm; FM, F1M: Các bán kính vector; FF1=2c: Tiêu cự; 61 y BF=BF1=AO=a; y FM+F1M=AA1=2a; r1 r A B M F F1 a -c =b c Phương trình chính tắc Ellipse: B1 c 2a Hình 23: Hình Ellipse x2 y  1 a b2 Tâm sai Ellipse: c a  b2   1 a a Bán kính vector điểm M(x, y) Ellipse r  a  x Diện tích Ellipse S=ab Phương trình tiếp tuyến với Ellipse điểm M1  x1 , y1  x1 x y1 y  1 a b2 Phương trình pháp tuyến với Ellipse điểm M  x0 , y0  y  y0  a y0  x  x0  b2 x0 62 A1 x Tham số tiêu Ellipse p b2 a Phương trình các đường chuẩn Ellipse x a a2 x    c Phương trình đường kính Ellipse b2 y x ak Trong đó k là hệ số góc đường kính liên hợp Phương trình tham số Ellipse:  x  a cos t   y  b sin t 11 Hyperbola (Hình 24) O: Tâm; y F, F1: Các tiêu điểm; M r1 r FM, F1M: Các bán kính vector; A1 A F FM-F1M=AA1-2a; F1 2a 2c Hình 24: Hyperbola 63 x FF1=2c; c2-a2=b2 Phương trình chính tắc Hyperbola x2 y  1 a b2 Tâm sai Hyperbola  c a  b2  1 a a Bán kính vector điểm thuộc Hyperbola c xa xa a c r1  x  a   x  a a r Phương trình các đường tiệm cận Hyperbola b y x a Phương trình tiếp tuyến điểm M1  x1 , y1  x1 x y1 y  1 a b2 Phương trình pháp tuyến điểm M  x0 , y0  64 a y0 y  y0    x  x0  b x0 Hoặc a x b2 y   c2 x0 y0 Tham số tiêu Hyperbola p  b2 a Phương trình đường kính Hyperbola y b2 x a2k Trong đó k là hệ số góc đường kính liên hợp Phương trình Hyperbola cân xy  k a2 y  x 12 Parabola(Hình 25) y K N l r AN: Đường chuẩn M A O: Đỉnh F F1 c F: Tiêu điểm p AF=p: Tham số Parabola Hình 25: Parabola 65 x S: Diện tích Phương trình chính tắc parabola y2=2px Diện tích parabola S  lc Tâm sai parabola   FM 1 MK Bán kính vector parabola r  x p Phương trình đường chuẩn parabola x p Phương trình tiếp tuyến parabola yy1  p  x  x1  Hoặc y  y1   y1  x  x1  y0 Phương trình pháp tuyến parabola 66 y  y1   y1  x  x1  p Hoặc y1   x  x1   p  y  y1   VII ĐẠI SỐ VECTOR Các phép toán tuyến tính trên các vector  Vector A là đoạn thẳng có độ dài xác định và hướng xác định   A  A là độ dài module vector A Các vector (Hình 26)    A  B  A  B    A  B    A  B Hình 26 Cộng các vector (các hình 27, 28, 29)    A  B  C;      A B C  D  E B A C Hình 27 Vector đối (Hình 30) C B A C D A B Hình 28 67 E Hình 29       A  A1 A1   A       A  A1 Trừ các vector (Hình 32, 31)      A  B  A  B1  C C  A   A1   A Hình 30 B B1  C  A A  B Hình 31   Trong đó B1   B Hình 32 Nhân vector với số   kA B  Vector B luôn thỏa mãn các điều kiện:   B k A   B  A, neáu k >   B  A, neáu k <   Nếu k=0 A  , thì B  Phép chiếu vector lên trục vector (Hình 33)     hcx A  hcB A  MN  A cos   A cos A, B  68  A  M1 O M B N1 N x Hình 33 Các thành phần và tọa độ vector (Hình 34)     A  OM1  OM  OM     Hoặc A  X i  Y j  Z k z   OM  X i   Trong đó OM  Y j là các thành   OM  Z k phần vector; X  A cos  , Y  A cos  , Z  A cos  là các tọa độ vector (chiếu x vector này lên các trục tọa độ) M3 A  k   O j y M2 i M1 Hình 34 Các phép toán tuyến tính trên các vector cho nhờ các tọa độ    Nếu A  A1  A2 thì X  X1  X , Y  Y1  Y2 , Z  Z1  Z2   Nếu A2   A1 thì X   X1 , Y2  Y1 , Z2   Z1 Tích vô hướng hai vector Định nghĩa 69         A, B  AB  AB cos A, B  AchA B  BhcB A    Các tính chất tích vô hướng   AB  B A (tính giao hoán)    mA B  m AB      A  B C  AC  BC (tính phaân phoái)       Tích vô hướng các vector dạng tọa độ  AB  X1 X  YY  Z1Z Bình phương vô hướng vector   A  AA  AA cos  A2 Bình phương module vector  A2  A  X  Y  Z Module (độ dài) vector  A2  A  X  Y  Z   Điều kiện để hai vector trực giao A  B    AB  X1 X  YY  Z1Z    Góc hai vector A X1 , Y1 , Z1 và B  X , Y2 , Z  70  AB cos      A B X X  YY  Z1Z X  Y12  Z12 X 22  Y22  Z 22  Các cosin phương vector A X , Y , Z  cos   cos   cos   X X Y2  Z2 Y X Y2  Z2 Z X Y2  Z2 Tích vector hai vector Định nghĩa       Tích vector hai vector A, B (ký hiệu A  B  A, B  ) là  vector C thỏa mãn các điều kiện sau:        C  AB sin A, B , C  A, C  B      Và các vector A, B, C lập thành ba vector thuận (nghịch) hệ tọa độ là thuận (nghịch) Các tính chất tích vector 71     A B  B  A     m A  B  m A B     A  nB  n A  B        A  B  C  A C  B  C        C A B  C ACB             Tích vector dạng tọa độ  i   A  B  X1  j  k Y1 Z1  X Y2 Z2     Y1Z  Y2 Z1  i   Z1 X  Z X  j   X 1Y2  X 2Y1  k Góc vector   A B   sin A, B     A B   Y1Z  Y2 Z1    Z1 X  Z X    X 1Y2  X 2Y1   X 12  Y12  Z12 X 22  Y22  Z 22 Tích hỗn hợp ba vector Định nghĩa     ABC  A B  C   Các tính chất tích hỗn hợp 72       ABC  BC A  C AB   B AC   AC B   C B A      A  B C D  AC D  BC D    mA BC  m ABC             Ý nghĩa hình học tích hỗn hợp  ABC thể tích hình hộp có ba cạnh là ba vector  Điều kiện đồng phẳng ba vector ABC  Tích hỗn hợp dạng tọa độ X Y1  ABC  X Y2 X3 Y3 Z1 Z2  Z3  X Y2 Z  Z 2Y3   Y1  Z X  Z X   Z1  X 2Y3  X 3Y2  VIII ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Giới hạn lim(x+y-z)=limx+limy-limz (nếu các giới hạn vế phải tồn tại) lim(xyz)=limx limy limz (nếu giới hạn vế phải tồn tại)  x  lim x lim    neáu toàn taïi lim x vaø lim y   y  lim y 73 sin x  1; x 0 x lim a lim 1  a   e,  e  2.718281828  ; a  an  0; a  n ! tan x lim  1; x 0 x  x lim 1   n  e x ; n   n lim a x  1; lim x 0 lim n  n! n n ne n  2 Đạo hàm và vi phân Các đạo hàm đơn giản 74  Cu  '  Cu ';  u  v  w  '  u ' v ' w ';  uvw  '  u ' vw  v ' uw  w ' uv;  u  u 'v  v 'u ;    v2 v '  f  u  x     f '  u  u '  x  ;  C  '  0; '  x  '  1;  x  '  nx n n 1 ; , 1    2; x x x ' ; x   75 ; x  lg x  '  lg e; x x x e  '  e ;  ln x  '  a '  a x x ln a;  sin x  '  cos x;  cos x  '   sin x;  tan x  '  ; cos x ; sin x ;  arcsin x  '   x2 ;  arccos x  '    x2 ;  arctan x  '   x2 ;  arc cottan x  '    x2  u v  '  vu v1  u  ' u v ln u  v  '  cot tan x  '   Vi phân hàm và các tính chất đơn giản; dy=y’dx 76 d  Cu   Cdu; d  u  v  w   du  dv  dw; d  uvw    vw  du   uw  dv   uv  dw;  u  vdu  udv d  v2 v Ứng dụng hình học đạo hàm Phương trình tiếp tuyến với đường cong y=y(x) điểm (x0, y0) y  y0  y '  x0  x  x0  Phương trình tiếp tuyến với đường cong và qua điểm cho trước M1  x1 , y1  y  y1  y '  x0  x  x1  Trong đó x0 là nghiệm kép phương trình y  y0   x  x0  y '  x0  Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y=f(x) gọi là chẵn f(x)=f(-x) gọi là lẻ f(x)=-f(x) 77 Hàm số tuần hoàn Hàm số y=f(x) gọi là tuần hoàn có số dương l cho f  x   f  x  l   f  x  2l    f  x  kl  Số dương p nhỏ có tính chất trên gọi là chu kỳ hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số y=f(x) gọi là đơn điệu tăng thật (đồng biến) từ x1<x2 suy f(x1)<f(x2); Hàm số y=f(x) gọi là đơn điệu giảm thật (nghịch biến) từ x<x2 suy f(x1)>f(x2); Nếu trên tất các dấu < (>) thay dấu     thì hàm gọi là đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa rộng; Điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu tăng (giảm) khoảng xác định là f '  x    f '  x    khoảng xác định Hàm liên tục Hàm số y=f(x) gọi là liên tục x=a lim f  x   f  a  x a Cực đại, cực tiểu hàm số Hàm số y=f(x) có cực đại (cực tiểu) điểm x0 có số a dương cho f  x   f  x0   f  x   f  x0   với x0  a  x  x0  a 78 Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:  f '  x0     f ''  x0   Thì x0 là hoành độ điểm cực đại; Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:  f '  x0     f ''  x0   Thì x0 là hoành độ điểm cực tiểu; Hàm lồi Hàm số y=f(x) gọi là lồi với  ,0   1 thì f  ax1  1    x2   af  x1   1    f  x2  ; Hàm số y=f(x) lồi và đạo hàm f’(x) tăng theo nghĩa rộng (hoặc tương đương đạo hàm bậc hai f’’(x)  0) Điểm uốn Điểm x0 là điểm uốn đồ thị hàm số y=f(x) f’’(x0)=0 và f’’(x) đổi dấu qua x0 Các đường tiệm cận Hình 35: Tiệm cận ngang 79 Tiệm cận ngang (Hình 35): Đường cong y=f(x) có tiệm cận ngang y=b lim f  x   b x  Tiệm cận xiên (Hình 36): Đường cong y=f(x) có tiệm cận xiên y=ax+b lim  f  x   ax  b   x  Cách tìm tiện cận xiên y=ax+b: f  x ; x  x b  lim  f  x   ax  a  lim Hình 36: Tiệm cận xiên x  Tiệm cận đứng (Hình 37): Đường cong y=f(x) có tiệm cận đứng x=x0 lim f  x    x  x0 Trục và tâm đối xứng: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x= làm trục đối xứng và f  2  x   f  x  Đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I  ,   làm tâm đối xứng và f  2  x   2  f  x  Hình 37: Tiệm cận đứng Khảo sát hàm số y  ax  bx  cx  d  a   y '  3ax  2bx  c; y ''  6ax  2b 80 a  Nếu  thì hàm số luôn đồng biến; b  3ac  a  Nếu  thì hàm số luôn nghịch biến b  ac   b2  3ac  0, y '  có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hàm số có cực đại và cực tiểu Các giao điểm với trục hoành: Phương trình y  ax3  bx2  cx  d luôn có nghiệm thực b  3ac  Nếu b2  3ac   thì phương trình có và  ycd yct  có nghiệm và đồ thị cắt trục hoành điểm b  3ac  Nếu  thì phương trình có nghiệm đơn và  ycd yct  nghiệm kép; đồ thị cắt và tiếp xúc với trục hoành hai điểm b  3ac  Nếu  thì phương trình có ba nghiệm phân biệt; đồ  ycd yct  thị cắt trục hoành ba điểm khác  b  b  Điểm uốn   , y     là tâm đối xứng đồ thị  3a  3a   Hàm số y  ax4  bx  c  a   81 y '  4ax3  2bx; y ''  12ax  2b Trong trường hợp ab  hàm số có điểm cực trị là (0,c) (cực đại b<0, cực tiểu b>0) Trường hợp ab<0: Nếu b<0, hàm số có cực đại (0,c) và hai điểm cực tiểu  b b  ,   c  ;    2a 4a  Nếu b>0 hàm số có cực tiểu (0,c) và hai điểm cực đại  b b  ,   c     2a 4a   b  b  Trong trường hợp này các điểm    , y     là các  6a  6a    điểm uốn Hàm số y  ax  b , a ', b '  a'x b' Hàm số xác định với x   y'  ab ' a ' b  a ' x  b ' b' ; a' , 82 ab’-a’b=0, hàm số không đổi y  a ; a' ab’-a’b>0 hàm số đồng biến; ab’-a’b<0 hàm số nghịch biến; Tiệm cận ngang: y  a ; a' Tiệm cận đứng: x   b' ; a'  b' a  Tâm đối xứng là giao điểm A   ,  hai đường tiệm  a' a' cận ax  bx  c Hàm số y  a'x b' Tiệm cận xiên: y  a a ' b  ab ' x ; a' a' Tiệm cận đứng x   b' a' Tâm đối xứng đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận 83 IX PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN A TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH Định nghĩa  f  x dx  F  x   C Trong đó F’(x)=f(x), C là số tùy ý Các tính chất đơn giản  dx  x  C;  kf  x dx  k  f  x dx, k laø haèng soá;   u  v  w  dx   udx   vdx   wdx   uv ' dx  uv   vu ' dx;  udv  uv   vdu 84 Tích phân các hàm hữu tỷ x m 1 m x dx   C ,  m  1 ;  m 1 dx  x  ln x  C;  ax  b  ax  b dx     a  n  1 n 1 n dx  C ,  n  1 ;  ax  b  a ln ax  b  C; ax  b bc  ad ln cx  d  C ; c2 dx xb   x  a  x  b   a  b ln x  a  C ,  a  b  a  cx  d dx  c x  dx xd  ln  C; a 2a x  a xdx   x  a  x  b   a  b  a ln x  a  b ln x  b   C ,  a  b  ; x xdx  ln x  a  C ; a dx x  x  a  a arctan a  C; xdx 2  x  a  ln  x  a   C; x 85 dx  x  x a xdx a  2  2  x x  arctan  C ; 2 2a x  a 2a a  1  C; x2  a2 xb dx  b x  ln  arctan    C; 2   x2  a2   x  b  a  b  x2  a2 a a  x xb  xdx  x  arctan  b ln   C;  a  a   x  b a  b  x2  a2  dx 2ax  b  b  4ac  ln  ax  bx  c b2  4ac 2ax  b  b2  4ac  C; dx 2ax  b  arctan  C ,  b  4ac   ; 2  bx  c 4ac  b 4ac  b xdx b dx  ax  bx  c  2a ln ax  bx  c  2a  ax  bx  c  ax 86  Tích phân các hàm vô tỷ dx  ax  b  C ; ax  b a   x 2 ax  bdx   ax  b   C ; 3a  ax  2b  xdx  ax  b  C ; 3a ax  b ax  bdx   3ax  2b  15a dx   x  c ax  b dx   x  c   ax  b  ax  b   C; ax  b  b  ac  C ,  b  ac   ; ax  b  b  ac  ln b  ac  ax  b arctan ,  b  ac   ; ac  b ac  b ax  b dx   ax  b  cx  d   cx  d c ad  bc   ln a  ax  b   a  ax  b    C ,  ac   ;   c ac ax  b dx   ax  b  cx  d   cx  d c  a  cx  d  ad  bc arctan  C ,  c  0; a   ; c  ax  b  c ac 87 x x a  bxdx     a  bxdx   2a  3bx   a  bx  15b 2  8a  12abx  15b   C;  a  bx  105b3  2a  bx  xdx  a  bx  C ; 3b a  bx  8a  4abx  3b x  x dx  a  bx  C ; 15b3 a  bx a  bx  a  C,  a  0 ; a  bx  a x dx  ln a  bx a x dx a  bx  arctan  C,  a  0 ; a a  bx a x  dx a  bx b dx   ;  ax 2a x a  bx a  bx a  bxdx dx  a  bx  a  ; x x a  bx 88  C; x m   x 2ax  x dx   x m dx 2ax  x  x m 1 2  2ax  x    2m  1 a m 1 m x m 1 2ax  x dx; x m 1 2ax  x  2m  1 a x m 1dx   2ax  x ; m m 2  2ax  x   m  2ax  x 2ax  x dx   dx; xm  2m  3 ax m  2m  3 a  x m1 dx 2ax  x  2ax  x  C ax 89 Tích phân hàm lượng giác  sin xdx   cos x  C;  cos xdx  sin x  C; x  sin x  C ; x  cos xdx   sin x  C; 3  sin xdx  cos x  cos x  C; 3  cos xdx  sin x  sin x  C; n 1 n 1 n n2  sin xdx   n sin x cos x  n  sin xdx; n 1 n n 1 n2  cos xdx  n cos x sin x  n  cos xdx; dx x  sin x   cos sec xdx  ln tan  C;  sin dx xdx  x   cos x   sec xdx  ln tan     C; 90 dx  sin x dx  cos x   cot tan x  C ;  tan x  C ;  sin x cos xdx   cos x  C; x cos xdx  sin x  C ; 3  sin x cos xdx   cos x  C; 1 2  sin x cos xdx  x  32 sin x  C;  sin sin  m  n  x  sin mx sin nxdx    m  n   sin mx cos nxdx    cos mx cos nxdx  dx  a  b sin x   cos  m  n  x m  n sin  m  n  x m  n a  b2 arcsin  sin  m  n  x  2m  n  C ,  m2  n2  ; cos  m  n  x m  n sin  m  n  x 2m  n  C ,  m2  n2  ;  C ,  m2  n2  ; a sin x  b  C,  a  b2  ; a  b sin x dx b  a sin x  b2  a cos x  ln  C,  b2  a  ;  a  b sin x b2  a a  b sin x dx a cos x  b  a  b cos   b2  a arcsin a  b cos x  C ,  a  0, b   ; dx b  a cos x  b  a sin x  ln  C,  a  b  ;  a  b cos b2  a a  b cos x 91 dx b sin x  a cos x  a  b2  ln  C  a sin x  b cos x a2  b2 a sin x  b cos x B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b  a Định nghĩa b f  x  dx  F  x   F  b   F  a  a y B y=f(x) A Trong đó F’(x)=f(x) O a b Hình 38 Ý nghĩa hình học tích phân xác định (Hình 38) b  g  x  dx  S aABb a Một số ứng dụng tích phân xác định a) Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình giới hạn đường cong y=f(x) và các đường y=0, x=a, x=b, đó y có cùng dấu với giá trị x khoảng (a, b) là: b S   f  x  dx (xem Hình 38) a b) Tính độ dài cung Độ dài (s) cung đường cong phẳng f(x,y)=0 từ điểm (a,c) đến điểm (b,d) là: 92 x b s a d  dx   dy     dx      dy  dx   dy  c Nếu phương trình đường cong x=f(t), y=g(t) thì độ dài cung từ t=a đến t=b là: b s a 2  dx   dy       dt  dt   dt  c) Tính thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay sinh phần đường cong y=f(x) khoảng x=a và x=b chuyển động quay xung quanh b o Trục x là V    y dx a d o Trục y là V    x dy c Trong đó c và d là các giá trị y tương ứng với các giá trị a và b x d) Thể tích tạo tiết diện song song Nếu mặt phẳng vuông góc với trục x điểm (x,0,0) cắt vật thể theo tiết diện có diện tích là S(x) thì thể tích phần vật thể khoảng x=a và x=b là: y B A x a b Hình 39 93 y=f(x) x b V   S  x  dx a e) Diện tích mặt khối tròn xoay Diện tích mặt vật thể sinh phần đường cong y=f(x) khoảng x=a và x=b chuyển động quay  dy  o Đối với trục x là S  2  y    dx;  dx  a b  dx  o Đối với trục y là S  2  x    dy  dy  c d Trong đó c và d là các giá trị y tương ứng với các giá trị a và b x 94 CHỈ MỤC Điểm uốn · 79 Đồng biến · 78 Hàm liện tục · 78 Hàm lồi · 79 Hàm số chẵn · 77 Hàm số lẻ · 77 Hàm tuần hoàn · 78 Nghịch biến · 78 Tâm đối xứng · 80 Tiệm cận đứng · 80 Tiệm cận ngang · 79 Tiệm cận xiên · 80 Trục đối xứng · 80 Hình học phẳng Phương tích · 39 Quạt tròn · 38 Tâm đẳng phương · 40 Trục đẳng phương · 40 Viên phân · 38 C Cấp số Cấp số cộng · 29 Cấp số nhân · 29 Cấp số nhân lùi vô hạn · 30 Công bội · 29 Công sai · 29 Tổng hữu hạn · 30 D Đại số Căn số · 16 Đa thức · 13 Đẳng thức (đồng thức) · 14 Lũy thừa · 15 Phân thức · 13 Số e · 74 L G Lượng giác Góc bội · 47 Góc tam giác · 52 Giải tích kết hợp Giai thừa · Nhị thức Newton · 11 Tam giác Pascal · 12 S Số phức Argument · 19 Biểu diễn hình học · 18 Module · 19 H Hàm số Cực đại · 79 Cực tiểu · 79 95 Tích hỗn hợp · 72 Tích vô hướng · 70 Tọa độ · 69 Vector đối · 67 V Vector Chiếu vector · 68 Góc hai vector · 71 96