+ Trên cơ sở nhận xét đạt được ở bước trên, giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu được khái niệm góc như ở sách giáo khoa: Sau khi học sinh đã nhận ra rằng các hình lập nên từ ba trường [r]
(1)MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Khái niệm góc là khái niệm cốt lõi hình học, có quan hệ mật thiết gắn bó với các đối tượng bản: điểm, đường, mặt và các quan hệ bản: song song, vuông góc Mặc dù thuộc loại khái niệm thứ hai, khái niệm góc là khái niệm có thể định nghĩa được, khái niệm góc có quan hệ với hầu hết tất các khái niệm khác hình học Từ khái niệm góc có thể phát triển nhiều các khái niệm khác Do đó có thể nói khái niệm góc đóng vị trí quan trọng hệ thống tri thức toán học Chính vì mà khái niệm góc đưa vào giảng dạy sớm, từ lớp đầu cấp bậc trung học sở Tuy nhiên đây là khái niệm trừu tượng, có nội hàm phức tạp và ngoại diên đa dạng Do đó đường dạy học khái niệm góc trải dài, xuyên suốt chương trình toán phổ thông Dạy học khái niệm góc, cái khó là tìm đường thiết thực, phù hợp với nội dung và đặc điểm lứa tuổi học sinh Quan trọng hàng đầu là hình thành cho học sinh khái niệm góc mở đầu Để hình thành khái niệm góc cho học sinh đòi hỏi người giáo viên ngoài kiến thức vững vàng cần có phương pháp thích hợp để truyền đạt hiệu kiến thức đó Với đề tài: "Dạy học khái niệm góc phẳng chương trình toán trung học sở" chúng tôi hy vọng rõ đường hình thành khái niệm góc cho học sinh trung học sở, từ đó đưa ý tưởng cải tiến nội dung và phương pháp nhằm nâng cao chất lượng quá trình dạy học khái niệm góc Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu người dạy học khái niệm góc phẳng cho học sinh trung học sở Thông qua đó đề xuất các ý kiến nhằm nâng cao chất lượng quá trçnh daûy hoüc (2) Cấu trúc đề tài: Mở đầu Näüi dung Chương 1: Cơ sở lí luận Khái niệm góc Dạy học khái niệm Toán học Dạy học khái niệm góc chương trình trung học sở Chương 2: Dạy học khái niệm góc Dạy học khái niệm góc Dạy học mở rộng khái niệm góc Hệ thống bài tập hỗ trợ Kết luận Tài liệu tham khảo (3) Chæång CƠ SỞ LÝ LUẬN KHÁI NIỆM GÓC: 1.1 Khái niệm góc theo quan điểm toán học: 1.1.1 Khái niệm góc: Góc là phần mặt phẳng giới hạn tia (nửa đường thẳng) xuất phát từ cùng điểm Các tia lập nên góc gọi là các cạnh góc, điểm mà từ đó các tia xuất phát gọi là đỉnh góc Các điểm biên góc gồm có đỉnh nó và tất các điểm caïc caûnh cuía noï Nếu các cạnh góc lập thành đường thẳng thì góc gọi là góc bẹt Một góc khác góc bẹt chia mặt phẳng thành hai miền: miền lồi, miền không lồi, hai miền là miền góc (thường đó là miền lồi), còn miền là miền ngoài Các điểm thuộc miền góc gọi là các điểm góc, còn các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài Nếu miền góc là lồi thì ta nói góc bé góc bẹt Nếu miền góc không lồi thì ta nói góc lớn góc bẹt Góc có góc kề nó gọi là góc vuông 1.1.2 Các đặc trưng góc: Khái niệm góc có các yếu tố đặc trưng sau: + Các yếu tố tạo thành khái niệm: Xét mặt hình thức thì góc cấu tạo từ thành phàn là đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài, điểm trong, điểm ngoài góc Người ta gọi đây là các yếu tố định tính + Các yếu tố định lượng: Từ các yếu tố định tính góc mà ta có các yếu tố định lượng Yếu tố định lượng đó là độ lớn Độ lớn góc chính là số đo góc Mỗi góc có số đo khác Đơn vị đo độ lớn góc là độ hay rađian Chẳng hạn: - Góc không: Góc có số đo là 00 - Góc bẹt: Góc có số đo là 180 hay rađian (4) - Góc vuông: Góc có số đo là 900 hay rađian + Góc định hướng: Góc định hướng hợp hai tia OA và OB, lấy theo thứ tự đó, kí hiệu (OA; OB) là góc mà cạnh góc gốc OA phải quay theo chiều nào đó để đến trùng với caûnh ngoün OB - Nếu OA quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ để đến trùng với OB thì (OA; OB) > 0, chiều quay gọi là chiều dương - Nếu OA quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì B B (OA; OB) < 0, chiều quay gọi là chiều âm O A O A 1.1.2 Vị trí khái niệm góc hệ thống tri thức toán: Trong hệ thống tri thức Toán, khái niệm góc đóng vị trí quan trọng Điều này thể qua các mặt sau: a Quan hệ góc và các khái niệm bản: Điểm, đường và mặt: Điểm, đường và mặt là ba khái niệm không định nghĩa Mối quan hệ góc và ba khái niệm này thể cách rõ nét là khái niệm góc định nghĩa dựa vào ba khái niệm đó Ta đã định nghĩa: góc là phần mặt phẳng giới hạn hai tia xuất phát từ cùng điểm Vậy điểm nhắc đến định nghĩa chính là đỉnh góc Mà để có khái niệm tia thì thiết phải có các khái niệm điểm và đường thẳng Vì tia chính là phần đường thẳng có gốc Qua đây ta khẳng định ba đối tượng bản: Điểm, đường và mặt đã tạo nên khái niệm góc b Quan hệ góc và các quan hệ bản: Các quan hệ nhắc đến đây là quan hệ song song và quan hệ vuông góc Từ khái niệm góc mà ta có hai khái niệm đó Thật vậy, góc tạo hai đường thẳng bất kì là góc vuông (5) thì ta nói hai đường thẳng này có quan hệ vuông góc với hay ta thường gọi là hai đường thẳng vuông góc; còn hai đường thẳng cắt đường thẳng tạo thành cặp góc so le thì hai đường thẳng đó không có điểm chung Hai đường thẳng không có điểm chung chính là hai đường thẳng song song c Quan hệ góc và đa giác: Mối quan hệ góc và đa giác thể qua khái niệm góc đa giác Khái niệm góc cho ta khái niệm góc đa giác Góc đa giác chính là góc tạo hai cạnh đa giác đó Vậy với đa giác n cạnh thì đa giác đó có n góc Cũng từ đây ta có các khái niệm góc trong, góc ngoài tam giác và tứ giaïc d Mở rộng khái niệm góc: Thực chất khái niệm góc nêu mục 1.1 chính là khái niệm góc hai tia Từ khái niệm góc hai tia mà ta có thể định nghĩa thêm các khái niệm sau: + Góc hai đường thẳng cắt + Góc hai đường thẳng không cắt nhau: (chéo song song) + Góc đường thẳng và mặt phẳng + Góc nhị điện + Góc khối e Tỉ số lượng giác góc: Khái niệm góc cho ta xác định tỉ số lượng giác góc bất kì không qua tỉ số lượng giác góc nhọn (a < < 900) Từ đó ta có các hàm lượng giác sin, cosin, tang, cotang các góc DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC: 2.1 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm: "Trong việc dạy học toán việc dạy học khoa học nào trường phổ thông, (6) điều quan trọng bậc là hình thành cách vững cho học sinh hệ thống khái niệm Đó là sở toàn kiến thức toán học học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng đến việc phát triển trí tuệ đồng thời góp phần giáo dục giới quan cho học sinh (Qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển các khái niệm toán hoüc)" Việc dạy học các khái niệm toán học trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh đạt các yêu cầu sau: a Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho khái niệm b Biết nhận dạng khái niệm; tức là biết phát xem đối tượng cho trước có thuộc phạm vi kiến thức nào đó hay không, đồng thời biết thể khái niệm, nghĩa là biết tạo đối tượng thuộc phạm vi khái niệm cho trước c Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa số khái niệm d Biết vận dụng khái niệm tình cụ thể hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn e Biết phân loại khái niệm và nắm mối quan hệ khái niệm với khái niệm khác hệ thống khái niệm Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với Song vì lí sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào đặt với mức độ khái niệm 2.2 Những đường tiếp cận khái niệm: Con đường tiếp cận khái niệm hiểu là quá trình hoạt động và tư dẫn tới hiểu biết khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, giải thích hay thông qua trực giác, mức độ nhận biết đối tượng tình có thuộc khái niệm đó hay không (7) Trong dạy học, người ta phân biệt ba đường tiếp cận khái niệm: - Con đường quy nạp - Con đường suy diễn - Con đường kiến thiết 2.3 Những hoạt động củng cố khái niệm: Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc phát biểu định nghĩa khái niệm đó Một khâu quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường thực các hoạt động sau: - Nhận dạng và thể khái niệm - Hoạt động ngôn ngữ - Khái quát hoá, đặc biệt hoá, và hệ thống hoá khái niệm đã học 2.3.1 Nhận dạng và thể khái niệm: Nhận dạng và thể khái niệm (nhờ định nghĩa tường minh hay ẩn tàng) là hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm Khi tập dượt cho học s inh nhận dạng và thể khái niệm cần lưu ý: Thứ nhất, cần sử dụng đối tượng thuộc ngoại diên lẫn đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó Thứ hai, đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm xem xét thì cần đưa trường hợp đặc biệt khái niệm đó Như làm cho học sinh biết phân biệt các thuộc tính chất và không chất, lại vừa rèn luyện cho các em khả trừu tượng hoá thể chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm không chất Thứ ba, đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm xem xét, trường hợp đặc trưng khái niệm có cấu trúc hội, các phản ví dụ thường xây dựng cho trừ thành viên cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác thoả mãn Thứ tư, trường hợp đặc trưng khái niệm có cấu trúc hội hai điều kiện, cần làm rõ cấu trúc (8) này và hướng dẫn học sinh vận dụng quy tắc định để nhận dạng khái niệm đó 2.3.2 Hoạt động ngôn ngữ: Cho học sinh thực hoạt động ngôn ngữ đây vừa có tác dụng củng cố khái niệm lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh, nhiệm vụ bao trùm mà tất các môn có trách nhiệm thực hiện: - Phát biểu lại định nghĩa lời lẽ mình và biết thay đổi cách phát biểu diễn đạt định nghĩa dạng ngôn ngữ khác - Phân tích nêu bật ý quan trọng chứa đựng định nghĩa cách tường minh hay ẩn taìng 2.3.3 Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá: Để củng cố khái niệm, thầy giáo còn cần thiết và có thể thực nhiều hoạt động khác nữa, trước hết là: - Khái quát hoá: mở rộng khái niệm từ khái niệm âaî cho - Đặc biệt hoá: Xét trường hợp đặc biệt khái niệm - Hệ thống hoá: Sắp khái niệm vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ khái niệm khác hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng, loại hai khái niệm DẠY HỌC KHÍ NIỆM GÓC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ 3.1 Muûc tiãu daûy hoüc: Dựa vào mục tiêu lớn quá trình dạy học thì việc dạy học khái niệm góc trường trung học sở phải làm cho học sinh nắm được: a Về tri thức: + Khái niệm góc, đặc trưng và các dạng thể nó - Đặc trưng góc là số đo góc (9) - Các dạng thể hiện: góc hai đường thẳng, góc đa giác, góc nội tiếp, + Các mối quan hệ góc: - Góc đa giác: Quan hệ góc và góc, góc và cạnh cùng đa giác, nhiều đa giác với - Góc nội tiếp: Quan hệ góc và dây cung, góc và cung chứa góc - Góc quan hệ song song, quan hệ vuông góc: Dấu hiệu để nhận biết hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc + Các góc đặc biệt và các khái niệm mở rộng: - Các góc đặc biệt: góc không, góc vuông, góc beût - Các khái niệm mở rộng: tia phân giác góc, hai góc đối đỉnh, tỉ số lượng giác góc, góc ngoài đa giác, góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn + Các phương pháp chứng minh các bài toán: - Chứng minh góc là góc vuông, góc bẹt, - Chứng minh hai góc là đối đỉnh, nhau, so le, - Chứng minh tia là tia phân giác góc - Chứng minh hai tam giác là đồng dạng, - Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông goïc - Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp b Về kỹ năng: + Thành thạo kỉ nhận dạng khái niệm, đo goïc veî goïc, so saïnh caïc goïc + Kĩ giải các bài tập chứa góc + Kĩ trình bày lời giải suy luận và chứng minh c Về lực trí tuệ: + Khả suy luận logic qua phép chứng minh + Kĩ suy đoán, định hướng tìm tòi lời giải d Về hành vi, thái độ: + Cẩn thận, chính xác (10) + Quan hệ lượng đối, chất đối thông qua xét các trường hợp: góc > 900, < 900, = 900, = 1800 + Quan hệ tương đồng (tam giác đồng dạng) + Quan hệ liên kết (các góc trong, góc ngoài, góc vaì caûnh) 3.2 Caïc näüi dung daûy hoüc: Khái niệm góc đưa vào giảng dạy trường phổ thông học kì II lớp Quá trình dạy học khái niệm góc và dạy học phát triển khái niệm góc thực kéo dài từ lớp đến lớp Nội dung dạyhọc thì đã Bộ Giáo dục quy định sẵn và cụ thể tập phân phối chương trình môn Toán trung học sở Các nội dung dạy học khái niệm góc THCS: Ở chương trình lớp 6, khái niệm góc dạy toàn chương "Góc" với các nội dung: Goïc (1 tiết) Số đo góc tiết) (1 Khi naìo thç (xOy) + (yOz) = (xOz) (1 tiết) Vẽ góc cho biết số đo (1 tiết) Tia phán giaïc cuía goïc (1 tiết) Thực hành đo góc trên mặt đất (1 tiết) Ở lớp 7, và thì nội dung dạy học chủ yếu là dạy học phát triển khái niệm góc Với lớp dạy học phát triển khái niệm góc dạy chương Chương 1: Đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song Hai góc đối đỉnh (1 tiết) (11) Hai đường thẳng vuông góc (1 tiết) Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng (1 tiết) Hai đường thẳng song song (1 tiết) Chæång 2: Tam giaïc Tổng ba góc tam giác (1 tiết) Hai tam giác (1 tiết) Các trường hợp hai tam giác (6 tiết) Các trường hợp hai tam giác vuäng (1 tiết) Chương 3: Quan hệ các yếu tố tam giaïc Quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác (1 tiết) Tính chất tia phân giác tam giác (1 tiết) Với lớp 8, dạy học phát triển khái niệm góc dạy chương: Tam giác đồng dạng Các trường hợp đồng dạng tam giác (3 tiết) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuäng (2 tiết) Với lớp 9, dạy học phát triển khái niệm góc dạy hai chương: Chương: Hệ thống lượng tam giác vuông Một số hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông (2 tiết) Tỉ số lượng giác góc nhọn (2 tiết) Bảng lượng giác (1 tiết) Một số hệ thức cạnh và góc tam giaïc vuäng (2 tiết) (12) Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhoün (2 tiết) Chương: Góc và đường tròn Góc tâm - cung tròn (1 tiết) Góc nội tiếp (1 tiết) Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung (1 tiết) Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đường tròn (1 tiết) Cung chứa góc - cách giải bài toán quỹ tích (1 tiết) Tứ giác nội tiếp đường tròn (1 tiết) Chæång DẠY HỌC KHÁI NIỆM GÓC DẠY HỌC KHÁI NIỆM GÓC 1.1 Muûc tiãu daûy hoüc: Xuất phát từ mục tiêu dạy học khái niệm, đặc điểm và vị trí khái niệm góc, việc dạy học khái niệm góc mở đầu cần làm cho học sinh nắm được: a Về tri thức: - Nắm các đặc điểm đặc trưng khái niệm góc: có đỉnh, cạnh, có điểm trong, điểm ngoaìi - Biết nhận dạng khái niệm góc: phát xem đối tượng nào đó có thuộc phạm vi khái niệm góc không - Biết thể khái niệm góc: tạo đối tượng thuộc phạm vi khái niệm góc - Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm góc, góc bẹt - Viết vận dụng khái niệm góc tình cụ thể để giải các bài tập góc (13) - Hiểu mối quan hệ khái niệm góc với các khái niệm khác b Về kĩ năng: - Thäng thaûo ké nàng veî goïc, veî âeûp vaì chênh xaïc - Kĩ giải bài tập nhận dạng khái niệm góc c Năng lực trí tuệ: - Khả so sánh: so sánh các trường hợp cụ thể để thấy tính chất đặc biệt trường hợp - Khả trừu tượng hoá: phân biệt các đặc điểm chất và không chất trường hợp - Khả khái quát hoá: Tập hợp đặc điểm giống trường hợp để rút đặc điểm đặc trưng khái niệm góc 1.2 Con đường dạy học: Theo lý thuyết đã trình bày chương dạy học khái niệm toán học, dạy học khái niệm góc có thể thực qua ba giai đoạn: - Chuẩn bị tri thức - Giới thiệu khái niệm - Củng cố khái niệm 1.2.1 Chuẩn bị tri thức: Thứ nhất, khái niệm góc không phải là khái niệm hình học dạy đầu tiên chương trình phổ thông Thứ hai, để khái niệm góc định nghĩa phải dựa vào số các khái niệm đã biết Vì để hình thành khái niệm góc trước hết phải hệ thống lại số khái niệm, kĩ đã học lớp làm cho việc tiếp cận khái niệm Kiến thức đã học thì phong phú và đa dạng Tuy nhiên, chúng ta cần chuẩn bị cho học sinh tri thức cần thiết nhất, gần gũi với khái niệm góc cần dạy + Tri thức: Nhắc lại cho học sinh các khái niệm: hình phẳng, tia, hai tia chung gốc, mặt phẳng có (14) bờ, phương pháp để tiếp thu khái niệm mới, chẳng hạn biết cách phát chủng, loại, các đặc điểm đặc trưng khái niệm + Kĩ năng: Yêu cầu học sinh phải biết cách vẽ hình với trường hợp cụ thể cho trước, kĩ phát và giải vấn đề từ trường hợp cụ thể đó Nói tóm lại, trước dạy cho các em khái niệm góc thì phải chuẩn bị cho các em mặt tri thức thật vững vàng Tri thức chuẩn bị đó phải thật và cần thiết 1.2.2 Giới thiệu khái niệm góc: Trong quá trình dạy học, có hai đường để hình thành khái niệm cho học sinh đó là đường quy nạp và đường diễn dịch Người giáo viên phải biết lựa chọn cho mình đường thích hợp để sử dụng Sự lựa chọn đó phải dựa vào nhiều yếu tố Trước hết, là phải dựa vào nội dung kiến thức cần dạy, sau đó là phụ thuộc vào điều kiện sở vật chất trường, vào tâm sinh lí cuía hoüc sinh maì mçnh âang daûy Đối với việc dạy học khái niệm góc; thứ khái niệm góc là khái niệm khó và trừu tượng, thứ hai đặc điểm lứa tuổi học sinh nên tốt nên lựa chọn dạy học theo đường quy nạp Theo đường quy nạp, để hình thành khái niệm góc lớp có thể tiến hành sau: + Giáo viên nêu lại số tri thức mà học sinh đã học lớp để học sinh xem xét: Như đã nói trên để dạy khái niệm góc thì phải hệ thống lại số tri thức cũ: hình phẳng, điểm, đường thẳng, tia, mặt phẳng, nửa mặt phẳng Vậy quá trình đó hãy nêu cho học sinh số trường hợp sau: - Phần mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng cắt điểm - Phần mặt phẳng giới hạn hai tia xuất phát từ cùng điểm (15) - Phần mặt phẳng giới hạn hai nửa mặt phẳng Mặt khác, giáo viên liên hệ với thực tế để nêu cho học sinh số hình ảnh như: các chùm ánh sáng la-de, ánh đèn sân khấu lập thành hình có dạng nào? Làm để học sinh hình dung đầu hình đó hình dạng mà chuïng taûo nãn + Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh các trường hợp trên: Vẽ hình tất các trường hợp nêu trên Tốt là lấy phần mặt phẳng (có chủ ý) giới hạn hai đường thẳng cắt nhau, hai tia chung gốc và hai nửa mặt phẳng cắt gạch chéo phần đó Nhìn vào phần gạch chéo và dựa vào định nghĩa hình phẳng thì thấy đó là hình phẳng Từ đó yêu cầu học sinh suy nghĩ xem các hình này trường hợp đó có điểm gì chung Yêu cầu học sinh phải nói là chúng có âènh vaì hai caûnh Sau đó, so sánh hình tạo thành từ ba trường hợp trên và các hình tạo thành từ chùm tia la-de, từ ánh đèn sân khấu Chắc chắn các em nói là chúng có hình dạng giống + Trên sở nhận xét đạt bước trên, giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu khái niệm góc sách giáo khoa: Sau học sinh đã nhận các hình lập nên từ ba trường hợp và các hình thực tế là giống nhau; và học sinh biết các hình đó có đỉnh và hai cạnh thì giáo viên hãy liên hệ lần với thực tế Cụ thể là so sánh các hình tạo thành này với góc bàn, góc nhà để học sinh nhận xét Học sinh nhận góc bàn, góc nhà có hình dạng giống các hình trên Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh gọi tên các hình đó Có thể học sinh gọi tên là góc Được thì quá trình giới thiệu khái niệm góc có thể nói là thành công vì học sinh tiếp cận khái niệm cách tự nhiên không bị ngỡ ngàng Cũng có thể học sinh chưa gọi tên giáo viên mong (16) đợi chắn học sinh thú vị, dễ hiểu giaïo viãn goüi tãn cho caïc hçnh âoï Luïc naìy thç giaïo viãn hãy đưa khái niệm góc chính xác sách giáo khoa âaî trçnh baìy 1.2.3 Củng cố khái niệm: Quá trình hình thành khái niệm góc chưa kết thúc phát biểu khái niệm Một khâu quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này gồm có cạc hoảt âäüng: + Nhận dạng và thể khái niệm - Đưa cho học sinh phát biểu và cho học sinh xem đó có phải là định nghĩa khái niệm góc hay khäng? Phaíi chàng moüi hçnh coï hai caûnh vaì mäüt âènh là góc? - Khi cho hình cụ thể cho học sinh hãy xác âënh caïc goïc coï hçnh âoï - Xét đến trường hợp đặc biệt khái niệm Chẳng hạn, trường hợp hai cạnh góc trùng nhau, tạo thành hai tia đối + Hoạt động ngôn ngữ: - Cho học sinh phát biểu lại khái niệm góc lời lẽ mình và thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dạng khác - Phân tích, nêu bật ý quan trọng khái niệm góc góc có đỉnh và hai cạnh + Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá: - Khái quát hoá: Mở rộng khái niệm, chẳng hạn khái niệm góc hai đường thẳng, góc tam giác, đường tròn (nếu còn thời gian) - Đặc biệt hoá, xét góc đặc biệt như: góc khäng, goïc vuäng, goïc beût, goïc tuì - Hệ thống hoá, xếp khái niệm góc vào hệ thống các khái niệm toán học, nhận biết mối quan hệ các khái niệm + Quan trọng là biết áp dụng khái niệm góc vào việc giải q uyết các bài tập toán học Đây là mục đích chủ yếu việc dạy học khái niệm (17) 1.3 Nội dung dạy học cụ thể: + Tri thức chuẩn bị: Nhắc lại số khái niệm cũ như: hình phẳng, tia, hai tia xuất phát từ điểm + Phương pháp (Dùng phương pháp vấn đáp): - Hỏi học sinh hình dạng mà tạo nên từ hình ảnh thực tế (thầy giáo đưa hình ảnh đó) có chứa khái niệm góc - Đưa đồ dùng học tập làm sẵn góc (nếu coï) - Vẽ hình góc cụ thể lên bảng và gọi tên hình vừa vẽ là góc - Từ đó đưa khái niệm góc + Näüi dung: Goïc: Khái niệm: Góc là hình gồm hai tia chung gốc y N O y M y x O x O b) c) a) x Hçnh Gốc chung hai tia là đỉnh góc Hai tia là hai caûnh cuía goïc Trên hình 1: Điểm O là đỉnh, hai tia Ox, Oy là hai cạnh góc xOy Các ký hiệu tương ứng là: xOy, yOx, O còn ký hiệu là xOy, yOx, O Góc xOy hình 1b còn gọi là góc MON NOM + Xét các trường hợp cụ thể góc, chẳng hạn như: hai cạnh góc lập thành đường thẳng Cho học sinh suy nghĩ trả lời, từ đó đưa khái niệm góc bẹt Góc bẹt: Góc bẹt là góc có hai cạnh là tia đối (Hçnh 1c) + Khi đã có hai khái niệm góc và góc bẹt cho học sinh nêu số hình ảnh thực tế góc và góc beût (18) + Hướng dẫn học sinh cách vẽ góc và cung cấp thêm cho học sinh khái niệm điểm nằm bên goïc Vẽ góc: Để vẽ góc ta cần vẽ đỉnh và hai cạnh nó Trong hình có nhiều góc, người ta thường thêm hay nhiều vòng cung nhỏ nối hai cạnh góc đó để dễ thấy góc mà ta xét t tới Khi cần phân biệt các góc có chung âènh, chẳng hạn chung đỉnh O hình ta dùng kí y Hçnh hiệu O1, O2 O x Điểm nằm bên góc: Khi hai tia Ox, Oy không đối nhau, điểm M là điểm nằm bên góc xOy tia OM nằm Ox, Oy (Hçnh 3) Khi đó ta còn nói: Tia OM nằm góc xOy + Củng cố: Củng cố lại bài học x nhæ: cách cho học sinh làm số bài tập nhận dạng khái niệm, vẽ góc lấy từ saïch giaïo khoa Hçnh M DẠY HỌC MỞ RỘNG KHÁI NIỆM GÓC: 2.1 Goïc vaì tam giaïc: O 2.1.1 Hai tam giác nhau: y a Định nghĩa: Hai tam giác là hai tam giác có các cạnh tương ứng và các góc tương ứng b Hai tam giác Trường hợp cạnh - góc - caûnh Nếu hai tam giác ABC và A'B'C' có AB =- A'B', Â = Â', AC = A'C' thì hai tam giác đó c Hai tam giác Trường hợp góc - cạnh - goïc Nếu hai tam giác ABC và A'B'C' có Â = Â', AC =- A'C', C = C' thì hai tam giác đó d Hai trường hợp đặc biệt tam giaïc vuäng (19) Định lí 1: Nếu hai tam giác vuông có cạnh huyền và góc nhọn thì hai tam giác vuông Định lí 2: Nếu hai tam giác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông thì hai tam giác vuông e Quan hệ góc và các cạnh đối diện tam giaïc Định lí 1: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn là góc lớn Định lí 2: Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn là cạnh lớn Hệ 1: Tam giác có hai góc là tam giaïc cán Hệ 2: Tam giác có ba góc là tam giác 2.1.2 Hai tam giác đồng dạng: a Khái niệm: Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: A' = A; B' = B; C' = C ; A ' B ' B 'C ' A 'C ' AB BC AC Tỉ số K A'B ' AB gọi là tỉ số đồng dạng b Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Định lí 1: Nếu hai góc tam giác này hai góc tam giác thì hai tam giác đồng dạng Định lí 2: Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác và hai góc tạo hai cạnh đó thì hai tam giác đồng dạng c Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuäng Hai tam giác vuông đồng dạng nếu: - Tam giác vuông này có góc nhọn góc nhoün cuía tam giaïc vuäng - Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông 2.2 Góc và đường tròn: (20) 2.2.1 Góc tâm - cung tròn: Định nghĩa: Góc tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn Số đo cung AB (kí hiệu là sđAB) xác âënh nhæ sau: - Số đo (độ) cung nhỏ AB số đo (độ) góc tâm chắn cung đó - Số đo nửa đường tròn số đo (độ) góc tâm chắn cung đó, tức là 180 - Số đo (độ) cung lớn AB 3600 trừ số âo (âäü) cuía cung nhoí AB Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung gọi là chúng có cùng số đo (độ) - Trong hai cung, cung nào có số đo (độ) lớn cung thì gọi là cung lớn - Nếu C là điểm nằm trên cung AB và chia cung này thành hai cung kí hiệu là AC và BC thì ta có: sâAB = sâAC + sâBC 2.2.2 Góc nội tiếp: - Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh nó cắt đường tròn đó - Trong đường tròn số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn - Các góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung đường tròn thì - Trong đường tròn góc nội tiếp không quá 900 có số đo số đo góc tâm cùng chắn cung - Mọi góc nội tiếp chắn đường tròn là goïc vuäng 2.2.3 Góc tạo tia tiếp tuyến và mäüt dáy cung: (21) Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm có số đo số đo cung bị chắn 2.2.4 Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đường tròn: - Góc có đỉnh bên đường tròn có số đo tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc và các tia đối hai cạnh - Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn có số đo hiệu số đo hai cung bị chắn hai caûnh cuía goïc HỆ THỐNG BAÌI TẬP HỖ TRỢ: 3.1 Phân loại các bài tập góc chæång trçnh: Để phân loại các bài tập góc chương trình ta dựa theo số sở sau: - Nội dung dạy học: Nội dung dạy học là sở để phân loại bài tập Mục đích bài tập là để củng cố lại lý thuyết đã học Làm bài tập thể trình độ tiếp thu và vận dụng lý thuyết Chương trình trung học sở, lý thuyết góc phần lớn là góc hình học phẳng Phần không gian là lý thuyết mở đầu nên chưa cần chú trọng nhiều - Lứa tuổi học sinh: Chúng ta dạy cho học sinh cấp hai Lứa tuổi này, các em không còn là trẻ mà người lớn thì chưa hẳn Đặc biệt lứa tuổi này lực tư phát triển chưa cao nên dạy lý thuyết bài tập hỗ trợ là vừa phải, không nên đòi hỏi quá sức các em Mặt khác, các em lớp lần đầu tiên góc nên cần có bài tập để củng cố lại khái niệm góc mở đầu nhận dạng khái niệm hay tìm số đo góc Đến lớp 8, các em đã học đầy đủ các kiến thức góc đó nên đưa cho các em bài tập mang tính suy luận khoa học, chẳng hạn các bài chứng minh Dựa vào các đặc điểm nói trên thì ta phân loại các bài tập thành các dạng sau: (22) - Nhận dạng khái niệm góc - Tìm số đo góc - Góc các bài toán chứng minh - Góc và các yếu tố lượng giác Dạng 1: Nhận dạng khái niệm góc: Ví dụ: Quan sát hình sau điền vào bảng (a) (b) (c) Hçn Tãn goïc Tãn Tãn Tãn goïc h (Cách viết thông M đỉnh cạnh (Cách viết y kýz hiệu) y thường) x a Goïc yCz, goïc zCy, C Cz, Cy yCz, zCy, C Giaíi: goïc C z Tãn goïc Hçn Tãn Tãn S Tãn goïc P C T P h (Cách viết thông đỉnh cạnh (Cách viết thường) ký hiệu) a Goïc yCz, goïc zCy, C Cz, Cy yCz, zCy, C b goïc C T TM, TP MTP, PTM, T Goïc MTP, goïc PTM, M MT, TP TMP, PMT, M c goïc T P Px, Py xPy, yPx, P Goïc TMP, goïc PMT, S Sy, Sz ySz, zSy, S góc M2: Tìm số đo góc Daûng Goïc xPy, goïc yPx, Ví dụ: Vẽ hai góc kề bù xOy, yOx' biết xOy = 1000 Goüi Oz laì tia phán giaïc cuía goïc xOy, Ot' laì tia phán giaïc cuía goïc x'Oy Tênh x'Ot, xOt', tOt'? Giaíi: Theo giả thiết, góc xOy và góc y yOx' là hai góc kề bù nên tia Oy nằm t hai tia Ox, Ox' và: t' xOx' = xOy + yOx' = 1800 Suy ra: yOx' = 1800 - 1000 = 800 O (Hçnh 5)x Do O't laì tia phán giaïc cuía yOx' x' nên tia Ot' nằm hai tia Oy, Ox' và: x'Ot' = t'Oy = x ' Oy = 400 (23) Do Ot là tia phân giác xOy nên tia Ot nằm hai tia Oy, Ox vaì: xOy xOt = tOy = = 500 Ta có tia Oy nằm hai tia Ox, Ox'; tia Ot nằm hai tia Ox, Oy; tia Ot' nằm hai tia Oy, Ox' Nên tia Oy nằm hai tia Ot, Ot' Do đó: tOt' = tOy + yOt' = 500 + 400 = 900 x'Ot = x'Oy + yOt = 800 + 500 = 1300 xOt' = xOy + yOt' = 1000 + 400 = 1400 Dạng 3: Góc các bài toán chứng minh Ví dụ 1: Hai đường thẳng xx', yy' cắt O Trên mặt phẳng chứa tia Oy' bờ là xx' dựng tia Oz cho xOy = xOz a Chứng minh x'Oy' = xOz b Chứng minh zOx' = x'Oy c Dựng tia phân giác Ot góc zOy' Chứng minh Ot vuông góc với Ox Giaíi: a Theo giả thiết ta có: xOy = xOz (1) Mà xOy = x'Oy' (Hai góc đối đỉnh) (2) Từ (1) và (2) suy x'Oy' = xOz b Ta có x'Oy = y'Ox (hai góc đối đỉnh) Mặt khác: y'Ox = zOy' + xOz = zOy' + xOy = zOy' + y'Ox' = zOx' Suy ra: zOx' = x'Oy c Theo giả thiết ta có: zOt = y'Ot Theo a) xOz = x'Oy' Suy xOz + zOt = x'Oy' + y'Ot => xOt = x'Ot Nãn Ot laì tia phán giaïc cuía goïc xOx' Maì goïc xOx' laì goïc beût Suy xOt laì goïc vuäng Vậy Ot vuông góc với Ox (24) y O x' x z t y' (Hçnh 6) Ví dụ 2: Ở hình ta thấy: BAC = DAC; BCA = DCA và hai điểm B, D nằm trên hai mặt phẳng đối bờ là đường thẳng AC Chứng minh đường thẳng AC là đường trung thực đoạn thẳng BD Chứng minh: Xeït hai tam giaïc ABC vaì ADC coï caûnh AC chung, BAC = DAC; BCA = DCA nãn ABC = ADC => AB = AD => BAD cán taûi A Maì BAC = DAC nãn AC laì phán giaïc cuía BAD Trong tam giác cân BAD phân giác AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến Vậy AC là đường trung trực đoạn thẳng BD Dạng 4: Góc và các yếu tố lượng giác Vê duû: Cho tam giaïc ABC vuäng taûi A Tênh sin B, cos B, tg B, cotg B biết: a BC = 13cm, AB = 12cm b BC = 25cm, AC = 24cm Giaíi: a Tênh AC: AC2 = BC2 - AB2 hay AC2 = 132 – 122 = 25 Vậy AC = 5cm AC AB 12 Do âoï sin B = BC 13 ; sos B = BC 13 12 sin B 12 tgB = cos B 13 13 12 ; sotg B = tgB b AB2 = BC2 - AC2 hay AB2 = 252 - 242 = 49 Vậy AB = 7cm AC 24 AB Do âoï sinB = BC 25 ; sos B = BC 25 (25) sinB 24 24 tgB = cos B 25 25 ; cotg B = tgB 24 3.2 Các bài tập phát triển: Bài 1: Tính số cạnh đa giác, biết tất các góc đa giác và tổng tất các góc ngoài với các góc đa giác có số đo 4680 Giaíi: Gọi n là số cạnh đa giác Tất các góc (n 2)1800 n đa giác nên góc có số đo là Tổng tất các góc ngoài đa giác có số đo 3600 Do đó theo đề tài ta có phương trình: (n 2)1800 n 360 + = 468 (âån vë âäü) Biến đổi phương trình ta có: (n 2)1800 n = 108 suy ra: 72.n = 360 hay n = Vậy đa giác có cạnh Bài 2: Chứng minh tứ giác các đường phân giác hai góc kề cạnh cắt và tạo thành góc tổng hai góc còn laûi Chứng minh: Trong tứ giác ABCD, giả sử ta xét B cạnh CD Gọi Cx và Dy là hai đường phân giác hai góc kề cạnh CD Nếu A Cx vaì Dy song song thç DCx + Cdy x y = 1800 (hai goïc cuìng phêa) Suy M BCD + CDA = 3600 mâu thuẫn với định lí tổng các góc tứ giác Vậy Cx D (Hçnh 8) và Dy phải cắt điểm M (hình 8) Ta có: A + B + C + D = 3600 (1) (Tổng các góc tứ giaïc) C D M + 2 = 1800 giác thường) (2) (Tổng các góc tam C (26) Biến đổi hai phương trình (1) và (2) ta có: 2M = A + B A B Vậy M = Bài 3: Cho tam giác ABC trên mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy đỉnh D cho DB = DC vaì BCD = 1/2 ACB a Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp b Tính tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Giaíi: a ABC là tam giác (hình 9) nên ta có ACB = ABC = 600 A 0 Do âoï DCB = 1/2 ACB = 1/2 60 = 30 Tia CB nằm hai tia AC và CD nên ACD = ACB + BCD = 600 + 300 = 900 (1) Do DB = DC nên tam giác BDC cân D suy C DBC = DCB = 300 Từ đó ta có ABD = B 900 (2) (Hçnh 9) D Từ (1) và (2) suy ra: ACD + ABD = 1800 nên tứ giác ABCD nội tiếp b Vì ABD = 900 nên AD là đường kính, đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là trung điểm AD Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O) D là điểm chuyển động trên cung BC không chứa đỉnh A Nối A với D, hạ CH vuông góc với AD Tìm quỹ tích điểm H Giaíi: Phần thuận: AHC = 900 và đoạn AC cố A Định, đó điểm H nằm trên đường tròn đường kênh AC (hçnh 10) E Giới hạn: Khi D trùng với B thì H trùng với E (Giao điểm đường tròn đường kính AC H O B và cạnh AB) Khi D trùng với C thì H trùng với C Vậy H nằm trên cung EC C D Phần đảo: Lấy điểm H' thuộc cung EC (Hçnh 10) (27) Kẻ tia AH' cắt đường tròn (O) D' Điểm D' thuộc cung BC không chứa A và AH'C = 900 vì là góc nội tiếp chắn đường tròn nên CH' AD' Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm H chân đường vuông góc hạ từ C xuống AD D chuyển động trên cung BC không chứa A, là cung EC (không chứa A) đường tròn đường kính AC 3.3 Các ý tưởng cải tiến nội dung và phæång phaïp: Chúng ta biết hình học đời sớm từ nhu cầu đo đạc ruộng đất và nó luôn gắn với nhu cầu ngày người Qua dạy học khái niệm ta thấy sách giáo khoa hình học trung học sở Việt Nam đặt yêu cầu chủ yếu là rèn luyện tư logic suy luận diễn dịch cho học sinh Trong suốt các sách giáo khoa từ lớp đến lớp là các hình học trừu tượng, các định nghĩa, định lí và chứng minh cụ thể định nghĩa khái niệm góc lớp Sách giáo khoa lớp 6: Mọi khái niệm sách giao khoa mô tả trực giác từ đến định nghĩa đặc biệt là chưa có các mục định lí, tính chất Hầu hết lớp dạy các định nghĩa khái niệm Ngay từ lớp đã nêu ra: "Cái đích cần đạt là học sinh biết lập luận có cứ" (Sách giáo viên lớp 7) Khi giải thích các kỹ hình học có nói đến năm loại kỹ (vận dụng công thức, hệ thức hình học; suy luận; sử dụng chính xác ngôn ngữ hình học; hình học hoá tình thực tế) sách giáo khoa lẫn sách giáo viên, các kỹ khác mờ nhạt so với kỹ suy luận Điều này thể hiển rõ việc giải các bài tập chứng minh góc phần trên đã làm Đối với các yêu cầu mức độ cần đạt lớp Sách giáo khoa lớp "Biên soạn theo hệ thống chặt chẽ", có nghĩa là: - Mọi khái niệm sử dụng rộng rãi sách giáo khoa định nghĩa, tránh mô tả trực giác xuất phát từ định nghĩa đã biết trước đó (khác với lớp 6) (28) - Mọi định lí phải chứng minh, xuất phát từ tính chất đã công nhận và từ định lí đã biết nhờ phép chứng minh suy diễn Qua thực tế dạy học góc ta thấy yêu cầu suy luận diễn dịch trung học sở ta là quá cao, không phù hợp với tâm sinh lí học sinh, học sinh không tiếp thu nổi, và có tiếp thu điều gì thì là hình thức, học sinh ít hứng thú với män hoüc Do nhiều nguyên nhân khác (trong đó có nguyên nhân khách quan) sách giáo khoa hình học quá ngắn gọn tập trung vào suy luận và chứng minh, ít hình vẽ, ít tranh ảnh, mô hình vật lí các khái niệm và tính chất hình học Chẳng hạn, dạy học góc lớp nội dung lí thuyết ngắn có số ít các khái niệm trình bày, khái niệm chủ yếu nêu định nghéa Để việc dạy học khái niệm góc nói riêng và män hçnh hoüc noïi chung (theo saïch giaïo khoa hçnh hoüc hành) thực tốt các nhiệm vụ môn, khắc phục tình trạng học sinh nghe giảng thụ động và luyện tập áp dụng cách máy móc, cần đặc biệt chú trọng cho học sinh thực hành với hình vẽ, kết hợp rèn luyện bước phương pháp làm việc và tư khoa học (quan sát, thực nghiệm, tìm tòi, dự đoán, lập luận có ) Xin bổ sung số ý kiến quanh các vấn đề bản, có quan hệ mật thiết với dạy học hình học, theo định hướng làm cho môn hình học dễ học hơn, gần với đời sống: thực hành với hình vẽ, luyện tập suy luận quy nạp, làm quen với suy luận diễn dịch và chứng minh I Thực hành với hình vẽ: Hình vẽ giúp hình dung các vật thể giới hình học xung quanh, giúp phát triển lực quan sát, phân tích, mô tả, giúp phát triển trí tưởng tượng không gian, là chỗ dựa trực giác cho việc nắm vững các khái niệm hình học và cho suy luận Các hoạt động với hình vẽ là: vẽ hình, dựng hình, đo đạc trên hình, gấp hình, cắt ghép hình, đọc hçnh (29) Cho học sinh thực hành với hình vẽ cách: - Vẽ hình trên giấy kẻ ô - Veî hçnh khäng duìng duûng cuû - Vẽ (dựng) hình gần với đời sống II Luyện tập suy luận quy nạp: Trong thực tế dạy học hình học nay, chúng ta thường nói đến suy luận diễn dịch, đến chứng minh Điều đó không thoả đáng là trung học sở Do ý nghĩa to lớn suy luận quy nạp, dạy học hình học cần khai thác hội để hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện, dự đoán các tính chất, các quan hệ cách: - Hướng dẫn tìm tòi, dự đoán trước chứng minh - Chú ý thích đáng bài tập tìm tòi dự âoạn III Làm quen với suy luận diễn dịch và chứng minh: Làm quen với suy luận diễn dịch và chứng minh qua môn hình học trường trung học sở là vấn đề khó khăn và phức tạp, đặc biệt là lớp 7, môn học bắt đầu có hệ thống Điều này phụ thuộc vào yêu cầu, nội dung và cấu trúc chương trçnh vaì saïch giaïo khoa KẾT LUẬN Nội dung sáng kiến đã nghiên cứu đường "Dạy học khái niệm góc chương trình Toán trung học sở" (30) Trong chương 1, sáng kiến đã trình bày sở lí luận chung dạy học khái niệm toán học, vị trí khái niệm góc hệ thống các khái niệm và hệ thống lại nội dung dạy học khái niệm góc cho chương trình cấp làm tiền đề cho việc dạy học khái niệm góc Trong chương sáng kiến tập trung nghiên cứu đường hình thành khái niệm và vào dạy học khái niệm góc mở đầu, giải số bài tập ứng dụng Qua đó đề xuất các phương pháp để nâng cao chất lượng cho quá trình dạy học Do hạn chế mặt kiến thức trường trung học sở nên sáng kiến nghiên cứu phương pháp dạy học khái niệm góc hình học phẳng Do đó sáng kiến chưa nghiên cứu khái niệm góc các lénh væûc khaïc nhæ: hçnh hoüc khäng gian vaì hçnh hoüc giải tích Nếu phát khái niệm góc lĩnh vực đó thấy vai trò, vị trí quan trọng khái niệm góc hệ thống tri thức toán học thể rõ nét TAÌI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim Phỉång phạp dảy hoüc män Toạn (31) NXB ÂHSP Ngô Trần Aïi - Vũ Dương Thuỵ Phương pháp dạy học hình học trường trung học sở Sách giáo khoa Toán 6, tập NXB Giaïo duûc Saïch giaïo khoa Hçnh hoüc 7, 8, NXB Giaïo duûc Sạch giạo viãn Toạn 6, 7, 8, NXB Giaïo duûc Sách bài tập Toán NXB Giaïo duûc Phân phối chương trình dạy học môn Toán trung học sở NXB Giaïo duûc MUÛC LUÛC Mở đầu Lí chọn đề taìi Nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc đề taìi (32) Chương Cơ sở lí luận Khái niệm goïc Dạy học khái niệm Toán hoüc .5 Dạy học khái niệm góc chương trình THCS 10 Chương 2: Dạy học khái niệm goïc 14 Dạy học khái niệm goïc 14 Dạy học mở rộng khái niệm goïc .19 Hệ thống bài tập hỗ trợ .22 Kết luận 31 Tài liệu tham khaío .32 Muûc luûc 33 (33)