Về nửa nhóm số hầu đối xứng với bội 5

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong suốt q trình làm luận văn, Cơ dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn Cơ ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số Frobenius tập Apéry 1.2 Phân loại nửa nhóm số 1.2.1 Nửa nhóm số đối xứng 1.2.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 10 1.2.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 12 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.2 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội 25 2.2.1 Vành nửa nhóm số 25 2.2.2 Đặc trưng iđêan định nghĩa vành nửa nhóm hầu đối xứng bội Tài liệu tham khảo 28 36 iii Mở đầu Cho nửa nhóm số H = n1 , , nr = {c1 n1 + c2 n2 + + cr nr | ci ∈ Z} hữu hạn sinh số nguyên dương {n1 , , nr } Khi ta nói r chiều nhúng, n1 bội H với kí hiệu tương ứng emb(H) e(H) Tập khoảng trống tập G(H) = N \ H số g(H) =| G(H) | gọi giống H Số Frobenius, ký hiệu F(H), số nguyên lớn không thuộc H Số nguyên x giả Frobenius x ∈ / H x + h ∈ H, với h ∈ H \ {0} tập tất số giả Frobenius H ký hiệu PF(H), số phần tử tập PF(H) gọi kiểu H, ký hiệu t(H) Trong lý thuyết nửa nhóm số, có ba lớp quan trọng quan tâm nghiên cứu nhiều nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng Cho trước nửa nhóm số bất kỳ, việc xác định xem chúng thuộc loại toán phức tạp Nhiều tác giả nghiên cứu nửa nhóm số với chiều nhúng việc phân loại nửa nhóm số giả đối xứng với chiều nhúng mô tả tường minh [5], [13] Ta có phân loại tất nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng với bội nhóm số có dạng H = a, b, c, d với a 4, nghĩa nửa Nếu a = t(H) = H hầu đối xứng sau thay đổi biến ta có b = 2α + β + 1, c = 2β + 2, d = 2α + 3β − 1, α số nguyên dương β số nguyên dương chẵn (xem [12, Định lý 2.6] [14]) Trường hợp nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng với bội a = 5, nghĩa nửa nhóm số có dạng H = 5, b, c, d , nhờ cơng trình H Nari, T Numata and K Wanatabe [14], ta tính tường minh số b, c, d (sau hoán vị cần thiết) thỏa mãn điều kiện định thu nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng Cho k trường Khi vành nửa nhóm số k[H] liên kết với H đại số vành đa thức k[t] sinh đơn thức t ni , hay k[H] = k[t n1 , ,t nr ] Cho R := k[x1 , , xr ] vành đa thức r biến k, đặt I = IH hạt nhân toàn cấu tự nhiên ϕ : R → S := k[H] định nghĩa ϕ(xi ) = t ni , với i r Nếu ta xem R S vành phân bậc S0 = R0 = k, degt = deg xi = ni , với i r với phân bậc này, I iđêan sinh nhị thức gọi iđêan định nghĩa H vành S ⊂ k[t] có biểu diễn thương R/I Vành nửa nhóm số xem cầu nối Số học Đại số, nhiều tính chất nửa nhóm số phản ánh tính chất đại số vành nửa nhóm liên kết với chúng Đặc biệt, có nhiều nghiên cứu tính chất đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng H thông qua số phần tử sinh iđêan định nghĩa I (xem [4], [7], [8], [12], [13], ) Ký hiệu µ(I) số phần tử sinh I Khi chiều nhúng r = 3, J Herzog [8] đưa đặc trưng đầy đủ iđêan định nghĩa I ông chứng minh µ(I) Khi r = H nửa nhóm giả đối xứng, iđêan định nghĩa I mô tả chi tiết H Bresinsky [4] với kết µ(I) Mục đích luận văn tìm hiểu nửa nhóm số hầu đối xứng với bội chiều nhúng Các kết chương viết dựa theo báo H Nari, T Numata and K Wanatabe [14] Cấu trúc luận văn gồm hai chương Chương dành để nhắc lại kết số Frobenius, giả Frobenius, tập Apéry mối liên hệ khái niệm Trong chương 1, việc phân loại thành lớp nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng chứa đặc trưng chúng đưa chứng minh chi tiết Chương chứng minh lại kết H Nari, T Numata and K Watanabe báo [14] Mục dành để chứng minh chi tiết đặc trưng nửa nhóm số có bội chiều nhúng Kết Mục hệ Mục 1, tính tường minh iđêan định nghĩa I vành nửa nhóm số k[H], qua tính µ(I) = H giả đối xứng µ(I) = H hầu đối xứng với t(H) = Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số Frobenius tập Apéry Ký hiệu Z N tương ứng tập số ngun số ngun khơng âm Ta nói tập H ⊂ N nửa nhóm ∈ H H + H ⊆ H Cho H nửa nhóm N Nếu tồn số r > n1 < < nr ∈ N cho H = Nn1 + + Nnr = {k1 n1 + + kn nr |ki ∈ N} ta nói H sinh n1 , , nr Ta nói H sinh tối thiểu n1 , , nr tập thực tập {n1 , , nr } khơng sinh H Khi ta nói emb(H) = r chiều nhúng, e(H) = n1 bội H, tập khoảng trống G(H) = N \ H số g(H) =| G(H) | giống H Khi ta ký hiệu H = n1 , , nr N \ H tập hữu hạn ta nói H nửa nhóm số Ta có kết sau Định lý 1.1.1 Cho r H = n1 , , nr Khi gcd(n1 , , nr ) = N \ H tập hữu hạn Chứng minh Giả sử N \ H tập hữu hạn Ta đặt gcd(n1 , , nr ) = d Khi số thuộc tập H chia hết cho d nên d > số tự nhiên có dạng kd + 1, với k ∈ N, không thuộc tập H, dẫn đến N \ H tập vô hạn, suy mâu thuẫn Vậy d = Ngược lại, giả sử r = 2, tức H = n1 , n2 gcd(n1 , n2 ) = • Trường hợp n1 = n2 = H = {k1 n1 + k2 n2 |ki ∈ N} = N Do N \ H = 0/ tập hữu hạn • Trường hợp n1 > n2 > Theo định lý Bezout, tồn số nguyên tố s1 , s2 cho s1 n1 + s2 n2 = Ta giả sử s1 > s2 < Cho k > số nguyên đủ lớn, ta viết k = qn2 + t, ≤ t < n2 , k = qn2 + t(s1 n1 + s2 n2 ) = ts1 n1 + (q + ts2 )n2 Vì k đủ lớn nên ta có (q + ts2 ) > 0, kéo theo k ∈ H Do N \ H tập hữu hạn Lập luận tương tự với trường hợp r > Từ Định lý 1.1.1, ta thấy H = n1 , , nr nửa nhóm số gcd(n1 , , nr ) = Ta nhắc lại số định nghĩa tính chất sở số Frobenius, giả Frobenius tập Apéry (xem [1], [3]) Định nghĩa 1.1.2 (i) Số Frobenius, ký hiệu F(H), số nguyên lớn khơng thuộc H (ii) Ta nói số nguyên x giả Frobenius x ∈ / H x + h ∈ H, với h ∈ H \ {0} Ta ký hiệu PF(H) tập số giả Frobenius H PF(H) = {x ∈ / H | x + h ∈ H, ∀ = h ∈ H} = {x ∈ / H | x + ni ∈ H, ∀i = 1, , r} (iii) Kiểu H, ký hiệu t(H), số phần tử tập PF(H) (iv) Cho n = phần tử thuộc H Tập Apéry ứng với n H tập Ap(H, n) = {h ∈ H | h − n ∈ / H} Chú ý 1.1.3 (i) F(H) số lớn tập PF(H) Thật vậy, giả sử ngược lại F(H) ∈ / PF(H) Khi tồn h ∈ H \ {0} cho F(H) + h ∈ / H Nhưng điều mâu thuẫn với tính cực đại định nghĩa số F(H) Do F(H) số lớn tập PF(H) (ii) Cho viết d H H quan hệ hai xác định H sau: với d, d ∈ Z, ta d d − d ∈ H Khi (Z, ≤H ) tập thứ tự phần PF(H) tập gồm phần tử cực đại Z \ H theo quan hệ ≤H (iii) Với nửa nhóm số H, ta ký hiệu tập g − H = {F(H) − h | h ∈ H} Khi H g − H khơng giao F(H) − h ∈ g − H, F(H) − h ∈ H (F(H) − h) + h = F(H) ∈ H, vô lý (xem [5]) (iv) Số Frobenius số thuộc hai tập PF(H) tập g − H Thật vậy, theo ý (i), ta có F(H) số lớn thuộc tập PF(H) Mặt khác, ta có F(H) = F(H) − ∈ g − H Lấy phần tử x ∈ g − H x = F(H), tồn < h ∈ H cho x = F(H) − h Do ta có x + h = F(H) ∈ / H, suy x∈ / PF(H) (xem [5]) Ví dụ 1.1.4 (1) Cho nửa nhóm H = 5, Khi ta F(H) = 19, PF(H) = 19 = {F(H)} t(H) = G(H) = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19} g(H) = 10 Tập g − H = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19} Ta thấy G(H) = g − H F(H) ∈ PF(H) F(H) ∈ g − H Tập Apéry Ap(H, 5) = {0, 6, 12, 18, 24} x∈H x∈ /H ↓ ↓ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2) Cho H = 4, 7, Khi F(H) = 10, PF(H) = {5, 10} ⊃ {F(H)} nên t(H) = tập khoảng trống G(H) = {1, 2, 3, 5, 6, 10} g(H) = Ta thấy tập g − H = {1, 2, 3, 6, 10}, F(H) ∈ PF(H) F(H) thuộc g − H Tập Apéry Ap(H, 4) = {0, 7, 9, 14} x∈H x∈ /H ↓ ↓ 10 11 12 13 14 15 (3) Cho H = 5, 9, 11, 17 Khi F(H) = 13, PF(H) = {6, 12, 13} nên t(H) = G(H) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13}, g(H) = Ta tìm tập g − H = {2, 3, 4, 8, 13} Rõ ràng F(H) = 13 thuộc hai tập PF(H) (iii) Tồn nửa nhóm số đối xứng H = 5, b, c, d với F(H) = f f lẻ f Chứng minh (i) Theo Định lý 2.1.3,(i), ta chọn α, β 1, thỏa mãn điều kiện β − α ≡ 2(mod 5) ta có H = 5, b, c, d giả đối xứng với số Frobenius F(H) = 4α + 6β − Vậy ta chọn α, β = thỏa mãn điều kiện định lý số Frobenius chẵn nhỏ thỏa mãn F(H) = (ii) Theo Định lý 2.1.3, (ii), ta chọn α 1, β 2, với β −α ≡ (mod 5) ta có H = 5, b, c, d H hầu đối xứng với t(H) = F(H) = 4α + 6β − 13 Nếu ta chọn α = 1, β = F(H) = < 5, khơng thỏa mãn Vậy ta chọn α = 2, β = thỏa mãn điều kiện định lý số Frobenius lẻ nhỏ thỏa mãn F(H) = (iii) Theo Định lý 2.1.3, (iii), ta chọn α, β 1, với β ≡ α (mod 5) Do ta chọn α = 2, β = thõa mãn điều kiện định lý số Frobenius lẻ nhỏ thỏa mãn F(H) = Ví dụ 2.1.6 (i) Cho F(H) = f = 24 Khi f không bội f Theo Định lý 2.1.5,(i) ta có số Frobenius F(H) = 4α + 6β − = 24 Từ ta tìm nghiệm α = 2, β = thỏa mãn Định lý 2.1.3,(i) với α, β 1, β − α ≡ 2(mod 5) Vì b = 3α + 2β + = 13, c = α + 4β + = 16, d = 2α + 3β + = 17, H = 5, b, c, d = 5, 13, 16, 17 nửa nhóm số giả đối xứng thỏa mãn điều kiện cho (ii) Cho F(H) = f = 33 Khi f khơng bội f Theo Định lý 2.1.5,(ii) ta có F(H) = 4α + 6β − 13 = 33 Từ tìm nghiệm α = β = thỏa mãn Định lý 2.1.3,(ii) với α 1, β 2, β − α ≡ 3(mod 5) Vì b = 3α + 2β − = 21, c = α + 4β − = 22, d = 2α + 3β + = 27, H = 5, b, c, d = 5, 21, 22, 27 nửa nhóm số hầu đối xứng với t(H) = thỏa mãn điều kiện cho 24 (iii) Cho F(H) = f = Khi f khơng bội f = Theo Định lý 2.1.5,(iii) ta có F(H) = 4α + 6β − = Từ ta tìm nghiệm α = 2, β = thỏa mãn Định lý 2.1.3,(iii) với α, β 1, α ≡ β (mod 5) Vì b = 3α + 2β = 8, c = α + 4β = 6, d = 2α + 3β = 7, H = 5, b, c, d = 5, 8, 6, hay đổi vị trí b, c, d ta H = 5, 6, 7, nửa nhóm số đối xứng thỏa mãn điều kiện cho 2.2 2.2.1 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội Vành nửa nhóm số Cho nửa nhóm số H = {c1 n1 + c2 n2 + + cr nr | ci ∈ Z} hữu hạn sinh số nguyên dương {n1 , , nr } Cho k trường Khi vành nửa nhóm số k[H] liên kết với H đại số vành đa thức k[t] sinh đơn thức t ni , nói cách khác k[H] = k[t n1 , ,t nr ] Cho R := k[x1 , , xr ] vành đa thức r biến k, đặt I = IH hạt nhân toàn cấu tự nhiên ϕ : R → S := k[H] định nghĩa ϕ(xi ) = t ni , với i r Nếu ta xem R S vành phân bậc S0 = R0 = k, degt = deg xi = ni với i r với phân bậc này, I iđêan sinh nhị thức gọi iđêan định nghĩa H vành S ⊂ k[t] có biểu diễn thương R/I Rất nhiều tính chất nửa nhóm số phản ánh tính chất đại số vành nửa nhóm liên kết với chúng, nhiều nghiên cứu tính chất đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng H thông qua số phần tử sinh iđêan định nghĩa I (xem [4], [7], [8], [12], [13], ) Ký hiệu µ(I) số phần tử sinh I Khi chiều nhúng r = 3, J Herzog [8] đưa đặc trưng đầy đủ iđêan định nghĩa I ông chứng minh µ(I) Khi r = H nửa nhóm giả đối xứng, iđêan định nghĩa I mô tả chi tiết H Bresinsky [4] với kết µ(I) Mục đích phần chứng minh lại chi tiết kết 25 H Nari, T Numata K Watanabe [14] nửa nhóm số có chiều nhúng bội 5, kết họ µ(I) = H giả đối xứng µ(I) = H hầu đối xứng với t(H) = Mệnh đề sau [14, Mệnh đề 2.8] cho ta mô tả chi tiết phần tử sinh iđêan định nghĩa Mệnh đề 2.2.1 Cho H = n1 , , nr nửa nhóm số I iđêan định nghĩa H Một nhị thức f = ∏ri=1 xiαi − ∏ri=1 xi i thuộc I ∑ri=1 αi ni = ∑ri=1 βi ni deg f = ∑ri=1 αi ni ứng với phân bậc β Ví dụ 2.2.2 (i) Cho r = H = a, b nửa nhóm số sinh a, b, vành đa thức biến trường k R = k[X,Y ] S := k[H] = k[t a ,t b ] vành nửa nhóm số H Khi ánh xạ ϕ : k[X,Y ] → S đồng cấu k-đại số cho ϕ(X) = t a , ϕ(Y ) = t b , ta có I = (Y a − X b ) iđêan định nghĩa H k[X,Y ]/I S (ii) Cho r = H = a, b, c nửa nhóm số sinh a, b, c R = k[X,Y, Z] vành đa thức biến trường k Khi đồng cấu k- đại số ánh xạ ϕ : k[X,Y, Z] → k[H] = k[t a ,t b ,t c ] , cho ϕ(X) = t a , ϕ(Y ) = t b ϕ(Z) = t c Cho I = Kerϕ iđêan định nghĩa H Có nhiều tác giả nghiên cứu để tính I trường hợp cụ thể Chẳng hạn, J Herzog [8] chứng minh H khơng đối xứng I sinh định thức cực đại ma trận vuông ma trận X α Y β Zγ X α Y β Zγ với α, β , γ, α , β , γ số nguyên dương Ở đây, ta quan tâm đến phương pháp tính iđêan định nghĩa I đưa [10] [11] theo cách sau: Thứ nhất, ý nghiệm α = (u, v, w) phương trình Diophantine ua + vb + wc = cho ta nhị thức thuộc I theo cách sau: Ta viết véc tơ α = α + − α − , thành phần α + , α − khơng âm, + − + α+ α+ α+ − α− α− α− xα − xα ∈ I, xα = x1 x2 x3 xα = x1 x2 x3 Ngược lại, xα − xβ ∈ I xα , xβ khơng có nhân tử chung (u, v, w) := α − β nghiệm phương trình ua + vb + wc = 26 Thứ hai, rõ ràng để tìm nghiệm (u, v, w) phương trình Diophantine ua + vb + wc = tương đương với tìm nghiệm (s, p, r) phương trình Diophantine sb − pc = Cho s0 số tự nhiên nhỏ cho (s0 , 0, r0 ) nghiệm phương trình sb − pc = Ta đặt p0 = cho p1 số tự nhiên nhỏ cho (s1 , p1 , r1 ) nghiệm phương trình sb − pc = ra, ≤ s1 < s0 Chú ý s0 = gcd(a, b) a p1 = gcd(a, b) gcd(a, b, c) Bây ta định nghĩa số si , pi , ri , qi với i ≥ Dùng thuật toán Euclid mở rộng   s0 = q2 s1 − s2        s1 = q3 s2 − s3 =     sm−1 = qm+1 sm    s m+1 = qi ≥ 2, si ≥ với i = 2, , m + Với i = 1, , m, ta định nghĩa pi+1 , ri+1 pi+1 = pi qi+1 − pi−1 , ri+1 = ri qi+1 − ri−1 Khi với i = 0, , m, ta có si pi+1 − si+1 pi = s0 p1 = a , gcd(a, b, c) dãy si , ri giảm, dãy pi tăng Khi kết sau chứng minh [11, Định lý 4.1] cho phép ta tính iđêan định nghĩa I = (ysµ − xrµ z pµ , z pµ+1 − x−rµ+1 ysµ+1 , ysµ −sµ+1 z pµ+1 −pµ − xrµ −rµ+1 ), µ số ngun cho rµ > ≥ rµ+1 Ta xét ví dụ cụ thể Chẳng hạn, cho H = 3, 5, Khi s0 = gcd(3, 5) = p1 = = gcd(3, 5) gcd(3, 5, 7) • Tính si : Để tìm s1 , ta tìm nghiệm nguyên phương trình bậc 5s1 + 7p1 = 3r1 với ý s1 < s0 = Thử giá trị s1 = 1, s1 = vào phương trình trên, ta thấy s1 = thỏa mãn Tiếp tục, s0 = q2 s1 − s2 nên ta có 27 = 2q2 − s2 = × − 1, suy s2 = q2 = Tương tự, s1 = q3 s2 − s3 nên = × q3 − s3 = × − 0, suy s3 = q3 = • Tính pi : Áp dụng cơng thức pi+1 = pi qi+1 − pi−1 để tính pi với ý p0 = 0, p1 = ta có p2 = p1 q2 − p0 = p3 = p2 q3 − p1 = • Tính ri : Tiếp theo ta tính ri phương trình sb − pc = (hoặc công thức ri+1 = ri qi+1 − ri−1 ) Vì 5s0 − 7p0 = 3r0 nên 3r0 = × − × hay r0 = Tương 5s1 − 7p1 = 3r1 nên r1 = 1, 5s2 − 7p2 = 3r2 nên r2 = −3, 5s3 − 7p3 = 3r3 nên r3 = −7 Tóm lại, ta có µ s p r 1 2 −3 3 −7 Ta thấy µ = số nguyên cho r1 > r2 thỏa mãn điều kiện [11, Định lý 4.1] Vì iđêan định nghĩa H I = (ysµ − xrµ z pµ , z pµ+1 − x−rµ+1 ysµ+1 , ysµ −sµ+1 z pµ+1 −pµ − xrµ −rµ+1 ) = (y2 − xz, z2 − x3 y, yz − x4 ) 2.2.2 Đặc trưng iđêan định nghĩa vành nửa nhóm hầu đối xứng bội Khi H nửa nhóm số có chiều nhúng từ trở lên việc tìm iđêan định nghĩa H nói chung phức tạp Từ Định lý 2.1.3, ta đưa mơ tả đầy đủ cho việc tính iđêan định nghĩa nửa nhóm số hầu đối xứng với bội chiều nhúng Hệ 2.2.3 Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số với bội I iđêan định nghĩa Khi đó: (i) H giả đối xứng sau thay đổi vị trí biến cần thiết, I tính sau I = (X α+β +1 −YW,Y − X α Z, Z − X β W,W − XY Z, X β +1Y − ZW ), (1) 28 α, β α − β ≡ (mod 5) (ii) H hầu đối xứng với t(H) = sau thay đổi thứ tự biến cần thiết, I có dạng I = (X α+β −1 −YW, X α+β −2 Z −W , X α Z −Y , X β W −Z , XW −Y Z, X β −1Y −ZW ), (2) với α 1, β 2, β − α ≡ (mod 5) (iii) H đối xứng sau thay đổi thứ tự biến cần thiết, I tính sau: I = (X α+β −YW,W −Y Z, X α Z −Y , X β W − Z , X β Y − ZW ), (3) α, β với α ≡ β (mod 5) Chứng minh Ta đặt R = k[X,Y, Z,W ] S = k[H] Xét đồng cấu ϕ : R → S cho ϕ(X) = t , ϕ(Y ) = t b , ϕ(Z) = t c ϕ(Z) = t d (i) Giả sử iđêan định nghĩa I thỏa mãn công thức (1) Theo định nghĩa iđêan định nghĩa, ta có ϕ(X α+β +1 ) = ϕ(YW ) ⇒ t 5(α+β +1) = t b+d ⇒ b + d = 5(α + β + 1), ϕ(Y ) = ϕ(X α Z) ⇒ t 2b = t 5α+c ⇒ 2b = 5α + c, ϕ(Z ) = ϕ(X β W ) ⇒ t 2c = t 5β +d ⇒ 2c = 5β + d, ϕ(W ) = ϕ(XY Z) ⇒ t 2d = t 5+b+c ⇒ 2d = + b + c, ϕ(X β +1Y ) = ϕ(ZW ) ⇒ t 5(β +1)+b = t c+d ⇒ c + d = 5(β + 1) + b Do giải hệ phương trình:    b + d = 5(α + β + 1)       2b = 5α + c    2c = 5β + d      2d = + b + c      c + d = 5(β + 1) + b α, β ta   b = 3α + 2β +    c = α + 4β +    d = 2α + 3β + 4, 1, β − α ≡ (mod 5) Vậy theo Định lý 2.1.3, (i) ta có H giả đối xứng 29 Ngược lại, giả sử H giả đối xứng Khi đó, ta xếp b, c, d cho thỏa mãn b = 3α + 2β + 1, c = α + 4β + 2, d = 2α + 3β + 4, α, β β − α ≡ (mod 5) Dễ thấy b + d = 5α + 5β + 5; 2b = 6α + 4β + = 5α + c; 2c = 2α + 8β + = 5β + d; 2d = 4α + 6β + = + b + c; c + d = 3α + 7β + = 5(β + 1) + b Vì ta có ϕ(X α+β +1 −YW ) = t 5(α+β +1) − t b+d = t 5(α+β +1) − t 5α+5β +5 = 0, suy phần tử X α+β +1 −YW ∈ Kerϕ Tương tự ta có: ϕ(Y − X α Z) = 0, ϕ(Z − X β W ) = 0, ϕ(W − XY Z) = 0, ϕ(X β +1Y − ZW ) = nên phần tử Y − X α Z, Z − X β W,W − XY Z, X β +1Y − ZW thuộc Kerϕ Do phần tử sinh I thuộc Kerϕ nên I ⊆ Ker(ϕ) Mặt khác, ta kiểm tra dimk k[X,Y, Z,W ]/(I, X) = dimk k[X,Y, Z,W ]/(Ker(ϕ), X) = suy (I, X) = Ker(ϕ, X), theo Bổ đề Nakayama ta có I = Kerϕ iđêan định nghĩa H (ii) Giả sử iđêan định nghĩa I thỏa mãn công thức (2) Theo định nghĩa ta có ϕ(X α+β −1 ) = ϕ(YW ) ⇒ t 5(α+β −1) = t b+d ⇒ b + d = 5(α + β − 1), ϕ(W ) = ϕ(X α+β −2 Z) ⇒ t 3d = t 5(α+β −2)+c ⇒ 3d = 5(α + β − 2) + c, ϕ(Y ) = ϕ(X α Z) ⇒ t 2b = t 5α+c ⇒ 2b = 5(α) + c, ϕ(Z ) = ϕ(X β W ) ⇒ t 2c = t 5β +d ⇒ 2c = 5β + d, ϕ(XW ) = ϕ(Y Z) ⇒ t 5+2d = t b+c ⇒ + 2d = b + c, ϕ(X β −1Y ) = ϕ(ZW ) ⇒ t 5(β −1)+b = t c+d ⇒ 5(β − 1) + b = c + d 30 Tương tự ý (i), giải hệ phương trình với ẩn b, c, d ta có:    5(α + β − 1) = b + d        3d = 5(α + β − 2) + c     b = 3α + 2β −      2b = 5α + c ta c = α + 4β −     2c = 5β + d   d = 2α + 3β − 4,      + 2d = b + c      5(β − 1) + b = c + d α, β β − α ≡ (mod 5) Theo Định lý 2.1.3, (ii) ta có H hầu đối xứng Ngược lại, giả sử H nửa nhóm số hầu đối xứng Khi ta xếp lại b, c, d cho b = 3α + 2β − 1, c = α + 4β − 2, d = 2α + 3β − 4, α 1, β 2, β − α ≡ (mod 5) Hồn tồn tương tự (i), ta có ϕ(X α+β −1 −YW ) = t 5(α+β −1) − t b+d = t 5(α+β −1) − t 5α+5β −5) = ϕ(W − X α+β −2 Z) = 0, ϕ(Y − X α Z) = 0, ϕ(Z − X β W ) = 0, ϕ(XW −Y Z) = 0, ϕ(X β −1Y − ZW ) = Suy I ⊆ Ker(ϕ) Hơn dimk k[X,Y, Z,W ]/(I, X) = dimk k[X,Y, Z,W ]/(Ker(ϕ), X) = nên theo bổ đề Nakayama ta I = Ker(ϕ) iđêan định nghĩa H (iii) Giả sử iđêan định nghĩa I thỏa mãn công thức (3) Thực hoàn toàn tương tự (i) (ii) dẫn ta đến việc giải hệ phương trình    5(α + β ) = b + d         2d = b + c b = 3α + 2β       ta c = α + 4β 2b = 5α + c        d = 2α + 3β  2c = 5β + d      c + d = 5β + b 31 α, β với α ≡ β (mod 5) Theo Định lý 2.1.3, (iii) ta có H đối xứng Ngược lại, H đối xứng nên ta xếp lại vị trí b, c, d cho b = 3α + 2β , c = α + 4β , d = 2α + 3β α, β 1, α ≡ β (mod 5) Một cách tương tự (i) (ii), ta chứng minh I = (X α+β −YW,W −Y Z, X α Z −Y , X β W − Z , X β Y − ZW ) = Ker(ϕ) iđêan định nghĩa H Nhắc lại trước J C Rosales P A Garcia-Sanchez [16, Định lý 8] H Bresinsky [4, Định lý 3.9] có kết nghiên cứu cấu trúc nửa nhóm số thông qua số phần tử sinh iđêan định nghĩa Định lý 2.2.4 [16] Cho H = n1 , , nr nửa nhóm số cho thỏa mãn điều kiện r = e(H) − = n1 − 1và I iđêan định nghĩa Cho tập Apéry Ap(H, n1 ) = {0, n2 , , nr , ω} (1) Nếu ω = ni + n j , tồn i, j ∈ {2, , r} cho i = j ta có µ(I) = (n1 − 1)(n1 − 2) − (2) Đối với trường hợp cịn lại, ta có µ(I) = (n1 − 1)(n1 − 2) Định lý 2.2.5 [4] Cho H = n1 , n2 , n3 , n4 nửa nhóm đối xứng I iđêan định nghĩa Khi I khơng giao đầy đủ α α α α I =(X1α1 − X3 13 X4α14 , X2α2 − X1α21 X4α24 , X3 − X1 31 X2 32 , α α α X4α4 − X2α42 X3 43 , X3 43 X1α21 − X2 32 X4α14 ) phần tử sinh I sai khác đẳng cấu < αi j < α j với i, j Vì H = 5, b, c, d khơng giao đầy đủ (nếu k[H] giao đầy đủ e(H) 8) nên từ Hệ 2.2.3, ta thu hệ sau mà kết suy từ hai định lý 32 Hệ 2.2.6 Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số với bội I iđêan định nghĩa (i) Nếu H giả đối xứng µ(I) = (ii) Nếu H hầu đối xứng với t(H) = µ(I) = (iii) Nếu H đối xứng µ(I) = Ví dụ 2.2.7 (i) Cho H = 5, 12, 19, 18 Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2, ta có H giả đối xứng với F(H) = 26 PF(H) = {13, 26} Theo Định lý 2.1.3, (i) ta có hệ phương trình   3α + 2β + = 12    α + 4β + = 19    2α + 3β + = 18 Giải hệ ta α = β = 4, thỏa mãn α, β β − α ≡ (mod 5) Áp dụng Hệ 2.2.3,(i) ta có iđêan định nghĩa H I = (X −YW,Y − XZ, Z − X 4W,W − XY Z, X 5Y − ZW ) (ii) Cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số giả đối xứng với F(H) = 26 Áp dụng Định lý 2.1.3, (i) giải phương trình 4α + 6β = 26 ta tìm hai nghiệm thỏa mãn phương trình (α, β ) = (1, 4) (α, β ) = (4, 2) Nếu ta lấy nghiệm (α, β ) = (1, 4) sau thay vào hệ phương trình ta b = 12, c = 19, d = 18 H = 5, 12, 19, 18 nửa nhóm giả đối xứng ta tính iđêan định nghĩa I ví dụ Nếu ta lấy nghiệm (α, β ) = (4, 2) ta b = 17, c = 14, d = 18 H = 5, 17, 14, 18 nửa nhóm giả đối xứng Vì vậy, áp dụng Hệ 2.2.3,(i) ta có iđêan định nghĩa H I = (X −YW,Y − X Z, Z − X 2W,W − XY Z, X 3Y − ZW ) (iii) Cho H = 5, 11, 13, 14 Khi đó, theo Định lý 2.1.3, (ii) Bổ đề 2.1.2,(ii) ta xếp lại số b = 14, c = 13, d = 11 để kiểm tra H hầu đối xứng với F(H) = 17, PF(H) = {8, 9, 17}, t(H) = thỏa mãn điều kiện 33 b + d ≡ 0(mod 5), c + 2d ≡ 0(mod 5) Do ta có hệ phương trình   3α + 2β − = 14    α + 4β − = 13    2α + 3β − = 11 Giải hệ ta α = β = 3, thỏa mãn α 1, β β − α ≡ (mod 5) Do theo Hệ 2.2.3, (ii) ta có iđêan định nghĩa H I = (X −YW, X Z −W , X Z −Y , X 3W − Z , XW −Y Z, X 2Y − ZW ) (iv) Ngược lại, cho H = 5, b, c, d nửa nhóm số hầu đối xứng với t(H) = 3, F(H) = 17 Áp dụng Định lý 2.1.3,(ii) ta cần giải phương trình 4α +6β −13 = 17 tìm nghiệm nguyên, ta hai nghiệm (α, β ) = (3, 3) (α, β ) = (6, 1) Tuy nhiên, nghiệm (α, β ) = (6, 1) không thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.3,(ii) Vì H = 5, 14, 13, 11 nửa nhóm thỏa mãn t(H) = 3, F(H) = 17 ta tính iđêan định nghĩa I ví dụ (iii) (v) Cho H = 5, 18, 16, 14 Theo Định lý 2.1.3, (iii) Bổ đề 2.1.2,(iii) ta xếp lại số b = 14, c = 18, d = 16 để kiểm tra H đối xứng với F(H) = 27 thỏa mãn b + d ≡ 0(mod 5) c + 2d ≡ 0(mod 5), ta có hệ phương trình   3α + 2β = 14    α + 4β = 18    2α + 3β = 16 Giải hệ ta α = β = 4, thỏa mãn α, β 1, β ≡ α (mod 5) Do theo Hệ 2.2.3, (iii) ta có iđêan định nghĩa H I = (X −YW,W −Y Z, X Z −Y , X 4W − Z , X 4Y − ZW ) (vi) Ngược lại, giả sử H = 5, b, c, d đối xứng với F(H) = 27 Giải phương trình 4α + 6β − = 27 để tìm nghiệm nguyên, ta tìm hai cặp nghiệm (α, β ) = (2, 4) (α, β ) = (5, 2) Nếu chọn nghiệm (α, β ) = (2, 4) ta H = 5, 14, 18, 16 nửa nhóm số ý (v) Nếu ta chọn nghiệm (α, β ) = (5, 2) ta H = 5, 19, 13, 16 nửa nhóm số đối xứng thỏa mãn 34 điều kiện α, β 1, β ≡ α (mod 5), áp dụng Hệ 2.2.3,(iii) iđêan định nghĩa I = (X −YW,W −Y Z, X Z −Y , X 2W − Z , X 2Y − ZW ) 35 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết phần kết báo H Nari, T Numata and K Wanatabe [14] số kết liên quan, cụ thể sau: - Nhắc lại định nghĩa, lấy ví dụ chứng minh số tính chất, đặc trưng số Frobenius, giả Frobenius, tập Apéry - Trình bày lại khái niệm, lấy ví dụ, phân loại chứng minh số đặc trưng nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng - Trình bày chi tiết đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng có bội chiều nhúng - Nhắc lại khái niệm iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số, lấy ví dụ cho trường hợp chiều nhúng Trong trường hợp chiều nhúng bội 5, trình bày lại cách tìm iđêan định nghĩa thơng qua phần tử sinh nửa nhóm số, đồng thời lấy số ví dụ minh họa 36 Tài liệu tham khảo [1] R Apéry, (1946), "Sur les branches superlinéairesdes courbes algébriques", C.R Acad Sci Paris 222, pp 1198-1200 [2] V Barucci, (2009), "On propinquity of numerical semigroups and onedimensional local Cohen Macaulay rings", Commutative algebra and its applications, Walter de Gruyter, Berlin, pp 49-60 [3] V Barucci, R Froberg, (1997), "One-dimensional almost Gorenstein rings", J Algebra, 188, pp 418-422 [4] H Bresinsky, (1975), "Symmetric semigroups of integers generated by elements", Manuscripta Math., 17, pp 205-219 [5] R Froberg, C Gottlieb and R Haggkvist, (1987), "On numarical semigroups", Semigroup Forum, 35, pp 63-83 [6] S Goto, K Watanabe, (1978), On graded rings, J Math Soc Japan 30, 172–213 [7] S Goto, D V Kien, N Matsuoka and H L Truong, (2017), "Pseudo-Frobenius numbers and the generation of the defining ideal", Journal of Algebra, 508, pp 1-15 [8] J Herzog ,(1970), "Generators and relations of abelian semigroups and semigroup rings", Manuscripta Math., 3, 175–193 37 [9] A Moscariello, (2016), "On the type of an almost Gorenstein monomial curve", J Algebra, 456, pp 226-277 [10] M Morales, (1987), "Syzygies of monomial curves and a linear diophantine problem of Frobenius", Preprint Max Planck Institut fur Mathematik (Bonn-RFA) [11] M Morales and N T Dung, (2019), "A "pseudo-polynomial" algorithm for the Frobenius number and Grăobner basis", Preprint [12] H Nari, (2013), "Symmetries on almost symmetric numerical semigroups", Sermigroups Forum , 86, pp 140-154 [13] H Nari, T Numata and K Watanabe, (2012), "Genus of numerical semigroups generated by three elements", J Algebra, 358, pp 67-73 [14] H Nari, T Numata and K Watanabe, (2012), "Almost symmetric numerical semigroups of multiplicity 5", Proceeding of the Institute of Natural Science, Nihon University, 47, pp 463-469 [15] J Rodseth, (1978), "On a linear Diophantine problem of Frobenius", J Reine angew Math., 301, pp 171-178 [16] J C Rosales, P A García-Sánchez, (2009), "Numerical Sermigroups", Springer Developments in Mathematics,Volume 20 38 ... Nửa nhóm số hầu đối xứng 12 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.2 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội 25. .. Nửa nhóm số hầu đối xứng bội Phân loại nửa nhóm số giả đối xứng với chiều nhúng đưa H Nari, T Numata and K Watanabe [13] Chú ý 2.9 [14] cho ta phân loại nửa nhóm số hầu đối xứng với bội nửa nhóm. .. không bội (i) Tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = 5, b, c, d với F(H) = f f chẵn f (ii) Tồn nửa nhóm số hầu đối xứng H = 5, b, c, d với t(H) = F(H) = f f lẻ f 23 (iii) Tồn nửa nhóm số đối xứng H = 5,