Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYÔN THị VIệT HồNG PHéP VÔ HƯớng hóa điều kiện tối -u cho toán cân véc tơ LUN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS đỗ văn l-u Phn bin 1: GS.TS NGUYN BƯỜNG Phản biện 2: TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên vào hồi… ngày… tháng ….năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên - Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳ ✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ữợ P ộ ❱➠♥ ▲÷✉ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ✷ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ì P P ữợ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❈❺◆ ❱⑨ ✣Õ ❈❍❖ ◆●❍■➏▼ ❍Ú❯ ❍■➏❯ ❈Õ❆ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ✶✾ ✷✳✶ ✷✳✷ ✷✳✸ ✷✳✹ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ t tỡ P ổ ữợ õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✸ ✷✼ ✸✾ ❑➳t ❧✉➟♥ ✹✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✼ ✶ ▼ð ✤➛✉ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞♦ ♣❤↕♠ ✈✐ →♣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ ❝õ❛ ♥â ✭①❡♠ ❬✸❪✲❬✼❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✷❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✤â✮✳ ▲ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❜❛♦ ❤➔♠ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ✤➙② ♥❤÷ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜ị ✈➨❝ tì✱ ◆❣÷í✐ t❛ ự t sỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✱ ❝➜✉ tró❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐✱ ❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔✿ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉✳ ✣➸ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ♥❣÷í✐ t❛ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ổ ữợ õ tt t q ổ ữợ õ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø t q ổ ữợ õ ✤➣ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ❑❤✐ ữ tt t ỗ t ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤â✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â ✤÷đ❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✷ ✈➨❝ tì✳ ✣➙② ❧➔ ✤➲ t➔✐ t❤í✐ sü ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ t❤➳ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t P ổ ữợ õ tố ữ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✧✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ❬✹❪ ✈➲ ♣❤➨♣ ổ ữợ õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tố ữ tỡ ỗ ✤➛✉✱ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ữợ r ữợ r ởt số tự ỡ ữợ r ữợ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ổ ữợ õ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì õ r t ữợ ổ ỳ ữợ r ữợ r st ữỡ ợ tt t ỗ ỳ ú tổ tr ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✤â✳ P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✸ ✈➨❝ tì✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳ ộ ữ ữớ t t ữợ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ị♥❣ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ỗ t tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✻❆ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ sỹ õ ỵ t ổ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✹✳ ◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t ỗ ữỡ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❈▲❆❘❑❊ ❱⑨ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❳❻P ❳➓ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ỡ ữợ r ữợ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✽❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✶✶❪✳ ✶✳✶ ữợ r sỷ X ổ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳ ❛✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X, ❤❛② ▲✐♣s❝❤✐t③ ð ❣➛♥ x✱ ♥➳✉ tỗ t U x số K > s❛♦ ❝❤♦ (∀x, x ∈ U ) |f (x) − f (x )| K x−x ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ♠å✐ x ∈ Y ✳ ✺ Y ⊂ X✱ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ f ❜✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K tr➯♥ t➟♣ Y ♥➳✉ ✭✶✳✶✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, x ∈ Y ✳ ⊂ X✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû F : X → Y ✱ tr♦♥❣ ✤â X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ⑩♥❤ ①↕ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t x tỗ t số > sè K > s❛♦ ❝❤♦ F (x ) − F (x ) Y K x −x X (∀x , x ∈ x + γB), ✭✶✳✷✮ tr♦♥❣ ✤â B ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ♠ð✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X ✳ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ❤➔♠ f t❤❡♦ ữỡ v( X) t x ỵ f (x; v)✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ f ◦ (¯ x; v) = lim sup x→¯ x;t↓0 f (x + tv) − f (x) , t ✭✶✳✸✮ tr♦♥❣ ✤â x ∈ X, t > 0✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡✳ ✣à♥❤ ỵ sỷ f st ữỡ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K t↕✐ x✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✭✐✮ ❍➔♠ v → f ◦(x; v) ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ữỡ ữợ t tr X |f (x; v)| ≤ K v ; ✭✐✐✮ f ◦(x; v) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ (x, v); f ◦(x; ) ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭t❤❡♦ ✈✮ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè K tr➯♥ X ❀ ✭✐✐✐✮ f ◦(x; −v) = (−f )◦(x; v) ✻ ❉♦ ✤â✱ ∈ ∂a (P ◦ Fx0 )(x0 ) + Na (A ∩ S, x0 ) ❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ t❛ ❝â Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A ∩ S, x0 ) 0∈ y ∗ ∈∂a P (Fx0 (x0 )) ❱➻ ∂P (Fx (x0)) = cl(co(∂aP (Fx (x0)))) tỗ t y P (Fx (x0)) s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A ∩ S, x0 ) ❱➻ Na(A ∩ S, x0) = Na(A, x0)✱ t❛ ❝â ∈ Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A, x0 ) ữỡ tỹ ữ ự ỵ ✷✳✸✳✶ t❛ ❝â y∗ ∈ C ∗ \ {0}✳ ❈❤ù♥❣ tữỡ tỹ ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥ ỗ tr Y ợ ỡ s B A t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ F : X × X → Y ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❊P✮ ✈ỵ✐ F (x0 , x0 ) = ✈➔ Fx : X → Y ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â tỗ t y C (B) s 0 ∈ Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr♦♥❣ Y ✈ỵ✐ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ F : X × X → Y ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✸✹ ❝õ❛ ✭❱❊P✮ ✈ỵ✐ F (x0, x0) = ✈➔ Fx : X ữỡ õ tỗ t y intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ → Y ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ∈ Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr♦♥❣ Y ✈ỵ✐ ❝ì sð B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ F : X × X → Y ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ✭❱❊P✮ ✈ỵ✐ F (x0 , x0 ) = ✈➔ Fx : X → Y ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â tỗ t y C s 0 Da∗ Fx0 (x0 )(y ∗ ) + Na (A, x0 ) ợ tt t ỗ ❝❤ó♥❣ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tỡ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ ❝õ❛ X ✳ ●✐↔ sû Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A✱ Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ỗ ợ Fx (x0) = tỗ t y ∗ ∈ C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ∈ (DFx (x0))y + NC (A, x0) tỗ t x ∈ NC (A, x0)✱ s❛♦ ❝❤♦ 0 = (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + x∗ ✸✺ ❉♦ ✈➟② t❛ ❝â ((DFx0 (x0 ))∗ y ∗ )(x − x0 ) + x∗ (x − x0 ) = 0, ∀x ∈ X ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ t❛ ❝â y ∗ (DFx0 (x0 )(x − x0 )) = −x∗ (x − x0 ), ∀x ∈ A ❉♦ A ỗ A x0 TC (A, x0) ✈➻ x∗ ∈ NC (A, x0) t❛ ❝â y ∗ (DFx0 (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ A ❉♦ ♥❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✶ ✈➔ y∗ ∈ C ∗ \ {0}✱ t❛ ❝â y ∗ (Fx0 (x) − Fx0 (x0 )) 0, x A ú ỵ Fx (x0) = 0✱ t❛ ❝â y ∗ (Fx0 (x)) ≥ 0, ✭✷✳✾✮ ∀x ∈ A ●✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ r➡♥❣ x0 ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ tỗ t y0 A s F (x0 , y0 ) ∈ −intC ✣✐➲✉ ♥➔② ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ y∗ ∈ C ∗ \ {0} ❝❤♦ t❛ y∗(F (x0, y0)) < 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✾✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ỳ P ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ õ tr Y ợ ỡ s B A t ỗ rộ X ✳ ●✐↔ sû Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A, Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ỗ ợ Fx (x0) = tỗ t y ∈ C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ự ự ỵ t ❝â y ∗ (Fx0 (x)) ≥ 0, ✭✷✳✶✵✮ ∀x ∈ A ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ P tỗ t tt ố ỗ U ợ U VB s❛♦ ❝❤♦ cone(F (x, A)) ∩ (−int CU (B)) = sỷ ữủ ợ t ý tt ố ỗ U ợ U ⊂ VB t❛ ❝â cone(F (x, A)) ∩ (−int CU (B)) = ∅ ✭✷✳✶✶✮ ❉♦ y∗ ∈ C ∆(B) ✈➔ t tỗ t tt ố ỗ U ợ U VB s ❝❤♦ y∗ ∈ (CU (B))∗ \ {0}✳ ❱ỵ✐ U ♥➔②✱ sû ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â cone(F (x, A)) ∩ (−int CU (B)) = ∅ ❱➻ (−int CU (B)) ∪ {0} ởt õ tỗ t y0 A s ❝❤♦ F (x0 , y0 ) ∈ (−int CU (B)) ❉♦ ✤â y∗ ∈ (CU (B))∗ \ {0}✱ t❛ ❝â y∗(F (x0, y0)) < 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✵✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ P t ỵ t ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ õ tr Y ợ ỡ s õ B A t ỗ rộ ❝õ❛ X ✳ ●✐↔ sû Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A, Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ỗ ợ Fx (x0) = tỗ t y∗ ∈ intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✸✼ ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ P ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ ❝õ❛ X ✳ ●✐↔ sû Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A✱ Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ỗ ợ Fx (x0 ) = tỗ t↕✐ y ∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✤à♥❤ ỵ t õ s r r x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✱ ♥❣❤➽❛ tỗ t õ ỗ H Y s ❝❤♦ C \ {0} ⊂ intH ✈➔ y ∗ (Fx0 (x)) ≥ 0, ∀x ∈ A F (x0 , A) ∩ (−H \ {0}) = ∅ ●✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ợ t ý õ ỗ H Y s ❝❤♦ C \ {0} ⊂ intH t❛ ❝â F (x0 , A) ∩ (−H \ {0}) = ∅ ✭✷✳✶✸✮ ❉♦ y∗ ∈ C ✱ t❛ ✤➦t H0 = {y ∈ Y : y ∗ (y) > 0} ∪ {0} ❚❛ ❝â C \ {0} ⊂ intH0✱ ✈➔ H0 ❧➔ ♠ët õ ỗ tỗ t y0 A s❛♦ ❝❤♦ F (x0 , y0 ) = Fx (y0 ) ∈ −H0 \ {0} ✭✷✳✶✹✮ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ H0 ✈➔ ❞♦ H0 ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â y∗(Fx (y0)) < 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✷✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ 0 ✸✽ ✷✳✹ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ❈❤ó♥❣ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✭✈✐➳t t➢t ❧➔ ✭❱❱■✮✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ữ tỡ t tt P ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ tr Y A t ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ õ tỗ t y C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ✣➦t F (x, y) = (T x)(y − x), ∀x, y ∈ X ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❘ã r➔♥❣ ❧➔ F (x0, x0) = ✈➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ T x0 : X → Y ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0✳ ❱➻ ✈➟②✱ Fx ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✈➔ Fx (x0) = T (x0) ỵ tỗ t y∗ ∈ C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ (Fx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✸✾ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X → L(X, Y ) sỷ tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t F (x, y) = (T x)(y − x), ∀x, y ∈ X ❘ã r➔♥❣ ❧➔ F (x0, x0) = ✈➔ Fx0 (y) = (T x0 )(y − x0 ), ∀y ∈ X ❱➻ T (x0) ∈ L(X, Y ), Fx (.) ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ✈➔ DFx (x0) = T (x0) ó r Fx (.) ỗ tt tỗ t y C \ {0} s ❝❤♦ 0 0 ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ x0 ỳ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✤à♥❤ ỵ ỵ t õ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr Y ✈ỵ✐ ❝ì sð B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ ✹✵ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ õ tỗ t y C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚÷ì♥❣ tü ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ỵ ỵ t õ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ ❝õ❛ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X → L(X, Y ) sỷ tỗ t y C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✶ ✈➔ ỵ t rút r ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y ợ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ õ tỗ t y intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✶ ✈➔ ỵ t rút r ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y ợ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ỗ rộ X, x0 A T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ tỗ t y int C s ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✹✶ ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ữỡ tỹ ữ ự ỵ ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr Y ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❑❤✐ ✤â tỗ t y C s (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚÷ì♥❣ tỹ ữ ự ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥ ỗ õ tr Y A t ỗ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X L(X, Y ) sỷ tỗ t y ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ỳ t ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ tr Y A t ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0✳ ❑❤✐ õ tỗ t y C \ {0} s ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✣➦t F (x, y) = f (y) − f (x), ✹✷ x, y ∈ X ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❘ã r➔♥❣ F (x0, x0) = 0✳ ❱➻ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✱ ❝❤♦ ♥➯♥ Fx ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✈➔ Fx (x0 ) = f (x0 ) ỵ tỗ t y ∈ C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ (Fx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), tù❝ ❧➔ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✣✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X f : X → Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ t t x0 A f ỗ tr A tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), t❤➻ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ X ❘ã r➔♥❣ Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ỗ ợ Fx (x0) = f ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A✱ ❝❤♦ ♥➯♥ Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ✈➔ DFx (x0) = Df (x0)✳ ❚❤❡♦ tt tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), ❉♦ ✤â✱ ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ x0 ỳ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✹✸ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ tr Y ợ ỡ s B A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 õ tỗ t y C (B) s ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ ✤â♥❣ tr♦♥❣ Y ✈ỵ✐ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ t t x0 õ tỗ t y intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X f : X Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 A f ỗ tr A tỗ t↕✐ y∗ ∈ C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) t❤➻ x0 ỳ P ỵ ✷✳✹✳✶✹✳ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ õ tr Y ợ ỡ sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ỗ rộ X f : X → Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 A f ỗ tr A tỗ t y intC s (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) t❤➻ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✣à♥❤ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr Y A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ ❤➔♠ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ t t x0 õ tỗ t y C s❛♦ ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X f : X Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 A f ỗ tr A tỗ t↕✐ y∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) t❤➻ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✹✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ổ ữợ õ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ỗ s ởt số ỡ ữợ r ữợ ✈✐ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ỵ ổ ữợ õ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤â ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ✲ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tố ữ tỡ ỵ tt tố ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❧➔ ✤➲ t➔✐ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✹✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉ ✭✶✾✾✾✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❑ÿ t❤✉➟t✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ✣é ữ P t ỗ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❑ÿ t❤✉➟t✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❋✳ ●✐❛♥♥❡ss✐✱ ●✳ ▼❛str♦❡♥✐✱ ▲✳ P❡❧❧❡❣r✐♥✐ ✭✷✵✵✵✮✱ ❖♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳ ■♠❛❣❡ s♣❛❝❡ ❛♥❛❧②✲ s✐s ❛♥❞ s❡♣❛r❛t✐♦♥✱ ✐♥✿ ●✐❛♥♥❡ss✐✭❊❞✳✮✱ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐✲ t✐❡s ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✱ ❑❧✉✇❡r✱ ♣♣✳✶✺✸✲ ✷✶✺✳ ❬✹❪ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭✷✵✶✵✮✱ ❙❝❛❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ✈❡❝t♦r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐❝ ✼✸✱ ✸✺✾✽✲✸✻✶✷✳ ❬✺❪ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭✷✵✵✶✮✱ ❊❢❢✐❝✐❡♥❝② ❛♥❞ ❍❡♥✐❣ ❡❢❢✐❝✐❡♥❝② ❢♦r ✈❡❝t♦r ❡q✉✐✲ ❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❏✳ ❖♣t✐♠✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✶✵✽✱ ✶✸✾✲✶✺✹✳ ❬✻❪ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭✷✵✵✽✮✱ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ✈❡❝t♦r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✹✷✱ ✶✹✺✺✲✶✹✻✻✳ ❬✼❪ ❳✳❍✳ ●♦♥❣✱ ❲✳❚✳ ❋✉✱ ❲✳ ▲✐✉ ✭✷✵✵✵✮✱ ❙✉♣❡r ❡❢❢✐❝✐❡♥❝② ❢♦r ❛ ✈❡❝✲ t♦r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐♥ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♥✈❡① t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s✱ ✐♥✿ ●✐✲ ✹✼ ❛♥♥❡ss✐✭❊❞✳✮✱ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✱ ❑❧✉✇❡r✱ ♣♣✳✷✸✸✲✷✺✷✳ ❬✽❪ ❆✳❉✳ ■♦❢❢❡ ✭✶✾✽✻✮✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ■■✿ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♥✈❡① s♣❛❝❡s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ✸✸✱ ✶✶✶✲✶✷✽✳ ❬✾❪ ❏✳ ▼♦r❣❛♥✱ ▼✳ ❘♦♠❛♥✐❡❧❧♦ ✭✷✵✵✻✮✱ ❙❝❛❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ❧✐❦❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ✇❡❛❦ ✈❡❝t♦r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ q✉❛s✐✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✲ ✐t✐❡s✱ ❏✳ ❖♣t✐♠✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✶✸✵✱ ✸✵✾✲✸✶✻✳ ❬✶✵❪ ❇✳❙✳ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ✭✶✾✽✵✮✱ ▼❡tr✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♥❡❝❡ss❛r② ♦♣✲ t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❡①tr❡♠❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❙♦✈✐❡t ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❉♦❦❧❛❞② ✷✷✱ ✺✷✻✲✺✸✵✳ ❬✶✶❪ ❇✳❙✳ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ✭✷✵✵✻✮✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛t✐♦♥✱ ■✿ ❇❛s✐❝ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧ ✸✸✵✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲●r✉♥❞❧❡❤r❡♥✳ ❬✶✷❪ ❏✳❏✳ ❨❡✱ ◗✳❏✳ ❩❤✉ ✭✷✵✵✸✮✱ ▼✉❧t✐♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ❙❡r✐❡s ❆✾✻✱ ✶✸✻✲ ✶✻✵✳ ✹✽ ... Người hướng dẫn khoa hc: PGS TS đỗ văn l-u Phn bin 1: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 2: TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên vào... ngày… tháng ….năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên - Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆... t➟♣ A t↕✐ x¯ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ✶✷ s❛✉✿ KC (A, x¯) := {v ∈ X : ∀ > 0, ∃t ∈ (0, ), ∃ω ∈ v + tB cho x¯ + tω ∈ A} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾✳ ❚➟♣ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉✐ t↕✐ x¯✱ ♥➳✉ TC (A, x¯) = KC (A, x¯)