ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYÔN THị VIệT HồNG PHéP VÔ HƯớng hóa điều kiện tối -u cho toán cân véc tơ LUN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS đỗ văn l-u Phn bin 1: GS.TS NGUYN BƯỜNG Phản biện 2: TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên vào hồi… ngày… tháng ….năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên - Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆● P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳ ✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ữợ P ộ ❱➠♥ ▲÷✉ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹ 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ỗ H Y s ❝❤♦ C \ {0} ⊂ intH ✈➔ y ∗ (Fx0 (x)) ≥ 0, ∀x ∈ A F (x0 , A) ∩ (−H \ {0}) = ∅ ●✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ợ t ý õ ỗ H Y s ❝❤♦ C \ {0} ⊂ intH t❛ ❝â F (x0 , A) ∩ (−H \ {0}) = ∅ ✭✷✳✶✸✮ ❉♦ y∗ ∈ C ✱ t❛ ✤➦t H0 = {y ∈ Y : y ∗ (y) > 0} ∪ {0} ❚❛ ❝â C \ {0} ⊂ intH0✱ ✈➔ H0 ❧➔ ♠ët õ ỗ tỗ t y0 A s❛♦ ❝❤♦ F (x0 , y0 ) = Fx (y0 ) ∈ −H0 \ {0} ✭✷✳✶✹✮ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ H0 ✈➔ ❞♦ H0 ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â y∗(Fx (y0)) < 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✷✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ 0 ✸✽ ✷✳✹ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ❈❤ó♥❣ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✭✈✐➳t t➢t ❧➔ ✭❱❱■✮✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ữ tỡ t tt P ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ tr Y A t ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ õ tỗ t y C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ✣➦t F (x, y) = (T x)(y − x), ∀x, y ∈ X ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❘ã r➔♥❣ ❧➔ F (x0, x0) = ✈➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ T x0 : X → Y ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0✳ ❱➻ ✈➟②✱ Fx ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✈➔ Fx (x0) = T (x0) ỵ tỗ t y∗ ∈ C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ (Fx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✸✾ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X → L(X, Y ) sỷ tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t F (x, y) = (T x)(y − x), ∀x, y ∈ X ❘ã r➔♥❣ ❧➔ F (x0, x0) = ✈➔ Fx0 (y) = (T x0 )(y − x0 ), ∀y ∈ X ❱➻ T (x0) ∈ L(X, Y ), Fx (.) ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ✈➔ DFx (x0) = T (x0) ó r Fx (.) ỗ tt tỗ t y C \ {0} s ❝❤♦ 0 0 ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ x0 ỳ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✤à♥❤ ỵ ỵ t õ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr Y ✈ỵ✐ ❝ì sð B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ ✹✵ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ õ tỗ t y C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚÷ì♥❣ tü ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ỵ ỵ t õ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ ❝õ❛ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X → L(X, Y ) sỷ tỗ t y C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✶ ✈➔ ỵ t rút r ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y ợ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ õ tỗ t y intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✶ ✈➔ ỵ t rút r ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y ợ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ỗ rộ X, x0 A T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ tỗ t y int C s ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✹✶ ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ữỡ tỹ ữ ự ỵ ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ tr Y ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ T : X → L(X, Y )✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ✭❱❱■✮✳ ❑❤✐ ✤â tỗ t y C s (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❚÷ì♥❣ tỹ ữ ự ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ♥❤å♥ ỗ õ tr Y A t ỗ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X, x0 ∈ A ✈➔ T : X L(X, Y ) sỷ tỗ t y ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ∈ (T (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ỳ t ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C õ ỗ tr Y A t ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0✳ ❑❤✐ õ tỗ t y C \ {0} s ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✣➦t F (x, y) = f (y) − f (x), ✹✷ x, y ∈ X ❑❤✐ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❘ã r➔♥❣ F (x0, x0) = 0✳ ❱➻ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✱ ❝❤♦ ♥➯♥ Fx ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 ✈➔ Fx (x0 ) = f (x0 ) ỵ tỗ t y ∈ C ∗ \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈ (Fx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), tù❝ ❧➔ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ✣✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X f : X → Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ t t x0 A f ỗ tr A tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), t❤➻ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ X ❘ã r➔♥❣ Fx : A → Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ỗ ợ Fx (x0) = f ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ∈ A✱ ❝❤♦ ♥➯♥ Fx ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 ✈➔ DFx (x0) = Df (x0)✳ ❚❤❡♦ tt tỗ t y C \ {0} s❛♦ ❝❤♦ 0 0 ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ), ❉♦ ✤â✱ ∈ (DFx0 (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ x0 ỳ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❊P✮✳ ❉♦ ✤â✱ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮✳ ✹✸ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ ỵ t ữủ ỵ s ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ tr Y ợ ỡ s B A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x0 õ tỗ t y C (B) s ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ổ C õ ỗ ✤â♥❣ tr♦♥❣ Y ✈ỵ✐ ❝ì sð ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ B ✱ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ X ✈➔ f : X → Y ✳ ●✐↔ sû x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ✭❱❖P✮ ✈➔ f ❦❤↔ ✈✐ t t x0 õ tỗ t y intC ∗ s❛♦ ❝❤♦ ∈ (f (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) ỵ sỷ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ C ❧➔ ♥â♥ ỗ õ tr Y A t ỗ rộ X f : X Y ✳ ●✐↔ sû f ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ x0 A f ỗ tr A tỗ t↕✐ y∗ ∈ C ∆(B) s❛♦ ❝❤♦ ∈ (Df (x0 ))∗ y ∗ + NC (A, x0 ) t❤➻ x0 ỳ P ỵ ✷✳✹✳✶✹✳ ●✐↔ sû 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Người hướng dẫn khoa hc: PGS TS đỗ văn l-u Phn bin 1: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 2: TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên vào... ngày… tháng ….năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên - Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆... t➟♣ A t↕✐ x¯ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ✶✷ s❛✉✿ KC (A, x¯) := {v ∈ X : ∀ > 0, ∃t ∈ (0, ), ∃ω ∈ v + tB cho x¯ + tω ∈ A} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾✳ ❚➟♣ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉✐ t↕✐ x¯✱ ♥➳✉ TC (A, x¯) = KC (A, x¯)