Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véc tơ và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -   NGUYỄN ĐĂNG HUY ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ VÀ ÁP DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mở đầu Nội dung MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA GIẢI TÍCH HÀM VÀ GIẢI TÍCH LỒI 1.1 1.2 Định lí Ljusternik cho C ánh xạ định lí ánh xạ mở cho trình lồi Định lí tách tập lồi 17 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi Fréchet 2.2 33 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu bất đẳng thức biến phân vecto 3.2 21 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vecto 30 ÁP DỤNG 3.1 21 33 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vecto 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Mở đầu Lớp toán cân véc tơ phận quan trọng giải tích phi tuyến Bất đẳng thức biến phân véc tơ, toán tối ưu véc tơ, toán cân Nash véc tơ toán bù véc tơ trường hợp riêng toán cân véc tơ Một đề tài quan trọng toán cân véc tơ nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hạn chúng Bằng cách sử dụng tổng qt hóa định lí Ljusternik, định lí ánh xạ mở cho q trình lồi định lí tách tập lồi, X.H Gong(2012) thiết lập điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu tốn cân véc tơ có ràng buộc nón với giả thiết tính khả vi hàm liệu, khơng địi hỏi nón thứ tự khơng gian mục tiêu có phần khác rỗng Đây đề tài thời nhiều tác giả nghiên cứu Chính thế, tơi chọn đề tài “ Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ áp dụng ” Luận văn trình bày kết X.H.Gong(2012) điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ có ràng buộc nón áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân véc tơ tốn tối ưu véc tơ có ràng buộc nón Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức giải tích hàm giải tích lồi, trình bày số kiến thức quan trọng giải tích hàm giải tích lồi bao gồm tổng qt hóa định lí Ljusternik cho C - ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho Mở đầu trình lồi định lí tách tập lồi Chương Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ, trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi Fréchet sở mở rộng định lí Ljusternik cho C - ánh xạ định lí ánh xạ mở cho q trình lồi định lí tách tập lồi Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ với giả thiết tính lồi hàm liệu Chương Áp dụng, trình bày điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân véc tơ tốn tối ưu véc tơ có ràng buộc nón dựa kết trình bày chương cho toán cân véc tơ Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình PGS.TS Đỗ Văn Lưu suốt thời gian làm luận văn, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn, thầy giáo Khoa Tốn- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người tạo điều kiện thuận lợi động viên tơi hồn thành luận văn Do thời gian cịn nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý từ thầy bạn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Đăng Huy Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA GIẢI TÍCH HÀM VÀ GIẢI TÍCH LỒI Trình bày số kiến thức giải tích hàm giải tích lồi bao gồm tổng qt hóa định lí Ljusternik cho C - ánh xạ, định lí ánh xạ mở cho q trình lồi định lí tách tập lồi 1.1 Định lí Ljusternik cho C ánh xạ định lí ánh xạ mở cho q trình lồi Giả sử X, Y Z không gian Banach thực, C ⊂ Y K ⊂ Z nón nhọn lồi đóng với int K = φ, int K kí hiệu phần tập K Giả sử Y ∗ Z ∗ không gian đối ngẫu tôpô Y Z tương ứng Đặt C ∗ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) , ∀y ∈ C} K ∗ = {z ∗ ∈ Z ∗ : z ∗ (z) , ∀z ∈ K} nón đối ngẫu C K, tương ứng Kí hiệu tựa phần C ∗ C # , C # = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C\ {0}} Giả sử S ⊂ X tập lồi mở khác rỗng, ánh xạ F : S × S → Y, g : S → Z Định nghĩa tập ràng buộc A = {x ∈ S : g(x) ∈ −K} , xét toán cân véc tơ có ràng buộc (kí hiệu (VEPC)): Tìm x ∈ A cho F (x, y) ∈ / −P \ {0} , ∀y ∈ A, P nón lồi Y Định nghĩa 1.1 Véc tơ x ∈ A thỏa mãn F (x; y) ∈ / −C\ {0} , ∀y ∈ A, gọi nghiệm hữu hiệu (VEPC) Giả sử L(X, Y ) không gian tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y (VEPC) bao hàm trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân véc tơ có ràng buộc ( Kí hiệu (VVIC)), F (x, y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S, T ánh xạ từ S vào L(X, Y ) Định nghĩa 1.2 Nếu F (x; y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S, x ∈ A nghiệm hữu hiệu (VEPC), x ∈ A gọi nghiệm hữu hiệu (VVIC) Trường hợp đặc biệt khác (VEPC) toán tối ưu véc tơ có điều kiện ( kí hiệu (VOPC)) F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S, với ánh xạ f : S → Y Định nghĩa 1.3 Nếu F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S, x ∈ A nghiệm hữu hiệu (VEPC), x ∈ A gọi nghiệm hữu hiệu (VOPC) Định nghĩa 1.4 Giả sử X khơng gian tuyến tính thực, Y khơng gian tơpơ tuyến tính thực Giả sử S2 tập khác rỗng X f : S2 → Y , x ∈ S2 Nếu với h ∈ X đó, giới hạn f (x)(h) = lim (f (x + λh) − f (x)) λ→0 λ tồn tại, f (x)(h) gọi đạo hàm Gâteaux f x theo phương h Nếu giới hạn tồn với phương h, ánh xạ f gọi ánh xạ khả vi Gâteaux x Định nghĩa 1.5 Giả sử X Y không gian chuẩn D tập mở khác rỗng X Hơn nữa, giả sử ánh xạ f : D → Y với x ∈ D Nếu tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f (x) : X → Y với tính chất lim h →0 f (x + h) − f (x) − f (x)(h) = 0, h f (x) gọi đạo hàm Fréchet f x f gọi đạo hàm khả vi Fréchet x Nhận xét 1.1 Nếu f khả vi Fréchet x, f khả vi Gâteaux x đạo hàm Fréchet f x đạo hàm Gâteaux f x theo phương h Định nghĩa 1.6 Giả sử X Y khơng gian tuyến tính thực, C nón lồi nhọn Y , A tập lồi khác rỗng X Ánh xạ f : A → Y gọi C- lồi, ∀x, y ∈ A ∀λ ∈ [0, 1] , λf (x) + (1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y) ∈ C Định nghĩa 1.7 Giả sử T ánh xạ đa trị từ X vào Y với T (x) = φ, ∀x ∈ X T gọi trình lồi từ X → Y (a) T x + T y ⊂ T (x + y), ∀x, y ∈ X, (b) T (λx) = λT (x) , ∀x ∈ X, λ > 0, (c) ∈ T (0) Quá trình lồi T : X → Y gọi đóng {(x, y) : y ∈ T x} đóng X × Y Định lí sau tổng qt hóa định lí Ljusternik Định lý 1.1 Giả sử X Y không gian Banach thực, cho f : X → Y C ánh xạ Nếu f (x)(X) = Y , với x ∈ X có chuẩn x đủ nhỏ, tồn u ∈ X với u = ◦( x ) cho f (x + x + u) − f (x) − f (x)(x) = Để chứng minh kết tương tự định lí 1.1, trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 1.1 Giả sử X Y không gian Banach, S tập hợp lồi mở khác rỗng X, ánh xạ: f : S → Y, x ∈ S, h ∈ X với L = {x + th : t 1} ⊂ S Giả sử f khả vi liên tục Fréchet L Khi đó, f (x + h) − f (x) = f (x + th)(h)dt Chứng minh Kí hiệu khơng gian đối ngẫu tơpơ Y Y ∗ Với x ∈ S, h ∈ X,L = {x + th : t 1} ⊂ S y ∗ ∈ Y ∗ , ta xác định hàm giá trị thực g(t) = y ∗ ◦ f (x + th), t ∈ [0, 1] Với t ∈ [0; 1], ta có g(t + ∆t) − g(t) ∆t→0 ∆t ∗ y f (x + (t + ∆t)h) − y ∗ f (x + th) = lim ∆t→0 ∆t g (t) = lim = y ∗ ◦ f (x + th)(h) Theo công thức Newton-Leibniz, ta có y ∗ (f (¯ x + h) − f (¯ x) = g(1) − g(0) = g (t)dt = y∗( f (¯ x + th)(h)dt = y∗( f (¯ x + th)(h)dt) Do tính y ∗ ∈ Y ∗ nên f (x + h) − f (x) = f (x + th)(h)dt Bổ đề chứng minh Bây ta trình bày mở rộng định lí 1.1 Định lý 1.2 Giả sử X Y không gian Banach thực, giả sử S tập lồi mở X, f : S → Y khả vi liên tục Fréchet lân cận x ∈ S Nếu f (x)(X) = Y , với x ∈ X với x đủ nhỏ, tồn u ∈ X với u = ◦ ( x ) cho f (x + x + u) − f (x) − f (x)(x) = Chứng minh Đặt X0 = {x ∈ X : f (x)(x) = 0} Do f (x) liên tục, X0 khơng gian tuyến tính đóng X 28 Lấy (y, z) ∈ M Khi tồn x ∈ S cho y − Fx (x)(x − x) ∈ C, z − (g(x) + g (x)(x − x) ∈ int K Do đó, với c ∈ C, k ∈ int K, t > 0, t > 0, ta có (y + tc, z) ∈ M, (y, z + t k) ∈ M Từ ( 2.14), ta có y ∗ (y + tc) + z ∗ (z) 0, ∀c ∈ C, t > 0, điều kéo theo y ∗ ∈ C ∗ Tương tự , ta z ∗ ∈ K ∗ Ta có z ∗ = Thật vậy, z ∗ = 0, từ ( 2.13 ) ta có y ∗ (y) > 0, ∀(y, z) ∈ int M Sử dụng U ( 2.2 ), từ ( 2.2 ), ta có (Fx¯ (¯ x)(x) + c, e + k) ∈ int M, ∀x ∈ U, c ∈ C, k ∈ int K Theo (2.15 ), y ∗ (Fx¯ (¯ x)(0)) > Nhưng, Fx¯ (¯ x)(0) = 0, y ∗ (0) = 0, nên ta đến mâu thuẫn Do đó, z∗ = (2.15) 29 Do (Fx¯ (¯ x)(x − x) + c, g(x) + g (x)(x − x) + k ∈ M, ∀x ∈ S, c ∈ C, k ∈ int K ( 2.14 ) ta có y ∗ (Fx¯ (¯ x)(x − x¯) + c) + z ∗ (g(¯ x) + g (¯ x)(x − x¯) + k) 0, ∀x ∈ S, c ∈ C, k ∈ int K x)(x−¯ x)+c)+z ∗ (g(¯ x)+g (¯ x)(x−¯ x)+k) y ∗ (Fx¯ (¯ 0, ∀x ∈ S, c ∈ C, k ∈ int K (2.16) Lấy c = 0, ta nhận y ∗ (Fx¯ (¯ x)(x − x¯)) + z ∗ (g(¯ x) + g (¯ x)(x − x¯) + k) 0, ∀x ∈ S, k ∈ K (2.17) Do x ∈ S, từ ( 2.17 ), ta có z ∗ (g(x)) Bởi g(¯ x) ∈ −K, z ∗ ∈ K ∗ , ta có z ∗ (g(¯ x)) Như vậy, z ∗ (g(¯ x)) = (2.18) Từ ( 2.17 ) ( 2.18 ), ta nhận (y ∗ ◦ Fx¯ (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S Mặt khác, g (x)(X) = Z, nên y ∗ = Thật vậy, y ∗ = 0, 30 theo ( 2.16 ), z ∗ (g(x) + g (x)(x − x) + k 0, ∀x ∈ S, k ∈ K Vì g(x) ∈ −K, nên ta có z ∗ (g (x)(x − x) ∀x ∈ S (2.19) Do x ∈ S = int S, nên tồn lân cận W O cho W + x ⊂ S Theo ( 2.19 ), ta có z ∗ (g (¯ x)(x )) 0, ∀x ∈ W z ∗ (g (¯ x)(x)) 0, ∀x ∈ X (2.20) Do z ∗ (g (¯ x)(x)) = 0, ∀x ∈ X Bởi g (x)(X) = Z z ∗ (z) = 0, ∀z ∈ Z Có nghĩa z ∗ = Điều mâu thuẫn với z ∗ = 2.2 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vecto Định lý 2.2 Cho X, Y,và Z không gian Banach, C ⊂ Y nón nhọn lồi đóng, K ⊂ Z nón nhọn lồi với int K = φ Cho S tập lồi mở khác rỗng X Cho x ∈ A F (x, x) = Giả sử Fx¯ (·) g(·) khả vi Gâteaux x, Fx (·) C- lồi S, g(·) K- lồi S Giả sử tồn 31 y ∗ ∈ C # z ∗ ∈ K ∗ cho (y ∗ ◦ Fx¯ (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) ∀x ∈ S (2.21) z ∗ (g(x)) = (2.22) Khi x nghiệm hữu hiệu (VEPC) Chứng minh Bởi ánh xạ Fx (·) g(·) khả vi Gâteaux x ∈ A Fx (·) Clồi S, g(·) K- lồi S Từ bổ đề 2.1 , ta có Fx¯ (¯ x)(x − x¯) ∈ Fx¯ (x) − Fx¯ (¯ x) − C = Fx¯ (x) − C, ∀x ∈ S, g (¯ x)(x − x¯) ∈ g(x) − g(¯ x) − K , ∀x ∈ S (2.23) (2.24) Do y ∗ ∈ C # , z ∗ ∈ K ∗ (2.21), (2.23), (2.24), ta nhận y ∗ (Fx (x)) + z ∗ (g(x) − g(x)) (y ∗ ◦ Fx (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) 0, ∀x ∈ S Do từ (2.21) ta suy y ∗ (Fx (x) + z ∗ (g(x)) 0, ∀x ∈ S ta x ∈ A nghiệm hữu hiệu (VEPC) Nếu điều khơng thì, tồn y0 ∈ A cho F (x, y0 ) ∈ −C\ {0} Do y ∗ ∈ C # ta có, y ∗ (F (¯ x, y0 )) < (2.25) 32 Vì y0 ∈ A ta có g(y0 ) ∈ −K Do đó, z ∗ (g(y0 )) z ∗ ∈ K ∗ , y ∗ (Fx¯ (y0 ) + z ∗ (g(y0 )) < Điều mâu thuẫn với (2.25), Do đó, x nghiệm hữu hiệu (VEPC) Chương ÁP DỤNG Chương trình bày kết X.H.Gong điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân véc tơ(VVIC) toán tối ưu véc tơ có ràng buộc nón (VOPC) dựa kết nhận chương cho toán cân véc tơ 3.1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu bất đẳng thức biến phân vecto Định lý 3.1 Cho X, Y Z không gian Banach thực, C ⊂ Y, K ⊂ Z nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S tập khác rỗng mở lồi X, T : S → L(X, Y ), g(·) : S → Z khả vi Fréchet x¯ ∈ A Giả sử T (x)(X) = Y Nếu x nghiệm hữu hiệu (VVIC), tồn y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K \ {0} cho (y ∗ ◦ T (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) z ∗ (g(x)) = Hơn nữa, g (x)(X) = Z, y ∗ = 33 0, ∀x ∈ S, 34 Chứng minh Giả sử x ∈ A nghiệm hữu hiệu (VVIC) Đặt F (x, y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S Khi đó, x nghiệm hữu hiệu của(VEPC) Nên F (x, x) = Với u ∈ S, ta có lim h →0 = lim h →0 = lim h →0 = lim h →0 Fx¯ (u + h) − Fx¯ (u) − T (¯ x)(h) h F (¯ x, u + h) − F (¯ x, u) − T (¯ x)(h) h (T x¯)(u + h − x¯) − (T x¯)(u − x¯) − T (¯ x)(h) h (T x¯)(u − x¯) + (T x¯)(h) − (T x¯)(u − x¯) − T (¯ x)(h) = h Do T x ∈ L(X, Y ) đạo hàm Fréchet xác định nhất, ta có Fx (u) = T x, ∀u ∈ S Vì Fx (·) liên tục lân cận x ∈ S( L(X,Y) trang bị tôpô chuẩn, nghĩa Fx (·) : S → Y khả vi liên tục Fréchet lân cận x ∈ S Do Fx¯ (¯ x) = T (x), ta có Fx (x)(X) = Y g(·) khả vi Fréchet x ∈ S Theo định lí 2.1, tồn y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K ∗ \ {0}, cho (y ∗ ◦ T (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) z ∗ (g(x)) = giả thiết thêm, g (x)(X) = Z y ∗ = 0 ∀x ∈ S, 35 Định lý 3.2 Cho X, Y, Z không gian Banach thực, cho C ⊂ Y nón nhọn lồi đóng, K ⊂ Z nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S tập lồi mở khác rỗng X Cho x ∈ A Giả sử T : S → L(X, Y ), g(·) khả vi Gâteaux x g(·) K- lồi S Nếu tồn y ∗ ∈ C # z ∗ ∈ K ∗ thỏa mãn (y ∗ ◦ T (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) 0, ∀x ∈ S, z ∗ (g(x)) = x nghiệm hữu hiệu (VVIC) Chứng minh Đặt F (x, y) = (T x)(y − x), x, y ∈ S Rõ ràng F (x, x) = 0, Fx (·) = (T x)(· − x) g(·) khả vi Gâteaux x ∈ A Với h ∈ X, ta có Fx (x + λh) − Fx (x) λ→0 λ (T x)(x + λh − x) = lim λ→0 λ λ(T x)(h) = lim λ→0 λ Fx (x)(h) = lim = (T x)(h) Ta có Fx (·) C- lồi S, g(·) K- lồi S Nếu tồn y ∗ ∈ C # z ∗ ∈ K ∗ cho (y ∗ ◦ T (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) ∀x ∈ S 36 z ∗ (g(x)) = 0, ta có (y ∗ ◦ Fx¯ (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S theo định lí 2.2, x nghiệm hữu hiệu (VEPC) Do x nghiệm hữu hiệu (VVIC) 3.2 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vecto Định lý 3.3 Cho X, Y, Z không gian Banach thực, C ⊂ Y K ⊂ Z nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S tập mở lồi khác rỗng X Cho f : S → Y khả vi liên tục Fréchet lân cận x ∈ A, g(·) : S → Z khả vi Fréchet x Giả sử f (¯ x)(X) = Y Nếu x nghiệm hữu hiệu (VOPC) tồn y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K ∗ \ {0} cho (y ∗ ◦ f (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S, z ∗ (g(x)) = Nếu giả thiết thêm g (x)(X) = Z y ∗ = Chứng minh Giả sử x ∈ A nghiệm hữu hiệu (VOPC) Đặt F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S Rõ ràng F (x, x) = Khi đó, x nghiệm hữu hiệu (VEPC) Bởi f ánh xạ khả vi liên tục 37 Fréchet lân cận U x ∈ S, với u ∈ U , ta có lim h →0 = lim h →0 = lim h →0 = lim h →0 Fx¯ (u + h) − Fx¯ (u) − f (u)(h) h F (¯ x, u + h) − F (¯ x, u) − f (u)(h) h f (u + h) − f (¯ x) − (f (u) − f (¯ x)) − f (u)(h) h f (u + h) − f (u) − f (u)(h) = h Như Fx (u) = f (u) ∀u ∈ U Đặc biệt, Fx (x) = f (x).Fx (·) khả vi liên tục Fréchet lân cận x ∈ S, Theo định lí 2.1, tồn y ∗ ∈ C ∗ , z ∗ ∈ K ∗ \ {0} thỏa mãn (y ∗ ◦ Fx¯ (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S z ∗ (g(x)) = Như vậy, (y ∗ ◦ f (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) z ∗ (g(x)) = Nếu giả thiết thêm , g (x)(X) = Z y ∗ = Định lý 3.4 0, ∀x ∈ S 38 Cho X, Y, Z không gian Banach thực, C ⊂ Y nón nhọn lồi đóng K ⊂ Z nón nhọn lồi đóng với int K = φ Cho S tập lồi mở khác rỗng X Cho x ∈ A Giả sử ánh xạ f (·) g(·) khả vi Gâteaux x, f (·) C- lồi S g(·) K- lồi S Nếu tồn y ∗ ∈ C # z ∗ ∈ K ∗ cho (y ∗ ◦ f (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S z ∗ (g(x)) = 0, x nghiệm hữu hiệu (VOPC) Chứng minh Đặt F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S Rõ ràng F (¯ x, x¯) = Đạo hàm Gâteaux Fx (·) x ∈ A theo phương h f (x)h Ta có Fx (·) = f (·) − f (x) g(·) khả vi Gâteaux x,Fx (·) C- lồi S, g(·) K- lồi S Nếu tồn y ∗ ∈ C # z ∗ ∈ K ∗ cho (y ∗ ◦ T (x) + z ∗ ◦ g (x))(x − x) ∀x ∈ S z ∗ (g(x)) = (y ∗ ◦ Fx¯ (¯ x) + z ∗ ◦ g (¯ x))(x − x¯) 0, ∀x ∈ S Khi theo định lí 2.2 x nghiệm hữu hiệu (VEPC) Vì x nghiệm hữu hiệu (VOPC) Kết luận Luận văn trình bày kết X.H.Gong điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi có ràng buộc nón áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân véc tơ khả vi toán tối ưu véc tơ khả vi Nội dung luận văn gồm: - Định lí Ljusternik cho C - ánh xạ mở rộng nó; định lí ánh xạ mở cho q trình lồi định lí tách tập lồi - Điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi Fréchet có ràng buộc nón - Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi Gâteaux có ràng buộc nón - Các điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân có ràng buộc nón - Các điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu véctơ có ràng buộc nón Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ trơn không trơn đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 39 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu ( 1999),Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] J.P.Aubin and H.F.Frankowska(1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston [4] F Giannessi, G Mastroeni and L Pellegrini (2000), On the theory of vector optimization and variational inequalities, image space analysis and separation, in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, F Giannessi, (ed.), Kluwer, Dordrecht, 153-215 [5] X.H.Gong(2012)Optimality Conditions for sffiaent solution to the vecto equilibrium with constrains, Taiwanese Journal of Mathematics, vol 16, No 4, 1453 - 1473 [6] X H Gong, (2008), Optimality conditions for vector equilibrium problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 342, 14551466 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 [7] X H Gong, (2010), Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis, 73 - 3598-3612 [8] J Jahn (1986), Mathematical Vector Optimization in Partially-Ordered Linear Spaces, Germany: Peter Lang, Frankfurt an Main [9] J Morgan and M Romaniello (2006), Scalarization and Kuhn-TuckerLike conditions for weak vector generalized quasivarational Inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, 130, 309-316 [10] X Q Yang and X Y Zheng (2008), Approximate solutions and optimality conditions of vector variational inequalities in Banach spaces, Journal of Global Optimization, 40, 455-462 Luận văn với đề tài: " Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ áp dụng " học viên NGUYỄN ĐĂNG HUY chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp hội đồng chấm luận văn họp Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 21 tháng năm 2014 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Đỗ Văn Lưu 42 ... CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉC TƠ 2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ khả vi Fréchet 2.2 33 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu. .. phân véc tơ, toán tối ưu véc tơ, toán cân Nash véc tơ toán bù véc tơ trường hợp riêng toán cân véc tơ Một đề tài quan trọng toán cân véc tơ nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hạn chúng Bằng. .. Chính thế, tơi chọn đề tài “ Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân véc tơ áp dụng ” Luận văn trình bày kết X.H.Gong(2012) điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân véc tơ có ràng