Đồ thị của hàm số và trục hoành Cắt tại 3 điểm cách đều nhau hay 3 điểm lập thành CSC Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm Cắt nhau tại 1 điểm.. [r]
(1)CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét đồng biến nghịch biến hàm số Tìm TXĐ Tính y’ Tìm các điểm tới hạn Lập bảng biến thiên Kết luận Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R trên khoảng tập xác định Tìm TXĐ Tính y’ Hàm số ĐB trên R y ' 0, x R 0 a ( Hàm số nghịch biến trên R y ' 0, x R 0 a ) Từ đó suy điều kiện m Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) * Cách 1: y ' 0, x a, b + Hàm số ĐB trên (a,b) y ' 0, x a, b ( vì y’liên tục x = a và x =b) x a, b g(x) h(m) , g x h m a,b (*) a, b + Tính g’(x) Cho g’(x) = tìm nghiệm x0 g x a,b g x0 , g a , g b Tính => + Từ (*) suy điều kiện m * Cách 2: (thường dùng tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB trên (a,b) Có trường hợp : y ' 0, x a, b 0 y ' 0, x R a suy m * TH1 : * TH2 : y’ = f(x) =0 có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa …….(điều kiện x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm tam thức bậc hai ) Suy m Kết hợp hai trường hợp trên ta đáp số m cần tìm Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài d + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = có nghiệm phân a 0 suy m (*) biệt x1, x2 x1 x2 d x1 x2 x1 x2 d + Biến đổi thành Bài : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), x a, b cách sử dụng tính đơn điệu ( Chuyển vế đưa BĐT dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b) Tính f '( x) Chứng tỏ f '( x) 0, x [ a, b) Hàm số đồng biến trên [a,b) x a, b : f ( x) f ( a) =… Suy đpcm Phần : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị hàm số Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại x =… và yCĐ = … Hàm số đạt cực tiểu x =… và yCT = … Quy tắc ( thường dùng hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ Cho y’ = tìm các nghiệm xi + Tính y” Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT xi và yCT =… y”(xi) <0 => hs đạt CĐ xi và yCĐ =… Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị (Lưu ý : hàm số có cực trị y’ = có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm đó) Tìm TXĐ Tính y’ - Hàm bậc ba có cực trị ( có CĐ, CT có cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt y ' a 0 suy m - Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n0 kép vô n0 - b2 Hàm b1 có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm mẫu) 0 g g ( x0 ) 0 ( với g(x) = tử số y’ ) Giải hệ tìm m Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ Cách 1: Hàm số đạt cực trị x = x0 => y’(x0) = tìm m Với giá trị m tìm được, ta thay vào y’ lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không y ' x0 0 y " x0 0 Cách : Hàm số đạt cực trị x = x0 (2) Dùng định lí Viet đưa pt trên pt theo m Giải pt tìm m , so với đk (*) để m cần tìm Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ , y” y ' x0 0 y " x0 Hàm số đạt cực đại x = x0 y ' x0 0 y " x0 ( Hàm số đạt cực tiểu x0 ) Giải hệ tìm m Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk x1, x2) + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm pt y’ = ( Ta có thể suy các hoành độ này tổng , tích các hoành độ) + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K So với điều kiện (*) để m thỏa ycbt Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua cực trị vuông góc song song với đt cho trước,….) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có cực trị (*) + Lấy y chia y’ ta : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi => M x1 , y1 , M x2 , y2 y ' x1 0 Suy : và là các điểm cực trị y ' x2 0 y1 ax1 b , Do đó : đường thẳng qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b + Tìm m thỏa điều kiện K + So với (*) kết luận m cần tìm Bài : Cực trị hàm trùng phương y ax bx c a 0 + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax3 +2bx * Hàm số luôn đạt cực trị x = Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt pt (*) có nghiệm phận biệt khác a.b <0 Hàm số có CĐ và CT y’ = có nghiệm phân biệt và a<0 a b 0 Hàm số có CT và CĐ y’ = có nghiệm phân biệt và a>0 Hàm số có đúng cực trị pt (*) vô nghịêm có nghiệm kép a.b b 0 Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân A -Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) Xét hàm số trên (a,b) Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm (nếu có ) Lập bảng biến thiên max y , y a,b a,b Dựa vào BBT kết luận Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên [a,b] Xét hàm số trên [a,b] Tính y’ Cho y’ = tìm các nghiệm xi [a, b] Tính y xi , y a , y b max y , y [ a,b] Kết luận [ a,b] Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) trên [a,b] trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp Biến đổi f(x) cùng hàm số lượng giác cùng cung y2 ax2 b x 0 y ' 0 4ax 2b 0 Giải hệ tìm m t [ , ] Đặt t = HSLG đó điều kiện t Ta : g(t) = … Tính g’(t) Cho g’(t) = tìm các nghiệm ti [ , ] g , g Tính g( ti) , Suy : max y max g t x [ , ] [ a,b] y g t x [ , ] [ a,b] Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) d trên [a,b] Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] Tính y’ cho y’ = tìm nghiệm ( có ) Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) max y y Suy [ a,b] ( [ a,b] ) max y y Cho [ a,b] = d (hoặc [a,b] =d ) tìm m Bài 3.5 : Ứng dụng GTLN, GTNN vào giải toán VD : các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn (3) a b 0 Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc , bậc trùng phương B1 : Tập xác định : D = R B2: Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm lim y lim y B3 : Giới hạn : x và x B4: Bảng biến thiên Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu B5: Bảng giá trị : ( điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị ( Nhận xét : Đồ thị hàm bậc trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng) b1 Bài 4.2 : Khảo sát hàm b1 : y ax b cx d ad bc 0 d \ c B1 : Tập xác định : D = B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 y’ <0, B3 : Giới hạn và tiệm cận : + x d c lim y y0 x d x c x và d x c f x g x ' f x g ' x (C1) tiếp xúc với (C2) có n0 Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) điểm (- hoặc+ d c là tiệm cận đứng B4: Bảng biến thiên Kết luận : Hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng xác định Hàm số không có cực trị B5 : Bảng giá trị : ( điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) f x g m Đưa pt (1) dạng : Đây là phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm pt (1) số giao điểm (C)và d Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận g(m) m Số nghiệm pt (1) Tìm x0, y0 Tính y’ => y’(x0) Pt tiếp tuyến (C) M x0 , y0 có dạng : y y0 y ' x0 x x0 Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k M x0 , y0 là tiếp điểm y k x x0 y0 Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y ' x d có hệ số góc k => = k Giải tìm x0 suy y0 = y(x0) Suy Pt tiếp tuyến d Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b f x kx b ' f x k có nghiệm + d tiếp xúc với (C) + Giải hệ tìm b Viết pttt d Lưu ý : Hệ số góc tiếp tuyến có thể cho gián tiếp sau : + d song song với + d vuông góc với + d tạo với : y k2 x b2 => k = k2 : y k2 x b2 : y k2 x b2 k => 1 k2 góc thì k k2 tan , 00 ,900 k1k2 y f x F m, x 0 M x0 , y0 Gọi y = y0 là tiệm cận ngang lim y lim y + ) * Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị là (C1) và (C2) +d tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A (xA, yA) Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số y k x x y A A góc k Suy : d : d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm : f ( x ) k x x A y A f ' x k Giải hệ tìm x ( pp thế) => k Viết pttt Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : - Gọi 0 là tiếp điểm.Khi đó Pt tiếp tuyến d M có dạng : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Pt tiếp tuyến (C) M x ,y y y0 y ' x0 x x0 Vì d qua A(xA, yA) nên : y0 f x0 (4) điểm M x0 , y0 y A y0 y ' x0 x A x0 có dạng : Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm đường: Cho hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị là C1 , C2 Biện luận theo m số giao điểm (C ) và (C ): C C2 * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm và f(x,m) = g(x, m) (1) C C2 * B2: Biện luận theo m số giao điểm và Chú ý : * Nếu (1) là pt bậc hai thì bước ta làm sau: - Tính - Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm C C2 và x a Ax Bx C 0 (2) - Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1) Bài 4.8 : Nghiệm pt bậc ba: Số n0 pt b3 số giao điểm (C) với trục Ox Có nghiệm tạo thành cấp số cộng Có n0 đơn phân biệt Có n0 kép, n0 đơn Có n0 đơn Đồ thị hàm số và trục hoành Cắt điểm cách (hay điểm lập thành CSC) Cắt điểm phân biệt Tiếp xúc điểm và cắt điểm Cắt điểm Nếu f ’(x) = có n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox Có trường hợp : * f ’(x) = có n0 kép vô n0 * f ’(x) = có n0 pb và yCĐ yCT >0 b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x1 x3 a d x1 x2 x3 a Bài 4.9 : Tìm điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ P x Q x M x0 y0 Cm , m y0 f x0 , m a 0 b 0 Lưu ý :* ax + b = , m a 0 ax bx c 0, m b 0 c 0 * Cách 2: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định họ đồ thị (Cm) M x0 y0 Cm , m y0 f x0 , m , m (*) Đặt F(m) = f(x0,m) F(m) = y0 không đổi => F’(m) = Giải pt tìm x0 Thay vào (*) tìm y0 Kết luận điểm cố định Bài 4.11: Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ y f x y f ( x) thị (C’) : a) , b) Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) a) Đồ thị hàm số Ta có: y f ( x) f ( x), y f ( x) f ( x), f ( x) 0 f ( x) +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trục hoành qua trục hoành Suy đồ thị hàm số y f ( x) b) Đồ thị hàm số Ta có: y f ( x) y f( x) là hàm số chẳn và f ( x ), y f ( x ) f ( x ), x 0 x +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung Suy đồ thị hàm số có tọa độ nguyên có n0 m Biến đổi pt theo ẩn m Áp dụng đk pt có n0 m các hệ số đồng thời giải tìm x0, y0 => Kết luận f ’(x) = có n0 pb và yCĐ yCT <0 f ’(x) = có n0 pb và yCĐ yCT = Định lí Viet pt bậc 3: y Bài 4.10 :Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x,m) Cách 1: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định họ đồ thị (Cm) * Nếu (1) là pt bậc thì bước t a làm sau : - Đoán nghiệm pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne) Ta có: (1) (x-a)(Ax2 +Bx + C) = Pt bậc Giải pt tìm x0 Từ đó viết pttt y y0 f ' x0 x x0 y f ( x) (5) y P x a A x Q x Q x * Phân tích , với A(x) là đa thức , a * Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là bội Q(x) * Thử lại các giá trị m tìm => Kết luận (6)