Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mpBMN trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT ( Làm tròn chữ số thập phân ) Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y cho x2 + 2y2 = 2009 Bài 2: Cho hàm số Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bµi 6: f (x) s inx x Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f) x2 2x y x cách hai trục toạ độ Tìm điểm M trên đồ thị hàm số Tìm số tự nhiên nhỏ cho bình phương số đó ta số tự nhiên có dạng 2009 2009 Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72 Tính P(30) Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) phương trình: 3s inx cos x 3s inx cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 1 u2 u 2u 3u n 1 n n 2 Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên dãy số (un) x y2 1 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 16 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% tháng Mỗi tháng ông A phải rút triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt a) Hỏi số tiền ông A có sau năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ gửi tiền) thì ông A không thể rút số tiền lớn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm Và BAC CAD BAD 400 Tính giá trị gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD (2) CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm Y Y 1:X= (2009 2Y ) x = 21 y = 28 2,0 Mode Mode Mode Mode (sử dụng đơn vị radian) sin X sin X X X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) số không đổi 0.876726215 0.8767 2,0 Giả sử M(x:y) ĐTHS x2 2x x 4x2 độ, tức là Dùng lệnh SHIFT SOLVE (gán X=1 và gán X = 0.5) M1(0,7024;0,7024) M2(-0,4127;0,4127) 2,0 Bước 1: Tìm chữ số tận cùng số cần tìm x cho x 2009 Có số: 3253,8253,1747, 2 x 2009 y 0 y 31 0 Y y x2 2x x cách hai trục toạ Bước 2: Chèn vào 2009đầu và 2009 cuối các số các số 9(số các số số các số 9) Bước 3: Thử lại có 448253 thoả mãn bài toán P(1) = =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 Suy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2 t 1 t 2t 0 t Đặt t 3sin x cos x thì x 180 k360 3sin x cos x 1 0 x 36 52'12" k360 Khi t = thì x 900 k 3600 3sin x cos x 0 x 53 7' 48" k 360 Khi t = -3 thì 2997,6747,7997 2,0 Kết quả: 448253 P(30) = 14252522 2,0 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1800 k 3600 , x 36 52 '12" k 360 2,0 x 900 k 3600 , x 5307' 48" k 3600 (3) D,1 A, B,0 X D D : A 2 B A : B 2 A 3B : X X A B S22 4092 2,0 Vì đường thẳng :5x – 7y – 35 = cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư A( x A ; y A ) ( E ), x A 0, y A 16 x A Gỉa sử AB ngắn B là hình chiếu vuông góc A lên nên AB d ( A, ) x A y A 35 ( 7) 5x A Xét hàm số Ta có 1,0 21 16 x A 35 74 f ( x ) 5x 21x f '( x ) 5 16 x 80 x 29 5 21 16 x 35,0 x 4 1,0 0 (vì x >0) 21x , ABmin 0.6975 80 ) 3, 4565 29 16 x SHIFT d/dx f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên 15 f ( x ) 6, x (0;4] Do đó AB nhỏ 74 0,6975 Sau n tháng ông A có số tiền là: Cn A(1 r )n (1 r )n (1 r )n (1 r )2 (1 r ) =A(1+r)n (1 r )n (1 r ) (1 r ) a) Sau năm số tiền ông A là: (1 r )n C12 =A(1+r) (1 r ) 98,2651 (1 r ) n b) (1 r )n A(1+r) (1 r ) 90 n 35, (1 r ) n 98,2651 triệu đồng 36 tháng 1,0 1,0 (4) Lấy M là trung điểm AC và lấy điểm N trên cạnh AD cho AN = Ta có AB = AM = AN = nên hình chiếu vuông góc điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN ^ BM AB AM AB AM.cos BAM 2 sin 20 BN 2 sin 400 , MN 2 sin 300 1 BM BN MN p SBMN p( p BM )( p BN )( p MN ) 10 OB BM BN MN , 4.SBMN 2,0 AK d ( A,( BMN )) AB OB V ' AK S BMN Thể tích khối chóp A.BMN là Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì V ' AB AM AN 1 1 V AB AC AD 10 V' V 0,0086 10 0,0086 cm3 …………………………………………… Hết…………………………………………… (5) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y cho x2 + 2y2 = 2009 f (x) s inx x Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f) Bài 2: Cho hàm số Bài 3: Tìm điểm M trên trục hoành cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số x2 2x y 4x2 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ cho bình phương số đó ta số tự nhiên có dạng 2009 2009 Bài 5: Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx2 + dx + e Biết P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72 Tính P(30) Bài 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) phương trình: 3s inx cos x 3s inx cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 1 u2 u 2u 3u n 1 n n 2 Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên dãy số (un) x y2 1 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 16 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% tháng Mỗi tháng ông A phải rút triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt a) Hỏi số tiền ông A có sau năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ gửi tiền) thì ông A không thể rút số tiền lớn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm Và BAC CAD BAD 400 Tính giá trị gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD (6) ĐÁP ÁN Bài Cách giải 2 Đáp số Điểm x 2009 y 0 y 31 0 Y Y Y 1:X= (2009 2Y ) Mode Mode Mode Mode (sử dụng đơn vị radian) sin X sin X X X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) số không đổi 0.876726215 x = 21 y = 28 0.8767 129 x 2(4 x x 5) y' 0 2 (4 x 5) 129 x 129 129 A( ; y A ), B( ; yB ) 8 x A2 x A xB2 xB yA , yB x A2 xB2 2,0 2,0 2,0 Giả sử điểm M(xM;0) Ox cách hai điểm A, B x A x B y A yB MA MB x M 1,58 xA xB Bước 1: Tìm chữ số tận cùng số cần tìm x cho x 2009 Bước 2: Chèn vào 2009đầu và 2009 cuối các số các số 9(số các số số các số 9) Bước 3: Thử lại có 448253 thoả mãn bài toán P(1) = =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 Suy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2 M( -1,58 ; ) Có số: 3253,8253,1747, 2997,6747,7997 2,0 Kết quả: 448253 P(30) = 14252522 2,0 (7) t 1 t 2t 0 t Đặt t 3sin x cos x thì x 1800 k 3600 3sin x cos x 1 0 x 36 52'12" k 360 Khi t = thì x 900 k 3600 3sin x cos x 0 x 53 7' 48" k 360 Khi t = -3 thì D,1 A, B,0 X D D : A 2 B A : B 2 A 3B : X X A B Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1800 k 3600 , x 36 52 '12" k 360 2,0 x 900 k 3600 , x 530 7' 48" k S22 4092 2,0 Vì đường thẳng :5x – 7y – 35 = cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư A( x A ; y A ) ( E ), x A 0, y A 16 x A Gỉa sử AB ngắn B là hình chiếu vuông góc A lên nên x y A 35 AB d ( A, ) A 52 ( 7)2 5x A Xét hàm số Ta có f '( x ) 5 1,0 21 16 x A2 35 74 f ( x ) 5x 21 16 x 35,0 x 4 1,0 21x 0 16 x 80 x 29 21x 5 16 x SHIFT d/dx (vì x >0) , 80 ) 3, 4565 29 f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên 15 f ( x ) 6, x (0;4] Do đó AB nhỏ 74 0,6975 ABmin 0.6975 (8) Sau n tháng ông A có số tiền là: Cn A(1 r )n (1 r )n (1 r )n (1 r )2 (1 r ) (1 r )n =A(1+r) (1 r ) (1 r ) n a) Sau năm số tiền ông A là: (1 r )n n C12 =A(1+r) (1 r ) 98,2651 (1 r ) (1 r )n A(1+r) (1 r ) 90 n 35, (1 r ) n b) 98,2651 triệu đồng 36 tháng 1,0 1,0 Lấy M là trung điểm AC và lấy điểm N trên cạnh AD cho AN = Ta có AB = AM = AN = nên hình chiếu vuông góc điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN ^ BM AB AM AB AM.cos BAM 2 sin 20 BN 2 sin 400 , MN 2 sin 300 1 BM BN MN p SBMN p( p BM )( p BN )( p MN ) 10 OB BM BN MN , 4.SBMN 2,0 AK d ( A,( BMN )) AB OB V ' AK S BMN Thể tích khối chóp A.BMN là Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì V ' AB AM AN 1 1 V AB AC AD 10 V' V 0,0086 10 0,0086 cm3 (9)