Đang tải... (xem toàn văn)
Nhận xét. Phần a) của bài toán là bài bất đẳng thức không đối xứng nên chúng ta nghĩ đến việc quy đồng, sau đó thì thực sụ là quá dễ kể cả đối với những bạn ít học bất đẳng thức. Phần b)[r]
(1)LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN LỚP 10/2019 THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
Tập thể lớp chuyên Tốn khóa 36 -7th June 2019
1 Đề thi
Bài 1(2,0 điểm).
a) Cho số thựcx thỏa mãn x+
x = Tính giá trị biểu thức P =x3+
x3 b) Giải phương trình √
x+ + √
x−1 = Bài 2(2,0 điểm).
a) Cho a, b, c số thực dương, chứng minh a
b + b c ≥
4a a+c
b) Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ
Bài 3(2,0 điểm). Với số thực x, kí hiệu[x] số ngun lớn khơng vượt q x Ví dụ √2 = 1;
−3
2
=−2
a) Chứng minh rằngx−1<[x]≤x <[x] + = [x+ 1] với x∈R b) Có số nguyên dương n≤840 thỏa mãn [√n] ước củan?
Bài (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông B, đường cao BH (H ∈ AC) Gọi (ω) đường trịn tâmC bán kínhCB GọiF điểm đoạn thẳng BH (F khácB H) Đường thẳng AF cắt (ω) hai điểm D, E (D nằm A E) Gọi K trung điểm DE
a) Chứng minh rằngF KCH tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằngAD·AE =AH ·AC =AF ·AK
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω)tại B Bài 5(1,0 điểm).Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho
n2019 2n <
(2)2 Lời giải Bài (2,0điểm).
a) Cho số thực xthỏa mãn x+
x = Tính giá trị biểu thức P =x3+
x3 b) Giải phương trình √
x+ + √
x−1 =
Lời giải a) Sử dụng đẳng thức A3+B3 = (A+B)3−3AB(A+B) ta có
P =x3+ x3 =
x+
x
−3
x+ x
·x·
x =
3−32 = 18.
b) Ta biến đổi phương trình thành √
x+ + √
x−1 = ⇔
√
x−1 +√x+ (√x+ 1)(√x−1) =
⇔
√ x x−1 = Suy
(√x−1)2 = 2⇒x= + 2√2
Thử lại ta thấy thỏa mãn, kết luận phương trình có nghiệm x= + 2√2
Nhận xét Hai phần bản, quen thuộc mà phải làm Có thể nói cho điểm Ngoài nhiều bạn thắc mắc giải phương trình khơng đặt điều kiện Thực khơng cần thiết, lẽ từ phương trình ban đầu ta biến đổi kết xong có bước thử lại bao gồm điều kiện cần đủ nên không thiết phải đặt điều kiện ban đầu (ta sử dụng trình loại trường hợp)
Bài (2,0điểm).
a) Cho a, b, c số thực dương, chứng minh a
b + b c ≥
4a a+c
(3)Đẳng thức xảy a=b=c
b) Ta giả sử phản chứng không tồn bạn mà ngồi cạnh hai bạn nữ
Ta quy ước nhóm nam dãy bạn nam ngồi liên tiếp với hai nhóm nam cách nhóm nữ (một bạn nam coi nhóm)
Tuy nhiên khơng có nhóm nam có bạn, khơng bạn học sinh ngồi cạnh hai bạn nữ (trái với điều giả sử)
Vậy số học sinh nhóm nam ln hai bạn học sinh nên số nhóm nam tối đa [15÷2] = (nhóm)
Mặt khác nhóm nam nhóm nữ xếp xen kẽ ngồi quanh bàn trịn nên số nhóm nam số nhóm nữ có tối đa nhóm
Từ giả thiết có 15 bạn học sinh nữ nên theo ngun lý Dirichlet tồn nhóm nữ có ba bạn trở lên, bạn ngồi ngồi với hai bạn nữ (trái với giả thiết phản chứng)
Vậy điều giả sử sai hay ta có đpcm
Nhận xét Phần a) tốn bất đẳng thức khơng đối xứng nên nghĩ đến việc quy đồng, sau thực sụ q dễ kể bạn học bất đẳng thức Phần b) khơng tổ hợp q khó bậc THCS tỉnh Phú Thọ chưa ý phần nên số bạn làm không nhiều bạn học sinh lên bậc THPT lại xuất nhiều kì thi Olympic Tốn cầ cần trọng phần công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài (2,0điểm).Với số thực x, kí hiệu [x]là số ngun lớn khơng vượt q x Ví dụ √2= 1;
−3
2
=−2
a) Chứng minh rằngx−1<[x]≤x <[x] + = [x+ 1] với mọix∈R b) Có số nguyên dương n ≤840 thỏa mãn [√n] ước củan?
Lời giải a) Dựa vào định nghĩa kí hiệu [x]là số ngun lớn khơng vượt q x nên ta có [x]≤x
Giả sử x≥[x] + mà [x] + >[x] điều mâu thuẫn với định nghĩa [x] số nguyên lớn không vượt x Do x <[x] + hay x−1<[x]
Bây ta đặtx={x}+ [x]trong đó{x} gọi phần lẻ củax Kết hợp BĐT vừa chứng minh ta có 0≤ {x}<1
Khi [x+ 1] = [[x] + +{x}] = [x] +
Vậy suy x−1<[x]≤x <[x] + = [x+ 1] với mọix∈R
b) Với số nguyên dương ≤ n ≤ 840, ta đặt [√n] = a (a ∈ N∗) Khi ta có a2 ≤n <(a+ 1)2 hay a2 ≤n≤a(a+ 2)
Giả sử [√n] ước n, tức làa ước củan n nhận ba giá trị a2, a(a+ 1) a(a+ 2)
Do ba số thuộc nửa khoảng [a2,(a+ 1)2) nên ta có với mỗia nguyên dương ta lại có ba số n thỏa mãn điều kiện tốn phân biệt
Mặt khác 1≤n≤840 nên a2 ≤840 hay 1≤a≤28.
(4)Bài (3,0điểm).
Cho tam giácABC vuông B, đường caoBH (H ∈AC) Gọi(ω)là đường trịn tâm C bán kính CB Gọi F điểm đường thẳng BH (F khác B H) Đường thẳng AF cắt (ω) hai điểmD, E (D nằm giữaA vàE) GọiK trung điểm DE
a) Chứng minh rằngF KCH tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AD·AE =AH·AC =AF ·AK
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω) B
K D
E H
A
B
C F
Lời giải a) Ta có ∠F HC =∠F KC = 90◦ nên tứ giác F KCH tứ giác nội tiếp b) Do AB tiếp tuyến ω kết hợp tứ giác F KCH nội tiếp ta có
AD·AE =AB2 =AH·AC =AF ·AK
c) Do AF ·AK =AB2 nên ta có 4AF B ∼ 4ABK ⇒∠ABF =∠AKB.
Từ đó, AB tiếp tuyến của(BKF) nên suy ra(BF K)và (ω)cóAB tiếp tuyến chung hay hai đường tròn tiếp xúc với B
Nhận xét Bài hình đề thi khơng khó, học sinh phải chứng minh kết quen thuộc Nếu khơng có hai ý đầu cho ln ý cuối thuộc loại dễ, khơng có lạ
(5)Lời giải Với n = 2k, k∈N∗ ta có
(2k)2019 22k =
1 22k−2019k Ta thấy với k = 15 ta có 215−2019×2015 = 2483>11 Bằng quy nạp ta dễ có với k≥15 ta có 2k−2019k > 11.
Do
(2k)2019 22k =
1 22k−2019k <
1 211 <
1
2020,∀k ≥15 Vậy tồn vô số n thỏa mãn đề
Nhận xét Bài có nhiều cách để chứng minh theo hướng quy nạp Trên cách chọnn theo lũy thừa của2 để triệt tiêu tử số mẫu số cho dễ làm Đây kết quen thuộc học sinh cấp Nó phát biểu sau:
Cho số thực a thỏa mãn |a|>1 số nguyên dương k Với số dương ε > tồn số
n0 cho ∀n > n0 ta có
nk an < ε
Nói theo cách khác ta có limn
k
an =
Bình luận chung Đề thi năm khơng nằm ngồi dự đốn tác giả Đề thi dễ, có vài chỗ khó khơng hay, khơng thể phân loại học sinh Mong năm sau người đề trọng khâu đề thi Chiều đề thi chuyên Tin nữa, tác giả cố gắng cập nhật sớm Cho dù thi bạn học sinh cịn nhiều đường phía trước Các tác giả mong thí sinh giữ tinh thần niềm say mê Toán học Đặc biệt cảm ơn bạn Nguyễn Chí Long, Vũ Đình Toản, Hồng Khải, Phạm Q Long, Đỗ Quang Mạnh, hăng hái giải đóng góp cho tài liệu Tài liệu chia sẻ công khai, nghiêm cấm hành vi chép, bn bán kinh doanh mà khơng có đồng ý tác giả Chân thành cảm ơn!
Email: 10toancutee@gmail.com
(6)LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TIN LỚP 10/2019 THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
Tập thể lớp chun Tốn khóa 36
-7th June 2019
1 Đề thi
Bài 1(2,0 điểm).
a) Chứng minh √
2 +p2 +√3
+√
2−p2−√3
=√2
b) Giải phương trình (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7) =
Bài 2(2,0 điểm). Với số nguyên dương n, kí hiệu S(n) tổng chữ số n
a) Tính S(20192020)
b) Chứng minh rằngn ≥S(n) với số nguyên dương n
c) Tìm tất số nguyên dươngn ≤1000 thỏa mãn n= 14S(n)−2
Bài (2,0 điểm). Cho số nguyên dương n Tân Dương chơi trò chơi sau: lượt chơi, bạn viết lên bảng số nguyên dương không vượt quán Hai bạn luân phiên thực lượt chơi (Tân thực trước) thỏa mãn điều kiện sau:
i) Khơng có số viết lên bảng lần;
ii) Khơng có hai số ngun dương liên tiếp viết lên bảng;
iii) Ai đến lượt khơng thể viết thêm số lên bảng người thua
a) Với n= chiến thuật để bạn Dương chắn thắng
b) Với n = 2019, chiến lược để bạn Tân chắn thắng
Bài (3,0 điểm). Cho nửa đường trịn Γ tâm O đường kính AB Gọi M, N điểm phân biệt nằm Γ cho M thuộc cungAN (M khácA, N khácB) GọiC giao điểm đường thẳng AM, BN;H giao điểm AN BM
a) Chứng minh rằngC, M,H, N thuộc đường tròn, kí hiệu đường trịn(I)
b) Chứng minh rằngOM tiếp tuyến (I)
(7)2 Lời giải
Bài (2,0điểm).
a) Chứng minh √
2 +p2 +√3
+ √
2−p2 +√3
=√2
b) Giải phương trình (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7) =
Lời giải a) Ta biến đổi sau
1
√
2 +p2 +√3
+√
2−p2−√3 =
√
2 +p4 + 2√3
+
√
2 2−p4−2√3 =
√
2 +
q
(1 +√3)2
+
√
2 2−
q
(√3−1)2
=√2·
1 +√3 +
1 3−√3
=√2 b) Ta có phương trình ban đầu tương đương với
(x2+ 8x+ 7)(x2+ 8x+ 15) = (1)
Đặt x2+ 8x+ 11 =t, ta có (1) tương đương với t2−16 = 9 hay t=±5. Với t ta giải phương trình bậc hai tìm x
Kết luận phương trình có ba nghiệm −4 +√10;−4−√10;−4
Bài (2,0điểm).
Với số nguyên dương n, kí hiệu S(n)là tổng chữ số n
a) Tính S(20192020)
b) Chứng minh n≥S(n) với số nguyên dương n
c) Tìm tất số nguyên dương n≤1000 thỏa mãn n = 14S(n)−2
Lời giải a) Ta có S(20192020) = + + + + + + + = 16
b) Ta viết số n dạng n =a1a2 ak k∈N∗
Khi ta cón =a1a2 ak = 10k−1·a1+ 10k−2·a2+ +ak≥a1+a2+ +ak =S(n)
Vậy ta ln cón ≥S(n) với số ngun dươngn Đẳng thức xảy n số có chữ số hay n∈ {1; 2; 3; ; 9}
c) Trước hết với n = 1000, thay vào ta thấy không thỏa mãn Ta xét trường hợp
TH1 n số có chữ số Khi n= 14n−2 hay 13n = (vô lý) Vậy trường hợp loại
TH2 n số có hai chữ số Viếtn =ab (a∈N∗,b ∈
N; a, b≤9)
Ta có
ab= 14(a+b)−2⇔4a+ 13b =
(8)TH3 n số có ba chữ số Viếtn =abc Ta có
abc= 14(a+b+c)−2⇒86a+ = 13c+ 4b
Nếu a≥2thì 86a+ ≥174>13·9 + 4·9≥13c+ 4b (vơ lý)
Do đóa = 1, thay vào ta có 13c+ 4b= 88 Dễ có c nên c∈ {0; 4; 8} Thử trường hợp ta thấy thỏa mãn với c= vàb =
Kết luận có số n thỏa mãn điều kiện toán 194
Bài 3(2,0điểm).Cho số nguyên dươngn Tân Dương chơi trò chơi sau: lượt chơi, bạn viết lên bảng số nguyên dương không vượt n Hai bạn luân phiên thực lượt chơi (Tân thực trước) thỏa mãn điều kiện sau:
i) Không có số viết lên bảng lần;
ii) Khơng có hai số ngun dương liên tiếp viết lên bảng;
iii) Ai đến lượt viết thêm số lên bảng người thua
a) Với n = chiến thuật để bạn Dương chắn thắng
b) Với n= 2019, chiến lược để bạn Tân chắn thắng
Lời giải a) Nếu bạn Tân viết số Dương viết số 3, hai số nên bạn Tân viết điều kiện ii) Vậy bạn Dương thắng
Với chiến thuật tương tự, Tân viết số Dương viết số 4; Tân viết số Dương viết số 1; Tân viết số 4thì Dương viết số
Vậy ta có chiến thuật với n = bạn Dương luôn thắng
b) Với n = 2019 Bạn Tân viết số 1010 (ta hiểu nôm na số số từ đến 2019)
Sau bạn Dương viết số ngun dương a Tân viết số 2020−a
Với cách viết ta ln đảm bảo a 2020−a không hai số nguyên dương liên tiếp (dễ chứng minh) Do chiến thuật giúp bạn Tân giành chiến thắng
Bài (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn Γ tâm O đường kính AB Gọi M, N điểm phân biệt nằm Γ cho M thuộc cung AN (M khác A, N khác B) Gọi
C giao điểm đường thẳng AM, BN; H giao điểm củaAN BM
a) Chứng minh C, M, H, N thuộc đường trịn, kí hiệu đường trịn
(I)
(9)C' P
I H C
A
O B
M
N
Lời giải a)Ta có∠HM C =∠HN C = 90◦ nên bốn điểmC,M,H,N thuộc đường tròn tâm I trung điểm CH
b) Ta có OM =OB nên
∠OM B =∠OBM =∠ABM =∠M CH
Suy OM tiếp tuyến đường tròn (I)
c) Gọi C0 đối xứng với C quaO Khi CAC0B hình bình hành Mặt khác H trực tâm tam giác CAB nên ∠HAC0 =∠HBC0 = 90◦
Do P ∈(I)nên ta có ∠HP C0 =∠HP C = 90◦.Vậy ta có năm điểm A, H, P, B, C0 thuộc đường trịn hay ta có tứ giácAHP B nội tiếp
Suy
∠P BO =∠P HN =∠P CN =∠P CB
Do AB tiếp tuyến (BP C), tương tự ta có AB tiếp tuyến (AP C) hay ta có đpcm
(10)bài toán) Điểm P gọi điểm Humpty tam giác ABC ứng với đỉnh C Các bạn tham khảo thêm số tài liệu hay Internet điểm
Bài 5(1,0điểm).Cho số nguyêna,b Giả sửx0 ∈Qlà nghiệm phương trình x2+ax+b= Chứng minh x0 ∈Z
Lời giải Ta giả sử phản chứng x0 ∈/ Z Ta đặt x0 =
x
y x ∈Z, y∈ N
∗ và y >1; x, y nguyên tố
Gọi x1 nghiệm thứ hai phương trình (khơng thiết phải khác x0) Theo định lý Vi-ét ta có
x1 =−a−
x y =
−ay−x y
và
−ay−x y ·
x
y =b ∈Z
Do (x, y) = 1nên ta có (−ay−x, y) = 1mà y >1nên suy (−ay−x)·x
y2 ∈/ Z (Mâu thuẫn) Vậy điều giả sử sai hay ta có x0 phải số ngun
Bình luận chung Đề thi chuyên Tin nói chung vừa sức với em học sinh, thang điểm hợp lí Mong thi sinh hoàn thành thi giữ vững tinh thần, niềm say mê với Tốn có mùa hè bổ ích cho dù năm sau có vào trường Qua đợt làm đề thi này, có nhiều thiếu sót tác giả mong muốn bạn đọc hiểu thông cảm, đặc biệt mong bạn đọc có tài liệu bổ ích để tham khảo thêm Xin cảm ơn bạn Hồng Khải, Nguyễn Chí Long, Phạm Q Long, Đỗ Quang Mạnh, Vũ Đình Toản, Nguyễn Đăng Khoa, có đóng góp nhiều nhóm giải đề tài liệu hoàn thiện Tài liệu chia sẻ công khai, nghiêm cấm hành vi chép, bn bán kinh doanh mà khơng có đồng ý tác giả Xin chân thành cảm ơn!