Trong thực tế người ta giảm bớt khó khăn khi tính I bằng cách sử dụng các phương pháp tính gần ñúng ñể tìm giá trị xấp xỉ của I rồi dùng nó thay cho giá trị ñúng nhưng với ñiều kiện ñánh[r]
(1)Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ GIỚI THIỆU MÔN HỌC I GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp tính là lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần ñúng) cách dựa trên liệu số cụ thể và cho kết dạng số Ngày phần lớn các công việc tính toán ñều ñược thực trên máy tính Tuy thực tế chứng tỏ việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác có thể cho tốc ñộ tính toán và ñộ chính xác khác Lấy ví dụ ñơn giản tính ñịnh thức ma trận chẳng hạn, tính trực ñịnh nghĩa thì việc tính ñịnh thức ma trận vuông cấp 25 hàng triệu năm (ngay với máy tính ñại nay); ñó sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết nhận ñược gần tức thời Như vậy, phương pháp tính là công cụ không thể thiếu các công việc cần thực nhiều tính toán với tốc ñộ tính toán nhanh và ñộ chính xác cao vật lý, ñiện tử viễn thông, công nghệ thông tin Phương pháp tính ñược nghiên cứu từ lâu và cho ñến thành tựu ñạt ñược là khối lượng kiến thức ñồ sộ ñược in nhiều tài liệu sách, báo Tuy nhiên, môn học "Phương pháp tính" nhằm cung cấp kiến thức phương pháp tính Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải bài toán thông thường thực tế và có khả tự tìm hiểu ñể nâng cao kiến thức cho mình gặp các vấn ñề phức tạp Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm ñến hai vấn ñề: • Phương pháp ñể giải bài toán • Mối liên hệ lời giải số gần ñúng và lời giải ñúng, hay sai số lời giải II MỤC ðÍCH Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức số phương pháp giải gần ñúng trên liệu số với mục ñích • Tạo sở ñể học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật • Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai (2) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số phương pháp phương pháp tính, ñược ứng dụng nhiều thực tế các phương pháp tính ñại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm nghiệm gần ñúng các phương trình phi tuyến, tính gần ñúng ñạo hàm và tích phân, giải gần ñúng số dạng phương trình vi phân Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng các phương pháp thực tế IV PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP: ðể học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý vấn ñề sau: Kiến thức chuẩn bị: • Sinh viên phải có kiến thức toán học cao cấp • Thành thạo sử dụng máy tính cầm tay (sẽ ñược giảng viên hướng dẫn trên lớp) Tài liệu và dụng cụ học tập: • Giáo trình Phương pháp tính trường ðHCN Tp HCM • Máy tinh cầm tay (Casio 570 MS, ES Vinacal 570 MS) Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm: • Giải tích số Phạm Kỳ Anh, nhà xuất ñại học Quốc Gia Hà Nội, 1966 • Phương pháp tính Tạ Văn ðỉnh, Nhà xuất Giáo dục - 1995 • Phương Pháp tính Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất Khoa học và Kỹ thuật, 2001 Tham gia ñầy ñủ các buổi hướng dẫn học tập: Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên giúp sinh viên nắm ñược nội dung tổng thể môn học và giải ñáp thắc mắc, ñồng thời sinh viên có thể trao ñổi, thảo luận với sinh viên khác nội dung bài học Chủ ñộng liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách ñơn giản là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua ñó có thể trao ñổi trực tiếp các vấn ñề vướng mắc với giảng viên các bạn học khác ñang online ðịa email ñể trao ñổi với giảng viên : dohoaivu.dhcn@yahoo.com.vn Tự ghi chép lại ý chính: Việc ghi chép lại ý chính là hoạt ñộng tái kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư nghiên cứu Học ñi ñôi với hành Học lý thuyết ñến ñâu thực hành làm bài tập ñến ñó ñể hiểu và nắm lý thuyết (3) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ðÍCH, YÊU CẦU Sau nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: Hiểu ñược sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối Nắm ñược cách viết số xấp xỉ Nắm ñược các qui tắc tính sai số Hiểu và biết cách ñánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp 1.1 ðẶT VẤN ðỀ Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị ñúng (vì nó là kết các phép ño và thí nghiệm) Như chúng ta ñã sử dụng giá trị gần ñúng thay cho giá trị ñúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn ñề phức tạp vì giá trị ñúng có giá trị gần ñúng thì nhiều ðể có sở khoa học việc sử dụng các số gần ñúng người ta ñưa khái niệm sai số ñể ño ñộ chênh lệch các giá trị ñúng và giá trị gần ñúng Chú ý sử dụng số gần ñúng thay cho số ñúng nào ñó người ta luôn phải dùng ñồng thời hai ñại lượng ñó là : giá trị gần ñúng và sai số Hai ñại lượng này có vai trò 1.2 SAI SỐ TUYỆT ðỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ðỐI 1.2.1 Sai số tuyệt ñối Xét ñại lượng ñúng A và ñại lượng gần ñúng nó là a Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A Trị tuyệt ñối ∆ = |a-A| ñược gọi là sai số tuyệt ñối a (khi dùng a ñể xấp xỉ A) Trong thực tế ta không biết ñược số ñúng A, ñó nói chung sai số tuyệt ñối không tính ñược Vì ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt ñối a số ∆a > cho |a - A| ≤ ∆a Số dương ∆a ñược gọi là sai số tuyệt ñối giới hạn a Chú ý: Nếu ∆a là sai số tuyệt ñối giới hạn a thì số thực lớn ∆a ñều là sai số tuyệt ñối giới hạn a sai số tuyệt ñối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt ñối thì nó không còn có ý nghĩa phương diện sai số Trong ñiều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn ∆a là số dương bé (4) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 1.2.2 Sai số tương ñối Gọi ∆ là sai số tuyệt ñối a dùng a ñể xấp xỉ A, ñó ñại lượng δ= ∆ A ñược gọi là sai số tương ñối a Tuy nhiên lần ta thấy A thường không biết, vì người ta ñịnh nghĩa ñại lượng δa = ∆a a là sai số tương ựối giới hạn a đôi người ta biểu diễn sai số tương ựối dạng % Ví dụ với a =10, ∆a = 0.05, ñó ta có δ a = 0.05 = 0.5% 10 Vì thực tế chúng ta có thể thao tác với các sai số giới hạn, ñó người ta thường gọi cách ñơn giản ∆a là sai số tuyệt ñối, δ a là sai số tương ñối 1.2.3 Chú thích: Sai số tuyệt ñối không nói lên ñầy ñủ "chất lượng" số xấp xỉ, “chất lượng” còn ñược phản ánh qua sai số tương ñối 1.3 CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ 1.3.1 Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, ta kể các chữ số từ chữ số khác không ñầu tiên tính từ trái ñến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 2.740 có chữ số có nghĩa, số 0.02078 có chữ số có nghĩa 1.3.2 Chữ số ñáng tin Mọi số thập phân ñều có dạng n a = ± ( α n 10 n + … + α110 + α 0100 + α −110−1 + … + α − m 10− m ) = ± ∑ α s , α s ∈ {0,1, , 9} s =− m Giả sử a là xấp xỉ số A với sai số tuyệt ñối là ∆a s Nếu ∆a ≤ 0.5 × 10 thì ta nói chữ số αs là ñáng tin (như các chữ số có nghĩa bên trái αs ñều là ñáng tin) s Nếu ∆a > 0.5 × 10 thì ta nói chữ số αs là ñáng nghi (như các chữ số bên phải αs ñều là ñáng nghi) Ví dụ Cho số xấp xỉ a = 4.67329 hãy xác ñịnh các chữ số ñáng tin và các chữ số ñáng ngờ ∆a = 0.004726 ∆a= 0.005726 (5) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Giải -2 Ta có ∆a = 0.004726 ≤ 0.5 × 10 ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6,7; các chữ số ñáng ngờ là 3,2, -1 Khi ∆a= 0.005726 ta có ∆a ≤ 0.5 × 10 ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6; các chữ số ñáng ngờ là 7, 3, 2, 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ a Kèm theo sai số Nếu ∆a là sai số tuyệt ñối giới hạn a xấp xỉ A thì ta quy ước viết: A = a ± ∆a với ý nghĩa a – ∆a ≤ A ≤ a + ∆a Hoặc A = a(1 ± δ a ) b Mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin Cách thứ hai là viết theo quy ước: chữ số có nghĩa ñều ñáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt ñối giới hạn không lớn nửa ñơn vị hàng cuối cùng Ví dụ Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này ∆a= 0.5 × 10 -5 1.4 CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT Khi giải bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán ñó bài toán ñơn giản ñể có thể giải ñược tay máy Phương pháp thay bài toán phức tạp phương pháp ñơn giản tính ñược gọi là phương pháp gần ñúng Sai số phương pháp gần ñúng tạo gọi là sai số phương pháp Mặc dầu bài toán ñã dạng ñơn giản, quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết xử dụng các số xấp xỉ , sai số tạo quá trình này gọi là sai số tính toán Trong thực tế việc ñánh giá các loại sai số, là sai số tính toán nhiều là bài toán khó thực Tóm lại thực bài toán phương pháp gần ñúng ta thường gặp loại sai số sau ñây: • Sai số việc mô hình hóa bài toán : xuất việc giả thiết bài toán ñạt ñược số ñiều kiện lý tưởng nhằm làm giảm ñộ phức tạp bài toán • Sai số phương pháp : xuất việc giải bài toán phương pháp gần ñúng • Sai số số liệu : xuất việc ño ñạc và cung cấp giá trị ñầu vào không chính xác • Sai số tính toán : xuất làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ quá trình tính (6) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn Những sai số trên ñây tổng hợp lại nhiều dẫn ñến lời giải quá cách xa so với lời giải ñúng và vì không thể dùng ñược Chính vì việc tìm thuật toán hữu hiệu ñể giải các bài toán thực tế là ñiều cần thiết 1.5 SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP 1.5.1 Sai số quy tròn các số xấp xỉ Khi tính toán với các số ta thường làm tròn các số theo quy ước: Nếu chữ số bỏ ñi ñầu tiên ≥ thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng ñơn vị, còn chữ số bỏ ñi ñầu tiên < thì ñể nguyên chữ số giữ lại cuối cùng Giả sử a là xấp xỉ A với sai số tuyệt ñối giới hạn là ∆ Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt ñối giới hạn là θ, tức là: | a' - a| ≤ θ Khi ñó |a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + ∆ Vậy có thể lấy θ + ∆ làm sai số tuyệt ñối giới hạn a' Như việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt ñối giới hạn 1.5.2 Sai số tính toán trên các số xấp xỉ Bài toán Cho u = f(x1, x2, , xn) Biết các ñối số x1, x2, , xn là các số xấp xỉ với các sai số tuyệt ñối tương ứng là ∆1 , ∆2 , ∆n và f là hàm khả vi liên tục theo các ñối số xi Hãy xác ñịnh ∆u, δ u Giải Theo công thức vi phân hàm nhiều biến ta có: du = Từ ñây suy ∆u ≈ ∂u ∂u dx1 + … + dxn ∂x1 ∂xn ∂u ∂u ∂u ∂u ∆x1 + … + ∆xn ≤ ∆1 + … + ∆n ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn Vì có thể chọn : ∆u = ∂u ∂u ∆1 + … + ∆n ∂x1 ∂xn ðể tìm δ u ta dùng công thức : δ u = ∆u u (7) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ Cho hàm u = f ( x, y, z ) = x y + yz Hãy xác ñịnh giá trị hàm số u, sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối u biết x = 0.983, y = 1.032(1 ± 0.05), z = 2.114 ± 0.02 .Phần ghi chép sinh viên (8) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Trong các bài tập ñây chúng ta ngầm hiểu sai số tương ñối và sai số tuyệt ñối là sai số tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn o o Bài Khi ño số góc ta ñược các giá trị : a= 21 37’3”; b=1 10’ Hãy xác ñịnh sai số tương ñối các số xấp xỉ ñó biết sai số tuyệt ñối phép ño là 1” Bài Hãy xác ñịnh sai số tuyệt ñối các số xấp xỉ sau ñây cho biết sai số tương ñối chúng: a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2.32; δb=0.7% Bài Hãy xác ñịnh số các chữ số ñáng tin các số a,b với sai số sau: a) a= 0,3941; ∆a=0,25.10 -2 b) b=38,2543; ∆a= 0,27.10 -2 Bài Hãy xác ñịnh số chữ số ñáng tin các số a với sai số tương ñối sau: a) a=1,8921; δa=0,1.10 -2 b) a=22,351; δa=0,1 Bài Hãy qui tròn các số ñây( xem là ñúng) với chữ số có nghĩa ñáng tin và xác ñịnh sai số tuyệt ñối ∆ và sai số tương ñối δ chúng: a) a= 2,514 b) 0,16152 c) 0,01204 d) –0,0015281 Bài Hãy xác ñịnh: Giá trị các hàm số, Sai số tuyệt ñối giới hạn và Sai số tương ñối giới hạn Biết giá trị các ñối số cho với chữ số có nghĩa ñều ñáng tin a ) u = f ( x, y, z ) = tg ( x y + yz ), b) u = f ( x, y, z ) = zesin( xy ) , x = 0.983, y = 1.032, z = 2.114 x = 0.133, y = 4.732, z = 3.015 Bài Hãy xác ñịnh: Giá trị các hàm số, sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối Biết giá trị các ñối số cho với chữ số có nghĩa ñều ñáng tin a ) u = x sin( yz ), x = 1.113; y = 0.102; z = 2.131 b) u = z ln( xy ) , x = 0.162; y = 4.531; z = 1.91 c) u = x + y , x = 0.085; y = 0.055; z = 2.152 d ) u = (1 + xyz ) x , x = 2.918; y = 1.032; z = 2.114 Bài Tính thể tích V hình cầu và sai số tuyệt ñối, biết ñường kính ño ñược d = 1,112m và sai số phép ño là mm Bài Hãy xác ñịnh sai số tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn và chữ số ñáng tin cạnh hình vuông a Biết diện tích hình vuông là S = 16, 45cm , ∆ S = 0, 01 (9) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG TÍNH GẦN ðÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN MỤC ðÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 2, yêu cầu sinh viên: Kiểm tra ñược khoảng cách ly nghiệm Tìm ñược nghiệm gần ñúng và ñánh giá ñược sai số phương trình phi tuyến Biết vận dụng các phương pháp trên vào các bài toán thực tế 2.1 GIỚI THIỆU CHUNG 2.1.1 ðặt vấn ñề Khi giải bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu : Xác ñịnh thông số ñầu vào, ñể ñầu hệ thống nào ñó ñạt mức cho trước yêu cầu này có thể phát biểu ngôn ngữ toán học sau: Xác ñịnh giá trị x ∈ ( a, b) cho f ( x) = , (2.1) Như chúng ta ñã biết việc giải phương trình (2.1) không ñơn giản (vì không có phương pháp chung) f ( x) là ña thức có bậc lớn Trong kỹ thuật người ta có thể chấp nhận giá trị x∗ (sao cho f ( x∗ ) ≈ ) thay cho nghiệm ñúng α phương trình với ñiều kiện ñánh giá ñược sai số tuyệt ñối x∗ và α ðiều này hoàn toàn hợp lý thực tế chúng ta xác ñịnh ñược chính xác giá trị thông số ñầu vào thì qua hệ thống kết ñầu ñạt ñược kết gần với yêu cầu Giá trị x∗ nói trên gọi là nghiệm gần ñúng phương trình (2.1) Việc ñi tìm giá trị x∗ và ñánh giá sai số gọi là giải gần ñúng phương trình Chú ý: Khi ñánh giá sai số chúng ta cần phải tính ∆ x* = x * −α và ∆ f ( x*) = f ( x *) − f (α ) = f ( x *) { } Sai số chung bài toán ñược tính ∆ = max ∆ x*; ∆ f ( x*) Trong bài giảng tập chung tính ∆ x* = x * −α 2.1.2 Các bước giải gần ñúng phương trình phi tuyến Khi giải gần ñúng nghiệm phương trình (2.1) ta cần tuân thủ các bước sau: Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm ñúng trên [a,b] (hay [a,b] là khoảng cách ly) Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị x∗ và ñánh giá sai số (10) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 2.1.3 Một số ñịnh lý cần thiết việc thực giải gần ñúng ðể thực bước 1, ta dùng ñịnh lý ñây ðịnh lý1 Nếu hàm số f(x) liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì ñoạn [a,b] là khoảng cách ly nghiệm phương trình (2.1) ðịnh nghĩa2 Gọi S = { x : x − x0 ≤ C} là lân cận ñóng x0 ∈ R , A là ánh xạ từ S vào S Ta nói A là ánh xạ co trên S tồn số q < cho ∀x, y ∈ S : A( x) − A( y ) ≤ q x − y ðịnh lý3 Giả sử α là nghiệm ñúng phương trình x = A( x) và tồn lân cận ñóng S α cho A là ánh xạ co trên S thì α là nghiệm phương trình x = A( x) trên S và α có thể thu ñược cách lấy giới hạn dãy xn +1 = A( xn ); n = 0,1, với x0 là ñiểm nào ñó thuộc S ðịnh lý4 Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên ñoạn [a,b], ngoài tồn m cho < m ≤ |f'(x)| với x thuộc [a,b] ñó ta có ñánh giá: xn − α ≤ f ( xn ) m 2.2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ðÚNG NGHIỆM 2.2.1 Phương pháp lặp ñơn a Mô tả phương pháp - Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b] - Biến ñổi (2.1) ñược dạng tương ñương x = ϕ ( x) ( hàm ϕ gọi là hàm lặp) - Chọn x0 = a+b Tính các nghiệm xấp xỉ xn +1 theo công thức xn +1 = ϕ ( xn ), n = 0,1, 2, - đánh giá sai số ∆ n = xn − α đặt ∆n ≤ q = max { ϕ '( x) } Ta có: x∈[ a,b ] q xn − xn −1 1− q 10 (11) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ b ðiều kiện hội tụ phương pháp ðịnh lý Nếu hàm ϕ ( x) có ñạo hàm ϕ '( x) và thỏa mãn: ϕ '( x) ≤ q < 1, ∀x ∈ [ a, b] thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim xn = α n →∞ Chú ý Khi sử dụng phương pháp lặp chúng ta gặp khó khăn việc tìm hàm ϕ ( x) (vì phải thỏa ñiều kiện : ϕ '( x) ≤ q < 1, ∀x ∈ [ a, b] ) ðể khắc phục ñiều này ta làm theo hướng dẫn - Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ [a, b] ta ñặt ϕ ( x) = x − f ( x) với M ≥ max { f '( x) } M x∈[ a ,b ] - Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ [ a, b] ta ñặt ϕ ( x) = x + f ( x) với M ≥ max { f '( x) } M x∈[ a ,b ] f (c ) ≠ - Nếu ∃c ∈ [ a, b] : thì ta thu hẹp ñoạn [ a, b] thành [c + ε , b] f '(c) = [ a, c − ε ] với ε là số dương ñủ nhỏ cho ñoạn thu hẹp là ñoạn cách ly nghiệm Chú ý: Với cách ñặt trên thì q = max { ϕ '( x) } = − x∈[ a ,b ] Trong ñó m = x∈[ a ,b ] m <1 M { f '( x) } Ví dụ1 Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [1,2] phương trình: x3 − x − = thỏa yêu cầu sai số 10-1 Giải ðặt f ( x) = x3 − x − suy f '( x) = x − , f ''( x) = x f ''( x) = ⇔ x = ∉ (1, 2) Ta có f '(1) = suy f '(2) = 11 f '( x) > 0, ∀x ∈ [1, 2] max { f '( x) } = 11 x∈[1,2] { f '( x) } = m = xmin ∈[1,2] 11 (12) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Bước 1: Kiểm tra [1,2] là khoảng cách ly nghiệm f(x) liên tục trên [1,2], Ta có f (1) f (2) = −5 < 0, f '( x) > 0, ∀x ∈ [1, 2] Vậy [1,2] là khoảng cách ly nghiệm Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số f ( x) x3 − x − − x3 + 12 x + Chọn M=11 ðặt ϕ ( x) = x − = x− = M 11 11 Ta có q = max { ϕ '( x) } = x∈[1,2] ðặt x0 = < Vậy hàm ϕ ( x) thỏa ñiều kiện phương pháp lặp 11 1+ = 1.5 ta tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp ñây x1 = ϕ ( x0 ) = 1.420455 ; q − ∆ ≤ x − x ≈ 0.36 > 10 1 − q x2 = ϕ ( x1 ) = 1.379947 ∆ ≤ q x − x ≈ 0.18 > 10−1 − q x3 = ϕ ( x2 ) = 1.357418 ∆ ≤ q x − x ≈ 0.1 > 10−1 − q x4 = ϕ ( x3 ) = 1.344351 ∆ ≤ q x − x ≈ 5.9 × 10−2 < 10−1 − q ; Vậy x4 = 1.34451 là nghiệm gần ñúng thỏa yêu cầu sai số Ví dụ2 Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [0.5,1] phương trình: 3x − e x = thỏa yêu cầu sai số 10-2 Ví dụ3 Giải gần ñúng trên [4,5] phương trình: x+1 cos π + 0.148x − 0.9062 = thỏa yêu cầu sai số 10-2 .Phần ghi chép sinh viên 12 (13) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 13 (14) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 2.2.2 Phương pháp Newton-Rapson hay ( phương pháp tiếp tuyến ) a Mô tả phương pháp - Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b] - Chọn x0 thuộc [a,b] cho f(x0) cùng dấu với f’’(x), ∀x ∈ (a, b) - Tính giá trị nghiệm gần ñúng thứ n+1 theo công thức x n +1 = x n − f (x n ) ; n=0,1,2 f '(x n ) - đánh giá sai số ∆ n +1 = x n +1 − α ðặt M = max x∈[a,b] { f ''(x) }, m = x∈[a,b] { f '(x) } Ta có ∆ n +1 ≤ M x n +1 − x n 2m b ðiều kiện hội tụ phương pháp Chú ý phương pháp Newton-Rapson là dạng phương pháp lặp với hàm lặp là ϕ( x ) = x − f (x) f '(x) Do muốn phương pháp Newton-Rapson hội tụ thì hàm ϕ ( x ) phải thỏa ñiều kiện ϕ '( x) = f ( x) f ''( x) [ f '( x)]2 < 1; ∀x ∈ [ a, b] Việc kiểm tra ñiều kiện trên khá vất vả nên thực hành người ta thường sử dụng ñiều kiện ñủ ñây ðịnh lý Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên ñoạn [a,b] và f''(x) không ñổi dấu (a,b) Nếu x0 , xn ñược chọn mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức là: lim xn = α n →∞ 14 (15) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ1 Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [-3,-2] phương trình: x3 + x − = thỏa yêu cầu sai số 10-3 Giải ðặt f ( x ) = x3 + x − suy f '( x) = x + x , f ''( x ) = x + , f (3) ( x ) = Xét f’(x) f ''( x) = ⇔ x = −1 ∉ (−3, −2) Ta có f '(−3) = f '(−2) = Vì f '( −2) = nên ta phải thu hẹp [-3,-2] thành [-3,-2.5] f ''( x ) = ⇔ x = −1 ∉ (−3, −2.5) suy Khi ñó f '( −3) = f '(−2.5) = 3.75 f '( x ) > 0, ∀x ∈ [ −3, −2.5] m = { f '( x) } = 3.75 x∈[ −3, −2.5] Xét f’’(x) f (3) ( x) = > Ta có f ''( −3) = −12 suy f ''( −2.5) = −9 f ''( x) < 0, ∀x ∈ [−3, −2.5] M = max { f ''( x) } = 12 x∈[ −3, −2.5] Bước 1: Kiểm tra [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm Ta có f(x) liên tục trên [-3,-2.5], f (−3) f ( −2.5) = −1 × 2.215 < 0, Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm f '( x) > 0, ∀x ∈ [ −3, −2.5] Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số - ðặt x0 = −3 (Vì f ( −3) cùng dấu với f ''( x), ∀x ∈ [ −3, −2.5] ) - Tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp f ( x0 ) x1 = x0 − f '( x ) = −2.888889 ; ∆1 ≤ M x1 − x0 ≈ 0.0198 > 10−3 2m f ( x1 ) x = x − = −2.879452 f '( x1 ) ∆ ≤ M x2 − x1 ≈ 1.43 × 10−4 < 10−3 2m Vậy x2 = −2.879452 là nghiệm gần ñúng thỏa yêu cầu sai số 15 (16) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ x Ví dụ2 Cho phương trình: ln x − + = Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [0.2,1] sau lần lặp đánh giá sai số nhận giá trị nghiệm lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm Ví dụ3 Giải gần ñúng trên [0,1] phương trình: x − cosπx = thỏa yêu cầu sai số 10-4 .Phần ghi chép sinh viên 16 (17) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 17 (18) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài Dùng hai phương pháp (Lặp Newton-Rapson) tìm nghiệm gần ñúng phương trình ñây thỏa yêu cầu sai số 10-4 1) x3 − x − = 0; x0 ∈ [1;2] 7) 3x − e x = ; 2) x − x − = 0; x0 ∈ [1;2] 8) x − cos x = ; x ∈ [0;1] 3) x − x3 − = 0; x0 ∈ [ 2;3] 9) x+ ln x − = ; x ∈ [3;5] x0 ∈ [ 0.2;1] 10) 4) x − tgx = 0; x 5) π +0,5sin = x; 6) x − −x = 0; x ∈ [0;1] x − x3 + = 11) esin x − x + = x0 ∈ [ 0;2π ] 12) tg x0 ∈ [0.3;1] x 2x −1 −e − x + 10 = x ∈ [1;2] ; ; x ∈ [1; 2] ; x ∈ [3;4] Bài Tự tìm khoảng cách ly nghiệm và giải phương pháp lặp ñơn tiếp tuyến 1) ( x − 1) = ex 4) x − 5ln x = 2) x =ln(x+1) 5) x = x − sin( x + lg x − 2) 3) sinx+cosx=4x 6) x = e x + 2 Bài Tìm nghiệm dương nhỏ các phương trình : x 1) e − 2x = 2) 1,8x − sin(10x) = 3) x − 4x = 18 (19) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG GIẢI GẦN ðÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỤC ðÍCH, YÊU CẦU: Sau nghiên cứu chương 3, yêu cầu sinh viên: Nắm ñược các xu hướng xử lý các bài toán ñại số tuyến Hiểu và thực ñược các phương pháp tìm nghiệm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình tuyến tính Biết cách ñánh giá sai số phương pháp 3.1 GIỚI THIỆU CHUNG 3.1.1 ðặt vấn ñề Khi xác ñịnh giá trị các thông số kỹ thuật ñôi chúng ta phải giải hệ thống phương trình tuyến tính a11x1 + a12 x2 a x + a x 21 22 ⋮ ⋮ ⋮ am1x1 + am x2 + + ⋮ + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + a1n xn + a2n xn ⋮ ⋮ + amn xn = b1 = b2 ⋮ = bm (I) ðể giải hệ trên người ta ñi theo hai hướng sau: Hướng giải ñúng Sử dụng các phương pháp giải ñúng ñể tìm giá trị chính xác các nghiệm xj Một số phương pháp tiêu biểu : Cramer, Gauss-JordanẦđã ựược khảo sát môn toán cao cấp A2, C2 Hướng giải gần ñúng Sử dụng các phương pháp giải gần ñúng ñể tìm giá trị xấp xỉ các nghiệm xj Một số phương pháp tiêu biểu : Lặp ñơn, Seidel,… Nhận xét Hướng giải ñúng có ưu ñiểm là tìm ñược giá trị ñúng nghiệm trường hợp hệ có nghiệm và ñược nào hệ vô nghiệm có vô số nghiệm Tuy nhiên lại khó thực trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân Hướng giải gần ñúng có khuyết ñiểm là tìm ñược giá trị gần ñúng nghiệm trường hợp hệ có nghiệm và không ñược nào hệ vô nghiệm có vô số nghiệm Tuy nhiên lại tỏ hiệu trường hợp các hệ số aij ,bi là các số thập phân 19 (20) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật hệ phương trình, thường hệ có các hệ số lẻ và có nghiệm nên hướng giải gần ñúng chiếm hầu hết giải bài toán kỹ thuật Lưu ý Các phương pháp giải gần ñúng ñây giải ñược số hệ có dạng ñặc biệt (sẽ ñược rõ thuật toán) Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng hướng giải ñúng ñể xử lý 3.1.2 Các bước giải gần ñúng hệ phương trình tuyến tính Khi giải gần ñúng nghiệm hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau: Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm ñúng Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị gần ñúng nghiệm và ñánh giá sai số 3.1.3 Một số khái niệm toán học cần thiết việc thực giải gần ñúng ðể thực bước 1, ta cần nhắc lại và xây dựng số khái niệm sau Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n: a11 ⋯ a1n A= ⋮ ⋯ ⋮ a m1 ⋯ amn ðịnh nghĩa1 Ta nói chuẩn ma trận A là các số sau m A = max ∑ aij j =1, , n i =1 (gọi là chuẩn cột) n = max ∑ aij i =1, , m j =1 (gọi là chuẩn hàng) A∞ A2= n m ∑ ∑ aij (gọi là chuẩn Euclicd) j =1 i =1 −1 Ví dụ Với A = −1 ta có −2 −5 A = max{7, 4,7} = A ∞ = max{2,7,9} = A = + + + 16 + + + + + 25 = 56 Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên Trong không gian véc tơ Rn người ta xây dựng khái niệm chuẩn véc tơ sau 20 (21) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ ðịnh nghĩa2 Trong không gian véc tơ Rn cho vecto x = ( x1, x2 , , xn ) Ta nói chuẩn vecto x là các số sau { } j =1, , n x = max Ghi chú : Khái niệm x xj x ∞ n = ∑ x j j =1 x = n ∑ xj j =1 vecto mang ý nghĩa hình học là ñộ dài vecto ñó Tính chất chuẩn (ñọc giáo trình) ðịnh lý4 (Về nghiệm hệ (I)) a11 ⋯ a1n Xét hệ (I) m=n Nếu ⋮ ⋯ ⋮ ≠ thì hệ (I) có nghiệm an1 ⋯ ann 3.2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ðÚNG NGHIỆM 3.2.1 Phương pháp lặp ñơn a Mô tả phương pháp - Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm - Biến ñổi (I) ñược dạng x1 = α11x1 + α12 x2 x = α x + α x 21 22 ⋮ ⋮ ⋮ xn = α n1x1 + α n x2 ðặt + ⋯ + α1n xn + ⋯ + α 2n xn + β1 + β2 ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ + ⋯ + α nn xn ⋮ + βn (II) x1 α11 ⋯ α1n β1 x = ⋮ , α = ⋮ ⋯ ⋮ , β = ⋮ x α β n n1 ⋯ α nn n Khi ñó (II) ñược viết dạng x = α x + β - Chọn x(0) = β Tính các xấp xỉ nghiệm x( n +1) theo công thức x( n +1) = α x( n) + β , n = 0,1, 2, n +1 - đánh giá sai số ∆ n +1 = x( ) − x * với x* là nghiệm ựúng hệ ∆ n +1 ≤ α x ( n +1) − x ( n ) 1− α 21 (22) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ b ðiều kiện hội tụ phương pháp ðịnh lý Nếu ma trận α có chuẩn bé thì phương pháp lặp ñơn hội tụ Ví dụ1 Giải gần ñúng hệ phương trình: 10x − 2y − 3z = 20 −2x + 20y − 5z = 40 x − 3y + 10z = (I) Thỏa yêu cầu sau số 10-2 Giải Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm 10 −2 −3 −2 20 −5 = 1862 ≠ Vậy hệ có nghiệm Ta có −3 10 Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số Biến ñổi (I) ñược dạng 0x + 0.2y + 0.3z + x = y = 0.1x + 0y + 0.25z + z = −0.1x + 0.3y + 0z + 0.8 (II) ðặt 0.2 0.3 α = 0.1 0.25 , −0.1 0.3 β = , 0.8 x1 x = x2 x 3 Khi ñó (II) ñược viết dạng x =αx + β Ta có ðặt x α (0) ∞ =max {0.5, 0.35, 0.4} = 0.5 < Vậy ma trận α thỏa ñiều kiện hội tụ = β = Ta tính nghiệm xấp xỉ x( n +1) , n = 0,1, 2, theo công thức 0.8 22 (23) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 0.2 0.3 2.64 (1) (0) 0.25 + = 2.4 x = α x +β = 0.1 −0.1 0.3 0.8 0.8 1.2 α∞ 0.5 ∆1 ≤ x (1) − x (0) ≈ × 0.64 = 0.64 > 10−2 ∞ 1− α ∞ − 0.5 2.84 (2) (1) x = α x +β = 2.564 1.256 α∞ ∆2 ≤ x (2) − x(1) 1− α ∞ ∞ ≈ 0.2 > 10−2 2.90516 (4) (3) x = α x +β = 2.61026 1.29044 ; α∞ ∆ ≤ x(4) − x (3) ≈ 0.02 > 10−2 ∞ − α ∞ V ậy x (5) 2.8896 (3) (2) x = α x +β = 2.598 1.2852 ; α∞ ∆3 ≤ x (3) − x(2) ≈ 0.05 > 10−2 ∞ 1− α ∞ 2.909184 (5) (4) x = α x +β = 2.613126 1.292562 α∞ ∆5 ≤ x(5) − x(4) ≈ × 10−3 < 10−2 ∞ − α ∞ x = 2.909184 hay y = 2.613126 là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số z = 1.292562 Ví dụ2 Giải gần ñúng hệ phương trình: 19.2x + 2.6y − 1.2z = 20.3 y − 15.3z = 3.7x + x − 13.5y + z = 8.3 (I) Thỏa yêu cầu sau số 10-3 23 (24) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ3 Cho hệ phương trình: − 21.6y − 1.2z = 2.3 x y − 15.3z = 7.24 3.7x + 25.7x − 3.5y + z = 8.3 (I) Tìm nghiệm gần ựúng hệ sau bước lặp đánh giá sai số nhận xấp xỉ nghiệm này .Phần ghi chép sinh viên 24 (25) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 25 (26) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 3.2.2 Phương pháp Seidel a Mô tả phương pháp - Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm - Biến ñổi (I) ñược dạng x = α x + β - Chọn x (0) = β Tính các xấp xỉ nghiệm x( k +1) theo công thức x( k +1) x2( k +1) ⋮ ( k +1) xn + α12 x2( k ) + ⋯ + = α 21x1( k +1) α1n −1xn( k−)1 + α1n xn( k ) + β1 + α 22 x2( k ) + ⋯ + α 2n −1xn( k−)1 + α 2n xn( k ) + β ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ = α11x1( k ) ⋮ = α n1x1( k +1) + α n x2( k +1) + (*) + α nn −1xn( k−+11) + α nn xn( k ) + β n Nếu phân tích α11 α12 α α 22 α = 21 ⋮ ⋮ α n1 α n ⋯ α1n 0 ⋯ α 2n α 21 = ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ α nn α n1 α n = L ⋯ α11 α12 ⋯ α 22 + ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 0 + ⋯ α1n ⋯ α 2n ⋯ ⋮ ⋯ α nn U Thì (*) ñươc viết lại là x( k +1) = Lx( k +1) + Ux( k ) + β ⇔ x( k +1) = ( I n − L) −1 Ux( k ) + β (**) n +1 - đánh giá sai số ∆ n +1 = x( ) − x * với x* là nghiệm ựúng hệ ∆ n +1 ≤ L x ( n +1) − x ( n ) 1− α Chú ý : Theo biểu diễn (**) ta nhận thấy phương pháp Seidel là dạng phương pháp lặp ñơn b ðiều kiện hội tụ phương pháp ðịnh lý Nếu ma trận α có chuẩn bé thì phương pháp lặp Seidel hội tụ 26 (27) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ1 Giải gần ñúng hệ phương trình phương pháp Seidel 10x − 2y − 3z = 20 −2x + 20y − 5z = 40 x − 3y + 10z = (I) Thỏa yêu cầu sau số 10-2 Giải Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm 10 −2 −3 −2 20 −5 = 1862 ≠ Vậy hệ có nghiệm Ta có −3 10 Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số (Theo công thức (**)) Biến ñổi (I) ñược dạng 0x + 0.2y + 0.3z + x = y = 0.1x + 0y + 0.25z + z = −0.1x + 0.3y + 0z + 0.8 (II) ðặt 0.2 0.3 0 0.2 0.3 0.25 = 0.1 0 + 0 0.25 α = 0.1 −0.1 0.3 −0.1 0.3 0 = L + U x β = , x = y z 0.8 Ta có α ∞ = 0.5 < 1, L ∞ = 0.4 0 0 1 0 0 I − L = − 0.1 0 = −0.1 0 −0.1 0.3 0.1 −0.3 ðặt x (0) = β = Ta tính nghiệm xấp xỉ x( n +1) , n = 0,1, 2, theo công thức 0.8 27 (28) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 2.64 (1) −1 (0) x = ( I − L) Ux +β = 2.464 1.2752 ; L∞ 0.4 ∆1 ≤ x(1) − x(0) = × 0.64 = 0.512 > 10−2 ∞ 1− α ∞ − 0.5 2.87536 (2) −1 (1) x = ( I − L) Ux +β = 2.606336 1.294365 L∞ 0.4 ∆ ≤ x (2) − x(1) ≈ × 0.24 ≈ 0.192 > 10−2 ∞ − 0.5 1− α ∞ ; 2.909577 (3) −1 (2) x = ( I − L) Ux +β = 2.614549 1.293407 L∞ 0.4 ∆3 ≤ x(3) − x(2) ≈ × 0.034 ≈ 2.72 × 10−2 > 10−2 ∞ α 1 0.5 − − ∞ ; 2.910932 (4) −1 (3) x = ( I − L) Ux +β = 2.614445 1.29324 ; L∞ 0.4 ∆ ≤ x(4) − x (3) ≈ × 1.4 × 10−3 ≈ 1.12 × 10−3 < 10−2 ∞ − 0.5 1− α ∞ V ậy x (4) x = 2.910932 hay y = 2.614445 là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số z = 1.29324 Chú ý : Chúng ta có thể tính các xấp xỉ nghiệm theo công thức (*) 28 (29) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ2 Cho hệ phương trình 10x −2x x − x − 2y − + 20y − − + 3y y 3z 5z − + t 3t = 20 = 40 + 10z − t = − 2z + 10t = 10 (I) Bằng phương pháp Seidel (dùng công thức *) tìm nghiệm gần ñúng hệ sau bước lặp đánh giá sai số nhận xấp xỉ nghiệm này .Phần ghi chép sinh viên 29 (30) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 30 (31) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài1 Giải các hệ phương trình sau phương pháp lặp ñơn , Seidel với sai số 10-3 1, 02x − 0,05y − 0,1z = 0,795 1) −0,11x + 1, 03y − 0, 05z = 0,849 −0,11x − 0,12y + 1,04z = 1,398 6,1x + 2, 2y + 1, 2z = 16,55 2) 2, 2x + 5,5y − 1,5z = 10,55 1, 2x − 1,5y + 7, 2z = 16,80 1, 02x − 0, 25y − 0,30z = 0,515 3) −0, 41x + 1,13y − 0,15z = 1,555 −0, 25x − 0,14y + 1, 21z = 2, 780 4x − y + z = 4) 2x + 5y + 2z = x + 2y + 4z = 11 4x + y + 2z = 5) 2x + 4y − z = −5 x + y − 3z = −9 3x − y + z = 6) 3x + 6y + 2z = 3x + 3y + 7z = =9 10x − y 7) − x + 10y − 2z = − 2y + 10z = = 24 4x + 3y 8) 3x + 4y − z = 30 − y + 4z = −24 0, 42x − 5, 05y − 0,11z = 0, 215 9) 12,5x + 1,02y − 0,05z = 0,743 −0,11x − 0,12y + 2,09z = 1,395 2,1x + 2, 2y + 7,5z = 14, 65 10) 5, 2x + 0,5y − 1,5z = 20,15 1, 6x − 4,5y + 1, 2z = −6,18 Bài2 Giải các hệ phương trình sau phương pháp Seidel sai số 10-5 1, 42x1 − 0,5x − 0,5x + 5, 02x − 1) 0,17x1 + 2,12x + −0,18x1 − 0,12x + 0,1x + 0, 2x = 2,525 0, 42x1 − 5, 05x − 12,5x + 1, 02x − 1,15x − 0,3x = 0, 741 2) 13,5x + 0, 4x = 5,190 −0,11x1 − 0,12x + −0,11x1 − 0,12x + 1, 05x − 20,7x = 1,824 8x1 − x + 2x + x + 2x = 24 2x + 12x − x − 2x + x = 72 3) − x1 + 5x + 23x + x + 3x = 46 3x + 2x − 5x − 35x − x = 70 4x1 − x + x + 2x − 72x = 144 0,11x + 0,1x = 0, 215 0,05x − 0,5x = 0, 743 2,09x + 0, 4x = 1, 395 1,05x − 5, 2x = 2,092 25x1 − x + 3x + 2x + x = 75 x + 17x − x − 3x − 4x = 170 4) −3x1 + 2x + 35x + x − 5x = 105 4x − 5x − x + 55x + 7x = 330 − x1 − x + x + 2x + 29x = 580 31 (32) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG ðA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT MỤC ðÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 4, yêu cầu sinh viên: Hiểu ñược nào là bài toán nội suy và hồi quy Thực ñược các phương pháp nội suy ña thức Tìm ñược các hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương bé 4.1 GIỚI THIỆU CHUNG Khi nghiên cứu các vấn ñề kỹ thuật, kinh tế, xã hội chúng ta thường gặp phải nhu cầu từ các số liệu rời rạc ñã có các ñại lượng ñang xét, suy mối quan hệ toán học chúng, sau ñó sử dụng công cụ toán học nghiên cứu các vấn ñề mà ta quan tâm trên các ñại lượng ñang xét Ví dụ Quan sát hai ñại lượng X , Y ta có bảng số liệu: x 32 32.9 34 34.5 35 36.6 y 32.4 33 33.1 34.7 35.2 33.6 Có nhiều câu hỏi liên quan ñến mối quan hệ X,Y mà không sử dụng công cụ toán học thì chúng ta không trả lời ñược ví dụ như: - Khi X tăng thì Y có tăng hay không ? - Khi nào thì Y ñạt cực ñại? - Khi X= 36 thì Y là bao nhiêu ? … Vấn ñề xây dựng mối quan hệ toán học các ñại lượng có thể phát biểu bài toán tổng quát sau Bài toán Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn Tìm mối liên hệ x,y dạng y = f(x) ? 32 (33) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Khi giải bài toán trên ñiều ñầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm f(x) nào Các ñịnh lý xấp xỉ sau ñây Weierstrass cho chúng ta gợi ý dạng hàm f(x) ðịnh lý Weierstrass Cho f (x) là hàm thực liên tục xác ñịnh trên ñoạn [a,b] Khi ñó với ε>0 tồn ña thức p m (x) = a + a1x + a x + + a m x m với các hệ số thực cho với giá trị x thuộc [a,b] ta có |f(x) – pm(x)|<ε ðịnh lý Weierstrass Cho f (x) là hàm thực liên tục xác ñịnh trên ñoạn [-π,π] và f(-π) = f(π) Khi ñó với ε>0 tồn ña thức lượng giác a0 m p m (x) = + ∑ a j cos( jx) + b j sin( jx) j=1 với các hệ số thực cho với giá trị x thuộc [-π,π] ta có |f(x) – pm(x)|<ε Như việc chọn ña thức là thích hợp cho dạng hàm f(x) Tiếp theo chúng ta ñi xác ñịnh các hệ số ai, bj ña thức pm(x) Việc xác ñịnh các hệ số thường dựa vào hai dạng yêu cầu: Dạng 1: ða thức pm(x) phải ñi qua các ñiểm (xi ,yi) Tức là pm(xi ) = yi với i=0,1, ,n Dạng 2: n ða thức pm(x) ñi gần các ñiểm (xi ,yi) theo nghĩa ∑ [ pm (xi ) − yi ] bé i =1 Người ta gọi ña thức pm(x) xây dựng theo dạng là ña thức nội suy và ñược dùng biết yi = f(xi) ða thức tìm theo dạng gọi là tìm theo phương pháp bình phương bé (hay còn gọi là bài toán hồi quy hàm hồi quy) nó ñược dùng yi ≈ f (x i ) Chú ý: Khi xây dựng quan hệ y và x theo phương pháp bình phương bé có thể không phải dạng ña thức 4.2 ðA THỨC NỘI SUY 4.2.1 ða thức nội suy Lagrange (ñọc giáo trình) 33 (34) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 4.2.2 ða thức nội suy Newton Bài toán Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn Trong ñó : x0 < x1 <…< xn Tìm mối liên hệ x,y dạng y = p n (x) = a + a1x + a x + + a n x n Thỏa ñiều kiện yi = p n (x i ) Tìm giá trị y x = x* với x* ∉ {x , x1, , x n } Giải a) Các giá trị xi cách ñều : h = xi+1 - xi Bước Tính các hiệu hữu hạn tiến ∆ik ∆i = yi +1 − yi ; k=0,1, n-1 k +1 k k ∆i = ∆i +1 − ∆i Bước Lập ña thức nội suy ða thức nội suy Newton tiến p Tn (x) = y0 + ∆0 ∆2 ∆n (x − x ) + 02 (x − x )(x − x1 ) + + n (x − x )⋯ (x − x n −1 ) h 2!h n!h ða thức nội suy Newton lùi p nL (x) = y n + ∆n ∆ n −1 ∆2 (x − x n ) + n −22 (x − x n )(x − x n −1 ) + + 0n (x − x n )⋯ (x − x1 ) h 2!h n!h Bước Tính y x = x* Nếu x* gần x0 thì y ≈ pTn (x* ) Nếu x* gần xn thì y ≈ p Ln (x* ) 34 (35) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ b) Các giá trị xi không cách ñều Bước Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến f[x i , x i + n ] yi +1 − yi f[x i , x i +1 ] = x − x i +1 i ; i = 0,1 ; k = 1,2, f[x i +1, , x i + k ] − f[x i , , x i + k −1 ] f[x i , , x i + k ] = xi + k − xi Bước Lập ña thức nội suy ða thức nội suy Newton tiến p Tn (x) = y + f[x , x1 ](x − x ) + + f[x , , x n ](x − x )⋯ (x − x n −1 ) ða thức nội suy Newton lùi p Ln (x) = y n + f[x n −1, x n ](x − x n ) + + f[x , , x n ](x − x n )⋯ (x − x1 ) Bước Tính y x = x* Nếu x* gần x0 thì y ≈ pTn (x* ) Nếu x* gần xn thì y ≈ p Ln (x* ) Ví dụ1 Cho bảng số liệu x 11 y 3.2 3.3 1.7 2.5 5.1 4.3 Xây dựng ña thức nội suy Newton tiến, lùi Tìm y x=1.2345 x = 9.5437 Giải Bước Tính các hiệu hữu hạn tiến ∆ik ∆i ∆i2 ∆ 3i ∆i4 n x y 3.2 3.3 0.1 1.7 -1.6 -1.7 2.5 0.8 2.4 4.1 5.1 2.6 1.8 -0.6 -4.7 11 4.3 -0.8 -3.4 -5.2 -4.6 ∆ 5i 0.1 35 (36) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Bước Lập ña thức nội suy ða thức nội suy Newton tiến p5T (x) ∆0 ∆ 02 ∆30 = y0 + (x − x ) + (x − x )(x − x1 ) + (x − x )(x − x1 )(x − x ) h 2!h 3!h + ∆ 04 ∆50 4!h 5!h (x − x )(x − x1 )(x − x )(x − x ) + (x − x )(x − x1 )(x − x )(x − x )(x − x ) 4.1 0.1 1.7 (x − 1)(x − 3)(x − 5) (x − 1) − (x − 1)(x − 3) + 3!23 2!22 4.7 0.1 − (x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7) + (x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7)(x − 9) 4!2 5!25 p5T (x) = 3.2 + ða thức nội suy Newton lùi p5L (x) = y5 + + ∆14 4!h ∆2 ∆4 ∆3 (x − x ) + 32 (x − x )(x − x ) + 23 (x − x )(x − x )(x − x ) h 2!h 3!h (x − x )(x − x )(x − x )(x − x ) + ∆50 5!h (x − x )(x − x )(x − x )(x − x )(x − x1 ) 0.8 3.4 5.2 (x − 11) − (x − 11)(x − 9) − (x − 11)(x − 9)(x − 7) 2 2!2 3!23 4.6 0.1 − (x − 11)(x − 9)(x − 7)(x − 5) + (x − 11)(x − 9)(x − 7)(x − 5)(x − 3) 4!24 5!25 Bước Tính y p5L (x)= 4.3 − Khi x = 1.2345 Vì x gần x0 nên ta có y ≈ p5T (1.2345) = Khi x = 9.5437 Vì x gần x5 nên ta có y ≈ p5L (9.5437) = Ví dụ2 Cho bảng số liệu x 10 y Xây dựng ña thức nội suy Newton tiến, lùi Tìm y x=2.6375 x = 8.5722 Giải 36 (37) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Bước Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến n x y TH1 TH2 TH3 TH4 2 -1 -1/3 1/6 3/2 11/30 1/30 -1/6 -4/45 -11/630 10 -2 -1 -1/6 -7/720 TH5 13/15120 Bước Lập ña thức nội suy ða thức nội suy Newton tiến 1 (x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 2)(x − 5) 30 11 13 − (x − 1)(x − 2)(x − 5)(x − 7) + (x − 1)(x − 2)(x − 5)(x − 7)(x − 8) 630 15120 p5T (x) = − (x − 1) + ða thức nội suy Newton lùi p5L (x)= − 2(x − 10) − (x − 10)(x − 8) − (x − 10)(x − 8)(x − 7) 13 − (x − 10)(x − 8)(x − 7)(x − 5) + (x − 10)(x − 8)(x − 7)(x − 5)(x − 2) 720 15120 Bước Tính y Khi x = 2.6375 Vì x gần x0 nên ta có y ≈ p5T (2.6375) Khi x = 8.5722 Vì x gần x5 nên ta có y ≈ p5L (8.5722) 4.3 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Bài toán Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x x1 x2 … xn y y1 y2 … yn Trong ñó : x1 < x2 <…< xn Tìm mối liên hệ x, y dạng a) y ≈ p1 (x) = a + bx n Thỏa ñiều kiện b) y ≈ p (x) = a + bx + cx ∑ [ p(xi ) − yi ] c) y ≈ q(x) = a + b cos x + csin x bé i =1 37 (38) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Giải n n a) ðặt: F(a, b) = ∑ [ p(x i ) − yi ] = ∑ ( a + bx i − yi ) i =1 i =1 Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a,b cho F(a, b) ñạt cực tiểu Theo lý thuyết hàm biến ñể F(a, b) ñạt cực tiểu a, b phải thỏa hệ: n ' Fa (a, b) = 2∑ ( a + bx i − yi ) = i =1 n ' F (a, b) = ∑ xi ( a + bx i − yi ) = b i =1 n n n n an + b ∑ x i = ∑ yi i =1 i =1 ⇔ n n n a x + b x = ∑ i ∑ x i yi ∑ i i =1 i =1 i =1 b) ðặt: F(a, b,c) = ∑ [ p(x i ) − yi ] = ∑ ( a + bx i + cx i − yi ) i =1 i =1 Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a, b, c cho F(a, b,c) ñạt cực tiểu Theo lý thuyết hàm biến ñể F(a, b,c) ñạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ n n n n ' 2 Fa (a, b,c) = 2∑ a + bx i + cx i − yi = an + b ∑ x i + c∑ x i = ∑ yi i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n ' n 2 Fb (a, b,c) = 2∑ x i a + bx i + cx i − yi = ⇔ a ∑ x i + b ∑ x i + c∑ x i = ∑ x i yi i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n F' (a, b,c) = 2∑ x a + bx + cx − y = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x = ∑ x y i i i i i i i i c i =1 i i =1 i =1 i =1 i =1 ( ) ( ) ( ) n n c) ðặt: F(a, b,c) = ∑ [ p(x i ) − yi ] = ∑ ( a + b cos x i + csin x i − yi ) i =1 2 i =1 Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a, b, c cho F(a, b,c) ñạt cực tiểu Theo lý thuyết hàm biến ñể F(a, b,c) ñạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ n n n an + b ∑ cos x i + c∑ sin x i = ∑ yi i =1 i =1 i =1 n n n n a cos x + b cos x + c cos x sin x = ∑ ∑ ∑ i i ∑ yi cos xi i i i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n a ∑ sin x + b ∑ cos x sin x + c∑ sin x = ∑ y sin x i i i i i i i =1 i =1 i =1 i =1 38 (39) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Chú ý ðể xác ñịnh dạng hàm người thường biểu diễn các cặp ñiểm (xi,yi) lên mặt phẳng tọa ñộ Oxy, sau ñó nối các ñiểm xem ñường nối có hình dạng nào và chọn dạng hàm theo gợi ý sau: - Nếu là ñường thẳng (hoặc gần thẳng) chọn dạng a) - Nếu là ñường cong Parabol chọn dạng b) - Nếu là ñường tuần hoàn chọn dạng c) Ví dụ1 Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x 2.3 3.1 4.2 5.5 y 3.2 3.1 3.8 4.6 Tìm mối liên hệ x, y dạng y = a + bx Giải y = 1.603588 + 0.554593x Ví dụ2 Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x 2.3 3.1 3.4 4.1 5.6 y 3.2 3.1 6.8 3.5 1.6 Tìm mối liên hệ x, y dạng y = a + bx + cx Giải y = −1.385703 + 3.55484x − 0.528606x Ví dụ3 Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x 1.05 1.57 3.14 6.28 y 3.2 Tìm mối liên hệ x, y dạng y = a + b cos x + csin x Phần ghi chép sinh viên 39 (40) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 40 (41) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Chú ý Khi yêu cầu xây dựng các hàm không phải dạng a), b), c) chúng ta có thể dùng hai cách sau : Cách Dùng phép ñổi biến ñể ñưa các dạng a), b), c) n ∑ [ p(xi ) − yi ] Cách Dùng ñiều kiện bé ñể xác ñịnh các hệ số i =1 Ví dụ4 Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x 2.3 3.1 4.2 5.5 y 3.2 3.1 3.8 4.6 Tìm mối liên hệ x, y dạng a) y = ax b , a > d) y = e 2x ae2x + be x + c b) y = aebx , a > e) y = ax b + c ln x c) y = abln x − ; a, b > −1 ; a > b f) y = a + + c tan x cos x .Phần ghi chép sinh viên 41 (42) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 42 (43) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ5 Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu x y 3.2 3.1 3.8 Tìm mối liên hệ x, y dạng a) y = a + x + be x b) y = a + b ln x + c x Phần ghi chép sinh viên 43 (44) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ … ………………………………………… ……………………………………………… 44 (45) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài1 Cho các mốc nội suy sau : x f(x) -1 1) Viết ña thức Newton tiến, tính f(2.5) 2) Viết ña thức Newton lùi, tính f(6.82) Bài Cho các mốc nội suy cách ñều : x f(x) -1 1) Viết ña thức Newton tiến và tính f (1,5) 2) Viết ña thức Newton lùi và tính f (4,5) Bài Từ bảng số liệu ñã cho, pp bình phương bé tìm hàm ñã x y 1) y = a ln x + bx + c Biết x y 2) y = a + bx + c cos x Biết 3) y = ax + b( x + sin x) Biết 7.7 4.6 x y 4) y = a ( x + 2) + b cos x Biết 3.7 3.8 x y 5) y = a (e x − 1) + b ln( x + 1) Biết x y 10 8.9 15 4.3 0 5.5 22.2 15 42.3 Bài Cho bảng liệu x 1,5 2,4 y 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89 Bằng phép ñổi biến số thích hợp dùng phương pháp bình phương nhỏ tìm các hàm ax + b d) y = + a + bx a) y = b) y = ax + bx + c x e)y = ( b + ax ) c) y = ax + b f) y= a cos x + b tan x + c 45 (46) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG TÍNH GẦN ðÚNG TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH MỤC ðÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 5, yêu cầu sinh viên: Hiểu ñược nào là bài toán tính gần ñúng tích phân xác ñịnh Thực ñược các phương pháp tính gần ñúng tích phân xác ñịnh, qua ñó biết cách tính giá trị gần ñúng tích phấn xác ñịnh hàm Biết cách áp dụng các phương pháp tính gần ñúng trên vào việc giải các bài toán ngoài thực tế Biết cách ñánh giá sai số phương pháp 5.1 GIỚI THIỆU CHUNG Quá trình tính giá trị các thông số kỹ thuật giá trị các ñại lượng kinh tế ñôi phải tính tích phân b I = ∫ f (x)dx a ðể tính ñúng tích phân I ta có công thức Newton-Leibniz công thức này gặp khó khăn hàm f(x) có nguyên hàm phức tạp khó tìm không có nguyên hàm cho bảng giá trị rời rạc (ñiều này dễ gặp kỹ thuật, kinh tế…) Trong thực tế người ta giảm bớt khó khăn tính I cách sử dụng các phương pháp tính gần ñúng ñể tìm giá trị xấp xỉ I dùng nó thay cho giá trị ñúng với ñiều kiện ñánh giá ñược sai số tuyệt ñối ða số các phương pháp tính gần ñúng ñều theo các bước sau Bước 1: Chia ñoạn [a,b] thành n ñoạn nhỏ [ x i , x i +1 ]; i=0, ,n-1 Bước 2: Trên ñoạn nhỏ [ x i , x i +1 ] xây dựng ña thức nội suy bậc m pim (x) f (x) n −1 x i +1 i =0 xi Bước 3: Tính I = ∑ Ii ; Ii = * ∫ pim (x)dx Kết luận I ≈ I* Bước 4: đánh giá sai số ∆ = I − I* 46 (47) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 5.2 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH GẦN ðÚNG 5.2.1 Công thức hình thang - Giả sử f(x) có ñạo hàm cấp liên tục trên [a,b] - Chia ñoạn [a,b] thành n ñoạn - ðặt x = a tính: - Tính b−a h = n x = x + h; i = 0,1, ,n-1 i i +1 yi = f (x i ); i = 0,1, ,n y + yn I* = h + y1 + + y n −1 Kết luận I ≈ I* - đánh giá sai số : ∆ = I − I* ≤ (b − a)h f ''(c) ; c ∈ [a, b] 12 Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé Chú ý : Trong thực hành - Nếu ñạo hàm cấp f(x) tính ñược thì sai số ñánh giá theo công thức (b − a)h ∆≤ M với M ≥ max f ''(x) 12 x∈[a,b] - Nếu ñạo hàm cấp f(x) không tính ñược quá phức tạp thì sai số ñánh giá theo công thức ∆≤ * * I n − I 2n với I*h , I*2h là giá trị I* ñược tính chia ñoạn [a,b] thành n và 2n ñoạn có chiều dài 47 (48) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ1 Tính gần ñúng I = ∫ e x dx đánh giá sai số Biết chia ựạn [0.1] thành 10 ựoạn có chiều dài Giải Lập bảng số liệu với h= 0.1 i 10 xi yi = e 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Tính giá trị - y +y I* = h 10 + y1 + + y9 = 1.467175 x i2 - y0 = y1 = 1.01005 y = 1.040811 y3 = 1.094174 y = 1.173511 y5 = 1.284025 y = 1.433329 y = 1.632316 y8 = 1.896481 y9 = 2.247908 y10 = 2.718282 đánh giá sai số Ta có 2 y = e x ⇒ y ' = 2xe x ⇒ y '' = 2e x (1 + 2x ) suy Vậ y ∆ ≤ max y ''(x) = 6e x∈[0,1] (1 − 0)0.12 6e = 0.014 12 π Ví dụ2 Tính gần ñúng I = ∫ ln(cos x + sin x)dx π π π đánh giá sai số Biết chia ựoạn , thành 12 ựoạn có chiều dài 6 2 Ví dụ3 Cho tích phân ∫ I = ln(1 + e x )dx Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít ñoạn có chiều dài ñể sai số tính gần ñúng I không quá 10-3 .Phần ghi chép sinh viên 48 (49) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 49 (50) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 50 (51) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 5.2.2 Công thức Simpson tổng quát (Simpson 1/3) - Giả sử f(x) có ñạo hàm cấp liên tục trên [a,b] - Chia ñoạn [a,b] thành n =2m ñoạn - ðặt x = a tính: - Tính I* = b−a h = n x = x + h; i = 0,1, ,n-1 i i +1 yi = f (x i ); i = 0,1, ,n h [ y0 + y2m + 4(y1 + + y 2m −1 ) + 2(y + + y 2m − )] - Kết luận I ≈ I* - đánh giá sai số ∆ = I − I* ≤ (b − a)h (4) f (c) ; c ∈ [a,b] 180 Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé Chú ý : Trong thực hành - Nếu ñạo hàm cấp f(x) tính ñược thì sai số ñánh giá theo công thức ∆≤ (b − a)h M với M ≥ max f (4) (x) 180 x∈[a,b] - Nếu ñạo hàm cấp f(x) không tính ñược quá phức tạp thì sai số ñánh giá theo công thức ∆≤ * I 2m − I*4m 15 với I*2m , I*4m là giá trị I* ñược tính chia ñoạn [a,b] thành 2m và 4m ñoạn có chiều dài 51 (52) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ1 Tính gần ñúng I = ∫ e x dx đánh giá sai số Biết chia ựạn [0.1] thành 10 ựoạn có chiều dài Giải Lập bảng số liệu với h= 0.1 i 10 - Tính I* = xi yi = e x i 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y0 = /////////////////////// y1 = 1.01005 y = 1.040811 /////////////////////// /////////////////////// y3 = 1.094174 y = 1.173511 /////////////////////// ////////////////////// y5 = 1.284025 y = 1.433329 /////////////////////// /////////////////////// y = 1.632316 /////////////////////// y8 = 1.896481 /////////////////////// y9 = 2.247908 y10 = 2.718282 h [ y0 + y10 + 4(y1 + + y9 ) + 2(y2 + + y8 )] = 1.462652 - đánh giá sai số ∆ = I − I* Với x thuộc [0,1] ta có : y = e x V ậy y ' = 2xe x = 2xy ≤ 2e y '' = 2(y + xy ') ≤ 6e ≤e ⇒ (3) y = 2(2y '+ xy '') ≤ 20e (4) (3) y = 2(3y ''+ xy ) ≤ 76e max y ''(x) ≤ 76e ≡ M Kết luận : ∆ ≤ x∈[0,1] (1 − 0) × 0.14 × 76e = 1.148 × 10−4 180 52 (53) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Ví dụ2 Tính gần ñúng π I = ∫ cos(e x + 1)dx π Không ñánh giá sai số Biết chia ñoạn 0, thành 10 ñoạn có chiều dài 2 Ví dụ3 Cho tích phân I = ∫ ln(1 + x + 1)dx Hỏi phải chia ñoạn [0,1] thành ñoạn ñể tính gần ñúng I công -4 thức simpson bảo ñảm ñược sai số tuyệt ñối < 3.10 .Phần ghi chép sinh viên 53 (54) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 54 (55) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài1 Tính các tích phân sau công thức hình thang với n = 10 π I= ∫0 x + cos x dx ; xdx ∫0 ln ( + x ) ; J= M= sin x 2dx ∫0 ln ( + x ) ; K= N= e x dx ∫0 sin (1 + x ) ; x 2dx ∫0 sin (1 + x ) ; L= x arcsin xdx ∫0 2x + ; tgxdx e 1+ x ; 1 G= ∫ H= e 2x ∫0 + cos 3x dx Bài2 Giải lại bài cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n = 10 Bài3 3,1 Khi tính gần ñúng I = x3 ∫ x − dx công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [2,1;3,1] 2,1 thành bao nhiêu ñoạn ñể ñạt ñược sai số nhỏ 10-4 Bài4 Khi tính gần ñúng I = ∫ x2 + dx công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [0;1] x+2 thành bao nhiêu ñoạn ñể ñạt ñược sai số nhỏ 0,75.10-4 55 (56) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ CHƯƠNG GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỤC ðÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 6, yêu cầu sinh viên: Hiểu ñược vai trò và tầm quan trọng bài toán giải gần ñúng phương trình vi phân Thực ñược các phương pháp tìm nghiệm gần ñúng phương trình vi phân Biết cách áp dụng các phương pháp trên vào việc giải các bài toán thực tế đánh giá ựược sai số phương pháp 6.1 GIỚI THIỆU CHUNG 6.1.1 ðặt vấn ñề Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật dẫn việc tìm giá trị hàm y=y(x) x=x* Biết y là nghiệm riêng phương trình vi phân thường: y (a ) = y0 y '( a ) = y (n) F ( x, y, y ', , y ) = 0; x ∈ [ a, b] thỏa ñiều kiện ñầu ⋮ y ( n −1) ( a ) = y n −1 Giải bài toán trên có hai nhóm phương pháp Phương pháp tìm giá trị thông qua nghiệm chính xác: Bằng cách dựa vào cách tính tích phân trực tiếp, xác ñịnh ñược dạng tổng quát nghiệm dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể xác ñịnh nghiệm riêng, sau ñó thay giá trị x* vào nghiệm riêng ñể tìm giá trị y Phương pháp tìm giá trị gần ñúng : Sử dụng xấp xỉ hàm công thức khai triển Taylor sau ñó dùng phương pháp tính gần ñúng tích phân ñể tính gần ñúng giá trị y Nhận xét Hướng giải ñúng có ưu ñiểm là tìm ñược giá trị ñúng y Tuy nhiên lại khó thực không có phương pháp tìm nghiệm riêng tổng quát cho bài toán Hướng giải gần ñúng có khuyết ñiểm là tìm ñược giá trị gần ñúng nghiệm trường hợp hệ có nghiệm Tuy nhiên phương pháp này có thể áp dụng cho lớp phương trình vi phân rộng nhiều so với phương pháp trực tiếp, ñó ñược dùng nhiều thực tế 56 (57) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Trong chương này ta nghiên cứu cách tính gần ñúng và ñánh giá sai số giá trị hàm y thỏa bài toán ñơn giản phương trình vi phân là bài toán Cauchy ñối với phương trình vi phân cấp Bài toán Cho hàm y=y(x) thỏa y ' = f ( x, y ) ; y ( a ) = y0 x ∈ [ a, b] (6.1) x = a, xn = b Tìm giá trị gần ñúng y x = xi thỏa ; i = 0,1, , n − đánh giá sai số xi +1 = xi + h Giải Khi giải bài toán trên ta cần tuân thủ các bước sau: Bước 1: Kiểm tra (6.1) có nghiệm ñúng trên [a,b] Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị xấp xỉ yi y ( xi ) và ñánh giá sai số ∆i = yi − y ( xi ) 6.1.2 Một số ñịnh lý cần thiết việc thực giải gần ñúng ðể thực bước 1, người ta thường dùng các ñịnh lý ñây ðịnh lý1 Nếu f ( x, y ) và ∂f ( x, y ) liên tục trên miền D chứa (x0,y0) thì tồn hàm y=y(x) ∂y thỏa (6.1) Ghi chú : Ngoài ðịnh lý còn nhiều ðịnh lý nói tồn nghiệm ðịnh lý2 Cho hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm ñến cấp n+1 x0 và lân cận x0 Giả sử h là giá trị cho x0 + h thuộc lân cận này Ta có: f ''( x0 ) f ( n) ( x0 ) n f ( n +1) (c) n +1 f ( x0 + h) = f ( x0 ) + hf '( x0 ) + h + + h + h 2! n! ( n + 1)! Trong ñó c là số thuộc (x0 , x0+h) 57 (58) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 6.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ðÚNG 6.2.1 Phương pháp Euler cải tiến - Kiểm tra bài toán có nghiệm - ðặt x = a, y0 = y(x ) - Tính yi +1 : y (0) = yi + hf (x i , yi ) i +1 h (1) (0) yi +1 = yi + f (x i , yi ) + f (x i +1, yi +1 ) ⋮ h (m −1) yi(m) +1 = yi + f (x i , yi ) + f (x i +1, yi +1 ) ; i = 0,1, ,n-1 Nếu yi(+m1) − yi(+m1−1) ≤ ∆ thì kết luận yi +1 = yi(+m1) Ví dụ1 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ y / = x − y ; x ∈ [0,1] y (0) = Tìm giá trị xấp xỉ y(0.1), y(0.2) thỏa yêu cầu sai số 10-3 Giải Bước 0: Tóm tắt bài toán i xi yi x0=0 y0=1 x1=0.1 y1=? x2=0.2 y2=? ; f ( x, y ) = x − y h = x1 − x0 = x2 − x1 = 0.1 Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm f ( x, y ) = x − y Ta có ∂f liên tục trên R2 Vậy phương trình có nghiệm riêng ∂y ( x, y ) = −1 Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(0.1) và y2 = y(0.2) 58 (59) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Tính y1 y (0) = y0 + hf ( x0 , y0 ) = y0 + h( x02 − y0 ) = + 0.1(0 − 1) = 0.9 y (1) = y + h f ( x , y ) + f ( x , y (0) ) = y + h x − y + x − y (0) = 0.9055 0 1 0 1 2 2 ⇒ y1(1) − y1(0) = 5.5 × 10−3 >10-3 y (2) = y0 + h f ( x0 , y0 ) + f ( x1, y (1) ) = y0 + h x02 − y0 + x12 − y (1) = 0.905225 2 2 ⇒ y1(2) − y1(1) = 2.75 × 10−4 < 10−3 Vậy y1 = 0.905225 Tính y2 y (0) = y1 + hf ( x1, y1 ) = y1 + h( x12 − y1 ) = 0.905225 +0.1(0.12 − 0.905225 )=0.815703 y (1) = y + h f ( x , y ) + f ( x , y (0) ) = 0.821679 1 2 2 ⇒ y2(1) − y2(0) = 5.98 × 10−3 >10-3 y (2) = y1 + h f ( x1, y1 ) + f ( x2 , y (1) ) = 0.82138 2 ⇒ y2(2) − y2(1) = 2.99 × 10−4 < 10−3 Vậy y2 = 0.82138 Ví dụ2 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ y / = ( y + e x ) cos y ; x ∈ [0.5,1] y (0.5) = Tìm giá trị xấp xỉ y(0.55), y(0.58) thỏa yêu cầu sai số 10-3 .Phần ghi chép sinh viên 59 (60) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 60 (61) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 6.2.2 Phương pháp Runge-Kutta - Kiểm tra bài toán có nghiệm - ðặt x = a, y0 = y(x ) Tính yi +1 theo công thức k1(i) + 2k (i) + 2k 3(i) + k (i) yi +1 = yi + k (i) = hf (x i , yi ) (i) k1(i) h k = hf x i + , yi + 2 Với k (i) h (i) k = hf x + , y + i i (i) (i) k = hf x i + h, yi + k ( ; i = 0, n − ) Ví dụ1 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ y / = x y ; x ∈ [1,2] y (1) = Tìm giá trị xấp xỉ y(1.1), y(1.12) Giải Bước 0: Tóm tắt bài toán i xi yi x0=1 y0=1 x1=1.1 y1=? x2=1.12 y2=? ; f ( x, y ) = x y x1 − x0 = 0.1 ≠ x2 − x1 = 0.02 Vì khoảng cách các giá trị x không ñều nên ta phải tính hai lần riêng biệt với hai giá trị h là 0.1 và 0.12 Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm f ( x, y ) = x y Ta có ∂f liên tục trên R2 Vậy phương trình có nghiệm riêng ∂y ( x, y ) = x Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(1.1) và y2 = y(1.12) 61 (62) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ Tính y1 ( với h=0.1) k (0) = hf ( x0 , y0 ) = h( x02 y0 ) = 0.1 (0) k1(0) k1(0) h h k = hf x + , y + = h x + y + = 0.115763 0 2 2 (0) (0) k (0) = hf x + h , y + k2 = h x + h y + k2 = 0.116631 2 (0) (0) (0) k4 = hf x0 + h, y0 + k3 = h( x0 + h) y0 + k3 = 0.135112 ( Vậy y1 = y0 + ) ( ) k1(0) + 2k2(0) + 2k3(0) + k4(0) = 1.11665 Tính y1 (với h=0.12) k (0) = hf ( x0 , y0 ) = h( x02 y0 ) = 0.12 (0) k1(0) k1(0) h h k = hf x + , y + = h x + y + = 0.142923 2 ( 0) (0) k (0) = hf x + h , y + k2 = h x + h y + k2 = 0.144467 2 (0) (0) (0) k4 = hf x0 + h, y0 + k3 = h( x0 + h) y0 + k3 = 0.172274 k (0) + 2k2(0) + 2k3(0) + k4(0) Vậy y1 = y0 + = 1.144509 ( ) ( ) Ví dụ2 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ y / = ( y + e x )sin y ; x ∈ [0.5,1] y (0.5) = Tìm giá trị xấp xỉ y(0.55), y(0.6) Phần ghi chép sinh viên 62 (63) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 63 (64) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài1: Giải các phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến Cho ε = 10−4 a ) y / = x − y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y / = − xy ; y (0) = trên ñoạn c) y / = x − [0;1], với bước h = 0,25 y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 d ) y / = − xy ; y (0) = 1.5 trên ñoạn e) y / = [0;1], với bước h = 0,125 x2 − y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,125 xy + f ) y/ = + x − 3x y ; y (0) = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,125 Bài2 Giải các phương trình vi phân sau phương pháp Runge-kutta a ) y / = x − y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y / = − xy ; y (0) = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25 c) y / = − y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 + x2 d ) y / = + 3xy ; y (0) = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25 e) y / = x2 − y ; y (0) = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 + xy 64 (65) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ MỘT SỐ ðỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ ðề số Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu) Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp 2x − y + z + 10t = 10 10x − y − z + t = 10 2 x + 20y − z − 2t = 20 x + y + 20z − 5t = 20 đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lẩn lần lặp thứ hai Câu Cho bảng số liệu x y 0 5.5 42.3 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng: y = a (e x − 1) + b ln( x + 1) ∫ Cho tích phân I = ln(e x + 2)dx Câu a) Tính gần ñúng I phương pháp Simpson 1/3 Biết chia ñoạn [1, 2] thành 10 ñoạn có chiều dài Không ñánh giá sai số b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít ñoạn có chiều dài ñể sai số tính gần ñúng I không quá 10-3 Câu Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ y ' = x sin( x + y ) y (0) = a) b) ; x ∈ [0,1] Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3 Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không ñánh giá sai số .……………………………………………………………………………… 65 (66) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ ðề số Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu) Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp 10x − y − 2z + t = 10 2 x + 20y − z − 4t = 20 x − y + 2z + 10t = 10 x + y + 20z − 3t = 20 đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lẩn lần lặp thứ hai Câu Cho bảng số liệu x y -1 2.1 12.2 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng: y = a( x − 1) + b ln( x + 1) Câu ∫ Cho tích phân I = ln(1 + e x )dx a) Tính gần ñúng I phương pháp Simpson 1/3 Biết chia ñoạn [1, 2] thành 10 ñoạn có chiều dài Không ñánh giá sai số b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít ñoạn có chiều dài ñể sai số tính gần ñúng I không quá 10-3 Câu Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ y ' = x cos( x + y ) y (0) = ; x ∈ [0,1] a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3 b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không ñánh giá sai số .……………………………………………………………………………… 66 (67) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ .Phần ghi chép sinh viên 67 (68) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 68 (69) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 69 (70) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 70 (71) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 71 (72) Bài giảng: Toán chuyên ñề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ 72 (73)