VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.. – [r]
(1)CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c<0 a > 0, c > n nguyên dương Nội dung a<ba+c<b+c a < b ac < bc a < b ac > bc a < b và c < d a + c < b + d a < b và c < d ac < bd a < b a2n+1 < b2n+1 < a < b a2n < b2n a>0 a<b a<b a b (1) (2a) (2b) (3) (4) (5a) (5b) (6a) a3b (6b) Một số bất đẳng thức thông dụng a2 0, a a) a2 b2 2ab b) Bất đẳng thức Cô–si: ab ab + Với a, b 0, ta có: Dấu "=" xảy a = b a b c abc + Với a, b, c 0, ta có: Dấu "=" xảy a = b = c Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y không đổi thì P = xy lớn x = y – Nếu x, y > có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b d) Bất đẳng thức các cạnh tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh tam giác, ta có: + a b c ab ; c a b ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki + a, b, c > b c a b c ; (2) 2 2 Với a, b, x, y R, ta có: (ax by) (a b )( x y ) Dấu "=" xảy ay = bx VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất Để chứng minh BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT đã biết – Sử dụng BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A 0 A2 B2 0 + + A.B 0 với A, B 2 + A B 2 AB Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e R Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 a) a b c ab bc ca 2 b) a b ab a b 2 c) a b c 2(a b c) 2 d) a b c 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab ac 2bc f) 4 2 e) a b c 2a(ab a c 1) 2 2 2 2 2 g) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc h) a b c d e a(b c d e) 1 1 1 ab bc ca với a, b, c > i) a b c k) a b c ab bc ca với a, b, c 2 HD: a) (a b) (b c) (c a) 0 2 b) (a b) (a 1) (b 1) 0 2 c) (a 1) (b 1) (c 1) 0 d) (a b c) 0 2 2 e) (a b ) (a c) (a 1) 0 a (b c) 0 f) 2 2 g) (a bc) (b ca) (c ab) 0 a a b 2 h) 2 a a c d 2 2 2 e 0 2 1 1 1 0 a b b c c a i) k) Bài a b b c c a 0 Cho a, b, c R Chứng minh các bất đẳng thức sau: (3) a b3 a b ; với a, b a) 4 3 b) a b a b ab 3 c) a 4a d) a b c 3abc , với a, b, c > a6 b6 1 a4 b4 2 2 ab ; với ab b a ; với a, b e) f) a b a2 2 5 4 2 a g) h) (a b )(a b) (a b )(a b ) ; với ab > (a b)(a b)2 0 3 HD: a) b) (a b )(a b) 0 2 c) (a 1) (a 2a 3) 0 3 2 d) Sử dụng đẳng thức a b (a b) 3a b 3ab (a b c) a2 b2 c (ab bc ca) 0 BĐT (b a)2 (ab 1) Bài 0 2 2 e) (a b ) (a a b b ) 0 2 f) (1 ab)(1 a )(1 b ) 2 g) (a 1) 3 h) ab(a b)(a b ) 0 2 Cho a, b, c, d R Chứng minh a b 2ab (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 4 4 a) a b c d 4abcd 2 b) (a 1)(b 1)(c 1) 8abc 2 2 c) (a 4)(b 4)(c 4)(d 4) 256abcd 4 2 2 2 2 2 HD: a) a b 2a b ; c d 2c d ; a b c d 2abcd 2 b) a 2a; b 2 b; c 2c 2 2 c) a 4a; b 4b; c 4c; d 4d a a a c 1 Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh b thì b b c (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a b c a b c d 2 1 2 a b c b c d c d a d a b a) a b b c c a b) ab b c cd d a 2 3 a b c b c d c d a d a b c) HD: BĐT (1) (a – b)c < a ac b ba c cb a) Sử dụng (1), ta được: a b a b c , b c a b c , c a a b c Cộng các BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a b c d a b c a c Tương tự, b b b abcd bcd bd (4) c c c a b c d c d a a c d d d abcd d ab d b Cộng các BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm ab ab abd abcd abc abcd 2 Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: Bài a2 b2 c2 a b c b) 2 2 a) (a b c) 3(a b c ) c) (a b c) 3(ab bc ca) abc ab bc ca 3 e) với a,b,c>0 2 HD: (a b) (b c) (c a) 0 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) 4 d) a b c abc(a b c ) 4 f) a b c abc a b c 1 b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) 3 2 Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 1 1 3 3 3 a) a b abc b c abc c a abc abc ; với a, b, c > 1 1 3 3 3 a b b c c a b) ; với a, b, c > và abc = 1 1 1 c) a b b c c a ; với a, b, c > và abc = Bài d) 4(a3 b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a3 ) 2(a b c) ; e*) sin A sin B sin C 3 cos với a, b, c A B C cos cos 2 ; với ABC là tam giác 2 HD: (1) (a b )(a b) 0 3 ab(a b c) a) Từ (1) a b abc ab(a b c ) a b abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) 3 3 2 3 d) Từ (1) 3(a b ) 3(a b ab ) 4(a b ) (a b) (2) (a b) (b c) (c a) 2(a b c) Từ đó: VT e) Ta có: sin A sin B 2 cos C A B C cos 2 cos 2 3 Sử dụng (2) ta được: a b 4(a b ) (5) sin A sin B 4(sin A sin B) 4.2.cos sin B sin C 2 cos A 2, C C 2 cos 2 sin C sin A 2 cos B Tương tự, Cộng các BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 x b2 y (a b)2 ( x y )2 (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a2 b2 a) Cho a, b thoả a b 1 Chứng minh: 1 a2 b2 b a2 b) Tìm GTNN biểu thức P = c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z 1 Chứng minh: x2 x y2 y z2 z2 82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: P= 223 x 223 y 223 z2 2 2 HD: Bình phương vế ta được: (1) (a b )( x y ) ab xy (*) Nếu ab xy thì (*) hiển nhiên đúng Nếu ab xy 0 thì bình phương vế ta được: (*) (bx ay ) 0 (đúng) 2 2 a) Sử dụng (1) Ta có: a b (1 1) (a b) 2 1 (a b)2 (a b)2 17 a b ab b) Sử dụng (1) P 1 Chú ý: a b a b (với a, b > 0) c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 1 1 x y z ( x y z) x2 y2 z2 x y z 2 2 1 Chú ý: x y z x y z (với x, y, z > 0) 223 ( x y z)2 2010 d) Tương tự câu c) Ta có: P Bài Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2 a) ab bc ca a +b c <2(ab bc ca) b) abc (a b c)(b c a)(a c b) ( x y z) 82 xyz 3 (6) 2 2 2 4 c) 2a b 2b c 2c a a b c 2 3 d) a(b c) b(c a) c(a b) a b c 2 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b 2bc c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm 2 2 b) Ta có: a a (b c) a (a b c)(a b c ) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) d) (a b c)(b c a)(c a b) Bài a) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: ab ab + Với a, b 0, ta có: Dấu "="xảy a = b abc abc + Với a, b, c 0, ta có: Dấu "="xảy a = b = c 2 Hệ quả: ab ab + abc abc + Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi thì P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ x = y Bài Cho a, b, c Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc c) (1 a)(1 b)(1 c) abc 2 b) (a b c)(a b c ) 9abc bc ca ab a b c b c d) a ; với a, b, c > 2 2 2 e) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc ab bc ca a b c f) a b b c c a ; với a, b, c > (7) a b c g) b c c a a b ; với a, b, c > HD: a) a b 2 ab ; b c 2 bc ; c a 2 ca đpcm 2 2 2 b) a b c 3 abc ; a b c 3 a b c đpcm c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 a b c ab bc ca abc a b c 3 abc 2 ab bc ca 3 a b c 2 (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc a b c abc abc bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2 c 2 2c 2 2a 2 2b a b ab b c bc c a ac d) , , đpcm 2 3 3 e) VT 2(a b b c c a) a b c 6abc ab ab ab bc bc ca ca ; a b 2 ab ca f) Vì a b 2 ab nên Tương tự: b c ab bc ca ab bc ca a b c 2 ab bc ca (vì ab bc ca a b c ) a b c 1 1 1 g) VT = b c c a a b (a b) (b c) (c a) b c c a ab = Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y 3 (2 3) y x x z y z Khi đó, VT = Bài Cho a, b, c > Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c a) 3 2 3 3 b) 3(a b c ) (a b c)(a b c ) c) 9(a b c ) (a b c) a b3 b c c a a2 b2 c2 a c b a c b HD: a) VT = a3 b3 2 a2 b2 2ab a Chú ý: b Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 3 2 2 2 b) 2(a b c ) a b b a b c bc c a ca 3 Chú ý: a b ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 3 2 c) Áp dụng b) ta có: 9(a b c ) 3(a b c)(a b c ) Bài 2 2 Dễ chứng minh được: 3(a b c ) (a b c) đpcm 1 Cho a, b > Chứng minh a b a b (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau: (8) 1 1 1 2 a b b c c a ; với a, b, c > a) a b c 1 1 1 2 2a b c a 2b c a b 2c ; với a, b, c > b) a b b c c a 1 1 1 4 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c d) a b b c c a ; với a, b, c > xy 8yz xz 6 x y z 12 x y y z z x e) Cho x, y, z > thoả Chứng minh: f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 p a p b p c a b c 1 1 (a b) 4 a b HD: (1) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a Cộng các BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 4 2a b c a 2b c a b 2c c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c 1 1 ab (a b) d) Theo (1): a b a b a b Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh a b c a b c (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 1 (a b2 c2 ) (a b c) ab bc c a a) x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z 1 Tìm GTLN biểu thức: P = x y z c) Cho a, b, c > thoả a b c 1 Tìm GTNN biểu thức: 1 2 P = a 2bc b 2ac c 2ab 2 d) Cho a, b, c > thoả a b c 1 Chứng minh: a b c 1 30 ab bc ca (9) 1 e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: cos A cos B cos 2C 1 1 (a b c) 9 a b c HD: Ta có: (1) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) ( a b c) ab c VT 2(a b c) 2 2 Chú ý: (a b c) 3(a b c ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: 1 x 1 y 1 z 1 3 y 1 z 1 = x 1 y 1 z 1 P = x 1 1 9 3 4 Ta có: x y z x y z Suy ra: P Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z 1 và k là số dương cho trước Tìm GTLN x y z biểu thức: P = kx ky kz 9 9 2 2 a bc b ca c ab ( a b c ) c) Ta có: P 2 ab bc ca d) VT a b c 1 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca = a b c 9 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 ab bc ca (a b c)2 3 Chú ý: 1 e) Áp dụng (1): cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 6 3 Chú ý: Bài Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN các biểu thức sau: x 18 x y ; x 0 y ; x 1 x x a) b) cos A cos B cos 2C (10) c) y 3x ; x 1 x 1 x y ;x 2x d) x3 y ; x 0 x f) y x ; x x3 h) x y ; x 1 1 x x e) x2 4x y ; x 0 x g) HD: a) Miny = x = c) Miny = 6 1 x = e) Miny = x 5 b) Miny = x = 30 d) Miny = x = 30 f) Miny = x = 5 g) Miny = x = h) Miny = 27 x = Bài Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN các biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x 5 b) y x (6 x ); x 6 5 y ( x 3)(5 x ); x y (2 x 5)(5 x ); x 5 2 c) d) e) y (6 x 3)(5 x ); y x 2 y f) x x 2 ; x 0 x2 x2 2 g) HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = e) Maxy = x = f) Maxy = 2 x = ( x 2 x ) x2 2 2 2 g) Ta có: x x 3 x ( x 2) 27 x ( x 2) Maxy = 27 x = 1 27 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) 2 2 Với a, b, x, y R, ta có: (ax by ) (a b )( x y ) Dấu "=" xảy ay = bx 2 2 2 Với a, b, c, x, y, z R, ta có: (ax by cz) (a b c )( x y z ) Hệ quả: (11) 2 (a b) 2(a b ) Bài 2 2 (a b c) 3(a b c ) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 735 47 , với 2a 3b 7 2 3a2 5b2 2 ( x y 1)2 (2 x y 5)2 a) 3a 4b 7 , với 3a 4b 7 b) 2464 7a2 11b a2 b2 137 , với 3a 5b 8 d) , với a 2b 2 c) e) 2a 3b 5 , với 2a 3b 5 f) 3, 4, 3a, 4b , , 3a, 5b b) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 7a, 11b 11 c) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a , b d) Áp dụng BĐT (B) cho số HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 a2 b2 a3 b , với a b 1 , với a b 1 a) b) a4 b4 4 , với a b 1 c) d) a b 2 , với a b 2 a2 b2 2 2 HD: a) (1a 1b) (1 )(a b ) đpcm 3 b) a b 1 b 1 a b (1 a) 1 3a 3a a 1 1 b a 3 a 2 4 c) (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 đpcm 2 2 2 d) (1 )(a b ) (a b) 4 a b 2 Bài (12 12 )(a b ) (a b )2 4 a4 b4 2 Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z P (1 x ) (1 y) (1 z) x y z Dấu "="xảy x 1 y 1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: (12) x y z Vậy Max P = Bài Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 Chứng minh rằng: x2 x2 y2 y2 z2 z2 82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 9 1 9 x2 x x (1 ) x x x 82 x x (1) 1 9 1 9 y2 y z z y z 82 y2 82 z2 Tương tự ta có: (2), (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 1 80 1 ( x y z) ( x y z) x y z x y z x y z = 82 P 82 1 80 2 ( x y z) x y z x y z 82 82 Dấu "="xảy Bài x y z Cho a, b, c thoả a b c 1 Chứng minh: (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "="xảy x = y = z = Từ đó (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN các biểu thức sau: A 6 B x y x y x y a) , với x + y = b) , với 2 x y HD: a) Chú ý: A = x; ; y; x y ta được: Áp dụng BĐT (B) với số: 4 25 x y ( x y) x y x 4y 25 x ;y x ;y 5 Vậy minA = 5 Dấu "="xảy 2 2 3 x y x y b) Chú ý: x; Áp dụng BĐT (B) với số: y; ; x y ta được: (13) 2 3 3 ( x y ) x y xy x y x y x Bài 3 Dấu "="xảy Tìm GTLN các biểu thức sau: ; y 3 Vậy minB = 3 2 a) A x y y x , với x, y thoả x y 1 2 HD: a) Chú ý: x y 2( x y ) ( x y )(1 y x ) x y A 2 2 Dấu "="xảy Tìm GTLN, GTNN các biểu thức sau: x y Bài a) A x x , với –2 x b) B 6 x x , với x x y2 1 2 c) C y x , với 36 x 16 y 9 d) D 2 x y , với HD: a) A A 2 (1 )(7 x x 2) 3 Dấu "="xảy (7 x ) ( x 2) 3 Dấu "="xảy x = –2 x = maxA = b) B x x 2; minA = x = –2 x = 43 2 (6 )( x x ) 10 Dấu "="xảy x = 25 B ( x 1) (3 x ) x Dấu "="xảy x = 43 maxB = 10 x = 25 ; minB = x = 1 y x y x 2 2 c) Chú ý: 36 x 16 y (6 x ) (4 y) Từ đó: 1 1 y x y x 16 y 36 x 4 16 5 15 25 y x C y x 4 15 25 x , y x , y 20 ; 20 minC = maxC = x y2 (3 x )2 (2 y )2 x y x y 36 d) Chú ý: Từ đó: 1 2 x y x y x y 5 4 2 x y 5 D 2 x y 3 (14) minD = –7 Bài a) x ,y 5; x , y 5 maxD = (15)