A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây là đúng?A. A. không có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải.. Không cần thêm điều kiện gì. Hướng dẫn gi[r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § BẤT ĐẲNG THỨC
Điều kiện
Nội dung
Cợng hai vế với sớ bất ki a b a c b c (1)
Nhân hai vế một số dương: c 0
a b acbc (2 )a
một số âm: c 0 a b acbc (2 )b
Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a b a c b d c d
(3)
Nhân từng vế BĐT biết nó dương
0
a b
ac bd c d
(4)
Nâng lũy thừa với
n
Mũ le 2n 2n
a b a b
(5 )a
Mũ chẵn 2
0 n n
a b a b
(5 )b
Lấy hai vế
0
a a b a b (6 )a
a bất ky 3
a b a b (6 )b
Nghịch đảo
Nếu a, b cùng dấu: ab 0 a b 1
a b
(7 )a
Nếu a, b trái dấu: ab 0 a b 1
a b
(7 )b
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)
a 0; b0 ta có:
a b ab
Dấu " " xảy ab
a 0; b0; c0 ta có:
3
a b c abc
Dấu " " xảy a b c
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)
x y a b; ; ; thì:
2 2 2
2 2
( ) ( )( )
( )( )
a x b y a b x y
a x b y a b x y
Dấu " " xảy , ( ; 0)
y x
a b
a b
x y z a b c; ; ; ; ; thì:
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( )( )
( )( )
a x b y c z a b c x y z
a x b y c z a b c x y z
Dấu " " xảy
y
x z
ab c ( ; ; a b c 0)
x y; a0, b0
2
2
( )
y x y
x
a b a b
Dấu " " xảy
y x a b
4
4
(2) x y z; ; a0, b0, c0
2
2
( )
y x y z
x z
a b c a b c
Dấu " "
y
x z
a b c
Câu 1.Cho bất đẳng thứca b a b Dấu đẳng thức xảy nào?
A.a b . B.ab 0. C.ab 0. D.ab 0.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Tính chất bất đẳng thức
Câu 2.Giá trị nhỏ biểu thức x23 x với x là:
A.
9
B.
3
C.0. D.
3
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có:
2
0
x x
x23x 0
Câu 3.Cho biểu thức f x 1 x2 Kết luận sau đúng?
A.Hàm số f x có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ nhất. B.Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn
C Hàm số f x có giá trị nhỏ giá trị lớn
D Hàm số f x giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có: f x f 1 ; f x f 0
Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ 0và giá trị lớn nhấtbằng
Câu 4.Cho hàm số
1
f x x
Mệnh đề sau đúng?
A. f x có giá trị nhỏ 0, giá trị lớn
B. f x khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 1. C. f x có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D. f x giá trị nhỏ giá trị lớn
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có: 0 f x và1; x f 0 Vậy f x khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
Câu 5.Cho biết hai số avà b có tổng bằng3 Khi đó, tích hai số a b
A có giá trị nhỏ là
9
4 B có giá trị lớn
9
C có giá trị lớn
3
(3)Chọn D.
Vì avà b hai số nên không xác định giá trị lớn tích
ab.
Câu 6.Cho ba số a; b; cthoả mãn đồng thời: a b c 0; b c a 0; c a b 0 Để
ba số a; b; clà ba cạnh tam giác cần thêm kiện ?
A Cần có , ,a b c 0 B Cần có , ,a b c 0
C Chỉ cần ba số , ,a b c dươngD Khơng cần thêm điều kiện gì. Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 7.Trong hình chữ nhật có chi vi
A Hình vng có diện tích nhỏ nhất. B Hình vng có diện tích lớn nhất.
C Khơng xác định hình có diện tích lớn nhất. D Cả A, B, C sai.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ý nghĩa hình học bất đẳng thức Cơ si
Câu 8.Tìm mệnh đề đúng?
A.a b ac bc . B.
1
a b
a b
C.a b c d ac bd . D.a b ac bc c , 0.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Tính chất bất đẳng thức
Câu 9.Suy luận sau đúng?
A. a b c d
ac bd . B.
a b c d
a b c d
C. a b c d
a c b d . D.
0
a b c d
ac bd .
Hướng dẫn giải Chọn D.
Tính chất bất đẳng thức
Câu 10. Trong tính chất sau, tính chất sai?
A a b c d
a c b d . B.
0
a b c d
a b d c
C.
0
a b c d
ac bd . D.
a b c d
a c b d .
Hướng dẫn giải Chọn D.
Tính chất bất đẳng thức
Câu 11. Tìm mệnh đề mệnh đề sau?
A a b
1
a b
B.a b ac bc . C.
a b c d
ac bd D Cả A, B, C sai
Hướng dẫn giải Chọn D.
(4)Câu 12. Mệnh đề sau sai?
A. a b c d
a c b d B.
a b c d
ac bd .
C. a b c d
a c b d . D.ac bc a b c 0
Hướng dẫn giải Chọn B.
Tính chất bất đẳng thức
Câu 13. Cho biểu thức Pa a vớia 0 Mệnh đề sau mệnh đề
đúng?
A.Giá trị nhỏ P
1
4 B.Giá trị lớn P
1
C.Giá trị lớn P
1
2 D P đạt giá trị lớn
1
a
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có:
2
2 1
4
Pa a a a a
.
Câu 14. Giá trị lớn hàm số 2
5
f x
x x
bằng
A.
11
4 B.
4
11 C.
11
8 D.
8 11
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
2
2 5 9 11 11;
2 4
x x x x
.
Suy ra:
2
5 11
f x
x x
Vậy giá trị lớn hàm số
8 11
Câu 15. Cho f x x x2 Kết luận sau đúng?
A f x có giá trị nhỏ bằng
1
4 B. f x có giá trị lớn
1
C. f x có giá trị nhỏ
D. f x có giá trị lớn
Hướng dẫn giải Chọn D.
2
2 1 1
4 4
f x x x x x x
1
2
f
.
Câu 16. Bất đẳng thức
2
4
m n mn tương đương với bất đẳng thức sau đây?
A.
2
1
n m m n . B.m2 n2 2mn
.
C.
2
0
m n m n . D.m n 2 2mn.
(5)m n 2 4mn m2 2mn n2 4mn
m2n2 2mn.
Câu 17. Với ,a b , ta có bất đẳng thức sau đúng?0
A.a b 0. B.a2 ab b 2 0 C.a2ab b 0 D.a b 0.
Hướng dẫn giải Chọn C.
2 2
2 2 2 3 0; 0
2 4
b b b b b
a ab b a a a b
.
Câu 18. Với hai số x, y dương thoả xy , bất đẳng thức sau đúng?36
A.x y 2 xy 12 B.x y 2xy72 C.4xy x 2y2 D.
2
36
x y
xy
.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x, y Ta có:
2 36 12
x y xy .
Câu 19. Cho hai số x, y dương thoả x y 12, bất đẳng thức sau đúng?
A. xy 6 B.
2
36
x y xy
.
C.2xy x 2y2 D. xy 6
Hướng dẫn giải Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm x, y Ta có:
2
x y xy
Câu 20. Cho x, y hai số thực thỏavà xy Giá trị nhỏ của2
2
A x y .
A B.1. C.0 D
Hướng dẫn giải Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x 2 y Ta có:2
2
2 2 2 2 4
A x y x y xy
Đẳng thức xảy x y 2.
Câu 21. Cho a b 0 và
1
a x
a a
,
1
b y
b b
Mệnh đề nào sau đúng?
A x y B x y
C x y D Không so sánh được.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có:
1
1
a
x a
1
1
b
y b
Suy ra:
1 1
1
1
a b
x y a b
(6)Do a b 0 nên a 1 1 b 1 1 suy ra:
1
1
1
a b
1
1
a b
.
Vậy 1
0
x y
1
x y
x 0 y nên 0
1
x y x y . Câu 22. Với , , ,a b c d Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?0
A
a a a c
b b b c
. B
a a a c
b b b c
.
C
a c a a c c b d b b d d
. D Có ít nhất hai ba mệnh đề sai
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
a b c a a c
b b c b b c
suy A, B đúng.
Câu 23. Hai số ,a b thoả bất đẳng thức
2
2
2
a b a b
thì
A a b . B a b . C a b . D a b .
Hướng dẫn giải Chọn C.
2
2
2
a b a b
2
2
2a 2b a b
a b 2 0 a b
Câu 24. Cho ,a b Chứng minh 0
a b
b a Một học sinh làm sau:
I)
a b
b a
2
2
a b ab
II) 1 a2b2 2ab a2b2 2ab0 (a b )2 III)
2
0
a b đúng a b, nên 0
a b b a .
Cách làm :
A Sai từ I). B Sai từ II).
C Sai III). D Cả I), II), III) đúng. Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 25. Cho , ,a b c Xét bất đẳng thức sau:0
I)
a b
b a . II)
a b c
b c a . III)
1
a b
a b
Bất đẳng thức đúng?
A Chỉ I) đúng. B Chỉ II) đúng. C Chỉ III) đúng. D Cả ba
đúng
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
a b a b
I
b a b a đúng; 33
a b c a b c
II
(7)2
1 1
2
a b ab
a b ab
1
a b
a b
(III) đúng.
Câu 26. Cho bất đẳng thức:
a b
I
b a ,
a b c
II b c a ,
1 1
III
a b c a b c (với , ,a b c ) Bất đẳng thức nào các bất đẳng0 thức đúng?
A chỉ I đúng. B chỉ II đúng. C chỉ III đúng. D , ,I II III đều đúng
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
a b a b
I
b a b a đúng; 33
a b c a b c
II
b c a b c a đúng;
3
3
1 1
3
a b c abc a b c abc
1 1
a b c
a b c
1 1
a b c a b c
III đúng.
Câu 27. Cho , ,a b c Xét bất đẳng thức:0 I) a b c 33 abc II)
1 1
a b c
a b c
III)a b b c c a
Bất đẳng thức đúng:
A Chỉ I) II) đúng. B Chỉ I) III) đúng.
C Chỉ I) đúng. D Cả ba đúng.
Hướng dẫn giải Chọn A.
3
3
a b c abc I đúng;
3
3
1 1
3
a b c abc a b c abc
1 1
a b c
a b c
1 1
II
a b c a b c đúng; a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca a b b c c a 8abc III sai
Câu 28. Cho , ,a b c Xét bất đẳng thức:0
I) 1
a b c b c a
. II)
2 2
64
b c c a a b a b c
.
III) a b c abc Bất đẳng thức đúng?
A Chỉ I) đúng. B Chỉ II) đúng.
C Chỉ I) II) đúng. D Cả ba đúng. Hướng dẫn giải
Chọn C.
1 a a
b b
;
b b
c c
;
c c
a a
a b c a b c
b c a b c a
I
đúng
2 b
b
a a ;
1
2 c
c
a a
2
2 bc bc
b c
a a a
(8)Tương tự:
4
2
4 ac
c a
b b ;
2
4 ab
a b
c c .
Suy ra:
2 2
64
b c c a a b II a b c
đúng.
Ta có:
2
3
3 abc a b c abc abc 3 abc3 3 III sai.
Câu 29. Cho , ,x y z và xét ba bất đẳng thức(I) 0 x3y3z3 3xyz; (II)
1 1
xyz x y z ; (III) x y z
y z x Bất đẳng thức nào đúng?
A Chỉ I đúng. B Chỉ I và III đúng. C Chỉ III đúng. D Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải Chọn B.
3 3 33 3 3
x y z x y z xyz I đúng;
3
3
1 1
3
x y z xyz x y z xyz
1 1
9
x y z x y z
1 1
II xy z x y z sai;
3
3
x y z x y z
III
yz x y z x đúng.
Câu 30. Cho ,a b và 0 ab a b Mệnh đề nào sau đúng?
A a b 4. B a b 4. C a b 4. D a b 4.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
2
4
a b ab
Do đó: ab a b
2
4
a b
a b
2
4
a b a b a b a b
a b
(vì a b ) 0 a b 4.
Câu 31. Cho a b c d và xa b c d , ya c b d , za d b c Mệnh
đề nào sau đúng?
A x y z B y x z C z x y D x z y Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
x y a b c d a c b d a c d b c d a b d c b d
a c b bd cd d a b c
Suy ra: x y
Tương tự: x z a c d b 0 x z ; y z a b d c 0 y z
Câu 32. Với m, n 0, bất đẳng thức: mn m n m3n3 tương đương với bất đẳng thức
A.
2 0
m n m n
B.
2 0
m n m n mn
(9)C.
2
0
m n m n . D Tất sai.
Hướng dẫn giải Chọn C.
3 3 0
mn m n m n m n m mn n
2 0
m m n n m n
m n 2 m n 0.
Câu 33. Bất đẳng thức: a2b2c2d2e2a b c d e , , , , a b c d tương đương với bất đẳng thức sau đây?
A.
2 2
0
2 2
b c d e
a a a a
.
B.
2 2
0
2 2
a a a a b c d e
.
C.
2 2
0
2 2
a a a a
b c d e
.
D.
2 2
0
a b a c a d a d .
Hướng dẫn giải Chọn B.
2 2 2
a b c d e a b c d e
2 2
2 2 0
4 4
a a a a
ab b ac c ad d ae e
2 2
0
2 2
a a a a b c d e
.
Câu 34. Cho , x y Tìm bất đẳng thức sai?0
A.
2
4
x y xy. B.
1
x y x y .
C.
2
1
xy x y . D.x y 2 2x2y2
Hướng dẫn giải Chọn B.
x y 1 1
x y x y x y
đẳng thức xảy xy.
Câu 35. Chox2y2 , gọi S x y1 Khi ta có
A.S B.S C. S 2. D. 1 S 1.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có: 1x2y2 2xy 2xy
Mặt khác:
2
2 2 2
S x y x xy y 2 S 2.
Câu 36. Cho ,x y hai số thực thay đổi cho x y Gọi2 m x 2y2 Khi ta có:
A giá trị nhỏ m B.giá trị nhỏ m
(10)Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có: x y 2 y 2 x
Do đó:
2
2 2
2 4 2 2;
m x y x x x x x x .
Vậy giá trị nhỏ m
Câu 37. Với x 2, biểu thức:
x ,
2
x ,
2
x ,
1
x
,
x
giá trị biểu thức nhỏ nhất?
A.
2
x B.
2
x C.
2
x D 2
x
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có:
2 2
1
x x x
1
2
x x
Mặt khác:
2 2 2
2
0;
2 2
x x x
x x x
x
x x x
2
2
x x
.
Câu 38. Giá trị nhỏ hàm số
2
2
x f x
x
với x là
A. B.
5
2 C.2 D 3.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có:
2 1
2
2 2 2
x x x
f x
x x x
.
Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ
Câu 39. Cho x 2 Giá trị lớn hàm số
2
x f x
x
A.
1
2 B.
2
2 C.
2
2 . D.
1
Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có f x
2
2
2 1 1
2
8 2
x
f x f x
x x x x
.
Vậy giá trị lớn hàm số 2
Câu 40. Giá trị nhỏ hàm số
1
f x x x
với x
A B.
1
2 C. D.2
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
1
2 2 2
f x x x
x x
(11)Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ 2
Câu 41. Với , ,a b c Biểu thức 0
a b c
P
b c c a a b
Mệnh đề nào sau đúng?
A.
3
2
P
B.
3
2P. C.
4
3P. D.
3 2P.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có:
1 1
3
P a b c
b c c a a b
.
Áp dụng bất đẳng thức
1 1
x yz x y z suy ra:
1 1
2
b c c a a b a b c . Do
9
3
2
P P