Từ đó người ta bắt chúng ta vẽ tứ diện vuông với ngôn từ như sau: Cho tam giác ABD vuông tại A, đường thẳng d qua A và vuông góc với ABD, trên d lấy điểm A’ …...Mấu chốt nhất của tứ diện[r]
(1)Tứ diện kinh điển, nguồn gốc - cách hoá giải (Cẩm nang ôn thi đại học) TG: Ngô Viết Văn “Toán học không có đường dành riêng cho vua chúa”- câu nói đó nhà toán học Hy Nạp cổ xưa nhắc nhở chúng ta muốn lĩnh hội toán học thì tự thân phải cố gắng học tập, ngoài không có cách nào khác Tôi muốn nhắc lại điều này vì có nhiều bạn muốn khá giỏi hình học không gian (một phần khó và quan trọng toán) lại muốn bỏ ít thời gian và công sức Tất nhiên học tập đúng phương pháp, bài và chắn chúng ta gặt hái nhiều kết đến không ngờ ! Khi ngồi trên giảng đường đại học thầy tôi thường nhận định: Những cái khó khăn nhất, cái mạnh mẽ nhất, cái lớn lao nhất, cái thiêng liêng nhất, thông thường nó gần với cái dễ dàng, yếu đuối, nhỏ bé, giản dị đơn sơ Cái khó là ta nhìn hay không! Chính lúc ta nhắm mắt lại, không còn gì bám víu thì đôi tay cho các bước thực công việc Đó là tìm phương pháp Hình khối có vô vàn hình dạng khác nhau, lạ kỳ là người ta chia nhỏ các khối đó thì cuối cùng toàn là hình tứ diện-hình khối đơn giản Để vẽ tứ diện chẳng có gì khó Ta vẽ y hệt tứ giác và đường chéo nét liền, đường chéo nét đứt, nét đứt để cạnh đó bị mặt khác che khuất mắt ta Các bạn có thể dùng sáu que tăm xếp lại là bốn tam giác là bốn mặt tứ diện đó (hình dưới) Ta quan tâm đến tứ diện “kinh điển” thứ I) TỨ DIỆN VUÔNG D’ A' B' D D’ A' A C' B' C' B B Như tứ diện vuông là góc hình hộp chữ nhật Từ đó người ta bắt chúng ta vẽ tứ diện vuông với ngôn từ sau: Cho tam giác ABD vuông A, đường thẳng d qua A và vuông góc với (ABD), trên d lấy điểm A’ … Mấu chốt tứ diện này là (1) cạnh bên vuông góc đáy, (2) B đáy là tam giác vuông, (3) cạnh bên vuông góc với đáy đúng góc vuông đáy, đó chính là đặc trưng quan trọng việc tưởng tượng hình đọc đầu bài Mặt (A’BD) gọi là mặt huyền và ba mặt còn lại gọi là mặt vuông Phải nghịch đảo bình phương đường cao ứng với mặt huyền (đường qua A và vuông góc (A’BD)) tổng bình phương nghịch đảo các cạnh góc vuông Chân đường cao nằm đâu mặt huyền? ta xét bài tập sau: Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c Ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Chứng minh tứ diện vuông là tứ diện trực tâm (Tức là tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc) Điều ngược lại có đúng không? Chứng minh OH vuông góc với (ABC) và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC nhọn và chân đường cao nằm mặt huyền (mặt (ABC)) Chứng minh (AB+BC+CA)2 6(OA2+OB2+OC2) 1 1 = + + Chứng minh , với h là đường cao tứ diện ứng với mặt huyền h2 a b2 c Chứng minh diện tích mặt vuông (mặt chứa O) tích diện tích mặt huyền và diện tích hình chiếu nó nên mặt huyền Chứng minh định lý Pytago tứ diện vuông Chứng minh a2 tan A=b2 tan B=c2 tan C với A, B, C là ba góc mặt huyền (2) Chứng minh các đẳng thức sau: 1 √3 + + ≤ a a b c h b S +S 2+ S ≥ h với S1, S2, S3 là diện tích ba mặt vuông ab bc ca + + ≥ √3 h c c a b 10 Chứng minh rằng: V OABC= abc a 2 b S Δ ABC= √ a b +b c +c a abc h= c √ a b 2+b c2 + c a2 Khi cạnh bên vuông góc với đáy chính góc vuông cho tứ diện vuông cạnh bên vuông góc với đáy góc nhọn thì là hình nào? (xem hình vẽ) II) TỨ DIỆN BỐN MẶT VUÔNG D’ C’ B' A' D C A B Ta thấy ba mặt A’AC,A’AB, ABC đã là ba tam giác vuông, còn mặt thứ tư là BCA’ ? thấy đường nối từ mặt trước tới mặt sau vuông góc với mặt trước hình hộp, vì nó vuông góc với (ABA’) là phần mặt trước, nên tam giác BCA’ vuông B Tóm lại đây là tứ diện bốn mặt vuông Hình vẽ trên ta luôn tưởng tượng đầu cho tứ diện có đáy là tam giác vuông và cạnh bên vuông góc với đáy vị trí góc nhọn Từ cách nhìn tứ diện bốn mặt vuông tổng thể hình hộp chữ nhật ta dự đoán tính chất: cạnh A’C (cạnh huyền) ứng với đường chéo hình hộp chữ nhật thì có bình phương tổng bình phương ba kích cỡ là AA’, AB, AC Tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, mặt phẳng qua A vuông góc với đường chéo hình hộp A’C xác định nào? Bài tập 2) Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên AD vuông góc với đáy biết AD=a, AB=b, BC=c Chứng minh rằng: bốn mặt tứ diện là tam giác vuông Chứng minh rằng: CD2=DA2+AB2+BC2 Tình thể tích và diện tích toàn phần tứ diện Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với DC K, cắt DB H a Chứng minh rằng: Tam giác AKH là tam giác vuông H b Chứng minh rằng: Tứ diện DAHK có mặt là tam giác vuông Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện DAKH Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH Nếu đáy là tam giác không vuông (như hình vẽ) thì tứ diện có tính chất gì? III) TỨ DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY VÀ ĐÁY LÀ TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG S (3) B K A A’ H C Ta chẳng dại gì không tự cho ABC là tam giác để dễ dàng dự đoán các tính chất, là: Hai đường cao mặt đáy và “mặt nghiêng” tương ứng gặp điểm A’ a Hai cạnh bên nằm mặt “nghiêng ” là SC, SB vuông góc với hai mặt “kẹp giữa” tương ứng là (HCK) và (KEH) b Cạnh đáy “giữa” là BC vuông góc với mặt “kẹp giữa” tương ứng là (SAA’) c Đường nối hai trọng tâm HK vuông góc với “ mặt nghiêng” (SBC) d Đường nối hai trọng tâm kết hợp cùng hai đường nối chân đường cao nằm mặt kẹp giữa, gặp điểm nằm trên cạnh bên vuông góc SA và tạo đoạn tỉ lệ Bài tập 3) Cho S thuộc tia At, với At (ABC) Gọi I, K là trực tâm tam giác SBC, ABC I Chứng minh rằng: (BME) (SAC); (CNF) (SAB); (APS) (SBC) KI (SBC) EM, FN, IK, SA đồng quy Q Tứ diện SQBC có các cặp cạnh đối diện vuông góc với SA.AQ=AK.AP=AN.AB=AM.AC Tứ giác BCJH nội tiếp C/m: A, B, C, H, J thuộc cùng mặt cầu Nếu tam giác ABC không cân thì JH luôn qua điểm cố định S St Gọi điểm cố định là T C/m: góc TAB= góc TCA II Giả sử tam giác ABC cạnh a Tìm S At để SQ và VSQBC nhỏ IS =3 Tính SQ theo a Biết IP Biết SA=h Tính khoảng cách từ A đến (SAC) Khi S At Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp SQBC luôn thuộc đường thẳng cố định Lời kết: Tóm lại bài viết này tôi đã đề cập đến loại tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy với đáy là tam giác vuông tam giác không vuông, đáy là tam giác vuông thì lại chia làm hai dạng là cạnh bên vuông góc vuông và góc nhọn Học từ các tứ diện này ta dễ dàng thấy ứng dụng các định lý chương vuông góc Chúng ta tiếp cận với tư và kỹ thuật chứng minh vuông góc Đồng thời cho ta cách tưởng tượng thấy hình đọc đầu bài nhờ việc tìm nguồn cội tứ diện Một nhóm tứ diện khác là cạnh bên không vuông góc với đáy hy vọng trình bày các số báo tới HƯỚNG DẪN BÀI TẬP Bài tập 1: C A1 B c b H C1 O (4) CO (OAB) nên CO AB, AO (OBC) nên AO BC, OB (OAC) nên OB AC Điều ngược lại không đúng ví dụ tứ diện là tứ diện trực tâm không là tứ diện vuông a Giả sử OH (ABC) chứng minh H là trực tâm, tức H là giao hai đường cao hay AH BC và CH AB ¿ BC ⊥ OH BC ⊥ OA Có … ⇒ BC⊥ AH ¿{ ¿ b Giả sử H là trực tâm tức là AH BC và CH AB chứng minh OH (ABC) tức là OH AB và OH BC Thật ¿ AB ⊥ CH AB ⊥ OC … ⇒ AB⊥ OH ¿{ ¿ 3) AB 2+ AC2 −BC 2=2 a2 >0 ⇒cos A> nên góc A nhọn, tương tự cho góc B và C Chân đường cao là trực tâm tam giác nhọn nên nằm mặt huyền 4) áp dụng BĐT BNK: ¿ ( AB+1 BC+ CA )2 ≤(12 +12 +12)(AB2 +BC 2+ CD2) 2 6(OA +OB +OC ) Dấu xảy a=b=c 1 1 1 = 2+ = 2+ 2+ 5) 2 h OC OC OC OB OA 1 ¿ 2+ + a b c 1 2 2 6) S = AB OC = AB C C C H=S HAB SCAB 4 Tương tự cho các mặt khác 7) S +S + S2 ¿ S ABC ( SHAB + S HAC + SHBC )=S2 Có thể tính trực tiếp CC1 =2 S ABC , kết trên cho hai đại lượng còn lại Nên chúng 8) a tan A=AC1 AB AC1 1 √3 + + ≤ 9) a) Theo BĐT BNK: a b c h 1 1 1 1 +1 + ≤(12 +12 +12) + + =3 a b c a b c h Dấu a=b=c Vậy ta có đpcm 2 b) S +S 2+ S ≥ h ⇔ ab+ac+ bc ≥ h 1 ⇔ (ab+ac + bc) + + ≥ luôn đúng nhân hai bất đẳng thức Côsi không âm cùng chiếu a b c Dấu a=b=c OAB OAB OAC OBC ABC ( ( ) ( ) ) (5) 2 2 2 2 2 2 ab bc ca + + ≥ √ h ⇔ a b +b c +c a √ a b + b c + c a ≥ √ c a b abc abc luôn đúng áp dụng BĐT côsi cho số hai lần và nhân với Dấu = a=b=c 1 10) a) V OABC= SOAB OC= abc 2 b) Từ 7) (pitago diện tích) ta có S Δ ABC= √ a b +b c +c a Hoặc tìm h, và thể tích, suy S=3V/h c) Từ 5) suy điều phải c/m tìm S, V, suy h=3V/S Bài tập 3) I) 1) a)(BME) (SAC) ⇔ BM (SAC) ⇔ BM SA và AC b) (CNF) (SAB) ⇔ CN (SAB) ⇔ CN AB và SA c) (APS) (SBC) ⇔ BC (APS) ⇔ BC AP và SA c) S J E H M A N I C F K P D Q T 2) KI (SBC) ⇔ KI BC và KI SC vì SC (MBE) 3) *)IK SA=Q (trong (SAP): IK (SBC) còn SA không vuông góc với (SBC) vì đã vuông góc đáy) *) Cần FN “chui” qua Q hay F, N, Q thẳng hàng: vì cùng nằm trên hai mp(SAB) và (FNC) *) Cần ME “chui” qua Q hay E, M, Q thẳng hàng: thấy M, E, Q thuộc hai mp(SAC) và (MBE) nên chúng thẳng hàng 4) a)SQ BC vì SQ (ABC) b) SC QB ⇔ SC (MBE) BQ c)SB QC ⇔ SB (FNC) CQ 5) *) Do BNKP và CMKP nội tiếp nên AK.AP=AN.AB=AM.AC AS AP = ⇒AS AQ=AK AP *) Do Δ APS ~ Δ AQK (cùng ~ Δ IPK) nên AK AQ Do chúng theo tính chất bắc cầu 6) Tứ giác BCJH nội tiếp ⇔ SH.SB=SJ SC (=SA2 cạnh góc vuông bình phương tích hình chiếu nó và cạnh huyền) 7)A, B, C, H, J thuộc cùng mặt cầu: Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABC và chọn AD là đường kính đó: *) Góc AHD vuông vì AH AD ⇔ AH (HBD) ⇔ AH HB và AH BD ⇔ BD AB và BD SA *) Tương tự góc AJD vuông (6) Vậy các điểm trên nằm trên mặt cầu tâm và bán kính trùng tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 8)*)c/m: JH cắt BC T ⇔SH / SB≠ SJ/SC đúng vì tam giác không cân Vậy ⇔ SH SB/SB2 ≠SJ SC/SC ⇔ SA /SB ≠ SA /SC JH ∩BC=T *) C/m: AT nằm trên tiếp tuyến cố định: Ta có: SD (AHJ) vì AH (SAD) và AJ (SCD) nên SD AT Mà AD là hình chiếu SD xuống đáy, nên AT AD Vậy T nằm trên tiếp tuyến cố định A và vuông góc AD Từ hai ý trên thì T là giao đt cố định, suy đp c/m *) góc TAB= góc TCA: Dễ thấy hai góc trên vì là góc nội tiếp và góc tạo tiếp tuyến và dây cung AB II) 1) Tìm S At để SQ và VSQBC nhỏ nhất: *) SQ=SA + AQ ≥ √SA AQ=2 √ AK AP=a √2 (Do tgSAP~tgKIP~tgKAQ ⇒SA AQ=AK AP ) Dấu SA=AQ= a √ 2/2 *) Thấy VSQBC= V SABC +V QABC= SQ S ABC a2 √ a3 √6 Nên V nhỏ SQ nhỏ hay SA= a √ 2/2 , lúc đó V= a√2 = 12 IS =3 (Ta tìm các cạnh tgKIP tgSAP~tgKIP 2) Biết IP a2 ⇒IP /AP=KP /SP⇔ IP IS=KP AP ⇔ IP2 = a 3a a √3 ⇒ IP= ⇒ IS= , KI2=√ KP − IP2= 4 12 KP SI a = tgSIQ~tgKIP ⇒SQ= KI 3V SABC SA AP BC = 3) d ( A ,(SBC))= S SBC SP BC SA AP ah ¿ = √2 2 √SA + AP √ h +3 a 4) Mặt cầu ngoại tiếp SQBC cắt (CSQ) theo đường tròn ngọai tiếp tgCSQ Gọi CA cắt đường tròn a này C’ Khi đó AC ' AC=AS AQ=AK AP= =const nên C’ cố định Tâm mặt cầu nằm trên đường thẳng vuông góc (BCC’) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCC’ (7)