SKKN KHAI THAC VA PHAT TRIEN BAI TOAN

Cơ sở lý luận: Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán[r]

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHUYÊN ĐỀ KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Môn: Toán Người thực hiện: NGUYỄN HIẾU THẢO Năm học: 2006 – 2007 A: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận: Môn toán là môn khoa học ,những tri thức ,kỹ toán học cùng với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn khoa học khác , môn toán là công cụ nhiều ngành khoa học Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển phương pháp, phương thức t và hoạt động nh toán học hoá tình thực tế, thực và xây dựng thuật toán ,phát và giải vấn đề Những kỹ này cần cho ngời lao động thời đại Môn toán góp phần phát triển nhân cách ngời , ngoài việc cung cấp kiến thức , kỹ toán học, môn toán góp phần phát triển lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá Ta thấy môn toán có vai trò quan trọng đời sống và kỹ thuật Vì ngời thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực học tập học sinh ,nhất là học sinh giỏi Theo nh yêu cầu môn toán nói chung , môn toán nói riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành Trong bài tập , ngời thầy phải giúp hoc sinh phân tích khía cạnh bài toán , khai thác phát triển bài toán đó , trí phải lật ngược lại vấn đề Nếu làm việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán Từ đó kích thích tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác tiềm môn toán học sinh Trong kho tàng toán học có vô vàn bài toán hay đó có hai bài toán tính tổng : 1 A= + + + 99 100 A=1.2+2.3+ +99.100 Được áp dụng rộng rãi , khai thác bài toán này ta thấy nhiều điều thú vị Với lý đó tôi chọn viết chuyên đề “Khai thác và phát triển các bài toán từ bài toán đơn giản” II Cơ sở thực tiễn : a Đối với học sinh : Đa số học sinh kể là học sinh giỏi giải xong bài toán là đã lòng với kết đó Chính vì lý đó thay đổi vài kiện thì học sinh lúng túng Cụ thể bài toán tính tổng : 1 A= + + +99 100 Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900 1 Bài toán trở thành tính tổng A= + + .+9900 Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó Trong thực tế biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bái toán hay b Đối với thân : Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng: 1 A= + + +99 100 A=1.2+2.3+ +99.100 Là bài toán áp dụng rộng rãi toàn cấp học Mặt khác hai bài toán này còn có tơng đồng cách khai thác và phát triển Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải độc đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn B BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Để đạt hiệu cao dạy và học cụ thể là các bài toán này , các biện pháp thực tốt là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp lô gíc Ta phải khai thác bài toán theo mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành phần ,sao cho phần có liên kết chặt chẽ với cấu trúc bài toán nh phương thức giải toán Đối với bài toán sau giải có phần nhận xét thể loại và hớng phát triển Để thấy tơng tự các bài toán thêm vài kiện , lật ngược vấn đề để có bài toán có nội dung phong phú và phù hợp Biện pháp cụ thể: a:BÀI TOÁN I: Tính tổng : 1 A= + + +99 100 Trong phần này có bài toán đựơc khai thác từ bài toán I b:BÀI TOÁN II : Tính tổng : A=1.2+2.3+ +99.100 Trong phần này có bài toán khai thác từ bài toán II Hai bài toán I và II thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy luật Ta có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ bài toán I vì ta cần nghịch đảo số hạng tổng A bài toán I là ta bài toán II Hai bài toán này giải ta phải tách số hạng tổng thành hai số hạng có dấu khác Hai bài toán này ta thấy nhiều tơng đồng cấu trúc ,cũng nh cách khai thác BÀI TOÁN I Tính tổng 1 A= + + + 99 100 Hớng dẫn: Ta có: 1 = − 1.2 1 = − 2.3 1 = − 99 100 99 100 Vậy A=1- 1 1 + − + + − 2 99 100 100 A=199 A= 100 Tổng quát : 1 n B= + + + n( n+1) = n+1 Nếu số hạng đẫu tiên B không phải là k (k +1) Thì C= 1 + + k (k +1) n( n+1) n− k +1 k (n+1) k≤n C= với *Nhận xét : Ta thấy: 1.2=2 2.3=6 3.4=12 99.100=9900 Vậy ta có bài toán : Bài toán 1: Hãy tính tổng : : 1.2 mà 1 1 D= + + 12 + + 9900 Hớng dẫn : 1 D= + + +¿ + 99 100 99 D= 100 * Nhận xét : Nếu ta coi bài toán I là bài toán xuôi thì ta suy bài toán ngọc Bài toán :2 Tìm số tự nhiên a biết 1 1 99      1.2 2.3 3.4 a ( a 1 ) 100 Hớng dẫn : 1 + +¿ 2 a .+ a = a+1 a(a+ 1) 99 Nên a+1 =100 Vậy a=99 *Nhận xét: Ta thấy : 2.1 1 2.3 3 3.4 6 99.100 4950 Và tất nhiên có bài toán : Bài toán 3: Tính tổng : F= 4950 1 ¿ + + + ❑ ❑ Hớng dẫn 2 F= + + +99 100 ¿ 1 F=2.( + + .+ ) 2 99 100 99 F=2 100 99 F= 50 ¿ * Nhận xét : 99 Ta thấy 100 không là số nguyên từ đó có bài toán Bài toán :Chứng minh : 1 A= + + +99 100 không là số nguyên Hớng dẫn : 99 Ta tính A= 100 Tổng quát : n(n+1) 1 + ¿ 3+¿ + B= không là số nguyên * Nhận xét : Ta thấy 1.2=2! 2.3=3! 3.4<4! 4.5<5! 99.100<100! và đơng nhiên ta có bài toán Bài toán 5: Chứng minh : 1 1 G= ! + 3! + ! + .+ 100 ! <1 Hớng dẫn : Ta có : 1 1 G< + + + .+ 99 100 Vậy G<1 Tổng quát : 1 + + .+ ,,<1 ! 3! n! Cũng tơng tự ta có bài toán : Bài toán 6: Chứng minh : I= 1 + + + <1 2 1002 Hớng dẫn : 1 I< + +¿ + Vậy I<1 Tổng quát : 99 = 99 100 100 1 + + + < 2 n * Nhận xét : Khai thác bài toán này ta có : = 22 1− = 9999 1− = 100 10000 1 Mà 22 + + + 1002 <1 1− nên ta có bài toán : Bài toán 7: Chứng minh : 9999 + + + >98 10000 Hớng dẫn : Ta có : 9999 1 + + .+ =1− + 1− + +1− 1000 1002 1 99 −( + + + )>99 −1=98 1002 * Nhận xét : Cũng từ việc I= 1 + + + <1 2 1002 ta bài toán : Bài toán 8: Chứng minh : I= 1 + + + 2 1002 không phải là số nguyên Tổng quát : 1 + + + 2 n không phải là số nguyên * Nhận xét : Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn khác a1 , a2 , ., a 100 1 1 1 + + + < + + .+ a1 a2 a100 1002 giúp ta tìm bài toán Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác a1 , a2 , ., a 100 1 + + + =1 a1 a2 a100 cho : Hớng dẫn : Ta có : ¿ 1 1 1 0< + + + ≤ + + + <1 a1 a a100 100 ¿ không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện đầu bài *Nhận xét : Nếu ta nghịch đảo số hạng bài toán I ta bài toán BÀI TOÁN II Tính tổng : A=1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hớng dẫn : 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3 3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100(101-98) 3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.1013A=99.100.101 A=99.100.101:3 A=333300 Tổng quát : 98.99.100 1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2):3 Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k.(k+1) ta có : C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ +n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1) (k+2)]:3 với n k *Nhận xét : Ta thấy : 1.2= 2.3=6 3.4=12 99.100=9900 Vậy ta có bài toán khó Bài toán 1: Tính tổng : D=2+6+12+ +9900 Hớng dẫn : D=1.2+2.3+3.4+ +99.100 D=333300 Nhận xét : Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta suy bài toán đảo Bài toán 2: Tìm số nguyên a biết : 1.2+2.3+ +a(a+1)=333300 Hớng dẫn : Ta có : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3 nên a(a+1)(a+2):3=333300 ⇒ a( a+1)( a+2)=333300 a(a+1)(a+2)=999900=99 100 101 Vậy a=99 *Nhân xét : Ta thấy: =1 2 =3 3.4 =6 99 100 =4950 Vậy ta bài toán : Bài toán 3: Tính tổng : E=1+3+6+ +4950 Hớng dẫn : 2 3 99 100 + + + .+ 2 2 E= (1 2+2 3+3 + +99 100) E= ×333300 E=166650 E= *Nhận xét : Ta thấy : 2 1+2= 3.4 1+2+3= 99 100 1+2+3+ +100= 1= Vậy ta phát triển từ bài toán trên thành bài toán Bài toán 4: Tính tổng : ¿ 1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100) F= 2+2 3+3 + +99 100 ¿ Hớng dẫn : 2 99 100 + + + 2 F= 2+2 3+ +99 100 F= *Nhận xét : Do: 1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100) =1.100+2.99+3.98+ +99.2+100.1 Ta lại phát triển bài toán thành bài toán khác Bài toán 5: Chứng minh rằng: G= 100+2 99+ 97+ .+100 1 2+2 3+ +99 100 có giá trị Cách giải tơng tự * Nhân xét : Hơn : 2.99=2(100-1)=2.100-1.2 3.98=3(100-2)=3.100-2.3 100.1=100(100-99) Vậy ta hình thành nên bài toán Bài toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 Hớng dẫn: I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 =1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100 =100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100) 101 100 −333300 ¿ 505000− 333300 ¿ 171700 ¿ 100 * Nhận xét : 12=1 1=1 (2 −1)=1 −1 22=2 2=2(3 −1)=1 −2 992=99 99=99(100 −1)=99 100 −99 Vâỵ ta lập đơc bài toán thông qua bài toán II Bài toán 7: Tính tổng: H = 12+ 22+3 2+ .+ 992 Hớng dẫn: H =1.(2-1)+2.(3-1)+ +99(100-1) =1.2-1+2.3-2+ +99.100-99 = 1.2+2.3+ +99.100- (1+2+3+ +99) 99 100 =333300 = 333300-4950 =328350 *Nhận xét : Ta đã thấy : 2 H=1 +2 + +99 =328350 Vậy K=22 + 42 +62 + +198 bao nhiêu ? Bài toán 8: Tính tổng : K 22  42   1982 Hớng dẫn : 2 2 K=2 (1 +2 + +99 ) K=4.328350 K=1313400 * Nhận xét : Ta chia H cho 2 2 99 + + + 2 2 99 ¿ ¿ 45 , ¿2 0,5 ¿2+12+ .+ ¿ 2 ¿ + +¿ ¿ ¿ +¿ M =¿ M= Bài toán 9: Hãy tính : 45 , ¿2 2 ¿ +1 + +¿ M =¿ Đáp số=328350:4=8285,5 G ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo điều kiện sau: +Đối với học sinh : Phải nắm kiến thức và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ ,được đầu t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo +Đối với giáo viên : Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không có nhữnh lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành bài toán hay ,đa dạng KẾT LUẬN Trên đây là toàn kinh nghiệm tôi đó là ý kiến nhỏ rút từ việc học hỏi và giảng dạy Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu cha sâu nên kinh nghiệm này còn nhiều hạn chế Tôi mong đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm hoàn thiện và áp dụng có kết tốt C NHẬN XÉT – GÓP Ý DỰ GIỜ MINH HOẠ RÚT KINH NGHIỆM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ Bài toán 1: Hãy tính tổng : 1 1 D= + + 12 + + 9900 Bài toán : Tìm số tự nhiên a biết 1 1 99      1.2 2.3 3.4 a ( a 1 ) 100 Bài toán 3: Tính tổng : F= 4950 1 ¿ + + + ❑ ❑ Bài toán :Chứng minh : n( n+1) 1 + ¿ 3+¿ + B= không là số nguyên Bài toán 5: Chứng minh : 1 1 G= ! + 3! + ! + .+ 100 ! <1 Bài toán 6: Chứng minh : I= 1 + + + <1 2 1002 Bài toán 7: Chứng minh : 9999 + + + >98 10000 Bài toán 8: Chứng minh : 1 + + + không phải là số nguyên 2 n Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác 1 + + + =1 a1 a2 a100 Bài toán 1: Tính tổng : D=2+6+12+ +9900 Bài toán 2: Tìm số nguyên a biết : 1.2+2.3+ +a(a+1)=333300 Bài toán 3: Tính tổng : E=1+3+6+ +4950 Bài toán 4: Tính tổng : a1 , a2 , ., a 100 cho ¿ 1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100) F= 2+2 3+3 + +99 100 ¿ Bài toán 5: Chứng minh rằng: G= 100+2 99+ 97+ .+100 1 2+2 3+ +99 100 có giá trị Bài toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 Bài toán 7: Tính tổng: H = 12+ 22+3 2+ .+ 992 Bài toán 8: Tính tổng : K 22  42   1982 Bài toán 9: Hãy tính : 45 , ¿2 ¿ 2+12 + +¿ M =¿