1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20 cho mỗi buổi thi, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số, điểm chi tiết đến 0,25.. 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 180 phút, không kể giao đề) Ngày thi: 26/10/2012 Bài (6,0 điểm) Tìm tất các hàm số f xác định trên tập số thực và nhận giá trị thực, cho với x, y ta có: f(x2 + f(y)) = y + f2(x) (ký hiệu f2(x) có nghĩa là (f(x))2) Bài (7,0 điểm) Cho dãy số (an) với a n = n 2013 ( 12012 + 22012 + + n 2012 ) Tính lim a n→ +∞ n Bài (7,0 điểm) Cho đoạn thẳng BC, vẽ đường tròn đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn trên (A ≠ B, A ≠ C) Gọi N là điểm chính trên cung nhỏ AB Vẽ đường cao AH (H thuộc cạnh BC), đường trung tuyến BM (M thuộc AC) tam giác ABC Hãy dựng điểm A trên đường tròn đã cho để ba đường thẳng CN, AH và BM đồng qui HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh…………………… ……………… Số báo danh……… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Ngày thi: 26/10/2012 (gồm 03 trang) A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Bài(ý) Bài + + + + Bài + Nội dung đáp án Biểu điểm (6,0) Ta chứng minh : f(0) = Cho x = y = 0, đặt t = f(0), ta có f(t) = t2 và f(x2 +t) = f2(x), f(f(x)) = x + t2 ta tính f(t2 + f2(1)) theo cách: Cách : f(t2 + f2(1)) = f(f2(1) + f(t)) = t + f2(f(1)) = t + (1 + t2)2 = + t + 2t2 + t4 Cách 2: f(t2 + f2(1)) = f(t2 + f(1 + t)) = + t + f2(t) = + t + t4 Từ đó ta có: t = hay f(0) = (*) Suy f(f(x)) = x (**) và f(x2) = f2(x) (***) Gọi y là số thực bất kỳ, đặt z = f(y) theo (*), (**) và định nghĩa hàm f, suy y = f(z) và f(x2 + y) = z + f2(x) = f(y) + f2(x) Cho x > tùy ý, chọn z cho z2 = x, đó, trên và (***), ta có: f(x + y) = f(z2 +y) = f(y) + f2(z) = f(x) + f(y) đặt y = -x ta có: = f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) suy f(-x) = - f(x), điều này kéo theo, với x, y thì f(x – y) = f(x) – f(y) Bây giờ, với x tùy ý, đặt y = f(x) Nếu y > x, đặt z = y – x thì f(z) = f(y – x) = f(y) – f(x) = x – y = –z Nếu y < x, đặt z = x – y thì f(z) = f(x – y) = f(x) – f(y) = y – x = –z hai trường hợp trên cho ta: Nếu z > thì f(z) = – z < ta chọn w cho w2 = z thì f(z) = f(w2) = f2(w) < vô lý Vậy ta phải có f(x) = x 1,0 2,0 1,0 2,0 (7,0) 2012 2012 2012 Ta chứng minh tổng là đa thức bậc 2013 +2 + + n biến n và số hạng có lũy thừa cao là: 2013 n Thật vậy: 2013 Ta có:(n + 1)2013 = n2013 + 2013.n2012 + C22013 n2011+…+ n2013 = ((n – 1) +1)2013 = (n–1)2013+ 2013.(n–1)2012 + C22013 (n– (3) + 1)2011+…+ (n – 1)2013 = ((n – 2) + 1)2013 =(n–2)2013+ 2013.(n–2)2012 + C1013 2011 (n–2) +…+ … 22013 = (1+1)2013 = 12013 + 2013.12012 + C22013 12011 +…+ Cộng tất các đa thức trên lại với và ước lượng ta có vế trái: (n + 1)2013 ; vế phải: 2013[n2012 + (n – 1)2012 + …+ 12012] + P(n), đó P(n) là đa thức theo biến n có bậc nhỏ 2012 Suy ra: (n +1)2013 + Q(n) 12012 + 22012 + + n 2012 = 2013 n 2013 +K(n), với K(n) là đa ⇔ 12012 + 22012 + + n 2012 = 2013 thức có bậc bé 2013 Theo trên ta có: lim a n = nlim 12012 + 22012 + + n 2012 n→ +∞ → +∞ 2013 n n 2013 lim + a1n 2012 + a n 2011 + + a 2013 = = n → + ∞ 2013 n 2013 2013 ( ) Bài 3,0 (7,0) A N D B + 4,0 M H C Phân tích Giả sử điểm A đã dựng được, CN cắt AB D và ba đường thẳng AH, BM, CD đồng qui I Theo định lý Céva áp dụng cho tam giác ABC và ba đường thẳng AH, BM, CD ta có: DA HB MC DA HB = , tức = lại vì CD là phân giác DB HC MA DB HC DA CA CA HB = =1 , góc C nên ta có: , suy DB CB CB HC CA.HB = CB.HC (1) Mặt khác tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC nên CH.CB = AC2 kết hợp (1) tacó: CA.HB=AC2 ⇒ HB = AC Thế vào (1) ta HB2 = CB.HC ⇔ HB2 =(HB+HC).HC ⇔ HC2 + BH.HC – HB2 = , xem đẳng thức trên là phương trình bậc theo ẩn HC (4) 5− Trong các tam giác vuông ABC và AHC có: ∧ ∧ HC 5−1 sin B = cos C = = Từ đó suy điểm A hoàn toàn AC dựng giải ta có: HC = BH + + + Cách dựng Giả sử BC = a >0, ta dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, 2a suy cạnh huyền là a , từ đó 5− dễ xác định đoạn thẳng có độ dài là a Lấy C 5−1 làm tâm vẽ đường tròn bán kính a , thì giao đường tròn đó với đường tròn đã cho chính là điểm A cần tìm Chứng minh Với điểm A dựng trên và giả sử CN ∩ BM=I, CN ∩ AB = D và AI cắt BC H, ta chứng minh AH DA HB MC =1 ,suy ra: vuông góc với BC Theo Céva ta có: DB HC MA CA HB =1 , hay CB HC -1 a HB =1, từ đó có: HB = − HC , lại vì a HC HC + HB = CB = a, nên a( − 1) a ( − 1) a ( − 1) HC = , từ đó: HC BC = = 5+ 5+ = CA , tức AH ⊥ BC 5−1 Biện luận.Vì CA = a < a, nên đường tròn tâm C bán 5−1 kính CA = a luôn cắt đường tròn đường kính BC hai điểm phân biệt đó: có hai điểm A 3,0 1,0 2,0 1,0 B HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm bài làm theo thang điểm 20 cho buổi thi, là tổng điểm thành phần và không làm tròn số, điểm chi tiết đến 0,25 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa phần đó HEÁT (5)