C là một điểm thay đổi trên đường tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn O;R tại M, MB cắt CH tại K.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN - LỚP Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 2x x 2x x x x A : 1 x x 1 x x 1 x Cho biểu thức x 0; x ; x 1 Với a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a b 2 b c b a) Biết a; b; c là số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + = c + ; c >0 20082 2008 B 2008 20092 2009 có giá trị là số tự nhiên b) Biểu thức Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 3x x x x 2x 4x 3x x 3 b) Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính đường tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I là trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh MC là tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K là trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó theo R (1,5 điểm) Cho M 3 2008 3 Bài 5: a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận cùng M Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính - Hết - 2008 (2) Họ tên thí sinh:………………………… Chữ ký giám thị 1:……………………… Số báo danh : ………………………… Chữ ký giám thị 2:……………………… (3) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 2x x 2x x x x A x 0;x ;x 1 : 1 x x 1 x x 1 x x 2x x x x 2x x x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x 1 x : x x1 x 1 x 1 x 1 x x x1 x : x x x x x x x1 x x x 1 x x x 1 x x x 1 : x1 : x1 x x x 1 : 1 x x1 x x 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 b) Tính giá trị A x 17 12 (1 điểm) Tính x 17 12 2 2 x 3 2 3 2 5 2 5 2 17 12 15 10 A 3 2 3 2 c) So sánh A với A (1 điểm) 3 2 0.5 3 2 1 A x x x 1 x x Biến đổi 1 x 2 x 0;x ;x 1 x Chứng minh với A x 1 A A A A x A A 0 A A Bài (3 điểm) 0.5 0.25 0.25 0.5 (4) 2 b a b a) Chứng minh kiện a = b + = c + ; c > (2 điểm) Ta có: b c biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều 0.5 a b a b 1 a b 1 0.25 b c b c 1 b c 0.25 (c > theo (gt)) Từ (1) và (2) suy a > b > c > a b 1 Mặt khác a b a b 1 b Vậy a b 1 a b b (Vì a >b>0) b 0.5 0.25 2 b Chứng minh tương tự cho trường hợp: a b a 2 b b c b c 0.25 (đpcm) 20082 2008 2009 2009 có giá trị là số tự nhiên (1 điểm) b) Biểu thức 20082 2008 20082 2008 2 B 2008 2008 2.1.2008 20092 2009 20092 2009 Ta có : B 20082 2008 20082 2008 2008 2008 2009 2.2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 0.5 0.75 0.25 Vậy B có giá trị là số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phương trình x 3x x x x 2x a) x 1 x x x 1 x 0 x (1.75 điểm) x 1 x 3 1 x 0 x 2 x 0 x 1 x 3 0 Điều kiện 1 x x 1 x 1 x x 3 0.5 0.25 x 0 x 0 x 1 x 0 x 2 x x x x x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 0.5 0.25 (5) b) 4x Điều kiện 1 (Vì x 3x x 3 (1) (1.25 điểm) 4x 0.25 3x 4x 3x x 4x 3x 4x 3x x 3 4x 3x x 0.25 4x 3x x 3 4x 3x x 3 x 3 4x 3x 0.25 4x 3x 5 (2) 0.5 nên x + > 0) Giải tiếp phương trình (2) ta nghiệm phương trình là x = Bài (8 điểm) M C I K A O H B 1) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn (2 điểm) Chứng minh OI AC Suy OIC vuông I suy I thuộc đường tròn đường kính OC CH AB (gt) CHO vuông H H thuộc đường tròn đường kính OC Suy I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn (O; R) (2 điểm) 0.75 0.25 0.75 0.25 - Chứng minh AOM COM - Chứng minh AOM = COM - Chứng minh MC CO MC là tiếp tuyến (O; R) 3) Chứng minh K là trung điểm CH ( điểm) 0.75 0.75 0.25 0.25 KH HB AM.HB AM.HB KH AB 2R MAB có KH//MA (cùng AB) AM AB (1) AOM CBH Chứng minh cho CB // MO (đồng vị) (6) MA AO AM.HB AM.HB CH CH HB AO R C/m MAO đồng dạng với CHB (2) Từ (1) và (2) suy CH = KH CK = KH K là trung điểm CH 4) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó P AB AC CB 2R AC CB Chu vi tam giác ACB là ACB 0.75 0.25 0.5 Ta lại có AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB AC CB AC CB AC CB AC CB AC CB 2AB (Pitago) 0.75 AC CB 2.4R AC CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB M là điểm chính cung AB 0.25 0.25 Suy PACB 2R 2R 2R PACB 2R , dấu "=" xảy M là điểm chính cung AB 0.25 Vậy max đạt M là điểm chính cung AB Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị M là số nguyên (1 điểm) Biến đổi M 52 1004 5 1004 0.25 Đặt a 5 ; b 5 a b 10 và a.b 1 Đặt U n a n b n với n N Khi đó M = U 1004 n 2 n 2 n 1 n 1 U n 2 a b a.a b.b 10 b a n 1 10 a b n 1 Ta có 10 a n 1 b n 1 ab a n b n 10U n 1 U n 0.25 (vì ab = 1) U n 2 10U n 1 U n (*) Ta thấy U0 = Z ; U1 = a + b = 10 Z U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z 0.25 Theo công thức (*) thì U 10U U1 mà U1, U2 Z suy U Z Lại theo (*) U 10U U có giá trị nguyên 0.25 * Quá trình trên lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N Suy M = U1004 có giá trị là số nguyên a)Tìm chữ số tận cùng M (0.5 điểm) Từ (*) suy U n U n 10U n 1 10 U n 4 U n U n 4 U n 2 U n 2 U n 10 U n 4 U n 10 U 4k r có chữ số tận cùng giống 1004 = 4.251 suy U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống Mà U0 có chữ số tận cùng là (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng Chú ý: Nếu thí sinh làm bài cách khác đúng thì cho điểm tương đương Điểm toàn bài không làm tròn và Ur 0.25 0.25 (7)