DE THI HSG HUYEN GIA BÌNH BẮC NINH

UBND HUYN GIA BNH PHNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Đ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm hc 2012 - 2013 Môn: Toán 8 ( Thi gian lm bi: 120 pht ) Bài I. (1.5điểm) Cho A = 2 2 1 1 4x 1 2014 1 1 1 1 x x x x x x x x   + − − − + − − ×  ÷ − + − +   (với 0; 1; 1x x x≠ ≠ ≠ − ) 1) Rút gọn A 2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên? Bài II. (2.5điểm) 1) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: a. 2 7 6x x + + b. 4 2 2008 2007 2008x x x + + + 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A = 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 - c 2 ) 2 luôn luôn dương. Bài III. (2điểm) 1) Cho x, y thoả mãn 1xy ≥ . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2 2 4 1 2 4 y x x + + = sao cho tích x.y đạt giá trị lớn nhất. Bài IV. (3điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F. 1)Chứng minh ME MF AC AB + có giá trị không đổi. 2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ tự là a 2 và b 2 .Tính diện tích của tam giác ABC theo a và b. 3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Bài V. (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x+ − − = HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Bài Đáp án Điểm I. 1.5 1). Với 0; 1; 1x x x≠ ≠ ≠ − ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4x 1 1 1 4x 1 2014 2014 1 1 1 1 1 1 4x 4x 1 2014 1 2014 2014 1 1 1 1 1 x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + − −   + − − − + + = − + × = ×  ÷ − + − + − +   + − − + − + + = × = × = − + − + + 2) Ta có 2014 2013 1 1 1 x A x x + = = + + + Suy ra với x nguyên thì A có giá trị nguyên khi x + 1 là ước của 2013. Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671; 2013 Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị là -2014; -672; -184; -62; -34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên 0.5 0.25 0.5 0.25 II. 2.5 1) a. ( ) ( ) 2 2 7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x + + = + + + = + + + ( ) ( ) 1 6x x = + + b. 4 2 4 2 2 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x + + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x = + + − + + + + = + + − + 2) Ta có A = [2ab + (a 2 + b 2 - c 2 )][2ab – (a 2 + b 2 - c 2 )] = [(a + b) 2 – c 2 ][c 2 – (a – b) 2 ] = (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b). Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 III. 2.0 1) 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 x y x y x y x xy y xy x xy y xy y x xy x y xy − −     ⇔ − + − ≥ ⇔ + ≥  ÷  ÷ + + + + + + + +     − − ⇔ ≥ + + + Vì 1; 1x y≥ ≥ => 1xy ≥ => 1 0xy − ≥  BĐT (2) luôn đúng => BĐT (1) luôn đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 2) 2 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 4 y y x x xy xy x x x     − + − + = ⇒ ≤  ÷  ÷     + + = ⇔ Dấu bằng xảy ra khi (x;y) ( ) ( ) { } 1;2 ; 1; 2∈ − − Kết luận 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 IV. 3.0 M E F C B A Vẽ đúng hình và ghi được ghi GT, KL 0.25 0,75 1.0 0,25 0,5 0,25 1) Vì ME// AC ; MF // AB theo hệ quả định lý Ta-Let ta có 1 ME MF BM MC AC AB BC BC + = + = 2) Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác CBA suy ra 2 2 2 2 ( ) ( ) dt MBE a BM BM a dt CBA S BC BC S = = ⇒ = ; Tương tự CM b BC S = ( S 2 là diện tích tam giác ABC) suy ra BM CM b a a b BC BC S S S + + = + = hay ( ) 2 2 1 a b BC S a b S a b S BC + = = ⇒ = + ⇒ = + . Vậy dt(ABC) = (a+b) 2 3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab Lại có 2ab ( ) 2 2 2 2 a b S + ≤ = dấu bằng xảy ra khi a = b khi M là trung điểm của BC Kết luận V. 1.0 Ta có: 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2y xy x x xy y x x+ − − = ⇔ + + = + + (*) 2 ( ) ( 1)( 2)x y x x⇔ + = + + VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y + = = − ⇒ =   ⇔ ⇔   + = = − ⇒ =   0,5 0,25 Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y = − hoặc ( ; ) ( 2;2)x y = − 0,25 Chú ý : Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng. . UBND HUYN GIA BNH PHNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Đ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm hc 2012 - 2013 Môn: Toán 8 ( Thi gian lm bi: 120 pht ) Bài I. (1.5điểm) Cho. nhất. Bài V. (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x+ − − = HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Bài Đáp án Điểm I. 1.5 1). Với 0; 1; 1x x x≠ ≠ ≠ − ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2