Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.. Rút gọn P...[r]
(1)BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN Bài tập 1.Thực phép tính a) √ 22 b) √a ¿ c) ( − √2 ) d) √ b ¿2 e) f) ¿ √a ¿ ¿ √ , 09 √ 1+ √ ¿2 ¿ √ 23 ¿ ( − √2 ) √ b ¿3 ¿ √ , 0144 √ 2− √2 ( −2 √ ) (2) (2 √ a) ( −3 √ a ) ( √3 ) 2 −√ 2 (3 √ b) ( − √b ) Với a ≥ 2 ( 1− √ ) ( ) 2 Với b ≥ √ ,04 √ , 0001 11 − 25 √ Bµi tËp 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) c) √ 28 ,9 490 e) d) √ , 001 250 f) b) c) √ 25 36 b) √ 12, 360 Bµi tËp 3.Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) d) g) Bài tập 4.Thực phép tính e) h) √ √ 63 √ 3(2 √ − √ 3+1) ( √ 3+ √ ) ( √ − √ ) a) ( √ 2+ ) d) ( √ 3+1 )2 Bµi tËp 5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh b) e) b) a) √ √ 27 √ √ √ √10+1 √ √10 −1 ( √ 2+ √ )2 ( √ 5+2 √2 ) d) Bµi tËp 6.Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) 169 196 b) ( √3+ √ ) : √ 15 Bµi tËp 7.Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) √ e) √ 2, 25 b) d) ( √ 27 −3 √ 2+ ❑√ ) :3 √3 2 ( √ 3+1 ) + ( 1− √ ) g) j) √ 6+2 √5+ √6 − √ √ −4 √5 − √9+ √5 h) k) Bµi tËp 8.Thùc hiÖn phÐp tÝnh e) −8 ¿ ¿ √¿ √ a2 với a< f) i) ( 2+ √ ) ( − √3 ) ( 5+2 √ ) ( −2 √ ) ( √ 3+ √ ) ( √ − √ ) ( √ 2− ) ( √ 3− )2 c) f) ( √ 2+ ) ( √ 2− ) ( √ 3+1 ) ( √ −1 ) ( √ 2− √ )2 ( √ 5− √ ) c) ( √ 2+ √ ) ( √ −2 √ ) ( √ 5+2 √2 ) ( √ − √ ) f) √27 , 41 , 0625 √3 ( √18 −3 √32+6 √ ) : √ √2 √ 2 √ ( √3+ ) + √( − √3 ) √ ( √2+1 ) − √( − √ ) √ − √7 − √ 4+ √7 √ 4+2 √ − √ +2 √3 18 c) ( √ 2+ ) + ( √2 −1 ) f) √ 7+4 √3+ √7 − √ ( − √ ) ( √ 10− √ ) √ 3+ √ ( + √ 15 ) ( √10 − √ ) √ − √ 15 i) l) 2 (2) a) √8 b) √ ( 2− √5 ) c) √ 18 ( − √3 ) (1 −√ 2) d) √ 50 ( 5+ a )5 Bài tập 9.Thực phép tính √ 2− √ √ 3− √ 27− √ 8+ √ √ 8+ √ 18− √ 50 √ 0,4+ √ 2,5 ( √ 18 - √ ) : √ √ 12+ √27 √ 12− √27+ √108 √ 20 √5 √ 75+ √ 48 − √ 300 ` √ 20− √ 45+3 √ 80− √320 √ 8+ √ 18− − √ 200 2 + √6 √ 50 √ √ 2,5 √ 40 √ √5+ √3+ √2 √√ − √ 3+√ √5 √ √ (√ √ ) 3+ √ √3 √15 − √6 ; √ − √5 1 − √ −1 √3+1 2 √50 −2 √ 75 √ ( 2+ √5 ) − √( − √5 ) √ ( 1− x ) √√ √ ( x − 4) ( 1− x ) √ 4+ √ − √ −2 √3 √ 3,5− √ 6+ √ 3,5+ √ (1 −√ 3) 3 x ( 1− √ ) với x >3 với < x < √ 2√ √ 15 √ 27 √ 180 ( √ 20− √ 45+ √ ) √5 ( 2+ √ ) ( 2− √ ) ( √ 75+ √ 243 - √ 48 ) : √ √ 20− √ √ 5− √ 80+ √ 125 √ - √ 5+ √70 √ 35 √ 8+ √ 18− √ 50 ( √ 2+ )( √2 −1 ) 4 + √12 − 3 + √6 √ 32 √54 √ 4+ √15 √ − √15 ( √5+ √ 45 − √125 ) : √5 √2 −1 15 √ 20 √ −2 √3 ; √2 −√3 1 + √5 √ − √ √ 5+ √3 ( 2+ √ )2 - ( 2+ √ )2 √ 2+ √3 − √2 − √ √ √ (√ √ ) ( 2 √ a b víi a# 0, a b>0 ) 2006 2005 √ 2+ √3 √ 2− √3 ( 1+ √ 2+ √ )( 1+ √ − √ ) ( + √ 15 ) ( √ 10 − √ )( − √15 ) √ 28 : √ ( 20 √ 12 − 15 √ 27 ) :5 √ √ 2+ √8 −2 √ 50 √ 45+ √ 80 − √ 105 1 + + 12 32− 50+ 98 − √72 √ √5+3 √ √5 − 1 √ 48+3 √ 75 − √ 27 −10 3 1 + −2 ❑ 20 60 15 √ √ 18 √ 98 √ 6+2 √5 √ 6− √5 2 ( 2+ √5 ) − ( − √ ) √√ √√ √ √ √ √ √ √ √ (5 √ 15 + 12 √20 − 54 √ 45 + √5) :2√ − √2 ; √2 −1 + √5 − √2 √ 6+ √2 √ −2 √ √2+√ 12+√18 − √128 √ ( √3+ ) − √( √3 −2 ) √ 8+ √ 60 − √ − √ 60 √ 16+2 √63 − √16 − √7 √ 13+30 √2+√ 9+ √ Bài tập 10.Khử mẫu số các thức sau: √ 3+ √5+ √3 − √ √ 1003+ √2005 − √1003 − √2005 2006 2005 √ 8+2 √15 − √8 − √ 15 √ 17− 12 √ 2+ √ 9+4 √2 √ √5 − √3 − √29 −12 √ √ √ 4+ √15 − √ − √ 15 √ 8+ √ 63 − √ −3 √ (3) a) b) 2 √ √ 11 −4 11 120 √ Bµi tËp 11.Trôc c¨n thøc ë mÉu: a) √ 13 √ −1 2+ √3 ( m+ n ) 13 168 √ −m √ √ √ ( m− ) với m<3 x 2x x +¿+ + √¿ a √b √ 2+ √2 −1 √3 √2 2 − √3 √5 48 √ m + n2 x +1 √ x2 − 1 3√2 √ 3+ √2 √3+1 1 c) 1+ √ 2+ √ √2 √ 3− √ √ √2+ √ Bài tập 12.Rút gọn biểu thức: a) 2+ √ 5+2 √ √ −1 − √3 − 2√ √ 3+1 b) 2+ √ − √3 √ 2+ √3+ √2 − √3 − √ 2+ √3 − √2 − √3 + − √3 2+ √ √2+ √ − √ 2− √ √2+ √ 3+ √ − √ Bµi tËp 13.Rót gän biÓu thøc: a) √ 8− √ 18+2 √ 50 √ 12+2 √ 75− √ 48 b) a √b ( √ 28− √3+ √ ) √ 7+ √ 84 − √ a b+ √ ab3 (a,b> b √a a 3b 0) Bµi tËp 14.Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) b) c) √ 3+1 + √ −1 √ 3+1 − √ −1 √ 17− √9+ √5 √ −1 √ 3+1 √3 −1 √ 3+1 1 d) e) f) 2+ √ 2− √ − √ 1+ √2 − + − : √ 72 2+ 3+1 √ √ 1+ √ 1− √ √ 2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √3 Bµi tËp 15.§¬n gi¶n biÓu thøc: a) b) c) √ 7+√ 48 √ 7− √ 48 √ 2+ √3 − √2 − √ d) e) f) √ ( m+ n ) − √ mn √ x −4 √ xy+ y √ 5+√ 24+ √ − √ 24 Bµi tËp 16.Rót gän biÓu thøc: a) 1 1 + + + .+ 1+ √ √ 2+ √ √ 3+ √ √ 99+ √ 100 1 1 b) + + + .+ 2+ √ √ 2+2 √ √3+3 √ 100 √99+ 99 √ 100 1 1 c) − + − .+ − √2 √ − √ √ − √ √ 99 − √ 100 Bài tập 17.Thực phép tính: a) √ 12− √20 −2 √ 27+ √ 125 √ 112 − √216+ √54 − √ 252 −3 √ 96 √ − √ 32+ √ 72 b) [ b) ] √ − √ 125 − √ 80 √ − √8+ √ 50 − √ 32 √ 18 −3 √ 80 −5 √ 147+5 √ 245− √ 98 √ 27 −2 √ 3+ √ 48 − √75 d) √ 20− √ 45− √ 80+ √125 Bµi tËp 18: Rót gän biÓu thøc: A1= −a √ a + √ a + − √ a 1− a −√a √ − √ 18+ √ 32− √ 50 √ − √ 75+2 √ 12− √ 147 √ 12− √20 −2 √ 27+ √ 125 √24 − √54 +3 √6 − √ 150 c) [ ] [ ] KQ: 1+ √a A2= a [ 1+ a+ √ a √ a+1 ] [ + 1− a − √a √ a+1 ] KQ: 1- (4) A3= [ x √x+ y √ y − √ xy + √ x+ √ y ] [√ x+ √ y x−y ] KQ: A4= √x−√y a a+ b √b b − √ab : [ a − b ] + √ a+ √b √ a− √ b [ √√ ] KQ: b − √ ab : √a+ √ b KQ: √ b − √ a A5= [ √ a+ ][ a b a+b + − √ ab √ ab− a √ ab A6= √ a+ √ b− + √ a − √ b √ b + √ b a+ √ ab √ ab a − √ ab a+ √ ab KQ: √a ] [ √ x − √ y ¿2 ¿ ¿ A7= x− y x √x − y √ y − ¿ x− y √ x−√y √ xy KQ: x − √ xy + y Bài tập 19 Cho biểu thức: y − √ xy x y x+ y : + − B1= √ x + √ x + √ y √ xy + y √ xy − x √ xy a)Rút gọn biểu thức B1 b)Tính giá trị biểu thức B1 biết x=3, y= + ❑√ [ x+ √ x − 1+ √ x −2 √ x −1 √ x −1 x+ √ x − 1+ √ x − √ x −1 KQ: x>2, A= √ x −2 1<x<2, A= √ A8= ] [ ][ [ √√ ] KQ: Bài tập 21 Cho biểu thức: a √ a− a √ a+1 − + 1− B3= a−√a a+ √ a √a a)Rút gọn B3 b)Tìm a để B2=7 KQ: a+ √ a+2 a) ; √a a) a+1 √ a− + a −1 √ a+1 ] [ √√ ][ Bµi tËp 23 Cho biÓu thøc: B5= 15 √ x −11 + √ x −2 − √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x 3+ √ x a)Rót gän B5 √ x+1 ; √x− b) < x < Bài tập 22 Cho biểu thức: 1 a+b − : 1− √ B4= √ a+ √a+ b √ a+ √ a+ b √a − b a)Rút gọn B4 b)Tính giá trị B4 a= + √ , b = + √2 [ ] KQ: a) √ y − √ x ; b) Bµi tËp 20 Cho biÓu thøc: B2= √ x − − √ x +3 − √ x+ x −5 √ x+6 √ x −2 − √ x a)Rót gän B2 b)Tìm x để B2<1 [ ] ] b) GPTBH ta a=4; ] KQ: a) −5 √ x ; √ x +3 (5) b)T×m gi¸ trÞ cña x B5 = b) x = Bài tập 24 Cho biểu thức: √ x : √ x+ + √ x+2 + √ x +2 B6= − 1+ √ x √ x −2 − √ x x −5 √ x +6 a)Rút gọn B6 b)Tìm x để B6 < [ ][ 121 KQ: ] a) b) √x− ; 1+ √ x Bài tập 25 Cho biểu thức: √ x − − √ x+2 x − x +1 B7= x − x −2 √ x+1 a)Rót gän B7 b)Chøng minh víi < x < th× B7 > c)TÝnh sè trÞ cña B7 x= 0,16 KQ: a) -3x - 3; Bµi tËp 26 Cho biÓu thøc: √ x − √ y ¿2 + √ xy ¿ ¿ B8= x−y √ x3− √ y3 : ¿ + y−x √ x+ √ y a)Xác định x,y để B8 tồn tại; b)Rót gän B8; c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B8; d)So s¸nh B8 vµ √ B ; e)TÝnh sè trÞ cña B8 x = 1,8; y = 0,2 KQ: [ ] [ b) c) b) √ xy ; x − √ xy + y c) B8 = 0; d) B8 < √ B ; e) ] Bài tập 27 Cho biểu thức: B9= √ x+ √ x − 4+ √ x −4 √ x −4 a)Rút gọn B9; b)Tìm x để N=4 Bài tập 28 Cho biểu thức: B10= x −1+ √ x x √ x+ x − √ x ( x − √ x)(1 − √ x) + =11− x 1+ x √ x √ x −1 a)Tìm x để B10 có nghĩa; b) Rót gän B10 ][ [ Bài tập 29 Cho biểu thức: √ a − a − √ a − a+ √ a B11= 2 √ a √a+ √ a− a)Rút gọn B11; b) Tìm giá trị a để B10 = -4 [ ][ Bài tập 30 Cho biểu thức: √ a+1 − √a − + √ a B ❑12 = √ a −1 √ a+1 [ ][ ] b) − √x +x KQ: a) -2 √ a ; b) a = ] √a − KQ: a) ; √a ] KQ: a) 4a ; 12 b) ; 2+ √ (6) a)Rút gọn B ❑12 ; b) Tìm giá trị B ❑12 c)Tìm giá trị a để c) < a < √9 ; 2+ √ biết a = √ B12 > B12 Bài tập 31 Cho biểu thức: x +1 x − x − : − + B ❑13 = x − x +1 x −1 x −1 x +1 a)Rút gọn B ❑13 ; b) Tìm giá trị B ❑13 biết x = √ 3+ √ ; c)Tìm giá trị x B ❑13 = √ [ ][ KQ: ] KQ: ] x + √ x+ ; √ x −1 b) ( √ x −1 ¿2 +3>0 ∀ x ; c) Không tồn x TMBT a) KQ: a) -2 √ x −1 ; b); Kh«ng tån t¹i x TMBT; c) … KQ: ] a) 4a ; a+3 b)Giải PTBH a= Bài tập 36 Cho biểu thức: B18= √ a + a : a − a √a √ a+ √b b −a √ a+ √ b a+b+ √ ab a)Rút gọn B18; a = b) Biết th× B18 =1, h·y t×m c¸c gi¸ trÞ a, b b ][ ; ¿ Bài tập 35 Cho biểu thức: 2 a − a a −2 a+ a − + B17= a+3 a+2 a −2 − a2 a)Rút gọn B17; b) Tìm giá trị a cho B17 =1; c)Khi nào B17 có giá trị dương, âm [ , x ❑2 = √5 Z ][ [ √5 a) Bài tập 33 Cho biểu thức: √x √x : − B15= 1+ x+ √ x −1 x √ x+ √ x − x −1 a)Rút gọn B15; b) Tìm giá trị x cho B15 >3; c)Tìm giá trị x B15 = Bài tập 34 Cho biểu thức: 1 x3 − x √ + + B16= √ x − 1− √ x √ x −1+ √ x √ x − a)Rút gọn B16; b) Tìm giá trị x cho B16 =4; +¿ +¿ c)Tìm x Z ❑ để B16 Z ❑ ¿ ; c) GPTBH ta x ❑1 = 2a−4 a+2 b) ; ] [ 4x − x2 b) -2; a) KQ: Bài tập 32 Cho biểu thức: a √ a −1 a √ a+1 a+2 − : B14= a − √a a+ √ a a −2 a)Rút gọn B14; b)Với giá trị nguyên nào a thì B14 [ ] KQ: − √ a − √b ; √a (√ a − √ b) b)a=4, b=36 a) , a=-1; (7) Bài tập 37 Cho biểu thức: √ a+ a +1 − a − √ a : − √a B19 = √ a+ √ a −1 1+ √ a a)Rút gọn B19; b) Tính giá trị biểu thức B19 biết a = 27 + 10 √ KQ: Bài tập 38 Cho biểu thức: a3 − a2 b −ab 2+ b3 B20 = a3 +a2 b −ab − b3 a)Rút gọn B20; KQ: [ ][ √ a+1 ¿2 ; ¿ b) 38 + 12 √ ] a) a) b) b) Tìm tỉ số a và b để cho B20 = Bài tập 39 Cho biểu thức: 1 x +2 : x −1 − : B21 = x −3+ x−1 x −1 x a)Rút gọn B21; b)Tính giá trị B21 x = √ 6+ √ 20 ; c) Tìm x Z để B21 Z Bài tập 40 Cho biểu thức: x +2 − + B22 = x +3 x + x − − x a)Rút gọn B22; b)Tính giá trị B22 x = 2+ √ c) Tìm x Z để B22 Z Bài tập 41 Cho biểu thức: 1− x ¿2 ¿ B23 = x¿ ¿ a)Rút gọn B23; b)Tính giá trị B23 x = √ 3+2 √ ; c) Tìm giá trị x để 3.B23=1 [ ][ KQ: ] a) b) c)… KQ: a) b) √ c)… a− b ; a+ b a =3 b x −2 ; x+ √ −1 ; √ 5+ x −4 ; x−2 √ −1 ; √3 KQ: x ; 1+ x √ 2+1 ; b) 4+2 √ a) c)GPTBH x 1= KQ: Bài tập 42 Cho biểu thức: 2 2+ x 4x 2− x x −3 x − − : B24 = − x x − 2+ x x − x a)Rút gọn B24; b)Tính giá trị B24 x = |x − 5|=2 [ ] Bài tập 43 Cho biểu thức: x +1 x − 1 x − : − + B25 = x − x +1 x+ 1− x x −1 a)Rút gọn B25; [ a) ][ 4x ; − x2 4( √3+1) b) − −2 √3 a) ] 4x x −3 3+ √ − √5 ; x2 = 2 (8) b)Tính giá trị B25 x = c)Tìm x để B25 = -3 ; √ 4+ √ Bài tập 44 Cho biểu thức: √ x −1 − + √ x : − √ x −2 B26 = √ x −1 √ x +1 x − √ x+ a)Rút gọn B26; b)Tính giá trị B26 x =6+2 √ ; c)Tìm x để B25 = [ ][ c) GPTBH x 1= 2+ √13 − √ 13 ; x 2= 3 x +√ x ; 3√ x−1 b) +3 √5 √5+2 a) ] c) GPTBH x 1=4 ; x 2= x + √ x+ ; √x b)… Bài tập 45 Cho biểu thức: x +2 x+1 x +1 + √ −√ B27 = 1: x −1 x √ x − x+ √ x +1 a)Rút gọn B27; b)Chứng minh B27 >3 với x>0; x khác a) Bài tập 46 Cho biểu thức: 1 1 + : − + B28 = − x 1+ x 1− x 1+ x x+1 a)Rút gọn B28; b)Tính giá trị B28 x =1+ √ ; c)Tìm x để B28 = KQ: Bài tập 47 Cho biểu thức: x +1 x − x2 − x − x +2003 − + B29 = x − x +1 x x −1 a)Rút gọn B29; b) Tìm x Z để B29 Z Bài tập 48 Cho biểu thức: KQ: x +2003 a) ; x b) x=2003 và x = -2003 [ ] [ ][ ] [ ] a) x +1 ; x (x +1) b) KQ : A 1=√ a −a 1−a¿ ¿ a− a+ 2 A 1= √ − √ : a −1 a+2 √ a+1 ¿ ) a)Rút gọn ; b)Tìm Max A Bài tập 49 Cho biểu thức: ( A 2= 1+ √a : a+1 ) ( √ a1−1 − a √ a+2√√aa−a −1 ) a) Rút gọn b) Tìm a cho A2 > c) Tính A2 với a=19− √ √ 2+3 ; (1+ √ 2)( √2+2) c)GPTBH ta đợc: x=1 và x= − ( 25 KQ : A 2= a+ √ a+1 √ a −1 (9) Bài tập 50 Cho biểu thức: A 3= ( √ xx −− √y y − x √ xx−− yy √ y ) : x+x √yx++2y√√xyy Víi KQ : A 3= √ xy x − √ xy+ y KQ : A 4= 4x √ x −3 x> y >0 x≠y ¿{{ a)Rút gọn b)Chứng minh: <A3 < 1(hoặc so sánh Bµi tËp 51 Cho biÓu thøc: A víi √ A3 ) ( 22+−√√xx − 2−2+√√xx − x4−x4 ) : 2√√xx−3− x A4= a) Rót gän b) Tìm x để A4 > c) Tìm x để A4 = Bµi tËp 52 Cho biÓu thøc: x −3 A 5= √ x −1 − √2 a) Rót gän b) T×m Min A5 Bµi tËp 53 Cho biÓu thøc: A 6= ( KQ : A 5=√ x −1+ √2 √ x −1 − + √ x : 1− √ x − √ x −1 √ x+1 x −1 √ x +1 )( ) KQ : A 6= − x+ √ x √ x −1 KQ : A 7= √ x −2 KQ : A 8= √ x +3 a) Rót gän b) Tìm x để A 6= Bµi tËp 54 Cho biÓu thøc: A 7= √ x −1 : 9− x + √ x −3 − √ x +2 ( x −3 ) ( x+ √ x −6 √ x −2 √ x +3 ) x−9 a) Rót gän b) Tìm x để A7 <1 c) Tìm xẻ Z để A7 ẻ Z Bµi tËp 55 Cho biÓu thøc: A 8= x −5 +√ ( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x − 15 − √√ x+3 x+5 √ x −3 ) a) Rót gän b) Tìm xẻ Z để A8 ẻ Z Bµi tËp 56 Cho biÓu thøc: A 9= (√ x+ √y −x+√√xyy ) : ( √ xy+x y + √ xyy− x − x√+xyy ) a) Rót gän KQ : A 9=√ y − √ x (10) b) TÝnh gi¸ trÞ cña A9 víi Bµi tËp 57 Cho biÓu thøc: A 10= x=3 , y=4+2 √ a+ √ a − 2 √ a + :( √ − − ( a −a√−a+7 ) √ a− √ a −2 √ a+2 a − ) KQ : A 10= a+9 √a a) Rót gän b) So s¸nh A 10 Víi A10 Bµi tËp 58 Rút gọn các biểu thức sau: a/ √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72 b/ ( √ 28− √3+ √ ¿ √ 7+ √ 84 1 d/ 2 2 2 ( √ 6+ √ ) − √ 120 200 : c/ Giải: a/ √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72 = √ 22 5− √ 32 5+3 √ 32 2+ √ 62 = √ −3 √ 5+9 √ 2+6 √ = ( 2− ) √5+(9+ 6) √ 2=15 √ 2− √5 b/ ( √ 28− √ 3+ √ 7) √7 + √ 84 = √ 22 √ −2 √ √ 7+ √ √ 7+ √ 22 21 = −2 √ 21+7+2 √21 = 14+7+ ( 2− ) √ 21=21 c/ ( √ 6+ √ ) − √ 120 = 6+2 √ 30+5 − √ 22 30 1 d / 2 2 2 1 200 : 2 22 2 10 2.2 : 1 2 2 12 64 54 2 4 = 6+5+2 √ 30 −2 √ 30=11 Bài tập 59: Rút gọn các biểu thức sau: (11) A 5 B 4 6 a/ b/ C 5 2 2 3 c/ Giải: A 5 a/ 5 5 5 3 3 3 5 3 5 5 3 2 4 6 B b/ 2 1 3 3 C 3 3 c/ 3 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 1 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 31 1 Bài tập 60 Chứng minh các đẳng thức sau: a/ b/ 2 1 2 2 2 2 c/ Giải: 9 3 5 8 3 (12) 2 a/ BĐVT ta có : 2 1 2 1 2 2 9 2 9 VP Vậy đẳng thức đã chứng minh b/ BĐVT ta có : 3 2 2 3 1 2 2 42 4 1 VP 2 Vậy đẳng thức đã chứng minh 2 2 c/ BĐVT ta có : 4 2 2 2 2 2 8 22 5 22 5 2 2 2 2 2 5 2 4 4 8 VP 5 Vậy đẳng thức đã chứng minh Bài tập 61 So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ và 10 b/ 2003 2005 và 2004 c/ và Giải: a/ và 10 2 Ta có: 10 10 5 5 Và Vì 24 < 25 => 24 < 5 5 24 25 25 => 24 25 Hay 2 10 10 1 3 (13) 2003 2005 và 2004 b/ Ta có: 2003 2005 2003 2005 2003.2005 4008 2 Và 2004 2004 1 2004 1 4008 20042 4.2004 2.2004 2004 20042 20042 20042 20042 4008 20042 4008 20042 Vì 2003 2005 và c/ Ta có: Và 2004 2003 2005 2004 52.3 3 5 Vỡ 75 > 45 => 2 75 32.5 45 75 45 75 45 a 1 M : a a a với a >0 và a 1 a a Bài tập 62 Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 và a 1 a/ a 1 M : a a a 1 a a ¿( 1 a+1 + ): √ √ a ( √ a −1 ) √a − ( √ a −1 )2 ( √ a −1 ) ( 1+ √a )( √ a− ) 1+ √ a √ a −1 ¿ = = √a ( √a − ) √ a+1 √ a ( √ a −1 ) ( √ a+1 ) √ a √ a− =1− , vì a > => a>0 => b/ Ta có M = √ √a √a Vậy M < Bài tập 63 Cho biểu thức x−3 x+ P= − −√ √ √ x − √ x −1 √ x −1− √ √ − √ x √ x − x a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với x=3 −2 √ Giải: ¿ √ x >0 x √ −1 ≥ a/ Biểu thức P có nghĩa và chỉ : √ 2− √ x ≠0 √ x −1 − √ ≠0 ¿{{{ ¿ ( )( ) >0 √a nên 1− <1 √a (14) ⇔ x> x ≥1 x ≠2 x≠3 ⇔ ¿ x≥1 x ≠2 x≠3 ¿{{{ b/ Đkxđ : P= x ≥ 1; x ≠2 ; x ≠ x−3 x+ −√ √ ) ( √ x − 1√ x −1 − √ x −1− ) ( √ √2 − √ x √ x − x ( √ x+ √ x −1 ) ( x −3 ) ( √ x −1+ √ ) x+ − − √ √ ( √ x − √ x − )( √ x + √ x −1 ) ( √ x −1 − √ ) ( √ x −1+ √ ) √ − √ x √ x ( √ 2− √ x ) x + x − ( x −3 ) ( √ x − 1+ √ ) √ x − √ x − √ ¿ √ √ − x − ( x −1 ) ( x −1 ) −2 √ x ( √2 − √ x ) x+ x −1 ( x − ) ( √ x −1+ √ ) − ( √ − √ x ) ¿ √ √ − x − x +1 x −3 √ x (√ − √ x) −1 ( √ x − √2 ) ( − ) √ − √ x ¿ ( √ x+ √ x − 1− √ x −1 − √ ) = = ¿ [ [ ][ ] ( ) √x √x √ 2− √ x , ta có: c/ Thay x=3 −2 √ 2=( √ 2− ) vào biểu thức P= √x √ 2− √( √2 −1 ) √2 −|√2 −1| √ 2− √ 2+ ¿ =√ 2+1 P= = = |√ 2−1| √2 −1 √ −1 √( √2 −1 )2 Bài tập 64 Cho biểu thức 2x x+1 −11 x A= − − với x +3 − x x −9 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: √x x≠±3 x≠±3 2x x +1 −11 x x x +1 −11 x − − = + − x+ 3 − x x − x +3 x −3 ( x+3 )( x −3 ) x ( x −3 ) + ( x +1 ) ( x+3 ) − ( 3− 11 x ) x2 −6 x + x 2+ x + x +3 −3+11 x = ( x+3 )( x −3 ) ( x+3 )( x −3 ) x ( x +3 ) x +9 x 3x = = ( x+3 )( x − ) ( x+3 )( x −3 ) x −3 x − ( x −3 ) 3x 3x <2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 3x x −3 x −3 x−3 b/ Ta có A= , A < tức là x−3 x −2 x +6 x +6 ⇔ <0 ⇔ <0 (∗) x −3 x −3 A= ] (15) ¿ x +6> Dễ thấy x + > x – vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm x − 3<0 ¿{ ¿ ⇔ − 6< x <3 Vậy với −6< x<3 thì A < 3x 9 =3+ ∈Ζ⇔ ∈ Ζ ⇔ x −3 ∈U (9) c/ Ta có A= x−3 x −3 x −3 Mà U (9)= { ±1 ; ±3 ; ± } nên ta có: x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < => x = ( tm đkxđ ) x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < = > x = ( tm đkxđ ) x – = - <=> x = - ( tm đkxđ ) x – = <= > x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên Bài tập 65 Cho biểu thức x+ √ x 1+ √ x − √ x B= − √ x − x+ √ x +1 1+√ x a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x ≥ và x ≠ x+ x 1+ √ x √ B= − − √x a/ √ x − x+ √ x +1 1+ √ x )( ( )( ( ¿ ) với x≥0 b/ Ta có B=√ x − và B = 3, tức là Vậy với x = 16 thì B = x≠1 ) x+1 − √ x ( √ x −1 ) ( √ x +1 )( x − √ x +1 ) − √x ( √ x −1 ) ( x + √ x+1 ) √ x +1 x+1 − x + √ x ¿ ( −2 √ x+ x ) ( √ x − ) ( x +√ x+1 ) x+ √ x +1 ¿ ( √ x −1 ) = √ x − ( √ x −1 ) ( x + √ x +1 ) [ và ] √ x −1=3 ⇔ √ x=4 ⇔ x=16 ( t/m đkxđ) Bài tập 66 Cho biểu thức 3 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + + : với x > , y > √ x √ y √ x +√ y x y √ x y+ √ xy a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y > 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y A= + + + : a/ √ x √ y √ x +√ y x y √ x y+ √ xy A= [( ) ] [( ) ] ¿ ( √ x+ √ y + x + y : ( √ x + √ y )( x − √ xy+ y ) + √ xy ( √ x+ √ y ) √ xy √ x + √ y xy √ xy ( √ x + √ y ) ) (16) x + y ( √ x +√ y ) ( x + y ) + : √ xy xy √ xy ( x + y ) ( √ x + √ y ) √ xy √ x+ √ y ¿ = xy √ x+ √ y √ xy b/ Ta có ( √ √ x − √ √ y ) ≥0 ⇔ √ x + √ y − √√ xy ≥ ⇔ √ x+ √ y ≥ √√ xy √ x+ √ y ≥ √√ xy = √√ 16 =1 ( vì xy = 16 ) Do đó A= √ xy √ xy √ 16 ¿ ( ) Vậy A = x y x y 4 xy 16 Bai 67 : P = 14 14 x 2 x x 1 x x x x 2) Cho biểu thức : Q= a) Đơn giản biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên 1) Đơn giản biểu thức : Híng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = x −1 b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = { 2; } thì Q Z Bài 68 : Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức sau P x x 1 x x b) Tính giá trị biểu thức P x = Hướng dẫn : x+ a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : P = 1−x √2 b) Với x = thì P = - – x √ x +1 x −1 − Bai 69 : Cho biểu thức : A = x−1 √ x +1 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A Híng dÉn : √x a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = √x− (17) thì A = - c) Với x < thì A < d) Với x > thì | A | = A b) Với x = 1 a 3 a Bai 70 : Cho biĨu thøc : A = a a) Rĩt gän biĨu thøc sau A b) Xác định a đĨ biĨu thức A > Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > và a 9 Biểu thức rút gọn : A = √a+ b) Với < a < thì biểu thức A > x x x 4x x 2003 x x 1 x2 x Bai 71 : Cho biểu thức: A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x Î Z ? để A Î Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ± x +2003 b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 thì A Î Z x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= Bai 72 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Híng dÉn : √ x+1 a) §KX§ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = √x− b) Với < x < thì A < c) x = { ; } thì A Z x 2 x x1 : x x x x 1 x Bai 73 : Cho biểu thức: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = x + √ x+1 b) Ta xét hai trường hợp : +) A > ⇔ > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) x + √ x+ (18) < ⇔ 2( x+ √ x +1 ) > ⇔ x + √ x+ Từ (1) và (2) suy < A < 2(đpcm) +) A < ⇔ a 3 Bai 74 : Cho biểu thức: P = a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = a1 a 2 x+ √ x > đúng vì theo gt thì x > (2) a 4 a (a 0; a 4) Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 4 Biểu thức rút gọn : P = √a − b) Ta thấy a = ĐKXĐ Suy P = a a a a a a N= Bai 75 : Cho biĨu thøc: 1) Rĩt gän biĨu thøc N 2) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ N = -2004 Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 1 Biểu thức rút gọn : N = – a b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005 Bai 76 : Cho biểu thức P= x √ x+ 26 √ x −19 x x −3 − √ +√ x +2 √ x − √ x − √ x +3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x=7 − √ c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Hướng dẫn : x+16 P= a ) ĐKXĐ : x 0, x 1 Biểu thức rút gọn : √ x+3 103+3 √ b) Ta thấy x=7 − √ ĐKXĐ Suy P= 22 c) Pmin=4 x=4 Bai 77 : Cho biểu thức P= ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1) a Rút gọn P b Tìm x để a ) ĐKXĐ : x 0, x 9 Biểu thức rút gọn : b Với ≤ x <9 thì P<− c Pmin= -1 x = a 1 a1 Bài 78: Cho A= c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Hướng dẫn : −3 P= √ x+3 P<− a1 a a a 1 a với x>0 ,x 1 (19) a Rút gọn A b Tính A với a = 4 15 10 15 ( KQ : A= 4a ) x x 9 x x x 2 : x x x x x Bài 79: Cho A= với x 0 , x 9, x 4 a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Î Z để A Î Z (KQ : A= x ) 15 x 11 x 2 x x x x x với x 0 , x 1 Bài 80: Cho A = a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = 2 x d CMR : A (KQ: A = x ) x2 x 1 Bài 81: Cho A = x x x x 1 x với x 0 , x 1 a Rút gọn A x b Tìm GTLN A ( KQ : A = x x ) Bài 82: Cho A = x x x x x với x 0 , x 1 a Rút gọn A b CMR : A 1 ( KQ : A = x x x 1 ) x x 25 x x 3 x 5 1 : x 25 x x 15 x 5 x Bài 83: Cho A = a Rút gọn A b Tìm x Î Z để A Î Z ( KQ : A = x 3 ) (20) a Bài 84: Cho A = a a a Rút gọn A b Tìm a để A < a a 1 a 3 a c Tìm a Î Z để A Î Z với a 0 , a 9 , a 4 ( KQ : A = a 1 a 3) x x 7 x 2 x 2 x : x x 2 x x x Bài 85: Cho A= với x > , x 4 a Rút gọn A x 9 b So sánh A với A ( KQ : A = x ) 3 x y x y : x y y x Bài 86: Cho A = a Rút gọn A x y xy x y với x 0 , y 0, x y xy ( KQ : A = x b CMR : A 0 xy y ) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x x Bài 87 : Cho A = a Rút gọn A Với x > , x 1 x x 1 x b Tìm x để A = ( KQ : A = ) x x 2 x : x x x 2 x x Bài 88 : Cho A = với x > , x 4 a Rút gọn A b Tính A với x = (KQ: A = x ) 1 : Bài 89: Cho A= x x x x x với x > , x 1 a Rút gọn A b Tính A với x = (KQ: A = x ) x 1 x Bài 90 : Cho A= a Rút gọn A x4 : x x x 1 b Tìm x Î Z để A Î Z (KQ: với x 0 , x 1 A= x x 3) (21) x 2 : x 1 x x x x x x Bài 91: Cho A= với x 0 , x 1 a Rút gọn A b Tìm x Î Z để A Î Z x1 c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = x ) x x 3x x 1 : x 3 x x x Bài 92 : Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A < - 3 ( KQ : A = a ) x 1 x x x x : x x x x Bài 93 : Cho A = a Rút gọn A b Tính A với x = c CMR : A 1 Bài 94 : x 1 : x x x 1 Cho A = x x a Bài 95: (KQ: Rút gọn A b.So sánh A với (KQ: với x 0 , x 9 x với x 0 , x 1 x A = x4 ) với x > , x 1 x1 x ) A= x1 x x 2 : x 0, x x x x x Với Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x x ( KQ : A = x ) x x x x 1 x x x 1 Bài96: Cho A = a Rút gọn A b CMR < x < thì A > c Tính A x =3+2 với x 0 , x 1 (22) d Tìm GTLN A (KQ: A = x (1 x ) ) x2 x x1 : x x x x 1 x Bài 97 : Cho A = với x 0 , x 1 a Rút gọn A A = x x 1 ) Bài 98 : b CMR x 0 , x 1 thì A > , (KQ: x x 1 : x 1 x x Cho A = với x > , x 1, x 4 a Rút gọn b Tìm x để A = x 1 x x x x Bài 99 : Cho A = a Rút gọn A b Tính A x= 0,36 c Tìm x Î Z để A Î Z 3 x 3 : x 1 x với x 0 , x 1 x x 3 x 2 x 2 : x x x x x Bài 100 : Cho A= với x 0 , x 9 , x 4 a Rút gọn A b Tìm x Î Z để A Î Z x c Tìm x để A < (KQ: A = x 1 ) (23)