Chøng minh r»ng: a Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn Bµi tËp 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng [r]
(1)C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 «n thi thpt theo chủ đề Họ và tên : nguyễn văn đại Tæ : KHOA HäC tù nhiªn §¬n vÞ: trêng thcs nghÜa an n¨m häc: 2012 - 2013 Môc lôc Môc lôc .Error! Bookmark not defined Phần I: đại số Error! Bookmark not defined Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức .5 Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét 30 D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai 30 D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm 30 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc 31 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm 33 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc 33 D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè 34 D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè 34 D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai .34 Chủ đề 3: Hệ phơng trình Error! Bookmark not defined HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: .Error! Bookmark not defined (2) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Dạng 1: Giải hệ phơng trình và đa đợc dạng Error! Bookmark not defined Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Error! Bookmark not defined Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớcError! Bookmark not defined Một số hệ bậc hai đơn giản: .Error! Bookmark not defined Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Error! Bookmark not defined Dạng 2: Hệ đối xứng loại II .Error! Bookmark not defined Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Error! Bookmark not defined Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị Error! Bookmark not defined Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 47 Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 47 Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng và parabol 48 Chủ đề 5: Giải bài toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 64 Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) 64 D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc) .64 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm .65 D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc .65 D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè 65 Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai 36 D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu 36 D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc .36 Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 36 D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng 36 D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao 36 PhÇn II: H×nh häc 84 Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 84 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đờng tròn 84 Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy 86 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 87 Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học 88 Chủ đề 6: Các bài toán tính số đo góc và số đo diện tích 88 Chủ đề 7: Toán quỹ tích 89 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu hình học không gian 89 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 A Căn thức và biến đổi thức A.1 KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1 C¨n bËc hai a C¨n bËc hai sè häc Với số dơng a, số a đợc gọi là bậc hai số học a - Số đợc gọi là bậc hai số học x 0 x a x a - Mét c¸ch tæng qu¸t: b So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: a b a b - A2 A A.1.2 Căn thức bậc hai và đẳng thức a C¨n thøc bËc hai Với A là biểu thức đại số , ngời ta gọi A là thức bậc hai A, A đợc gọi là biểu thức lấy hay biÓu thøc díi dÊu c¨n A xác định (hay có nghĩa) A A2 A b Hằng đẳng thức - Víi mäi A ta cã - Nh vËy: + A2 A A2 A nÕu A + A A nÕu A < A.1.3 Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng (3) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B ta cã: A.B A B 2 + §Æc biÖt víi A ta cã ( A ) A A b Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi c Quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai: Muèn nh©n c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè kh«ng ©m, ta cã thÓ nh©n c¸c sè díi dÊu với khai phơng kết đó A.1.4 Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng A A B a §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > ta cã: B b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, đó a không âm và b dơng ta có thể lần lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai c Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho số b khai phơng kết đó A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a §a thõa sè ngoµi dÊu c¨n - Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã + NÕu A vµ B th× + NÕu A < vµ B th× b §a thõa sè vµo dÊu c¨n A2 B A B , tøc lµ A B A B A2 B A B + NÕu A vµ B th× A B A B + NÕu A < vµ B th× A B A B c Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B vµ B 0, ta cã d Trôc c¨n thøc ë mÉu - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã A A B B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B , ta cã A AB B B C C ( A B) A B2 A B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã C ( A B) C A B A B A.1.6 C¨n bËc ba a Kh¸i niÖm c¨n bËc ba: C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x cho x3 = a 3 3 - Víi mäi a th× ( a ) a a b TÝnh chÊt 3 - Víi a < b th× a b - Víi mäi a, b th× ab a b (4) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3 a a 3 b b - Víi mäi a vµ b 0 th× A.2 KiÕn thøc bæ xung A.2.1 C¨n bËc n a C¨n bËc n ( n N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a b C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1) Mọi số có và bậc lẻ C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m C¨n bËc lÎ cña sè lµ sè c C¨n bËc ch½n (n = 2k ) Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n C¨n bËc ch½n cña sè lµ sè Số dơng có hai bậc chẵn là hai số đối kí hiệu là d Các phép biến đổi thức k 1 A xác định với A 2k A2 k 1 A víi A A2 k A víi A A.B A.2 k 1 B víi A, B A.B 2 k A k B víi A, B mµ A.B 0 k 1 2k k 1 k 1 2k a vµ 2k a A xác định với A 0 k 1 2k 2k A2 k 1.B A.2 k 1 B víi A, B A2 k B A k B víi A, B mµ B 0 A k 1 A B k 1 B víi A, B mµ B 0 A 2k A B 2k B víi A, B mµ B 0, A.B 0 k 1 2k m n A mn A víi A, mµ A 0 m m An A n víi A, mµ A 0 Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau) √ 3x − 8¿ √ x2 +3 ¿ ¿ √5 − 2x Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bµi 1: §a mét thõa sè vµo dÊu c¨n a¿ ; b¿ x (víi x>0); x Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh √ √ 9¿ c¿ x √ ; √ x − 2¿ ¿ d¿ ( x −5) √ 7x √ −14 x ; 25− x 10¿ e¿ x √ x (5) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 0,4 a( √28 −2 √ 14+ √ 7) ⋅ √7+ √ 8; Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh 3− 216 a¿ ( √ √ − √ )⋅ √ −2 √6 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh d¿ b¿ a( 4+ √15)(¿ √ − √ 15 b) Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: √6+ √5+ √ −2 √ ; ¿ b ¿ √14 − √ + √ 15− √ ¿ : 1− √2 1− √3 √7 − √5 c¿ ( √ −3 √ 2+ √ 10)( ¿; √ −2 √6 + √ 8− √15 √ 7+2 √10 ¿ √10 − √ ¿ 3− √ ¿ ¿ 3+ √ ¿ √ 3+ √ − √ − √ 5− √ (¿ √ 3+ √5+( √ − √ ¿ c ) d) √ − √7 ¿ 1 − √7 − √24 +1 √ 7+ √ 24+1 Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: a b¿ √3 − √3 √ √3+ 1−1 √ √3 −1+1 ¿ c¿ √ 5+ √ −2 √ + 5− √ 5+ √ √ ¿ √ √ a 6+2 √ 5− √ 13+ √ 48 b¿ + √3+5 √ 48 − 10 √7+ √ ¿ c¿ Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau: d¿ 1 + + 1+ √ √ 2+ √ √ ¿ a √ b+b √ a : , víi a> 0, b> vµ a ≠ b ¿ b ¿ √ ab √ a − √b Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a (1+ a+√ a+1√ a )(1 − a√ −a −1√ a ), víi a >0 vµ a ≠1 ¿ c ¿ a √ a −8+ a− 1 3 ;y= ¿ b ¿ B=x3 +12x − víi x=√ ( √5+ 1) − √ ( √ −1); ¿ c ¿ C=x+ y 9+4 √5 √ −2 D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n x −3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P= √ x −1 − √ a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - √ ) c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a + √ a − 2a + √ a +1 a − √ a+1 √a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi | A| c) Tìm a để A = d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A x Bµi 3: Cho biÓu thøc C= − + √ 1− x √ x − 2 √ x +2 a) Rót gän biÓu thøc C b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x= c) Tính giá trị x để |C|= a a b Bµi 4: Cho biÓu thøc M = 2 − 1+ 2 : √a − b √ a − b a − √ a2 −b a a) Rót gän M b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu c) Tìm điều kiện a, b để M < = b a=x −3x √ y +2y, x= ( ) (6) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1−x ¿ ¿ ¿ Bµi 5: XÐt biÓu thøc x −2 x +2 P= √ − √ ⋅¿ x −1 x +2 √ x +1 a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P x − x +3 x +1 √ √ √ Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q= − − x − √ x +6 √ x − − √ x a) Rót gän Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q là số nguyên 3 ( x − y ) + √ xy Bµi 7: XÐt biÓu thøc H= x − y − √ x − √ y : √ √ x−y √x −√ y √ x +√ y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi √ H 2√ a Bµi 8: XÐt biÓu thøc A= 1+ √ a : − a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a − a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho A > c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a=2007 −2 √2006 Bµi 9: XÐt biÓu thøc M =3x+ √ 9x −3 − √ x+ + √ x −2 x+ √ x −2 √ x+ 1− √ x a) Rót gän M b) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M là số nguyên Bµi 10: XÐt biÓu thøc P=15 √ x −11 + √ x −2 − √ x+ x+ √ x − − √ x √ x +3 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho P= c) So s¸nh P víi ( ) ( ) ( Bµi 11: Cho biÓu thøc: )( P= ( a) Rót gän P Bµi 13: Cho biÓu thøc: √ a − √ a −1 − √ a+1 2 √a √ a+1 √ a− )( ) b) Tìm giá trị a để P > 1 + +1 1+ √ a − √ a A= a) Rót gän A Bµi 14: Cho biÓu thøc: ) b) Tìm a để A= A= ( x+2√ x√+2x+ − √xx−1−2 ) √ √x+x a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyen cña x cho A cã gi¸ trÞ nguyªn a √ a −1 a √ a+ a+2 − : a −√a a+ √ a a −2 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bµi 15: Cho biÓu thøc A= ( ) A= ( a) Rót gän A x √ x −1 x √ x+1 ( x −2 √ x+1 ) − : x −1 x −√ x x +√ x b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Bµi 17: Cho biÓu thøc: A= ( √ x1−1 + √ x1+1 )( √xx−1−1 − 2) Bµi 16: Cho biÓu thøc: a) rót gän A b) Rót gän biÓu thøc A ) víi x≥0; x≠1 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên (7) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 18: Cho biÓu thøc: a) Rót gän A x +2 √ x +1 x − A= + − √ x ( víi √ x +1 √ x −1 x ≥ ; x ≠ 1¿ b) Tìm các giá trị nguyên x để Bµi TËp bæ sung Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 100 x −800 a) b) = x +1 x − d) − =2 x +3 x−1 Bµi 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x −60 x −100 a) > x − x+3 − =0 nhËn gi¸ trÞ nguyªn c) e) −2 x=4 −|2 x − 5| b) A x −1 x+ −5 x − < 10 25 x (x +2) −5=0 f) |2 x −5|=2 − x c) ( x+ )2+5 x −4 ≥ ( x +2 ) ( x −3 ) Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän biÓu thøc chøa c¨n bËc hai: Bµi 1: TÝnh a) √ 20− √5 b) ( √ 27 −6 √ 48 ) : √ c) √ − √ 18 d) ( √ 2+ )( √ −1 ) e) √ 12− √3 f) √ √ 8− g) √ ( − ) +5 √ ( − ) h) ( √ 8− ) − √ i) √ 144 49 √ , 01 k) ( √ 18+ √ 32− √ 50 ) √2 l) √ 50− √ 18+ √200 − √162 64 36 m) √ 6+ √ 10 n) √ − √ p) ( 3+ √ ) ( − √ ) − ( 2+ √ ) ( − √ ) q) : 15 45 √21+ √ 35 √5 −1 Bµi 2: TÝnh: 1 16 + a) ( √ 48+3 √ 27 −2 √ 12 ) : √ b) c) − + √7 : √ 3+ √ 3− √ 7 d) √5 − √ + √ 5+ √ e) 3+ √ + 2+ √ − ( 2+ √ ) f) √ 6+2 √5+ √6 − √ √ 5+ √ √5 − √3 √ √2+1 Bµi 3: Ph©n tÝch thõa sè a) − √ 3+ √ 15− √5 b) √ 1− a+ √ 1− a2 ( víi – < a < ) c) x −7 d) x 2+2 √ x+7 e) √ a3 − √ b3 + √ a2 b − √ ab f) x − y+ √ xy − √ y Bµi 4: Rót gän: a) A= √ 25 a − 25 a víi a < b) B = √ 49 a2 +3 a víi a ≥ c) C = x+ √ x 2+ x+ víi x < - d) D = √ a4 ( a − )2+ a3 víi a < Bµi 5: Rót gän biÓu thøc: √ √ √ √ (√ √ a) A = x 49 y y x2 c) C = √ 25 a+ √ 49 a − √64 a víi a > √ víi x > 0; y < Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x − √ x +14=0 d) √ 12 x − √ x+2 √ 48 x=14 ) ( x +2 xy + y ) víi x > - y 2 x −y d) D = x + √ xy víi x> ; y> ; x ≠ − y x−y √ b) B = c) √ x2 − x+ − x +5=0 √ x −1= √2 −1 e) √ x −20+ √ x − 5− √ x − 45=4 f) √ x+1 − √ x − 2=1 b) A.2.2 Bất đẳng thức và bất phơng trình Bất đẳng thức (8) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì f1 ( x) f ( x) f n ( x) f1 ( x) f ( x) f n ( x) f ( x) i 1, n §¼ng thøc x¶y i cïng dÊu Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, đó a1 a2 an n a1.a2 an n §¼ng thøc x¶y a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) và (b1, b2, …, bn ) là hai số bất kì, đó (a1b1 a2b2 anbn ) (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) a a1 a2 n bn (quy íc b == th× a = 0) §¼ng thøc x¶y b1 b2 i i Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x ) ( 0) f ( x) f ( x) ( 0) f ( x) hoÆc f ( x) A.2.3 DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt vµ dÊu cña tam thøc bËc hai a Cho nhị thức f(x) = ax + b (a 0) Khi đó ta có x - -b/a + f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a Cïng dÊu víi a b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi đó ta có NÕu 0 x - -b/2a + f(x) = ax + bx + c Cïng dÊu víi a Cïng dÊu víi a NÕu x - x1 x2 + f(x) Cïng dÊu a Tr¸i dÊu a Cïng dÊu a A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi đó ta có b f ( x) ax bx c a( x ) 2a a víi b 4ac b f ( x) f ( x) x x R 4a nªn 4a 2a NÕu a > th× b f ( x) max f ( x ) x 4a nªn xR 4a 2a NÕu a < th× k A A ' (k là số dơng) đó ta có * Chó ý NÕu Amin A’max Amax A’min A.3 VÝ dô minh häa A.4 Bµi tËp chän läc x x 2 P x x x 1 x x x Bµi Cho biÓu thøc: a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 3 2 (9) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2x x 2x x x x P : 1 x 1 x x 1 x x Bµi Cho biÓu thøc a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 7 c Tính giá trị lớn a để P > a x x 2( x 3) ( x 3) P x x x 1 3 x Bµi Cho biÓu thøc b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 11 c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x x 3 x 2 x 2 M : x x x x x Bµi Cho biÓu thøc : a Rót gän M b Tìm x để M > c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị x thỏa mãn: M ( x 1) m( x 1) a Rót gän P A Bµi 5: Cho biÓu thøc: x x2 x x x2 x x x2 x x x2 x b Tìm x để A a Tìm điều kiện x để A có nghĩa Rút gọn A x x x x x A 2 x x x Bµi 6: Cho a Rót gän A b Tìm x để A > -6 x 10 x B : x x 2 x x 2 x 2 Bµi 7: Cho a Rót gän B b Tìm x để B > 2 − + Bµi 8: Cho C = √ x +1 x √ x +1 x − √ x +1 a, Rót gän C b Chøng minh r»ng C < Bµi 9: Cho biÓu thøc: A 4 x a Rót gän A x 12 x b Tìm x để A = -15 Bµi 10: Cho biÓu thøc: A 2 x x x a Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña A a = -5 M 1 x : 1 1 x x2 Bµi 11: Cho biÓu thøc: x a Rót gän M b T×m gi¸ trÞ cña M b T×m x A = 15 2 c Tìm giá trị x để x 12 x b Tìm giá trị x để A = A 2 x x x tìm giá trị x để A = 3/2 Bµi 13: Rót gän biÓu thøc: Bµi 12: Cho biÓu thøc: A 3x a Rót gän biÓu thøc A M M (10) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x x x 1 x x 6 x 3 x Bµi 14: Cho biÓu thøc: a Rút gọn tìm giá trị x để Q < b Tìm các giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên Q x 1 x x 1 x Bµi 15: Cho biÓu thøc: a Rót gän P b Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x+ √x √x− Bµi 16: Cho biểu thức : A=( + + ): x √ x −1 − √x x + √ x+1 P 3x x x x Rút gọn A Chứng minh A với x Với giá trị nào x thì A có giá trị lớn Tìm GTNN đó ? Bµi 17 Cho biÓu thøc x P x 3 a Rót gän P Bµi 18 Cho biÓu thøc 1 A y x a Rót gän A x 3x x 1 : x x x , víi x vµ x 9 b Tìm các giá trị x để P < -1/3 c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ x3 y x x y y 1 : x y xy x y x y víi x > 0, y > b Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Bµi 19 Cho biÓu thøc A x a Rót gän biÓu thøc A x2 1 x b Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = -3 2 Bµi 20: Cho biÓu thøc: A x x x2 x2 a Tìm điều kiện x để A có nghĩa x 1 A : x x x x x x Bµi 21: Cho a Tìm điều kiện x để A có nghĩa B b TÝnh gi¸ trÞ cña A b Rót gän A x x x x Bµi 22: Cho a Tìm điều kiện x để B có nghĩa x x 1 x b Tĩm x để B > 2x x 2x x x x x x x E 1 1 x 1 x x x1 Bµi 23: Cho biÓu thøc: a Tìm điều kiện để E có nghĩa b Rót gän E a b3 a b A ab : a b a b Bµi 24: Cho a Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa b Rót gän A 2 Bµi 25: Cho biÓu thøc: A x x x x a Rót gän A b Tìm các giá trị x để A = 1 x (11) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 A x x 2x x x2 x 2 x x x x x x Bµi 26: Cho biÓu thøc: a Tìm điều kiện xác định A Rút gọn A Bµi 27 XÐt biÓu thøc a a B (1 ):( ) a 1 a a a a a a Rót gän B Bµi 28 XÐt biÓu thøc b Tìm x để A < b T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho B > a 3 b ab a b a Rót gän A A c TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu a 6 ab ab a b b 10 (b 10) b Cho giá trị biểu thức A sau đã rút gọn b 10 Chøng minh r»ng a/b = 9/10 Bµi 29 XÐt biÓu thøc 2 x 2 x 4x x P : 2 x 2 x x 4 x x a Rót gän P b Tìm các giá trị x để P > 0, P < c Tìm các giá trị x để |P| = Bµi 30 Cho biÓu thøc A 4 x a Rót gän A x 12 x b TÝnh gi¸ trÞ cña A x = 2/7 Bµi 31 Cho biÓu thøc A 5 x x x a Rót gän B b Tính giá trị x để B = -9 x P x 2 x x 3 x Bµi 32: Cho biÓu thøc: a Rót gän P b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P x y x y x y xy P : 1 xy xy xy Bµi 33: Cho x 2 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P B HÖ ph¬ng tr×nh B.1 KiÕn thøc c¬ b¶n b.1.1 HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c R (a2 + b2 0) TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm nó đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c a c y x b b - Nếu a 0, b 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số Nếu a 0, b = thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song trùng với trôc tung Nếu a = 0, b 0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song trùng với trôc hoµnh b HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax by c Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: a ' x b ' y c ' đó a, b, c, a’, b’, c’ R (12) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, đó ta có (d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm A th× hÖ cã nghiÖm nhÊt (d) (d’) = (d) (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm Hệ phơng trình tơng đơng Hệ hai phơng trình tơng đơng với chúng có cùng tập nghiệm c Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ Quy t¾c thÕ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc hệ phơng trình đó có phơng tr×nh mét Èn Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy nghiÖm cña hÖ d Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số Quy t¾c céng Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho các hệ số ẩn nào đó hai phơng trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, đó có phơng trình mà hệ số hai Èn b»ng (ph¬ng tr×nh mét Èn) Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ đã cho b.1.2 HÖ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai - Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) đó hai số x, y là nghiệm phơng trình: x2 + SX + P = B.2 KiÕn thøc bæ xung b.2.1 Hệ phơng trình đối xứng loại a §Þnh nghÜa: Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì phơng trình hệ không đổi b C¸ch gi¶i §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P Giải hệ để tìm S và P Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 – St + P = c VÝ dô x y xy 7 x y xy 0 x y x y 8 x y xy 13 x y x y 22 xy ( x 1)( y 1) 12 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : b.2.2 Hệ phơng trình đối xứng loại a §Þnh nghÜa Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thµnh ph¬ng tr×nh vµ ngîc l¹i b C¸ch gi¶i Trừ vế theo vế hai phơng trình hệ để đợc phơng trình hai ẩn Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích Giải phơng trình tích trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) Thế x y (hoặc y x) vào phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn Giải phơng trình ẩn vừa tìm đợc ròi suy nghiệm hệ c VÝ dô 2 x y y x 13 x y y x x y 13 y x Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : b.2.3 Hệ phơng trình đẳng cấp bậc a §Þnh nghÜa 2 ax bxy cy 0 a ' x b ' xy c ' y 0 - Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng: b C¸ch gi¶i (13) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 - XÐt xem x = cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phơng trình hệ - Khö x råi gi¶i hÖ t×m t - Thay y = tx vào hai phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn (ẩn x) - Giải phơng trình ẩn trên để tìm x từ đó suy y dựa vào y = tx * Lu ý: ta có thể thay x y và y x phần trên để có cách giải tơng tự c VÝ dô x xy y 1 x 3xy y 3 2 y 3xy 4 x xy y 6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: B.3 VÝ dô minh häa B.4 Bµi tËp chän läc Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh ( x 2)( y 2) xy ( x 4)( y 3) xy 2x y x y 16 11 x y 2( x 1) 31 x y 10 18 x y ( x 1)( y 2) ( x 1)( y 3) 4 ( x 3)( y 1) ( x 3)( y 5) 18 9x y 28 3x 12 y 15 x y x y 1 20 1 x y x y 3x y x y 3 3 3x y x y 5 x y 3 13 x y 6 ( x 5)( y 2) xy ( x 5)( y 12) xy 4x x y x y 15 y 14 13 x y 36 10 1 x y x y x y 8 1,5 x y x y Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 x y 3 x 10 x 25 x x 10 x 25 5 x x y 9 x y x y 2( xy 2) x y 6 x y 10 x y 4 x y xy 0 2 x y x y 22 x y 65 ( x 1)( y 1) 18 x y xy 7 2 x y xy 13 x y xy 6 xy x y 5 3 x y 1 5 2 x y x y x y 1 3 2 x y x y ( x 1)( y 1) 10 ( x y )( xy 1) 25 x y 5 x y 13 y x 6 3 x y 2 2 x y xy 2 4 x y 97 2 xy ( x y ) 78 C¸c bµi HPT cã chøa tham sè (14) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3 x y m x m2 y 3 Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b Với giá trị nào m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm hệ ph¬ng tr×nh c Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt mx y 4 Bµi Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh : x my 1 m Khi đó hãy tìm các giá trị x và y Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn 2mx y m Bài Tìm các giá trị nguyên m để hệ phơng trình : x y m Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó x y 6 Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x y 2 a Giải hệ phơng trình đã cho phơng pháp đồ thị b Nghiệm hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm phơng trình 3x - 7y = - không ? c Nghiệm hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = và (d2): 7x - 5y = -5 Tìm các giá trị a để đờng thẳng y = ax qua giao điểm hai đờng thẳng (d1) và (d2) Bài Cho ba đờng thẳng: (d1): y = 2x - (d2): y = (d3): y = (2m - 3)x -1 Tìm các giá trị m để ba đờng thẳng đồng quy x ay 2 Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax y 1 Tìm các giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài Tìm các giá trị a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1) Bài Tìm các giá trị m để mx y 5 a HÖ ph¬ng tr×nh: 2 x 3my 7 cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < x y mx y 3 b HÖ ph¬ng tr×nh: 4 x my 6 cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > mx y 2m Bµi 10 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x my m Tìm các giá trị nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên (m 1) x my 2m mx y m Bµi 11 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : Tìm các giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bµi 12 H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2) ( m 1) x y m Bµi 13 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x ( m 1) y 2 Tìm các giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn mx my m Bµi 14 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx y 2m m, n lµ c¸c tham sè (15) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh b trờng hợp hệ có nghiệm hãy tìm giá trị m để nghiệm phơng trình thỏa mãn điều kiÖn x > 0, y < Bài 15 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với giá trị tham số m (m 3) x y 5a 3b m x my am 2b 3m y x x a.x x y y ay Bài 16 Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm nhất: x y m y x m Bµi 17 BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y) x y 2a y x a 2a Bµi 18 Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa m·n tÝch xy nhá nhÊt xy a 1 1 x y b Bµi 19 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Giải và biện luận hệ phơng trình biết x, y là độ dài các cạnh hình chữ x my 1 Bµi 20 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2 y 1 a Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m b Tìm các số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên x my 4 Bµi 21 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 4 y 10 m (m lµ tham sè) a Gi¶i vµ biÖn luËn theo m b Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng (m 1) x my 3m Bµi 22 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x y m Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (m 1) x my 2m mx y m Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn mx y 2m x my m Bµi 24 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a Gi¶i hÖ m = -1 b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, đó có nghiệm: x = 1, y = mx y m 1 Bµi 25 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m: 2 x my 3 x my 2 Bµi 26 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 1 a Gi¶i hÖ m = b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > và y < (16) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c Tìm số nguyên n để có nghiệm (x; y) mà x, y là các số nguyên x my 1 Bµi 27 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 3my 2m a Gi¶i hÖ m = - b Giải và biện luận hệ đã cho theo m x y m Bµi 28 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x y 5 (m lµ tham sè nguyªn) Xác định m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > 0, y < mx y 2 Bµi 29 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3x my 5 a Giải và biện luận hệ đã cho x y 1 m2 m2 b Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: mx 2my m Bµi 30 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x ( m 1) y 2 a Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính mx y m Bµi 31 Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph¬ng tr×nh: x my m cã nghiÖm nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn 2 x my 1 Bµi 32 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 1 a Gi¶i vµ biÖn luËn theo m b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y là các số nguyên c Chứng minh hệ có nghiệm (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên đờng thẳng cố định d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính Bµi 33 Gi¶i vµ biÖn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: 2m x 3( m 1) y 3 x y m x my 1 m( x y ) y 2 a b x y 2 m c x y m 2mx y 5 Bµi 34 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 1 a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lóc m = b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè mx y 1 Bµi 35 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè ): x y m a Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm b Gi¶i hÖ lóc m kh¸c Bài 36 Với giá trị nào x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = x y 25 mx y 3m Bµi 37 Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm? (17) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x y 2a xy 2a Bµi 38 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm các nghiệm đó x y m y x x y 8 Bµi 39 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép x y m y x 1 Bµi 40 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm đó xy x y 71 x y xy 880 Bµi 41 Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng cho: T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x2 +y2 x my m Bµi 42 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 3m a Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn b Kh«ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt? ( a 1) x y a Bµi 43 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x (a 1) y 2 (a lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh c Tìm giá trị nguyên a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên d Tìm giá trị a để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng qua gốc O và song song với AB biết: A(-1; 1), B(-1; 3) A(1; 2), B(3; 2) A(1; 5), B(4; 3) Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Bµi 46 Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì? 2(m 1) x ( m 2) y m Bài 48 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: (m 1) x my 3m (m 1) x 2my 0 Bµi 49 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2mx (m 1) y (m 1) 0 (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn b Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x < 0, y < (m 1) x y 3m Bµi 50 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x ( m 1) y m (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nguyên c Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm dơng x my m Bµi 51 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 3m (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy nhỏ x y 2a x y 4a Bài 52 Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm nhất: Bµi 53 (18) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a Tìm các giá trị nguyên tham số a m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm ax y 1 3x y m x ay 2 ; 2 x y 1 2 x y m b Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình sau: 3x y 5 có nghiệm x > và y < mx y 2 m2 x y 1 m 3 c Víi gi¸ trÞ kh¸c nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x my 5 cã nghiÖm tháa m·n Bµi 54 a.x y 3 x y 2 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Tìm các giá trị a để hệ phơng trình sau vô nghiệm bµi tËp bæ sung vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ¿ −2 mx+ y =5 C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+3 y=1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = b) Tìm m để x – y = ¿ + =7 x −1 y+1 C©u 2( ®iÓm ) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : − =4 x −1 y −1 ¿{ ¿ ¿ x+ my=3 C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+ y=6 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y > ¿ x + y =3 a −5 x − y=2 C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ¿{ ¿ Gọi nghiệm hệ là ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ C©u 5( ®iÓm ) x y x y 3 x y 3 1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x y x y b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 5 y 4 x C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh {mx2 x−ny=5 + y=n a) Gi¶i hÖ m = n = 1 (19) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x=− √ b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm y=√ 3+1 { x − my =m x+ y=2 a) Gi¶i hÖ m = b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx − y =3 C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh x+ my=5 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = (m−1) b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ; x+ y − =1 m2 +3 ¿ a x − y=−7 C©u ( ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh x + y=1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = b) Gọi nghiệm hệ phơng trình là ( x , y) Tìm các giá trị a để x + y = C©u : ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : { mx my m x y 0 Câu 10 Cho hệ phương trình a)Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0) 1 x y 2 b) 1 x y 2x 3y 1 a) x 3y 2 Câu 11 Giải hệ phương trình sau: ¿ ( a+1 ) x+ y=4 c©u 12: (3 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ax+ y=2 a (a lµ tham sè) ¿{ ¿ Gi¶i hÖ a=1 Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a, hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x;y) cho x+y≥ ¿ −a 19 x − ny= bµi 13: Cho hÖ ph¬ng tr×nh(Èn lµ x, y ): x − y= a ¿{ ¿ Gi¶i hÖ víi n=1 Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× hÖ v« nghiÖm ¿ x + y + z=1 c©u 14 (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: xy − z 2=1 (ở đó x, y, z là ẩn) ¿{ ¿ Trong c¸c nghiÖm (x0,y0,z0) cña hÖ ph¬ng tr×nh, h·y t×m tÊt c¶ nh÷ng nghiÖm cã z0=-1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn (20) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ¿ mx − y =−m bµi 15: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ( 1− m2 ) x +2 my=1+ m2 ¿{ ¿ Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gäi (x0;y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, xhøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m lu«n cã: x02+y02=1 ¿ x+ ay=2 bµi 16(2 ®iÓm): Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (x, y lµ Èn, a lµ tham sè) ax − y =1 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn Tìm số nguyên a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 < x y bài 17.(2 điểm) Cho hệ phơng trình: xy a đó x, y là ẩn, a là số cho trớc Giải hệ phơng trình đã cho với a=2003 Tìm giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm câu 2 x (n 4) y 16 Bài 18 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (4 n) x 50 y 80 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Tìm n để hệ phơng trình có nghiệm cho x+y>1 −2 mx + y =5 C©u 19 ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx +3 y=1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = C Ph¬ng tr×nh C.1 KiÕn thøc c¬ b¶n C.1.1 Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn a §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng ax + b = Trong đó a, b R và a 0 b C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - Nếu a = Khi đó: + b = thì phơng trình có VSN + b 0 th× phong tr×nh VN Nếu a 0 Khi đó phơng trình có nghiệm x = - b/a C.1.2 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn a §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong đó a, b, c R và a 0 b C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - NÕu a = Ph¬ng t×nh cã d¹ng bx + c = 0: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Nếu a 0 Khi đó b 4ac (hoặc ' b ' ac ) + (hoÆc ' ): Pt v« nghiÖm b b' x1 x2 x1 x2 2a (hoÆc a) + 0 (hoÆc ' 0 ): Pt cã nghiÖm kÐp { b' ' b x1,2 a 2a ) + (hoÆc ' ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt: (hoÆc Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2) §Þnh lÝ Viet a §Þnh lÝ thuËn x1,2 (21) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 S x1 x2 b a vµ - Nếu phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là c P x1.x2 a b Định lí đảo - NÕu hai sè x vµ y cã tæng x1 x2 S vµ tÝch x1.x2 P tháa m·n S 4 P th× hai sè x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - St + P = Bµi tËp chän läc Bài Tìm các giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung x2 + mx + = 0; x2 + x + m = Bµi Cho hai ph¬ng tr×nh x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = Chứng minh p1 p2 2(q1 q2 ) thì ít hai phơng trình đã cho có nghiệm Bµi Víi gi¸ trÞ bµo cña k th× hai ph¬ng tr×nh sau: 2x2 + (3k + 1)x - = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = Có ít nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó Bµi Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Bài Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh m ột tam giác Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = Bµi Cho ba ph¬ng tr×nh x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Bài Cho phơng trình: ax2 + bx + c = Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm hai điều kiện sau đợc thỏa mãn a a(a + 2b + c) < b 5a + 3b + 2c = Bài Tìm các giá trị k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = có nghiệm là số hữu tỉ Bµi Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 - 3x + = Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: 1 x1 x2 x x A B D 2 C x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 a b c d Bµi 10 Cho ph¬ng tr×nh: x + (2m - 1)x - m = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2 b Gọi x1, x2 là các nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để biểu thức A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhá nhÊt Bµi 11 Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 + 5x - = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã c¸c nghiÖm 1 y1 x1 y2 x2 x2 ; x1 Bµi 12 Cho ph¬ng tr×nh x x 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 x12 x1 x2 x22 a A x1 x2 B x13 x2 x1 x23 b Bµi 13 Cho ph¬ng tr×nh (k – 1)x2 – 2kx + k – = Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn, h·y lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo k Bài 14 Tìm các giá trị m để các nghiệm x1, x2 phơng trình: x x22 10 a x2 + (m - 2)x + m + = tháa m·n b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = tháa m·n x1 = 2x2 c x2 - mx + m + = tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = Bµi 15 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - = a Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối b Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Bµi 16 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (22) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tìm các giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn A 10 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó Bµi 17 Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2| Bµi 18 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: x1 x2 P x1 x22 2( x1 x2 1) Bµi 19 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = x1 x2 5 3 x x2 35 T×m c¸c gi¸ trÞ cña p vµ q cho hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n Bµi 20 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 2x - m2 = cã c¸c nghiÖm x1, x2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1, y2 cho: a y1 = x1 - 3, y2 = x2 - b y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - x1 x2 2 3 x x2 26 Bµi 21 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm tháa m·n: Bµi 22 Chøng minh r»ng ba ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm x2 + ax + b - = x2 + bx + c - = x2 + cx + a - = Bµi 23 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + a = (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = (2) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm Bµi 24 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b Chứng minh biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình không phô thuéc vµo m Bµi 25 Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có tích 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm ph¬ng tr×nh c T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 0 x d Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: x1 Bài 26 Tìm các giá trị m và n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 + (4m + 3n)x - = 0; x2 + (3m + 4n)x + 3n = Bµi 27 Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2 a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx2 + bx + a = còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x4 Bµi 28 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = a BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2,t×m m råi t×m nghiÖm cßn l¹i b Tìm các giá trị m để các nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức : -2 < x1 < x2 < Bµi 29 T×m a cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 30 Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng kh¸c cã tæng b»ng 12 Chøng minh r»ng ba ph¬ng tr×nh sau: x2 + ax + b = x2 + bx + c = x2 + cx + a = Cã mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm, mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi 31 Cho ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0, víi b, c lµ c¸c sè h÷u tØ cã mét nghiÖm lµ T×m c¸c cÆp sè (b, c) (23) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông là nghiệm phơng trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là Bài 33 Tìm giá trị m để các nghiệm x1, x2 phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = x x22 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: : Bµi 34 Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham sè) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn h¬n Xác định m để các nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 35 Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 1 x1 x2 x x2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn -Bµi 36 Cho ph¬ng tr×nh x + 5x - = (1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ lòy thõa bËc bèn cña c¸c nghiÖm ph¬ng tr×nh (1) Bµi 37 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = Bµi 38 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = x y 7 2 x y m Bài 39 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau có nghiệm: Bài 40 Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + ax + = (1) vµ x2 + x + a = (2) Bài 41 Tìm giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái dÊu Bài 43 Tìm giá trị m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + = Bµi 44 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b vµ c: x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0; (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 2b c 4 Bµi 45 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm nÕu a a Bµi 46 Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nÕu bm = 2(c + n): x2 + bx + c = vµ x2 + mx + n = Bµi 47 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc α mµ af(α) ≤ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bài 48 Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = và ax2 + bx - c = (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng bài 22 để chứng minh ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã nghiÖm 3x y 1 x y a Bµi 50 Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: Bài 51 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) vµ x2 + mx + = (2) Bài 52 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + (m - 2)x + = vµ 2x2 + mx + m + = Bài 53 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: 2x2 + (3m - 5)x - = vµ 6x2 + (7m-15)x -19 = Bài 54 Tìm giá trị nguyên a để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: 2x2 + (3m - 1)x - = vµ 6x2 - (2m - 3)x - = Bài 55 Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình 2x2 - 13x + 2m = (1) gấp đôi nghiệm phơng trình x2 - 4x + m = (2) Bài 56 Cho các số a, b, c khác đôi một, c ≠ Biết các phơng trình x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = (2) có ít nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó Bµi 57 Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2) BiÕt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm d¬ng m, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm n cho m + n ≥ 2 (24) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 58 Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2) T×m liªn hÖ gi÷a c¸c sè a, b, c biÕt r»ng c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1), c¸c nghiÖm x3, x4 cña ph¬ng 2 2 trình (2) thỏa mãn đẳng thức: x1 x2 x3 x4 4 Bµi 59 Ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = cã nghiÖm x1, x2 Ph¬ng tr×nh x2 - b2x + bc = cã nghiÖm x3, x4 Biết x3 - x1 = x4 - x2 = Xác định b và c Bµi 60 T×m c¸c sè a, b cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 + ax + = vµ x2 + bx + 12 = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung vµ ab nhá nhÊt Bài 61 Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m - = có ít nghiệm không âm x 2m x x m 0 Bài 62 Tìm m để phơng trình cã nghiÖm Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = có hai nghiệm phân biệt lớn -1 Bài 65 Với giá trị nào m thì hai nghiệm phơng trình x2 + x + m = lớn m? Bài 66 Tìm giá trị m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + = Bài 67 Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = Bài 68 Tìm giá trị m để phơng trình: mx - 10mx + m + = Cã bèn nghiÖm ph©n biÖt Cã bèn nghiÖm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) tháa m·n ®iÒu kiÖn:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1 Bµi 76 Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 - 2(m - 1)x - - m = Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè víi mäi m 2 T×m m cho nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn: x1 x2 10 Bµi 78 Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Bµi 79 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = a Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm m thay đổi b Định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: < x1 < x2 < Bµi 80 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2) Tìm các giá trị a để hai phơng trình: a Tơng đơng với b Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung Bµi 81 a Chứng minh đẳng thức: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biÖt kh¸c -1 Bµi 84 Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - + m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m Tìm tất các giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và đó hãy tìm giá trị m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm Bµi 85 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x + m + = Định m để phơng trình có nghiệm x x22 10 T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 tháa m·n: Bµi 85 Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx + m + = Xác định m để phơng trình có nghiệm không âm E x1 x2 Khi đó hãy tính giá trị biểu thức: theo m Bài 87 Cho phơng trình: 3x - mx + = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 - Bµi 88 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x - m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m 1 y1 x1 y2 x2 x2 , x1 Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tháa m·n: Bài 89 Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 Bài 90 Cho phơng trình: x - 2(m + 4)x + m - = Xác định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 x22 (25) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 B x12 x22 x1 x2 A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 91 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x - (m2 + 3m) = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 víi mäi m 2 Xác định m để: x1 x2 4( x1 x2 ) 2 x1 x2 x x Bài 92 Cho pt: x + ax + = Xác định a để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 Bµi 93 Cho ph¬ng tr×nh: 2x + 2(m + 2)x + m + 4m + = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 2 x1 x2 3x1 x2 Chứng minh các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức: Bài 94 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là: 9ac = 2b2 Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm (k > 0) lµ: kb2 = (k + 1)2 ac Bµi 96 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a Định m để hai phơng trình có ít nghiệm chung b Định m để hai phơng trình tơng đơng c Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bµi 100 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ, a ≠ Cho biÕt ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm H·y t×m nghiÖm cßn l¹i Bài 101 Tìm tất các số nguyên k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ Bài 102 Cho phơng trình: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + = xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 1 x1 x2 tháa m·n hÖ thøc: Bµi 105 Cho hai ph¬ng tr×nh: 2x2 + mx - = (1) mx2 - x + = (2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm chung Bµi 106 Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 - cx + 2c -1 = TÝnh theo c gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 S 3 x1 x2 Bài 107 Xác định a để phơng trình: x2 + ax + = và x2 + x + a = có nghiệm chung Bµi 108 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 6x + m = Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x1 x2 2 x tháa m·n: x2 x1 Bµi 109 Cho biÕt x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 1 , 2 ) H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: x1 x2 ax2 + bx + c = ( a 0; a, b, c R x3 , x Bµi 110 BiÕt r»ng x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = H·y viÕt ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn lµm hai nghiÖm Bµi 111 Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bµi 112 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - Định m để phơng trình có hai nghiệm âm x x23 50 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (26) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 114 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 6x + m = Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 3 tháa m·n x1 x2 72 Bµi 116 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m 2 Với giá trị nào tham số m, biểu thức: E x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 117 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + a1x + b1 = vµ x2 + a2x + b2 = Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít hai phơng trình đã cho có nghiệm Bµi 119 Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + = 1 1 x x2 1 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: Lập hệ thức x1 và x2 độc lập với m Bµi 120 Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + - m = x x22 x1 x2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m x 1 x 1 X1 , X x1 x2 LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: Bµi 121 Cho ph¬ng tr×nh: x + (m + 1)x + m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m 2 Với giá trị nào tham số m, biểu thức: E x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 122 Cho ph¬ng tr×nh: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - = Gi¶i ph¬ng tr×nh a = 13 Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bµi 123 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + (2m - 1)x + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, h·y lËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng cã m Bµi 124 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 3 x1 - x2 = và x1 x2 35 Tính các nghiệm đó Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt đó có đúng nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = có hai nghiệm phân biệt đó t1 > thỏa mãn: x1 + t1 ≥ Bµi 130 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = Gi¶i ph¬ng tr×nh m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b Bµi 132 Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1) Khi m = 1, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) = Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng bình phơng Ph¬ng tr×nh f(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 LËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài 138 Giả sử phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác định m để biểu thức: E x12 x22 10 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Tính E Bµi 140 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 4m = a Chứng minh với m, phơng trình luôn luôn có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó b Xác định m để phơng trình có nghiệm x = Tính nghiệm còn lại Bµi 141 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m -1 = Cã nghiÖm x1, x2 Víi gi¸ trÞ nµo cña m, biÓu thøc: x1 x2 R x1 x22 2(1 x1 x2 ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó Bµi 142 Cho a lµ sè thùc kh¸c -1 H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n c¸c hÖ thøc: (27) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x1 1 x2 1 a 4x1x2 + = 5(x1 + x2) (1) b Bµi 145 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp TÝnh c¸c nghiÖm kÐp b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn -1 Bµi 146 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - ax + a + = cã hai nghiÖm lµ x1 vµ x2 x x22 M 12 x1 x2 x1 x22 a Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a 1 (2) 2 b Tìm giá trị a để: P x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 147 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b Chøng minh r»ng cã mét hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 148 Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + (ab + 1)x + b = a Chứng minh với a, b phơng trình đã cho có nghiệm b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm 1/2 thì a và b phải bao nhiêu? Bµi 149 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx - 2m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 c Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x2 x1 Bµi 150 Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x - 2(m + 1)x + m = a Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m b Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2: Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m x x 2 T×m m cho: Bµi 151 Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm c Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E ( x1 1) x2 đạt giá trị lớn Bµi 152 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = a Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 Bµi 153 Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - 3x + a = Gäi t1, t2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 12t + b = x1 x2 t1 x t1 t TÝnh a vµ b Cho biÕt: ======== Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x + √ x + = 3(x + √ ) ; 8) √ x2 + x + = √ (x + 1) ; 9) x2 – 2( √ - 1)x - √ = Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + √ )x + √ = ; 4) (1 - √ )x2 – 2(1 + √ )x + + 2 5) 3x – 19x – 22 = ; 6) 5x + 24x + 19 = ; 7) ( √ + 1)x2 + √ x + √ - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm √2 = ; (28) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 2 5) x – (2m + 3)x + m + 3m + = ; 6) x – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bµi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lµ c¸c sè thùc th× ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÕt: 1 + + =0 (Èn x) x −a x − b x − c c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh tam gi¸c d) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh bËc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bèn ph¬ng tr×nh (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm c) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x sau): 2b b+ c ax − √ x+ =0 (1) b+ c c +a 2c √ c +a bx − x+ =0 ( 2) c +a a+b 2a √ a+b cx − x+ =0 (3) a+b b+c víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng cho tríc Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi 4: a) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = Biết a ≠ và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình đã cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau đợc tho¶ m·n: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 3x – = 0.TÝnh: A=x + x2 ; B=|x − x 2|; 1 C= + ; D=( 3x1 + x ) ( 3x2 + x ) ; x −1 x − E=x + x ; F=x + x 1 vµ LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ x −1 x −1 Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 2 3 4 (29) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 A=2x −3x x +2x −3x x ; x x x x 1 B= + + + − − ; x2 x +1 x x 1+1 x x 3x +5x1 x 2+3x C= 4x x + 4x x 3 ( ) 2 Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thµnh lËp ph¬ng p q tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ vµ q −1 p −1 1 vµ b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ 10 − √ 72 10+6 √ Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m 1 vµ y 2=x 2+ b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y 1=x 1+ x2 x1 Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 5x – = H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x x A=( 3x − 2x 2) ( 3x − 2x1 ) ; B= + ; x −1 x −1 x +2 x +2 C=|x − x 2|; D= + x1 x2 Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ x1 x2 a ¿ y 1=x 1+ 2¿ y 2=x +2 ¿ b¿ ¿ ¿ y 1= ¿ y2 = ¿ ¿ { ¿ x2 x1 Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x + x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ x1 x y y a ¿ y + y 2= + ¿ + =3x1 +3x ¿ ; b ¿ ¿ ¿ y 1+ y 2=x1 + x ¿ y + y +5x1 +5x 2=0 ¿ ¿{ ¿ x2 x y y Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: 1 1 y 1+ y 2= + vµ + =x 1+ x2 x1 x2 y1 y2 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Cho ph¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm a) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Cho ph¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bµi 2: 2 ( 2m− ) x a) Cho ph¬ng tr×nh: 4x4 − + m2 − m−6=0 2 x + 2x +1 x +1 Xác định m để phơng trình có ít nghiệm b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có ít nhÊt mét nghiÖm 2 2 2 (30) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại 3) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d¬ng (cïng ©m) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x – (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 e) x + (2m – 8)x + 8m = ; x1 = x2 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bµi 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức 2x x +3 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó R= x + x +2(1+ x x 2) c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau đây mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) CMR điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè Bµi 1: a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 < b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m b Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp TÝnh c¸c nghiÖm kÐp b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn – Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ và nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2 D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m b) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí các nghiệm hai số – và Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m 2 (31) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: + =− x2 x1 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m b) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - T×m m cho |x1 – x2| ≥ Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình này có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình kia: XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta có thể làm nh sau: i) Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), suy hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ ax + bx +c=0 a'k x + b'kx0 +c'=0 (∗) ¿{ ¿ Giải hệ phơng trình trên phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với và hai phơng trình có cùng tập nghiệm (kể tập nghiệm lµ rçng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau: i) Trêng hîp c¶ hai ph¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lµ: ¿ Δ(3) <0 Δ(4 )< ¿{ ¿ Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị tham số ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿ Δ(3) ≥0 Δ(4) ≥ S(3) =S(4 ) P(3) =P(4 ) ¿{{{ ¿ Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: 2 (32) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ¿ bx+ay =−c b'x+a'y=− c' ¿{ ¿ §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - T×m m tho¶ m·n y = x2 - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶ Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bµi 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có nghiệm chung Bµi 4: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1) Bµi 5: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = vµ x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai phơng trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phơng trình trên tơng đơng Bµi 6: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + = (1) vµ x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bµi 7: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = (1) vµ x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần các nghiệm phơng trình (1) Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ x x+ 2x − x +3 t2 2t 2+5t + =6 ¿ b ¿ +3= ¿c ¿ +t= ¿ x −2 x −1 x 2x −1 t−1 t+1 D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc ¿ Lo¹i √ A=√ B ⇔ A ≥0 (hayB ≥0) A=B ¿ Lo¹i √ A=B ⇔ B≥0 A=B2 ¿ ¿{ ¿ Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a 2 a √ 2x −3x − 11= √ x − ¿ b ¿ √ ( x+2 ) = √3x − 5x+14 ¿ c ¿ √ 2x +3x −5=x +1 Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a|x − 1|+ x =x +3 ¿ b ¿ |x +2|−2x +1=x +2x+3 ¿ c ¿ D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; c) 2x4 + 5x2 + = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao Giải các phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: |x +2x +2|+ x 2+ x =x − 4x (33) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; Bµi 2: b) 2x3 – x2 – 6x + = ; d) x = (2x2 – 4x + 1)2 a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = ( c x ¿ − x+ √ x − x +3=0 d¿ x + 1 x 2+ x −5 3x −16 x + +23=0 ¿ e ¿ + + 4=0 x x x2 x +x− ) ( ) Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bµi tËp vÒ nhµ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ ¿ + =1 a1 ( x − ) x −1 4x x+ b¿ + =6 ¿ x +1 x c¿ 2x+2 x −2 − x= x−4 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = c) x2 – 4x – 10 - e) √ ( x+2 ) ( x − ) =0 d) ( b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 2x − 2x −1 −4 +3=0 x +2 x +2 ) ( ) √ x+ √5 − x + √ x ( − x )=5 a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 1 c) x + −16 x+ +26=0 x x ( b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 d) x + −7 x − +2=0 x x ) ( ) ( ) ( ) a √ x2 − 4x=√ x +14 b ¿ √2x + x − 9=| x −1|¿ c ¿ Định a để các phơng trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = √ 2x2 +6x+ 1=x +2 c) 2t4 – 2at2 + a2 – = ============================================= D Hàm số và đồ thị KiÕn thøc c¬ b¶n Hµm sè a Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng x và x đợc gọi là biến số (34) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 - Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R * Tæng qu¸t f ( x2 ) f ( x1 ) 0, x1 , x2 D, x1 x2 x x + Hàm số f(x) đồng biến trên D f ( x2 ) f ( x1 ) 0, x1 , x2 D, x1 x2 x2 x1 + Hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn D Hµm sè bËc nhÊt a Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc là hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b TÝnh chÊt Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R a > - NghÞch biÕn trªn R a < c §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b Song song với đờng thẳng y = ax, b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc Cho x = thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó a a ' d // d ' b b ' + + d ' d ' A a a ' a a ' d d ' b b ' + + d d ' a.a ' e Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox - Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo tia Ax và tia AT, đó A là giao điểm đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc đờng thẳng y = ax +b f Một số phơng trình đờng thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0 x y 1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ x0 y0 Hµm sè bËc hai a §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > (35) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 + Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị + Nếu a < thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao đồ thị KiÕn thøc bæ xung Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính công thức AB ( xB x A ) ( yB y A ) x A xB y yB ; yM A 2 - Tọa độ trung điểm M AB đợc tính công thức Quan hệ Parabol y = ax (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó y ax y mx n - Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phơng trình Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phơng trình ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox Hµm sè ch½n, hµm sè lÎ d Hµm sè ch½n, Hµm sè lÎ - Hàm số y = f(x) đợc gọi là chẵn + x D x D + f(-x) = f(x) x D - Hàm số y = f(x) đợc gọi là lẻ + x D x D + f(-x) = - f(x) x D e Chó ý - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ S¬ lîc vÒ hµm bËc hai tæng qu¸t y = ax2 + bx + c (a 0) a TÝnh chÊt Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a 0) xác định với giá trị x thuộc R b b x ( ; ] x [ ; ) 2a , đồng biến 2a - NÕu a > 0: Hµm sè nghÞch biÕn b b x ( ; ] x [ ; ) 2a , nghÞch biÕn 2a - Nếu a < 0: Hàm số đồng biến a §å thÞ b b S ( ; ) x 2a 4a có trục đối xứng 2a Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) là Parabol có đỉnh - NÕu a > 0: Parabol cã bÒ lâm quay lªn trªn nhËn S lµm ®iÓm thÊp nhÊt xM (36) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 - NÕu a < 0: Parabol cã bÒ lâm quay xuèng díi nhËn S lµm ®iÓm cao nhÊt nhÊt a Chó ý y ax bx c y mx n Tọa độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm hệ Hoành độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = mx + n Giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ trôc hoµnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = VÝ dô minh häc Bµi tËp chän läc Bµi Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x a Vẽ đồ thị hai hàm số đó trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy điểm có tung độ 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB y x Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ a Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số trên; y x vµ y = - 2x lÇn lît t¹i A vµ b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng B Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích tam giác đó yx Bµi 3: Cho hµm sè a Vẽ đồ thị hàm số; yx b Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số ë A vµ B Tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c g×? V× sao? TÝnh chu vi và diện tích tam giác đó Bµi 4: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + (d) a Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến b Tìm các giá trị m, biết đờng thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc m c Chứng minh m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố định Bµi 5: Cho hµm sè: y = (3m – 2)x – 2m a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị ứng với giá trị m tìm đợc câu a, b Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + và y = -1 a Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng y = -x + và y = x + là A, giao điểm đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + và y = x + theo thứ tự là B và C Tìm tọa độ các điểm A, B, C c Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + a Xác định tọa độ giao điểm A và B đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d b Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d Bài 9: Tìm giá trị k để ba đờng thẳng: y x y x 3 (d2) k k (d3) đồng quy mặt phẳng tọa độ y = 2x + (d1) Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x - và y = (2m - 1)x + m thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với a Chøng minh r»ng b Tìm tất các giá trị m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trờng hợp sau: a Khi a , đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b Khi a = - 5, đồ thị hàm số qua điểm A(- 2; 3) c §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6) - (37) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1;7 d Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y x và qua điểm Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d) a Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc 10 b Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox điểm có hoành độ – c Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox A, cắt trục Oy B và diện tÝch tam gi¸c AOB b»ng y x 2 Bµi 13: Cho hµm sè: y = 2x + (d1) (d2) a Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm đờng thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm đờng thẳng (d1) và (d2) là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C c TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC y x (d2); y = 4x (d3) Bµi 14: Cho c¸c hµm sè sau: y = - x - (d1) ; a Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B Tìm tọa độ các điểm A, B c Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao? d TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + (d1) và y = 3x + (d2) a Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c Gọi J là giao điểm hai đờng thẳng (d1) và (d2) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông Tính diện tích tam giác đó Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + (d1) và y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm các giá trị k để: a (d1) vµ (d2) c¾t b (d1) vµ (d2) c¾t t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi e (d1) vµ (d2) trïng Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d) Tìm các giá trị m, n để đờng thẳng (d): a §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3) b Cắt trục tung điểm có tung độ , cắt trục hoành điểm có hoành độ c Cắt đờng thẳng 3y - x - = d Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - e Trùng với đờng thẳng y - 3x - = 1 F (0; ) y 4a và đờng thẳng (d): 4a (a ≠ 0) Gäi M(x; y) lµ mét Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu điểm M trên đờng thẳng (d) a Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ điểm M b BiÕt MF = MH, h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y Bµi 19: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2 a Chứng tỏ hàm số nghịch biến khoảng (-2005; 0), đồng biến khoảng (0; 2005) b Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = và y = - 1 x 1 c Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt x 1 2, x = 1- vµ Bµi 20: Cho hµm sè: y = - (k2 – 2k + 3)x2 a Chứng tỏ hàm số đồng biến khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) 2 x 2 b Khi k = 1, tÝnh gi¸ trÞ cña y, biÕt x 2 , x 2 vµ c T×m c¸c gi¸ trÞ cña k x = 2, y = 10 Bµi 21: Cho hµm sè: y = (2m + 1)x2 (38) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a Tìm m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – điểm A có hoành độ b Với giá trị tìm đợc m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – trên cùng mặt phẳng tọa độ c Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai hai đồ thị vẽ ý b Bài 22 Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Tìm các giá trị a, b, c biết đồ thị hàm số thỏa mãn c¸c ®iÒu kiÖn sau: a Hµm sè nhËn gi¸ trÞ – x = 0, x = vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng x = -1 b Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ và cắt trục hoành điểm có hoành độ 1/2 vµ c §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm A(-1, 0), B(1, 3) vµ C(3, 2) Bài 23 Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q Tìm các giá trị k và q biết đờng thẳng (d) thỏa mãn c¸c ®iÒu kiÖn sau: a §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4) b Cắt trục tung điểm có tung độ và cắt trục hoành điểm có hoành độ c Cắt đờng thẳng -2y + x - = d Song song với đờng thẳng 3x + 2y = Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x - a Chøng minh A (d) b Tìm các giá trị a để Parabol: y = ax2 qua A c Tìm đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng (d) d Gọi A và B là giao điểm (P) với đờng thẳng tìm đợc câu c, và C là giao điểm đờng thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n Tìm các giá trị m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn các điều kiện sau: a Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P) b §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) và (d) trờng hợp trên y x 2 Bµi 26 Cho hµm sè: Vẽ đồ thị (P) hàm số trên Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; Viết phong trình đờng thẳng MN Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đờng thẳng MN và cắt (P) ®iÓm y x 2 Bµi 27 Cho hµm sè Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bµi 28 Cho hµm sè: y f ( x) 2 x x Vẽ đồ thị hàm số trên T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x cho f(x) ≤ Bµi 29 Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè) Tìm m cho đồ thị (P) hàm số y = x2 và đồ thị (D) y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B Tìm phong trình đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P) a) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm theo tọa độ hai điểm b) ¸p dông: T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 Bài 30 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m Tìm a biết (P) qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm Gọi B là giao điểm (D) (ở câu 2) với tung độ C là điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n Bài 31 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + = Tìm tọa độ giao điểm A (D1) và (D2) đồ thị và kiểm tra lại phép toán Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc Tìm phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) A Bài 32 Cho (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) cùng hệ trục Tìm a cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm đợc (39) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là Viết phong trình đờng thẳng AB Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB y x2 và đờng thẳng (D) qua điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là Bµi 33 Cho parabol (P): - vµ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên ViÕt phong tr×nh cña (D) x 2; 4 Tìm điểm M trên cung AB (P) (tơng ứng hoành độ) cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt y x Bµi 34 Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1 VÏ (P) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) y x2 I ( ; 1) và đờng thẳng (D) qua điểm Bµi 35.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): cã hÖ sè gãc m VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) T×m m cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt 1 y x2 y x và đờng thẳng (D): Bài 36 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): VÏ (P) vµ (D) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm (P) và (D) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song với (D) Bài 37 Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + = (1) Viết phong trình đờng thẳng qua A(2; 1) Chứng minh các đờng thẳng trên luôn qua điểm cố định M với m Tìm tọa độ M x3 x2 x y f ( x) x2 Bµi 38 Cho hµm sè: Tìm tập xác định hàm số Vẽ đồ thị (D) hàm số Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc đờng thẳng không cắt đồ thị (D) hàm số? Bµi 39 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + Chứng minh đờng thẳng y = 2x - tiếp xúc với (P) Giải đồ thị bất phong trình: x2 - 4x + > 2x - y x2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m ≠ Bµi 40 Cho parabol VÏ (P) Viết phong trình đờng thẳng (D) qua hai điểm M, I Chứng minh đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m ≠ Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng Chứng minh độ dài đoạn AB > với m ≠ y x Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P): và điểm I(0; -2) Gọi (D) là đờng thẳng qua I vµ cã hÖ sè gãc m Vẽ đồ thị (P) Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB Với giá trị nào m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ đó Bài 42 Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) Vẽ đồ thị (P) Tìm quỹ tích điểm M qua đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với và cùng tiếp xúc với (P) (40) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 43 Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; -1) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc câu 1) và 2) 3 C ; 1 vµ cã hÖ sè gãc m Gọi (d) là đờng thẳng qua điểm a Viết phong trình đờng thẳng (d) b Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với Bài 44 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy VÏ (P) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P) Cho đờng thẳng (d): y = mx + (với m là tham số) a Chứng minh rằng; (d) luôn luôn qua điểm cố định với m 1 11 b Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 VÏ (d) víi m t×m đợc 2 Bµi 45 Cho hµm sè: y x x x x Vẽ đồ thị hàm số T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ c¸c gi¸ trÞ cña x t¬ng øng Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y ≥ x2 4x y Bµi 46 Cho hµm sè: có đồ thị (P) VÏ (P) Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P) Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) Bµi 47 Cho hµm sè: y = 2x2 (P) Vẽ đồ thị (P) hàm số Tìm quỹ tích các điểm M cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P) Bài 48 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x2 + 4x - và đờng thẳng (D); 2y + 4x - 17 = VÏ (P) vµ (D) Tìm vị trí A thuộc (P) và B thuộc (D) cho độ dài đoạn AB ngắn Bài 49 Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - Gọi (d) là đờng thẳng qua A(3; 2) và có hệ số góc m Chứng tỏ với m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) hai điểm phân biệt B, C Xác định đờng thẳng (d) cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ 1 y x2 y mx 2 Bµi 50 Cho parabol (P): và đờng thẳng (d) có phong trình: Chứng minh với m, (d) luôn luôn qua điểm cố định Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN Bài 51 Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a 0) Định a để (d2) qua A(3; -1) Tìm các giá trị m (d1) vuông góc với (d2) câu 1) Bµi 52 Cho hµm sè: y = ax + b Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4) Vẽ đồ thị (d1) hàm số với a, b tìm đợc Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 – m)x + m2 + m là đờng thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) vừa tìm đợc Gọi A là điểm trên đờng thẳng (d1) có hoành độ x = Tìm phong trình đờng thẳng (d3) qua A vuông góc với hai đờng thẳng (d1) và (d2) Tính khoảng cách (d1) và (d2) Bµi 53 Cho hµm sè: y = mx - 2m - (1) (m 0) Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy Xác định m để tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng (®.v.d.t) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn luôn qua điểm cố định m thay đổi Bµi 54 Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0) (41) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tìm a biết (P) qua điểm M(1; 2) Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc Tìm phong trình đờng thẳng AB tìm giao điểm đờng thẳng này với (P) (ở câu 1) Gọi C là giao điểm có hoành độ dơng Viết phong trình đờng thẳng qua C và có với (P) điểm chung nhÊt Bµi 55 Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1) (P) Xác định a và vẽ (P) với a tìm đợc Biện luận số giao điểm (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx - m + 1 I ;2 Chứng tỏ rằng, thuộc (d) với m Tìm phong trình các đờng thẳng qua I và có với (P) điểm chung nhÊt Bµi 56 x2 y y x 2 và đờng thẳng (d): Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P) Biện luận số giao điểm (P) và (d’): y = x - m hai cách (đồ thị và phép toán) y x2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là và - Bµi 57 Cho parabol (P): Khảo sát và vẽ đồ thị (P) Viết phong trình đờng thẳng (d) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt T×m trªn trôc Ox ®iÓm N cho NA + NB nhá nhÊt Bµi 58 Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5) Viết phong trình đờng thẳng AB Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc Một đờng thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) hai điểm M và N Xác định vị trí MN (D) để Bài 59 Cho hàm số: y = x2 - 2x + m - có đồ thị (P) Vẽ đồ thị (P) m = Xác định m để đồ thị (P) hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định m để đồ thị (P) hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + hai điểm phân biệt Bài 60 Cho đờng thẳng (D1): y = mx - (D2): y = 2mx + - m Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với m = Tìm tọa độ giao điểm B chúng Qua O viết phong trình đờng thẳng vuông góc với (D1) A Xác định A và tính diện tích tam giác AOB Chứng tỏ các đờng thẳng (D1) và (D2) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định Bài 61 Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phong trình: 3 m 2m y x 2m y (m 2) x (d1): vµ (d2): Chứng minh (d1) và (d2) qua các điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) thẳng góc với (d2) Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) song song với (d2) y x2 Bµi 62 Cho parabol (P): Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m và qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đờng thẳng nµy gäi lµ (D) BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D) Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Trong trêng hîp (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB Tìm trên (P) các điểm mà đờng thẳng (D) không qua với m Bài 63 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + và điểm A(2; 1) Gọi (D) là đờng thẳng qua A và có hệ số góc m Chøng minh r»ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N Xác định m để MN ngắn Bài 64 Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - có đồ thị là (P) Chứng minh rằng; với m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành hai điểm phân biệt (42) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Chứng minh m thay đổi, đỉnh parabol luôn luôn chạy trên đờng thẳng song song với trục hoµnh Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm g) (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k là tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = d) Chứng minh không có đờng thẳng (d) nào qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng và parabol Bµi 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là và - Tìm toạ độ A và B từ đó suy phơng trình đờng thẳng AB Bµi 2: Cho hµm sè y=− x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bµi 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y=− x và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 4: Cho hµm sè y=− x 2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đ ờng thẳng MN và cắt (P) ®iÓm Bµi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc câu 1) và câu 2) 4) Gọi (d) là đờng thẳng qua điểm C ; −1 và có hệ số góc m a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d) b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với bµi tËp vÒ hµm sè Bµi tËp cho parabol y= 2x2 (p) a tìm hoành độ giao điểm (p) với đờng thẳng y= 3x-1 b tìm toạ độ giao điểm (p) với đờng thẳng y=6x-9/2 c tìm giá trị a,b cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và qua A(0;-2) d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2) ( ) (43) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 e biện luận số giao điểm (p) với đờng thẳng y=2m+1 ( hai phơng pháp đồ thị và đại số) f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để +(p) kh«ng c¾t (d) +(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt +(p) c¾t (d) Bµi tËp cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3) a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P) c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P) d chứng tỏ qua điểm A có đờng thẳng cắt (P) hai điểm phân biệt C,D cho CD=2 Bµi tËp Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là y= 2x-5 y=2x+m a chứng tỏ đờng thẳng a không cắt (P) b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy: + Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với + tìm toạ độ tiếp điểm A (P) với b + lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và có hệ số góc -1/2 tìm toạ độ giao điểm (a) và (d) Bµi tËp −1 cho hµm sè y= x (P) a vẽ đồ thị hàm số (P) b với giá trị nào m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A,B đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B c tính tổng tung độ các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m Bµi tËp5 cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a m=1, tìm toạ độ các giao điểm (P) và (d) b tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m c tìm mối quan hệ các hoành độ giao điểm (P) và (d) độc lập với m Bµi tËp cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k a chứng minh với giá trị k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) hai điểm A,B tìm k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn Bµi tËp7 cho hµm sè y= √ x a tìm tập xác định hàm số b t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- √ )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? d không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bµi tËp cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.tìm hoành độ các điểm thuộc (P) biết tung độ chúng y=(1- √ )2 b.chứng minh (P) với (d) luôn cắt điểm phân biệt tìm toạ độ giao điểm chúng với giá trị nào m thì tổng các tung độ chúng đạt giá trị nhỏ Bµi tËp cho hµm sè y= mx-m+1 (d) a chứng tỏ m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định tìm điểm cố định b tìm m để (d) cắt (P) y=x2 điểm phân biệt A và B, cho AB= √ Bµi tËp 10 trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b a tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N (44) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy Bµi tËp 11 cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d) a chứng minh với giá trị nào m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) điểm phân biệt b gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2 bµi tËp 12 cho hµm sè y=x2 (P) a vẽ đồ thị hàm số (P) b trên (P) lấy điểm A, B có hoành độ lần lợt là và hãy viết phơng trình đờng thẳng AB c lập phơng trình đờng trung trực (d) đoạn thẳng AB d tìm toạ độ giao điểm (d) và (P) Bµi tËp 13 a viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 điểm A(-1;2) b cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B c cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng qua A(1;0) và tiếp xúc với (P) d cho (P) y=x2 lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P) e viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 điểm có hoành độ (-1) f viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 điểm có tung độ C¸c d¹ng bµi «n tËp vµo líp 10 PhÇn 1: C¸c lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc Bµi 1: Cho biÓu thøc : P= √ a+2 − +¿ − √a √ a+3 a+ √ a −6 a Rót gän P b Tìm giá trị a để P<1 (1 − √√x +1x ) :( √√xx−+32 + 3−√ x +2√ x + x −5√ x+2 √ x+ ) Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= a) Rót gän P Bµi 3: Cho biÓu thøc: P= b)Tìm giá trị x để P<0 ( 3√√xx−1− − √ 1x+1 + 98x√−1x ) :( 1− 33√√xx−2+1 ) a Rót gän P b Tìm các giá trị x để P= √a : − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ) Bµi 4: Cho biÓu thøc : P= b Tìm giá trị a để P<1 c T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− √ 1− a ¿ ¿ Bµi 5: Cho biÓu thøc; P= √a ¿ ¿ a Rót gän P b XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P) √ x +1 + √ x + √ x −1 : 1+ √ x+ − √2 x+ √ x Bµi 6: Cho biÓu thøc: P= √ x +1 √2 x − √ x+1 √ x −1 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P x ¿ ( 3+ √ ) 2 √x x Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= − : 1+ √ x +1 x √ x+ √ x − x − √ x −1 a Rót gän P b Tìm x để P a Rót gän P ( )( )( ( Bµi 8: Cho biÓu thøc: ) P= ( ) a+1 √ a 1+ √ a3 − √ a − √ a3 a+ √a+ 1+ √ a )( ) (45) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 √ 1− a a Rót gän P Bµi 9: Cho biÓu thøc: b XÐt dÊu cña biÓu thøc P 2x x 2x x x x P : 1 x x 1 x x 1 x b Tính giá trị P với x 7 c Tính giá trị lớn a để P > a Bµi 10: Cho biÓu thøc : P= 1− a √ a + √ a 1+a √ a − √ a 1− √ a 1+ √ a a Rót gän P b Tìm a để P< − √ Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= √ x + √ x − x +3 : √ x −2 − √ x +3 √ x −3 x − √ x −3 a Rót gän P b Tìm x để P< c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 9− x x−3 √x−2 Bµi 12: Cho biÓu thøc : P= x −3 √ x −1 : −√ − x−9 x+ √ x − 2− √ x √ x +3 a Rót gän P b Tìm giá trị x để P<1 Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + √ x −2 − √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a Rót gän P b Tìm các giá trị x để P= c Chøng minh P m Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= √ x + √ x − víi m>0 √ x +m √ x − m x − m2 a, Rót gän P b Tính x theo m để P=0 c Xác định các giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bµi 15: Cho biÓu thøc :P= a + √ a − a+ √ a +1 a− √ a+1 √a a Rót gän P b BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi |P| c Tìm a để P=2 d T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1 Bµi 16: Cho biÓu thøc P= √ ab+1 √ ab− √ ab+ √ab − a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= 2− √ vµ b= √ −1 1+ √ c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu √ a+ √ b=4 a Rót gän P ( )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ) P= a √ a− − a √ a+1 + √ a − √ a+1 + √ a −1 a − √a a+ √ a √ a √ a− √a+ a Rót gän P Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7 b Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6 a √ a −1 − √ a+1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P= √ − 2 √ a √a+ √ a −1 a Rót gän P b Tìm các giá trị a để P<0 c Tìm các giá trị a để P=-2 Bµi 19: Cho biÓu thøc: P= ( √ a− √ b ) +4 √ ab a √ b − b √ a √ a+ √ b √ ab a Tìm điều kiện để P có nghĩa b Rót gän P c TÝnh gi¸ trÞ cña P a= √ √3 x +2 x x −1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= + √ + :√ x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x )( ( Bµi 17: Cho biÓu thøc : ( )( ) ) ( ) vµ b= (46) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b Chøng minh r»ng P>0 ∀ x x +2 Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= √ x + x − : 1− √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a Rót gän P b TÝnh √ P x= 5+2 √ 3x Bµi 22: Cho biÓu thøc: P= 2 1: + − : 2+ √ x − x −2 √ x − √ x a Rót gän P b Tìm giá trị x để P=20 a Rót gän P ( )( ( Bµi 23: Cho biÓu thøc : P= a Rót gän P Bµi 24: Cho biÓu thøc : P= a.Rót gän P Bµi 25: Cho biÓu thøc: P= a Rót gän P Bµi 26: Cho biÓu thøc: P= a Rót gän P Bµi 27: Cho biÓu thøc: P= a Rót gän P Bµi 28: Cho biÓu thøc: P= a Rót gän P Bµi 29: Cho biÓu thøc: P= ) ) x−y x3 − √ y ( √ x − √ y ) + √ xy √ + : y− x √x −√ y √ x +√ y b Chøng minh P √ab √ ab a− b + − : √ a+ √ b a √ a+ b √ b √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b b TÝnh P a=16 vµ b=4 a+ √ a −1 a √ a − √ a+a a − √ a 1+ − 1−a −a √ a √ a −1 b Cho P= √ t×m gi¸ trÞ cña a c Chøng minh r»ng P> 1+ √ x −5 √ x 25 − x x +3 √ x −5 −1 : −√ + x −25 x+2 √ x −15 √ x +5 √ x −3 b Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1 ( a −1 ) ( √ a− √ b ) √a 3a − + : a+ √ ab+b a √ a −b √b √ a − √ b a+2 √ ab+2 b b Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên 1 a+1 √ a+2 − : √ − √ a− √ a √ a − √ a −1 b Tìm giá trị a để P> 1 1 √ x + y √ x + x √ y +√ y + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x y +√ xy3 b Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ ( ) ( ) [( ) ( ) ( )( ) ( ) )( ( [( ) ) ] a Rót gän P Bµi 30: Cho biÓu thøc : 2x 1− x √ x3 − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rót gän P b) Tìm tất các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2 PhÇn 2: C¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh : m √ x − ( √ −1 )2= √2 − x +m a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) ( m− ) x − mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m ] (47) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x ( − x ) + x ( − x ) kh«ng phô thuéc vµo m Bài 34: Tìm m để phơng trình : a) x − x +2 ( m− )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) x +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+ ) x −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh : x − ( a− ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ 1 Bµi 36: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: + = b c 2 CMR Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm x 2+ bx +c=0 x +cx +b=0 Bµi 37:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2 x − ( m+2 ) x+12=0(1) x − ( m −2 ) x +36=0( 2) 2 Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh : x −2 mx +m − 2=0 a) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x 2+ x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm 2 b) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1+ x 2=10 Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m− ) x +2 m− 5=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x ; x ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x ; x mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bµi 42: Cho ph¬ng tr×nh ( m− ) x − mx+m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm phơng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ; x thoả mãn hệ thức: + + =0 x2 x1 Bµi 43: A) Cho ph¬ng tr×nh : x − mx+m− 1=0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − x1 x Chøng minh A=m2 −8 m+8 Tìm m để A=8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm B) Cho ph¬ng tr×nh x −2 mx +2 m −1=0 (48) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m b) §Æt A= 2(x 21+ x22 )− x x2 CMR A= m2 −18 m+9 T×m m cho A=27 c)T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng hai nghiÖm Bµi 44: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a x + bx+ c=0 cã nghiÖm ph©n biÖt a) CMR a S n+2 + bSn+1 +cSn=0 x ; x §Æt S n=x n1 + x n2 (n nguyªn d¬ng) 1+ √ 1− √ + 2 Bµi 45: Cho f(x) = x - (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có nghiệm lớn Bµi 46: Cho ph¬ng tr×nh : x −2 ( m+1 ) x +m − m+5=0 a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dấu d) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 47: Cho ph¬ng tr×nh x − x √3+8=0 cã hai nghiÖm lµ x ; x Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ 2 x1 +10 x x 2+ x2 cña biÓu thøc : M = 3 x x +5 x1 x Bµi 48: Cho ph¬ng tr×nh x x − ( m+2 ) x+ m+1=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m= b) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x ; x là hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x 1(1 −2 x 2)+ x (1− x )=m Bµi 49: Cho ph¬ng tr×nh (1) (n , m lµ tham sè) x + mx +n −3=0 Cho n=0 CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m x1 − x 2=1 Tìm m và n để hai nghiệm x ; x phơng trình (1) thoả mãn hệ : x 21 − x 22=7 Bµi 50: Cho ph¬ng tr×nh: x −2 ( k −2 ) x − k − 5=0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2 b) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ cña k cho x 1+ x 2=18 Bµi 51: Cho ph¬ng tr×nh ( m−1 ) x − mx+ 4=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m bÊt k× c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bµi 52:Cho ph¬ng tr×nh : x − ( m− ) x+ m2 −3 m=0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x , x thoả mãn 1< x 1< x <6 PhÇn 3: HÖ ph¬ng tr×nh: ( m+1 ) x − y=m+1 Bài53: Tìm giá trị m để hệ phơng trình ; x+ ( m−1 ) y=2 Cã nghiÖm nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= ( )( ) { { (49) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị a) |x|+1= y {2 y −5=x b) x −| y|=2 x y + =1 4 { {| yy +1=3|=xx −12−1 Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : {2bxx+− by=− ay=− a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a=|b| b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2) * ( √ 2− 1; √ ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m: Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh : − y=2 m {mx x − my=6+ m {axx +ay=1 ·+ y=2 a) Cã mét nghiÖm nhÊt b) V« nghiÖm Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x + xy+ y =19 x − xy + y=− Bµi 59*: T×m m cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: |x − 1|+| y −2|=1 ( x − y ) +m ( x − y −1 ) − x + y=0 Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: x − xy+3 y 2=13 x − xy −2 y 2=−6 Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : a +2 b − b+3=0 TÝnh 2 a +b 2 a + a b − 2b=0 Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (a+ 1) x − y =3 a x+ y=a a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh a=- √ b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 HÖ ph¬ng tr×nh Baøi 1: : Gi¶i c¸c HPT sau: 1.1 x y 3 2 x y a 3 x y 7 b 5 x y 6 Gi¶i: x y 3 y 2 x y 2 x x 2 3 x y 7 3 x x 7 5 x 10 y 2.2 a Dïng PP thÕ: { { { { { x 2 Vaọy HPT đã cho có nghiệm là: y 1 x 2 y 1 c) (50) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x y 3 5 x 10 x 2 x 2 3 x y 7 3.2 y 7 y 1 Dïng PP céng: 3 x y 7 x 2 Vaọy HPT đã cho có nghiệm là: y 1 - §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi 2 x y 10 x 15 y 10 11 y 22 y 5 x y 6 10 x y 12 5 x y 6 5 x 2.( 6) x 2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ y - §èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶I sau ®©y: x y x y 1.2 + C¸ch 1: Sö dông PP céng §K: x 1, y 0 2 y 1 x y y 2 1 x 1 x y x y y 1 x x 2 y x x 2 y 1 y 1 x y 1 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ + Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ §K: x 1, y 0 1 b a y x §Æt ; HPT đã cho trở thành: x 2a 3b 2a 5b 1 2a 5.1 1 a y 2a 5b 1 2b 2 b 1 b 1 x y 1 (TM§K) x y 1 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) x y 3 a) 3x y 2 7 x y 5 b) 4 x y 2 1.1: 1.2 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số) x 2 y a) x y 2 x y b) x y 1 (51) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3x y 3 a) 2.1 2 x y 7 4 x y 6 b) 2 x y 4 Baøi 4: Giaûi heä phöông trình Baøi 5: 3 x y 10 c) x y 3 x y 1 ( m 1) x y 2m x y 1 a) x y 2.2 trường hợp sau a) m = -1 5 x y 2 b) x y 2 b) m = c) m = 2 x by 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình bx ay coù nghieäm laø (1; -2) 1; b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm x y x y Baøi 6: Giaûi heä phöông trình sau: n 2m m n m 3n a) Từ đó suy nghiệm hệ phương trình m n Baøi 7: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 x y 4 x y 1 x y 5 3x y 0 0, x y 2 x 3 y 3x y 1 ; 3 x y 3 ; 3 x y 1 ; x y 0 ; x 15 y 10 ; 2 x y 2007 ; y 2 x y 6 2 x y 5 x 5 3x y 2 5 3 15 x y 5 x y x y y x 6 ; ; 3 ; 2 ¿ x −ay =b Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax+ by=1 ¿{ ¿ a Gi¶i hÖ a=3 ; b=-2 b Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( √ 2; √ ¿ Bµi 9: Gi¶I c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ¿ ¿ ¿ − =2 √ x − √ y=−8 √ x −2 − √ y − 2=3 x+y x − y a) b) c) √ x −2+ √ y − 2=1 (®k x;y ) √ x + √ y=2 − =3 ¿ { ¿ { x+y x − y ¿ ¿ ¿{ ¿ 6 x y 5 xy x y 5 x y 5 y 2 x ( x y )( x y ) 0 4 x y 2 3 x y x y ; x 2 y ; ; ; 3 x y 3 ( x 1) 2( y 2) 5 ( x 5)( y 2) ( x 2)( y 1) x y 6 ; 3( x 1) ( y 2) 1 ; ( x 4)( y 7) ( x 3)( y 4) (52) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ( x 1)( y 2) ( x 1)( y 3) 4 ( x 3)( y 1) ( x 3)( y 5) 1 ; 1 x y 5 x y x y 2 1 3 x y ; x y x y ; 3( x y ) 5( x y ) 12 5( x y ) 2( x y ) 11 ; 5 x y x y 8 x y x y 4,5 4 x y x y ; x y x y Phần 4: Hàm số và đồ thị ¿ (d) ¿ Bµi 62: Cho hµm sè : y= (m-2)x+n ¿ Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √ và cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ √ c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bµi 63: Cho hµm sè : y=2 x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx− theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2 x+ m 1.Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A và B , điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m và tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2 a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bµi 66: Cho (P) y=− x2 a) Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √ Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= x − a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị nào m thì hai đờng thẳng : (d) y=(m− 1) x+ (d') y=3 x − a) Song song víi b) C¾t c) Vu«ng gãc víi Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng : (53) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 (d 1) y=2 x − đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ ( d2 ) y =x+ (d ) y=a x −12 Bài 71: CMR m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn qua điểm cố định Bài 72: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiÕp xóc víi (P) Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2| a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bµi 75: Cho (P) y=− x vµ (d) y=x+m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bµi 76: Cho hµm sè y=x (P) vµ hµm sè y=x+m (d) a) T×m m cho (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× ¸p dông: T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng √ Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d ) ? V× ? b) Tìm a để hàm số y=a x (P) qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( d ) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và ( d ) ; C là giao điểm ( d ) với trục tung Tìm toạ độ B và C TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bài 78: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] cho tam giác MAB có diện tích lớn nhÊt (Gợi ý: cung AB (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; y B ) tính y A; ; yB ) Bµi 79: Cho (P) y=− x vµ ®iÓm M (1;-2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi c) Gọi x A ; x B lần lợt là hoành độ A và B Xác định m để x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B *TÝnh S theo m *Xác định m để S= (8+ m2 √ m2 +m+2) Bµi 80: Cho hµm sè y=x (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) (54) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=− x và đờng thẳng (d) y=mx − 2m −1 a) VÏ (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định Bài 82: Cho (P) y=− x và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m a) VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 83: Cho (P) y=− x và đờng thẳng (d) qua điểm I( ; ) cã hÖ sè gãc lµ m a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt x Bài 84: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=− + 2 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 86: Cho (P) y=2 x a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đờng th¼ng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB (d1 ) x + y=m Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình c¾t t¹i mét ®iÓm trªn (P) (d 2)mx + y=1 y=− x PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc cña ca n« níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở A Thời gian xuôi ít h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ km/h Bài 91: Một ngời chuyển động trên quãng đờng gồm đoạn đờng và đoạn đờng dốc Vận tốc trên đoạn đờng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng là 110km và thời gian để ngời đó quãng đờng là 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã Bài 92: Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc quãng đờng AB , xe tăng vận tốc thêm Km/h trên quãng đờng còn lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ng ời đó đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biết r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ giê 30 phót (55) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch 85 Km ®i ngîc chiÒu Sau 1h40’ th× gÆp TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau đó ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp và chỗ gặp cách A bao nhiªu Km ? Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau đó thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình là 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian lẫn là 50 phót Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B A Thời gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ Km/h và vận tốc riêng ca nô là không đổi Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó , còn 60 Km thì đợc nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đ ờng sông AB biết hai ca nô đến B cùng lúc Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau đó 30 phút , ng ời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài 102: Một ca nô chạy trên sông , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km Một lần khác , ca nô đó còng ch¹y giê, xu«i dßng 81 Km vµ ngîc dßng 84 Km TÝnh vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n« Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña tÇu níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 20 phút ca nô chạy từ bến sông A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc đã định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian đã định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h trên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đ ợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc ®Çu cña «t« Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h thì tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng đã lúc đầu N¨ng xuÊt Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc , thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong c«ng viÖc Êy bao l©u? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn v ợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch (56) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng đã vợt mức đợc tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe đó đ ợc bổ xung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết số hàng chở trên tất các xe cã khèi lîng b»ng Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê th× hoµn thµnh ® îc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong mức khoán thì tổ phải làm bao lâu ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với thì tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại 10 Hỏi tổ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thø hai làm thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong ThÓ tÝch Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt giê 48 phót NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Bµi upload.123doc.net: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 30 phót sÏ ®Çy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút thì đợc bÓ Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Chủ đề 5: Giải bài toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bµi 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bµi 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết ngời đó đến B sớm dự định 24 phút Bµi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở A Thời gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B BiÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ km/h vµ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vµ lóc ngîc b»ng Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngîc vÒ 36 km BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê vµ vËn tèc xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ km/h Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngîc dßng D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc) Bµi 1: (57) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc giê 12 phót th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ hai làm thì hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm công việc đó mÊy giê th× xong? Bµi 2: Nếu vòi A chảy và vòi B chảy thì đợc hå NÕu vßi A ch¶y giê vµ vßi B ch¶y 30 phút thì đợc hå Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y bao l©u míi ®Çy hå Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau giê ®Çy bÓ NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ giê TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bµi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy? Bµi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ triÖu ngêi D©n sè tØnh A n¨m t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1% Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m lµ 045 000 ngêi TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay? D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc Bµi 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất còn lại vờn để trồng trọt là 4256 m2 Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2 TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Bµi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè Bµi 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị Bµi 2: Tìm số có hai chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó và số cần tìm chia cho tổng các chữ số nó thì đợc thơng là và số d là Bµi 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số NÕu tö sè thªm vµ mÉu sè t¨ng gÊp th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng Tìm phân số đó 24 Bµi 4: NÕu thªm vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m NÕu bít vµo c¶ tö vµ mÉu, ph©n sè t¨ng Tìm phân số đó ÔN TẬP HÌNH Vấn đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Tam giác vuông là tam giác có góc vuông Trong tam giác vuông ta có định lí Pytago dùng để tính cạnh chứng minh các đẳng thức có liên quan đến bình phương cạnh Tam giác ABC vuông A đó: BC2=AB2+AC2 Trong tam giác vuông A thì trung tuyến AM = BC/2 B A M c h b (58) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C’ A C B b’ H C a Công thức tính diện tích tam giác ABC vuông A: S=1/2 AB.AC=1/2.a.h Từ công thức diện tích ta có ngay: a.h = b.c Công thức hình chiếu lên cạnh huyền: b’.c’= h2 Công thức cạnh góc vuông và hình chiếu: b2= a.b’ Và c2=a.c’ 1 2 2 h b c Công thức nghịch đảo đường cao: Các cách để c/m tam giác là tam giác vuông: 9.1 Chỉ tam giác có góc vuông 9.2 Chỉ tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là : BC2=AB2+AC2.thì tam giác vuông A 9.3 Chỉ trung tuyến AM = BC/2 Thì tam giác vuông A Bài tập: Cho tam giác ABC vuông A có AB=3cm; BC=5cm AH là đường cao Tính BH; CH;AC và AH Cho tam giác ABC cân A có BC=16cm; AH=6cm Một điểm D BH: BD=3,5 cm C/m ▲ DAC vuông Cho ▲ ABC vuông A có AC=10cm; AB=8cm Tính: a BC b Hình chiếu AB và AC lên BC c Đường cao AH Cho ▲ ABC vuông A có BC=20cm; AC=18cm Tính AB;BH; CH và AH AB AC Cho ▲ ABC vuông A, có BC=12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết Cho ▲ ABC vuông A có đường cao AH Biết BH=10cm; CH=42 cm Tính BC; AH; AB và AC Cho đường tròn tâmO bán kính R=10cm.Dây cung AB có trung điểm I a Tính AB OI=7cm b Tính OI AB=14cm Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=26,5 cm Vẽ dây cung AC=22,5cm H là hình chiếu C trên AB, nối BC Tính BC; BH; CH và OH Hình thang ABCD cân; đáy lớn AB= 30cm, đáy nhỏ CD=10cm và góc A là 600 a Tính cạnh BC b Gọi M; N là trung điểm AB và CD Tính MN 10 Cho đa giác lồi ABCD có AB=AC=AD=10cm, góc B 600 và góc A là 900 a Tính đường chéo BD b Tính khoảng cách BH và Điều kiện từ B và D đến AC c Tính HK d Vẽ BE DC kéo dài Tính BE; CE và DC 11 Cho đoạn thẳng AB=2a Từ trung điểm O AB vẽ Ox AB O Trên Ox lấy D: OD=a/2.từ B kẽ BC AD kéo dài a Tính AD; AC và BC theo a b Kéo dài DO đoạn OE=a C/m bốn điểm A; C; B và E cùng nằm trên đường tròn c Xác định tính chất CE với góc ACB d Vẽ đường vuông góc với BC B cắt CE F Tính BF e Gọi P là giao điểm AB và CE Tính AP và BP 12 Cho ▲ ABC nhọn, nội tiếp (O;R) có: góc AOB= 900 và góc AOC =1200 a C/m O tam giác ABC b Tính các góc tam giác ABC c Tính đường cao AH và BC theo R (59) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vấn đề: tỉ số lượng giác góc nhọn Muốn có tỉ số lượng giác góc nhọn ta phải có tam giác vuông Trong tam giác vuông có góc nhọn đó: a Sin =đối/ huyến b Côsin = kề/ huyền c Tan = đối / kề = sin /cos d Cotan = kề/ đối = cos/ sin = 1/tan Nếu hai góc và phụ tức là + = 900 đó: Sin = cos Cos = sin Tan = cot Cot = tan Bảng các giá trị lượng giác thường dùng: 00; 300; 450; 600 và 900 Từ định lí Pytago tam giác vuông ta có ngay: sin2 +cos2 =1 Từ định nghĩa ta có: tan .cot = Từ tỉ số lượng giác ta thấy tam giác vuông cho goc và cạnh thì các yếu tố còn lại tính Có thể dùng tỉ số lượng giác để đo các chiều cao thực tế Khi biết góc tính giá trị lượng giác cho giá trị lượng giác tính góc ta dùng máy tính bỏ túi Bài tập: Cho tam giác ABC, đường cao AH Tính các tỉ số lượng giác các góc: ABH và HAB Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính tỉ số lượng giác góc ACB So sánh các tỉ số lượng giác: a Sin300 và sin 720 b Cos 450 và cos 75010’ c Tan650 và tan450 d Cot100 và cot350 Cho tam giác vuông A có đường cao AH chia BC thành BH=64cm và CH=81cm Tính các cạnh và góc tam giác ABC Cho ▲ ABC vuông A Tìm các tỉ số lượng giác góc B khi: a BC =5cm và AB=3cm b BC=13 cm và AC=12 cm c AC= 4cm và AB=3cm Cho biết sin =0,8 Tính các tỉ số lượng giác còn lại Cho sin = ½ Tính các tỉ số lượng giác góc 900- Cho biết tan =3 Tính các tỉ số lượng giác còn lại Cho ▲ ABC vuông A có AB=10cm và AC=15cm a Tính góc B b Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c Vẽ AH BI H Tính AH 10 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R Bán kính OC AB, gọi M là điểm nằm trên OC cho: tan OAM =3/4 AM cắt nửa đường tròn (O) D Tính AM; AD và BD Vấn đề: định nghĩa và xác định đường tròn Tập hợp các điểm cách O cho trước khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm O bán kính R Kí hiệu: (O; R) Để xác định đường tròn ta có các cách sau: 2.1 Biết tâm O và bán kính R 2.2 Biết điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn Cho (O; R) và điểm M Khi đó có các khả sau: (60) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3.1 Nếu MO > R thì M nằm ngoài đường tròn (O; R) 3.2 Nếu MO=R thì M nằm trên đường tròn (O;R) Kí hiệu: M (O; R) 3.3 Nếu MO < R thì M nằm đường tròn (O; R) Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn Đường kính là dây cung qua tâm Vậy đường kính là dây cung lớn đường tròn Muốn c/m các điểm cùng nằm trên (O; R) ta khoảng cách từ điểm đến O là R Các cách khác sau này xét sau Đường tròn qua hai điểm A và B có tâm nằm trên trung trực AB đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền Bài tập: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD ; góc C=D =600; CD=2AD C/m điểm A; B; C; D cùng thuộc đường tròn Cho ▲ ABC vuông A có AB=6cm; AC= 8cm Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bao nhiêu? Cho hình thoi ABCD; gọi O là giao điểm hai đường chéo M; N; R và S là hình chiếu O trên AB; BC; CD và DA C/m điểm M; N; R và S cùng thuộc đường tròn Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm; BC=9cm a C/m: A; B; C và D cùng thuộc đường tròn b Tính bán kính đường tròn đó Cho hai đường thẳng xy và x’y’ vuông góc O Một đoạn thẳng AB=6cm chuyển động cho A luôn nằm trên xy và B trên x’y’ Hỏi trung điểm M AB chuyển động trên đường nào? Cho ▲ ABC có các đường cao AH và CK C/m: a C/m: B; K; H và C cùng nằm trên đường tròn Xác định tâm đường tròn đó b So sánh Kí hiệu và BC Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn Đường tròn là hình có tâm đối xứng là tâm đường tròn đó Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính nó Đường kính vuông góc dây cung thì qua trung điểm và ngược lại Hai dây cung và chúng cách tâm Dây cung nào gần tâm thì dài và ngược lại Vận dụng các tính chất trên ta có thể tính độ dài các đoạn và c/m các tính chất so sánh các đoạn thẳng dựa vào đường tròn Bài tập: Cho (O) và dây cung CD Từ O kẽ tia vuông góc CD M cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD=16cm và MH=4cm Cho (O; 2cm), MN là dây cung đường tròn có độ dài 2cm Khi đó khoảng cách từ O đến MN là bao nhiêu? Cho (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN Cho đường tròn (O) và cung BC có số đo là 600 Từ B kẽ dây BD vuông góc đường kính AC và từ D kẽ dây DF //AC Tính số đo cung DC; AB; FD Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB hai lần số đo cung AnB a Tính số đo hai cung trên b Tính các góc ▲ AOB c Tính khoảng cách từ O đến AB Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB ba lần số đo cung AnB a Tính số đo hai cung trên b Tính các góc ▲ AOB (61) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c Tính khoảng cách từ O đến AB Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên AB lấy hai điểm M và N đối xứng qua O Từ M và N kẽ hai đường thẳng song song cắt (O) H và K C/m tứ giác MNKH là hình thang vuông Vấn đề: vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d đó có các trường hợp sau: 2.1 Nếu d(O;d) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung Ta nói đường thẳng và đường tròn ngoài không cắt 2.2 Nếu d(O; d) = OH = R đó đường thẳng và đường tròn có điểm chung chính là H Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến (O)) 2.3 Nếu d(O; d) = OH < R thì đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A và B Đường thẳng này gọi là cát tuyến với (O; R) Vậy muốn xác định vị trí đường thẳng d và đường tròn ta cần tìm bán kính R và khoảng cách d(O; d) so sánh và kết luận Bài tập: Cho các đường thẳng và đường tròn bảng sau: R D Quan hệ 4 50 75 2 Cho ▲ ABC có góc B > C, AB=x; AC=y và chiều cao AH= h Hỏi bán kính đường tròn tâm A có giá trị bao nhiêu để (A; R) cắt BC theo các trường hợp: a Hai giao điểm nằm B và C b B và C nằm hai giao điểm Cho ▲ cân OAB có OA=OB=5cm và AB=6cm Hỏi bán kính R đường tròn (O; R) có giá trị bao nhiêu để đường tròn tiếp xúc AB Vấn đề: tiếp tuyến đường tròn Cho (O; R) tiếp tuyến (O; R) là đường thẳng tiếp xúc với (O; R) Vậy d là tiếp tuyến (O; R) <=> d OA A A gọi là tiếp điểm .O D A Nói cách khác : d là tiếp tuyến (O; R) <=> d(O; d) =R Ta có tính chất: từ điểm M nằm ngoài (O; R) ta kẽ hai tiếp tuyến đến (O; R) hai tiếp điểm A và B đó MA=MB Từ điểm A trên (O; R) ta kẽ tiếp tuyến nhất, đó là đường thẳng qua A và vuông góc bán kính OA Từ hai điểm A và B trên (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt M thì MA= MB A O B M (62) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Ngoài ta còn có : MO là phân giác góc AOB và OM là phân giác góc AOB Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ điểm nằm ngoài (O) 8.1 Ta nối OM 8.2 Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) hai điểm A và B 8.3 Nối MA và MB hai tiếp tuyến Bài tập: Cho đường tròn tâm O; dây cung CD Qua O vẽ OH CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn M C/m MD là tiếp tuyến (O) Cho (O) mà M ngoài (O) Vẽ hai tiếp tuyếm MA và MB; gọi H là giao điểm OM với AB C/m: OM AB và HA=HB Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB vẽ Ax AB và By AB cùng phía nửa đường tròn Gọi I là điểm trên đường tròn Tiếp tuyến I gặp Ax C và By D C/m: AC+BD = CD Cho đường tròn (O; 5cm) Từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB cho MA MB M a Tính MA và MB b Qua trung điểm I cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến cắt OA; OB C và D Tính CD Cho (O) từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB cho góc AMB =600 Biết chu vi tam giác MAB là 18cm, tính độ dài dây cung AB Cho (O) từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB Kéo dài OB đoạn BI=OB C/m: góc BMI 1/3 góc AMI Cho (O) có đường kính AB.vẽ dây xung AC và kéo dài AC đoạn CD=AC a C/m: tam giác ABD cân b Xác định vị trí C để biến đổi là tiếp tuyến (O) B và tính góc DAB Vấn đề: vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) đó dựa vào khoảng cách OO’ và R; R’ ta có các khả sau: Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thì hai đường tròn này tiếp xúc Nếu OO’ = R +R’ thì hai đường tròn có điểm chung và điểm này là giao điểm OO’ và hai đường tròn Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài Nếu OO’ < R+R’ thì hai đường tròn này cắt hai điểm Hai điểm này nhận OO’ làm trung trực Nếu OO’ > R+R’ thì hai đường tròn không cắt và ngoài OO’ < R-R’ thì hai đường tròn đựng (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa (O; R) Hai đường tròn đồng tâm là hai đường tròn có cùng tâm Nếu có hai đường tròn thì tiếp tuyến chung chúng và đường nối tâm OO’ đồng quy - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung - Nếu đồng quy bên ngoài đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung ngoài - Điếm đồng quy này chia OO’ theo tỉ lệ tỉ lệ hai bán kính Bài tập: Hãy điền vào bảng sau vị trí (O; R) và (O’; R’) biết: R R’ OO’ Quan hệ 8cm 7cm 9cm 15cm 6cm 9cm 5cm 3cm 10cm 12cm 4cm 6cm 10cm 8cm 18cm 1dm 8cm 2dm Cho hai đường tròn (A; R1); (B; R2) và (C; R3) đôi tiếp xúc ngoìa Tính R1; R2 và R3 biết AB= 5cm; AC= 6cm và BC=7cm Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 5cm) cắt A và B Tính độ dài dây cung chung AB biết OO’ = 8cm (63) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho (O; R) và đường tròn (O’; R’) cắt A và B với R > R’ Vẽ các đường kính AOC và AO’D C/m ba điểm B; C và D thẳng hàng Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B; vẽ cát tuyến chung MAN cho MA=AN Đường vuông góc với MN A cắt OO’ I C/m I là trung điểm OO’ Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Gọi M là giao điểm hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung C/m BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ M Hai đường tròn (O; R) và (O’; R) và tiếp xúc ngoài M Đường tròn (O) và (O’) cùng tiếp xúc với đường tròn lớn (O”; R”) E và F Tính bán kính R” biết chu vi tam giác OO’O” là 20cm Cho đường tròn (O; 9cm); vẽ hình tròn bán kính R tiếp xúc với (O) và đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh nó Tính bán kính R Cho hai đường tròn đồng tâm; đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB=CD và cùng tiếp xúc với đường tròn nhỏ M và N cho AB CD I Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA=3cm và IB= 9cm Vấn đề: đường tròn ngoại tiếp- nội tiếp và bàng tiếp tam giác… đa giác Cho tam giác ABC, đường tròn qua đỉnh A; B và C tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm cách đỉnh nên là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi là đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp là điểm cách cạnh nên nó là giao điểm ba đường phân giác Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài hai cạnh (AB và AC) gọi là đường tròn bàng tiếp góc A Vậy đường tròn bàng tiếẩmtong góc A có tâm là giao điểm phân giác góc A và hai phân giác ngoài B và C Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp Tam giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn này gọi là ngoại tiếp tam giác Tam giác ngoại tiếp đường tròn thì đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài tập: Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) Tính: c Cạnh tam giác ABC d Chiều cao AH theo R Cho tam giác ABC D là điểm trên cạnh BC Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD C/m B; H và O thẳng hàg Cho tam giác ABC vuông A có AB=c; AC=b Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp C/m : b+c = 2(R+r) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O; r) có AB=c; AC=b và BC=a C/m: diện tích tam giác ABC (a+b+c) r Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung Góc tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn Góc này cắt đường tròn A và B đó cung AB là cung bị chắn góc tâm AOB Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung đó So sánh cung: cung nào lớn thì có số đo lớn và ngược lại Cung nào có góc tâm lớn thì lớn và ngược lại Bài tập: Cho (O; 5cm) và điểm M cho OM=10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB Tính góc tâm hai tia OA và OB tạo Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB D và AC E So sánh các cung BD; DE và EC (64) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) với R > r Điểm M ngoài (O; R) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), cắt (O; R) A và B (A nằm M và B); cắt (O; R) C và D (C nằm D và M) C/m: hai cung AB và CD Vấn đề: Liên hệ cung và dây Cho (O) cung AB là đường cong chạy từ A đến B theo đường tròn Còn dây (dây cung) là đoạn thẳng AB Ta chú ý với hai điểm A và B trên (O) luôn tạo hai cung lớn và cung nhỏ Sau đây ta xét cung nhỏ Hai dây cung <=> hai cung Dây lớn <=> cung lớn Bài tập: Cho (O) đường kính AB Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song Qua O vẽ đường vuông góc AC M và BD N So sánh hai cung AC và BD AmB AnB Cho (O) và dây cung AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: a Tính số đo cung theo độ b C/m: khoảng cách từ tâm O đến dây AB là AB/2 Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: AB 2CD C/m: AB < 2.CD Vấn đề: góc nội tiếp Góc nội tiếp (O) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O) và hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm trên đương tròn Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm cùng chắn cung đó Chú ý là cùng cung Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn Cùng cung có thể có nhiều góc nội tiếp thì các góc này Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì là góc vuông 900 Các cung thì góc nội tiếp chắn cung đó và ngược lại Cung nào lớn thì góc nội tiếp chắn cung đó lớn Bài tập: sd AC Cho (O) có hai bán kính OA và OB vuông góc Lấy C trên (O): sd BC Tính các góc tam giác ABC Cho tam giác ABC cân A và có góc A là 500 Nửa đường tròn đường kính accắt AB D và BC H Tính số đo các cung AD; DH và HC Cho (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD E C/m: CD2= 4AE.BE Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A và dây cung AX gọi là góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung Số đo góc này ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc này ½ số đo cung AX Số đo góc này số đo góc nội tiếp chắn cung đó Bài tập: Cho (O) và ba điểm A; B và C trên (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A M So sánh các góc: AMC ; ABC va ACB Cho hai đường tròn (O) >(O’) tiếp xúc ngoài A Qua A kẽ hai cát tuyến BD và CE (B; C (O’) còn D; E (O)) C/m: ABC ADE Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc I là điểm trên cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài M thì: IC=CM a Tính góc AOI b Tính độ dài OM (65) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên ngoài đường tròn Cho (O) và M (O) đó có hai đường thẳng cùng qua M tạo thành góc Góc này là góc bên đường tròn Hai đường thẳng này cắt đường tròn tạo thành các cung Khi đó số đo góc đường tròn tổng số đo hai cung này chia hai A B M C D sdCD sd AB AMB CMD Cho (O) và M ngoài (O) đó góc mà các cạnh nó luôn tiếp xúc cắt (O) gọi là góc ngoài đường tròn (O) M Khi đó góc này cắt đường tròn tao thành hai cung; cung lớn và cung nhỏ Số đo góc ngoài sđ cung lớn – cung nhỏ sau đó chia hai C A C A A M M n m M B D B B AMB sdCD sd AB AMB sdCB sd AB AMB sd AmB sd AnB Bài tập: Cho điểm A; B; C và D theo thứ tự trên (O) cho: số đo các cung sau: AB= 400; CD=1200 Gọi I là giao điểm AC và biến đổi M là giao điểm DA và CB kéo dài Tính các góc CID và AMB Cho (O); từ M ngoài (O) ta vẽ cát tuyến MAC và MBD cho góc CMD có số đo 400 Gọi E là giao điểm AD và BC Biết góc AEB là 700; tính số đo các cung AB và CD Cho (O) và M ngoài (O); vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC qua O (B nằm M và C) Đường tròn đường kính MB gặp MA E C/m: sd AnC sd BmA sd BkE với AnC; BmA và BkE là các cung góc AMC Vấn đề: cung chứa góc Cho đoạn thẳng AB cố định đó quỹ tích các điểm M cho: AMB cho trước là cung Cung này gọi là cung chứa góc độ nhận AB làm dây Cho dây AB và độ đó ta có hai cung chứa góc độ nhận AB làm dây và hai cung này đối xứng qua AB Cách vẽ cung chứa góc độ nhận AB làm dây sau: 3.1 Có AB: A vẽ tia At tạo AB góc 3.2 Tại A vẽ tia Ax At cắt trung trực AB O 3.3 Vẽ cung tròn (O; OA) phía chứa O 3.4 Khi đó cung này chính là cung chứa góc nhận AB làm dây 3.5 Ta lấy O’ đối xứng O qua AB và vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đượ cung thứ hai Baì tập: Vẽ cung chứa góc 450 trên đoạn AB= 4cm (66) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vẽ cung chứa góc 1200 trên đoạn CD= 10cm Cho (O) có đường kính AB, điểm C di động trên (O) Gọi M là giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động trên đường nào? Vấn đề: tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp là tứ giác có đỉnh nằm trên đường tròn Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C và D cùng nằm trên đường tròn Tứ giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn gọi là ngoại tiếp tứ giác đó Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tứ giác đó Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) đó OA= OB= OC = OD =R Chú ý: O có thể nằm ngoài tứ giác; có thể nằm nằm trên cạnh không phải lúc nào nằm Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800 Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 B+D=1800 thì ABCD nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: a Chỉ A+C =1800 b Chỉ B+D=1800 c Chỉ bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc đường tròn nào đó cụ thể d Chỉ các góc nội tiếp A và B cùng nhìn CD góc Bài tập: Cho ▲ ABC có AB>AC Vẽ ba đường cao AH; BK và CF; I là trực tâm ▲ ABC Nêu tên các tứ giác nội tiếp đường tròn nối HK; KF và FH cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy A và B: OA=2cm; OB=6cm trên Oy lấy hai điểm C và D: OC=3cm; OD=4cm nối BD và AC c/m: ABCD nội tiếp Cho (O) và A (O) Từ M trên tiếp tuyến A vẽ cát tuyên MBC Gọi I là trung điểm BC C/m: AMIO nội tiếp Vấn đề: đa giác ngoại tiếp nội tiếp đường tròn Đa giác là đa giác có tất các cạnh và góc Đa giác nội tiếp (O) là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên (O) Khi đó đường tròn gọi là ngoại tiếp đa giác Đa giác ngoại tiếp (O) là đa giác có các cạnh cùng tiếp xúc (O) Khi đó (O) gọi là ngoại tiếp đa giác Mỗi đa giác có đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nôị tiếp và hai đường này đồng tâm Tâm này là giao điểm hai đường trung trực hai cạnh là hai đường phân giác hai góc Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến cạnh Khoảng cách này gọi là trung đoạn đa giác Cho n giác cạnh a đó: 7.1 Chu vi đa giác: 2p= na với p là nửa chu vi (tên thường dùng) (n 2).1800 n 7.2 Mỗi góc có số đo: A=B=…= (67) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 7.3 7.4 7.5 7.6 a 1800 2sin n (dùng tỉ số lượng giác) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R= a 180 tan n Bán kính đường tròn nội tiếp r= 2 Ta có: R -r = a /4 Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r Bài tập: Cho (O; R) Nêu cách vẽ hình vuông ABCD nội tiếp (O) Tính trung đoạn hình vuông theo R Cho ▲ ABC cạnh 6cm a Vẽ đường tròn ngoại tiếp ▲ ABC b Vẽ đường tròn nội tiếp ▲ ABC c Tính hai bán kính R và r Cho (O; 6cm) Nêu cách vẽ lục giác nội tiếp Tính trung đoạn lục giác đó (dùng hai đường tròn phụ) Vấn đề: độ dài đường tròn diện tích hình tròn Đường tròn là đường biên ngoài còn hình tròn là phần và biên Cho (O; R) đó độ dài đường tròn chính là chu vi đường tròn: C= 2R R.n l 1800 Vì đường tròn 3600 dài 2 R nên 10 dài Nếu cho cung n0 trên (O; R) thì độ dài cung là: 2R R 360 180 sau đó ta nhân lên Diện tích của(O; R) là : S= R2 n0 R 3600 = Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 đó hình quạt OAB có diện tích: Squạt OAB = lab.R/2 Hình viên phân là ta lấy phần quạt bỏ tam giác OAB là viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB Hình xuyến là hình tạo có hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r Bằng cách lấy đường tròn lớn và bỏ đường tròn nhỏ Phần là hình xuyến Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ( R2-r2) =3.14… thường dùng là =3.14 Bài tập: Cho = 3,14 hãy điền vào các bảng sau: R Đường kính d Độ dài C Diện tích 94,2 28,26 Cho (O; 10cm) tính độ dài các cung có số đo: 300; 600 và 1200 lấy =3,14 Đường tròn (O; R) có độ dài cung AB là 1cm và số đo cung AB là 300 Tính bán kính R Cho (O; 10cm) tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung 600; 900 và 1200 Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường tròn đường kính OA và OB nửa dường tròn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC, lấy A trên (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC phía ngoài tam giác ABC (68) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C/m: SABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngoài (O) Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta có thể ba điểm tạo thành góc bẹt (1800) Vận dụng tính chất các đường đồng quy C/m hai tia AB và AC trùng theo tiên đề Ơclit(cùng song song đường) Chỉ điểm cùng nằm trên đường nào đó Có thể AB+BC=AC Bài tập: Cho hình vuông ABCD, lấy BC làm cạnh vẽ tam giác BCF ngoài hình vuông, lấy AB làm cạnh vẽ tam giác ABE hình vuông C/m: D; E và F thẳng hàng Cho ▲ ABC có AB < AC, trên tia đối BA và CA lấy hai điểm D và E: BD=CE Gọi I là trung điểm BC, M là trung điểm DE Vẽ hai hình bình hành BIFD và CIGE ngoài ▲ ABC C/m: F; M và G thẳng hàng cho ▲ ABC vuông A gọi H là hình chiếu A xuống BC vẽ tiếp tuyến BD và CE với đường tròn (A; AH) c/m: D; A và E thẳng hàng cho (O) và (O’) cắt A và B qua A kẽ cát tuyến cắt (O) C và (O’) D đường kính DO’I cắt đường kính COC’ M c/m: A; I vàC’ thẳng hàng Cho nửa đươừng tròn (O) đường kính AC và nửa đường tròn (O’) đường kính AB với AB < AC và tiếp xúc A Vẽ đường vuông góc trung điểm I BC gặp nửa (O) M; vẽ tiếp tuyến PD với (O’) C/m:A; D và M thẳng hàng Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng Dùng hai tam giác Dùng tính chất tam giác; hình thang cân; hình bình hành;… Sử dụng tính chất đường chéo các hình Tính chất đường trung bình Sử dụng tính chất bắc cầu Bài tâp: Cho hình vuông ABCD tâm O; qua O kẽ hai đường MON và EOF vuông góc O với M; N AB và CD còn E;F AC và BC C/m: MN=EF Cho tam giác ABC cân A Một điểm M AB và trên tia đối tia CA lấy N: CN=BM Nối MN cắt BC I.c/m: MI=IN Cho ▲ ABC có AB<AC Qua trung điểm M BC vẽ đường vuông gócvới phân giác góc A cắt AB I và AC K C/m: BI=CK Cho nửa (O) có đường kính AB=2R Lấy hai điểm C và D trên cung AB: cung AC; CD và BD Kéo dài dây AC đoạn: EC=AC và kéo dài AD đoạn DI=AD Nối BI C/m: BI=AE Cho ▲ ABC có AB > AC và góc A gấp đôi góc B Một điểm M AB và D trên tia đối AC: AM=AD Nối DM kéo dài cắt BC N C/m: MN=BN Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt và các góc tạo thành có góc vuông 900 Cho điểm O và d đó có đường thẳng qua O và d Cho a//b đó c a thì c b Ngoài ta còn dùng các tính chất khác xem hai đường thẳng là hai cạnh tam giác vuông Xét các tính chấtấtm giác cân; tam giác vuông; hình thoi, hình chữ nhật;… Để c/m hai đường thẳng vuông góc Bài tập: Cho ▲ ABC Trên tia đối CB lấy điểm M cho CM=AB C/m: AM AB Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy M và trên tia đối tia CD lấy N: CN=CM C/m: DM BN Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB Từ M ngài (O) vẽ các tiếp tuyến MA và MC MC kéo dài gặp AB I CO kéo dài gặp MA kéo dài N C/m: MO NI biết góc AMC 600 (69) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho (O) Vẽ hai tiếp tuyên xy // x’y’ với hai tiếp điểm A và B; vẽ hai tiếp tuyến t //t’ với C và D là hai tiếp điểm t cắt xy và x’y’ M; N t’ cắt xy và x’y’ K và I C/m: MI NK Cho (O) đường kính AB Kéo dài AB đoạn BC và kéo dài dây cung AD đoạn DM cho AB.AC=AD.AM C/m: MC AB Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung( không làm gì) Hai đường thẳng song song có đường thẳng cắt qua và tạo các cặp: 2.1 So le 2.2 Đồng vị 2.3 Các góc cùng phía đồng vị Hai đường thẳng cùng vuông góc đường thứ ba thì song song Hai cạnh đối hình bình hành thì song song Tính chất dường trung bình tam giác và hình thang Các tính chất các hình khác hình hộp chữ nhật… Tính chất bắc cầu: a//b và b//c thì a//c Bài tập: Cho ▲ ABC có AB<AC Ba trung tuyến AM; BD và CK Từ K kẽ Kx//BD và từ D kẽ Dy//AB hai đường này gặp I C/m: AM//CI Cho (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc Từ C kẽ Cx cắt AB M và (O) N Đường vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến với (O) vẽ từ N I Vẽ tiếp tuyến ID C/m: Cx //OI Cho hình năm cạnh lồi ABCDE Gọi M; N ;H và K là trung điểm các cạnh AB; CD; BC và DE Nối MN và HK Gọi I; F là trung điểm MN và HK C/m: IF//AE Vấn đề: c/m các đường thẳng đồng quy Các đường thẳng đồng quy là các đường thẳng đó cùng qua điểm Ta có thể điểm O nào đó và c/m các đường thẳng cùng qua nó Ta gọi O là giao điểm hai đường thẳng và đường còn lại qua nó Ta dùng tính chất các đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để các đường cùng qua trung điểm cạnh nào đó Vận dụng tính chất các đường đồng quy tam giác Ta vận dụng định lí Talet đảo các đoạn song song Bài tập: Cho ▲ ABC có AB <AC và H là trực tâm Gọi M; N; P là trung điểm các cạnh: AB; BC và AC E; F và G là trung điểm AH; BH và CH C/m: MG; PF và EN đồng quy Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E; F; G và H là trung điểm các cạnh: BC; AB; AD và CD I; J là trung điểm hai đường chéo BD và AC C/m: FH; GE và IJ đồng quy Cho hình thang ABCD đáy lớn AB và đáy nhỏ CD Gọi M và M’ là trung điểm AB và CD C/m: AD; BC và MM’ đồng quy Cho ▲ ABC có AB<AC Vẽ phía ngoài tam giác ba hình vuông: ABHI; ACED và BCFG Nối DI; EF và GH Gọi AJ; BK và CL lấn lượt là ba đường cao các ▲ AID; ▲ BHG và ▲ CEF.c/m: AJ; BK và CL đồng quy ( Sử dụng các trung điểm ▲ ABCtính chất trung tưyến) Vấn đề: c/m hệ thức hình học Tức là ta phải c/m đẳng thức đúng từ các kiện đề bài cho Ta thường dùng các công thức tam giác vuông bài xuất góc vuông (xem phần trước) Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số và từ tỉ số này ta suy đẳng thức cần c/m Chú ý là có thể sử dụng tính chất bắc cầu nhiều tam giác đồng dạng Vận dụng công thức diện tích và phân tích hình thành nhiều tam giác và cộng diện tích lại Sử dụng tam giác để chuyển cạnh cần thiết Dùng các tính chất đường trung bình; hình bình hành; đoạn chắn bỡi các đường thẳng //… (70) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài tâp: Cho (O) có đường kính AB Qua A kẽ tiếp tuyến xy Một điểm M Ax; nối BM cắt (O) C C/m: MA2= MB.MC Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D là điểm trên cung BC (cung nhỏ) CD và AB kéo dài cắt M; BD và AC kéo dài cắt N C/m:AB2= BM.CN Cho ▲ ABC có AB<AC Từ M AB vẽ MEF //BC cắt AC E và đường thẳng song song AB vẽ từ C F AC cắt BF I C/m: IC2 = IE.IA Cho hình chữ nhật ABCD có AB=36mm; AD=24mm Từ D nối đến trung điểm M AB cắt AC I và CB kéo dài K C/m: ID2=IM.IK Cho ▲ ABC vuông A Vẽ phân giác AD góc A (D BC) Gọi khoảng cách từ D đến AB là 1 d C/m: d b c (sdct S) Cho (O; R) và hai dây cung song song AD và BE hai phía dây AB và cùng hợp với AB góc 450 Nối DE cắt AB M C/m: MA2+MB2+MD2+ME2= 4R2 (Sdtccung c/m:M=1vuông Kẽ đường kính BC và xét tchìnhthang cung ▲v) Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: Chỉ A+C =1800 Chỉ B+D=1800 Chỉ bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc đường tròn nào đó cụ thể Chỉ các góc nội tiếp A và B cùng nhìn CD góc Bài tập: Cho (O) đường kính AB M là điểm trên tiếp tuyến xBy AM cắt (O) C; lấy D BM; nối AD cắt (O) I C/m: CIDM nội tiếp Cho ▲ ABC vuông A có AB=5cm và AC= cm Đường cao AH (H BC) Đường tròn (H; HA) cắt AB D và AC E C/m: CEBD nội tiếp Cho (O) đường kính AB; từ A và B vẽ Ax AB và By BA Vẽ tiếp tuyến x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax C và By D OC cắt AM I và OD cắt BM K C/m: CIKD nội tiếp Cho (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi M là trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn E và Bx I Tiếp tuyến từ E cắt Bx D C/m: MODE nội tiếp Vấn đề: tính góc Để tính góc ta dùng các tính chất góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ Các tính chất góc tam giác; góc và góc ngoài Vận dụng tính chất tổng các góc tam giác; tứ giác Vận dụng tính chất phân giác; phân giác và phân giác ngoài vuông góc Vạn dụng tính chất góc nội tiếp Vận dụng tính chất các tam giác đồng dạng Các tính chất góc và hai đường thẳng song song Các tính chất hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;… Bài tâp: Cho ▲ ABC cân A và góc A 200 Lấy D AC cho góc CBD=600 và lấy E AB: góc BCE=500 Tính góc BDE Cho ▲ ABC cân A có trung tuyến AM và phân giác CD Tính góc A biết AM=CD/2 Cho ▲ ABC cân A và A=800 Lấy I ▲ ABC cho: góc IBC=100 và ICB=300 Tính góc BIA Cho (O) có đường kính AB Dây cung AC> BC Trên đường AC lấy hai điểm M và N đối xứng qua C và BC=MC=CN Tính các góc ANB và AMB Cho tứ giác ABCD có AB= 3 cm; BC=3cm ; CD=23 cm và góc BAD=ADC=600 Tính các góc: ABC và BCD (71) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho ▲ ABC có AB<AC Gọi (O) là đường tròn nội tiếp ▲ ABC Các tiếp điểm thuộc cạnh AB và AC là M và N Gọi K là giao điểm phân giác góc BAC và MN Tính góc AKC Cho ▲ ABC nội tiếp (O; R) cho: BC-CA=R và BC.CA=R2 Tính các góc ▲ ABC các bài toán ôn tập cho ▲ ABC vuông A có AB = 8cm và AC=5cm ve các đường tròn tâm O đường kính AC và O’ đường kính AB cắt M a c/m: C; M và B thẳng hàng b gọi H là hình chiếu M lên AB và H’ trên AC Tính: BC; AM; CM; BM; MH và MH’ c tiếp tuyến C (O) cắt AM E tính EC cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R kéo dài AB và lấy trên đó đoạn BP=AB gọi AM PhÇn : H×nh häc Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài C Kẻ các đờng kính COA và CO’B Qua trung ®iÓm M cña AB , dùng DE AB a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i ? b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G d) *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O’ , vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vuông góc với CD Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R R Δ POQ 25 c) Khi PC= CMR = Δ CED 16 d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD chúng cùng quay theo mét chiÒu vµ trän mét vßng quanh CD Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên đờng tròn b) Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g× ? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ? Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và điểm A trên đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bÊt k× , dùng tiÕp tuyÕn QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E là trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động trên Ax c) H¹ BK Ax , BK c¾t QO t¹i H CMR tø gi¸c OBHA lµ h×nh thoi vµ suy quü tÝch cña ®iÓm H Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE a) Tø gi¸c AFEC lµ h×nh g× ? T¹i ? b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC , chøng minh H , I , E th¼ng hµng BH c) CMR OI = và H ; F đối xứng qua AC Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O B và C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E a) So s¸nh AMO víi NMC ( - đọc là góc) b) Chøng minh N , B , E th¼ng hµng vµ O’P = R ; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O’ Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB Đờng tròn này cắt đờng tròn O C và D a) Tø gi¸c ODBC lµ h×nh g× ? T¹i ? b) CMR OC AD ; OD AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B (72) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng d cắt đờng tròn đó hai điểm cố định A và B Từ điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp ®iÓm ) TÝnh c¸c gãc cña Δ MPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45 ❑0 Gọi I là trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên đờng tròn Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ M chạy trên d Bài 128: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E và cắt đờng tròn t¹i M a) CMR OM BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) KÐo dµi Ax c¾t CB kÐo dµi t¹i F CMR FB EC = FC EB ( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác tam giác ) Bµi 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), mét cung trßn BC n»m ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B và C Trên cung BC lấy điểm M hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB , IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC , IH a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI là phân giác HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ BC Bµi 130: Cho ABC ( AC > AB ; B^ A C > 900 ) I , K theo thứ tự là các trung điểm AB , AC Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) CMR ba ®iÓm B , C , D th¼ng hµng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R √ , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN a) CMR OI MN Suy I di chuyển trên cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C là bốn đỉnh hình vuông c) TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ®o¹n AB , AC vµ cung nhá BC cña (O) Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F bất kì Trªn d©y BF lÊy ®iÓm E cho BE = AF a) AFC vµ BEC cã quan hÖ víi nh thÕ nµo ? T¹i ? b) CMR FEC vu«ng c©n c) Gọi D là giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với E là điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC c¾t AB ë M , EA c¾t CD ë N a) CMR AMC đồng dạng ANC b) CMR : AM.CN = 2R2 CN c) Gi¶ sö AM=3MB TÝnh tØ sè ND ¿❑ ❑ Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính các cungAM , MB ; gäi Q lµ trung ®iÓm cña d©y MB , K lµ giao ®iÓm cña AM , HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp các điểm R M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lÇn lît t¹i M, N a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy BC2 = BM.CN b) CMR : MO, NO theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c c¸c gãc BMN, MNC (73) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho các tia Ox,Oy cắt các cạnh AB, AC tam giác ABC Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M ≠ A , B ) Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng tròn đó Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N và P Đờng thẳng AM cắt By C và đờng th¼ng BM c¾t Ax t¹i D Chøng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP b) N vµ P lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) và I là điểm chính cung AB (cung AB không chứa C vµ D ) D©y ID , IC c¾t AB lÇn lît t¹i M vµ N a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn b) IC vµ AD c¾t t¹i E ; ID vµ BC c¾t t¹i F CMR EF // AB Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C ) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) t¹i I a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i ? b) Chøng minh ba ®iÓm I , B , E th¼ng hµng c) CMR: MI là tiếp tuyến đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC (Lớp10- đề toán) Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và điểm M di động trên nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M và tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn này cắt MA , MB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C , D a) Chøng minh : CD // AB b) Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đờng thẳng MN luôn qua điểm K cố định c) CMR : KM.KN không đổi Bài 140: Cho đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D trên đờng tròn cho C , D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi các điểm chính các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao ®iÓm cña MN víi AC , AD lÇn lît lµ H , I ; giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a) CMR: Δ NKD ; ΔMAK c©n b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So s¸nh gãc CAK víi gãc DAK Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên đờng thẳng theo thứ tự và đờng thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR : CM.CD kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g× ? T¹i ? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy trên đờng tròn cố định M di động Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính cung AM Tia BH cắt AM điểm I và cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) điểm K Các tia AH ; BM c¾t t¹i S a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại ? Suy điểm S nằm trên đờng tròn cố định b) Xác định vị trí tong đối đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA) c) Đờng tròn qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) điểm N CMR đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định M di động trên cung AB ^ A=900 d) Xác định vị trí M cho M K Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn và P là điểm chính cung AB không chứa C và D Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I ; c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K CMR: a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFD tiÕp xóc víi PA t¹i A (74) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt các điểm B , C và cắt Ax điểm M Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E a) CMR: M lµ trung ®iÓm cña BC b) CMR: Δ O1MO2 vu«ng c) Chøng minh B , A , E th¼ng hµng ; C , A , D th¼ng hµng d) Gọi I là trung điểm DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Bài 145: Cho (O;R) trên đó có dây AB = R √ cố định và điểm M di động trªn cung lín AB cho tam gi¸c MAB cã ba gãc nhän Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB ; P , Q lÇn lît lµ c¸c giao điểm thứ hai các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao điểm các đờng thẳng PB , QA a) CMR : PQ là đờng kính đờng tròn (O) b) Tø gi¸c AMBS lµ h×nh g× ? T¹i ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm các đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy trên đờng tròn cố định Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyÕn PM (M lµ tiÕp ®iÓm ) a) CMR : BM // OP b) §êngth¼ng vu«ng gãcvíi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N Tø gi¸c OBNP lµ h×nh g× ? T¹i ? c) Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN víi OP ; I lµ giao ®iÓm cña ON víi PM ; J lµ giao ®iÓm cña PN víi OM CMR : K , I , J th¼ng hµng d) Xác định vị trí P cho K nằm trên đờng tròn (O) Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tø gi¸c CMPO lµ h×nh g× ? T¹i ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A và B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt các điểm thứ hai E , F a) CMR: B , F , C th¼ng hµng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung các đờng tròn (O) , (O’) Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M và cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C và D ( D nằm góc BOM ) a) CMR c¸c tia OC , OD lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AOM , BOM b) CMR : CA vµ DB vu«ng gãc víi AB c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD d) CMR : AC.BD = R2 Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và điểm M trên đờng tròn Gọi các điểm chính c¸c cung AM , MB lÇn lît lµ H , I C·c d©y AM vµ HI c¾t t¹i K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) H¹ ΙΡ ⊥ ΑΜ Chøng minh IP lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) c) Gọi Q là trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định (75) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 90 và ^ D=90 Gọi M là điểm trên nửa đờng tròn cho C là điểm chính chính cung AM Các dây AM , CO BM c¾t OC , OD lÇn lît t¹i E vµ F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g× ? T¹i ? b) CMR : D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M và cắt các tia OC , OD lần lợt I , K CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C và D cho điểm M , O , B , K , S cùng thuộc đờng tròn Bµi 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , mét cung trßn BC n»m bªn tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B , C cho A và tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ các đ ờng vu«ng gãc MI , MH , MK xuèng c¸c c¹nh t¬ng øng BC , CA , AB Gäi giao ®iÓm cña BM , IK lµ P ; giao ®iÓm cña CM , IH lµ Q a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC PhÇn II: H×nh häc Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bµi 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D và E lần lợt là điểm chính các cung AB và AC DE cắt AB ë I vµ c¾t AC ë L a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh ch÷ nhËt c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nµy Bµi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vuông góc xuống cạnh tứ giác thì đờng vuông góc này qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó b) Gọi M, N, R, S là trung điểm các cạnh tứ giác đã cho Chứng minh MNRS là hình chữ nhật c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này qua chân các đờng vuông góc hạ từ I xuống các cạnh cña tø gi¸c Bµi 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đờng cao Hai đờng tròn đờng kính AB và AC có tâm là O1 và O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) và (O2) lần lợt M và N a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×? c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch đờng nh nào? Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C) H và K lần lợt là hình chiếu P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I và M a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đờng tròn Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt các điểm E, F Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc đờng tròn c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp Bµi 2: Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE và CF cắt H.Gọi D là điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng tròn đó b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ là I Chứng minh điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên đờng tròn (76) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt A và B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên đờng tròn Bµi 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt E Vẽ EF vuông gãc AD Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc Bµi 5: Từ điểm M bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy ®iÓm C VÏ CD AB, CE MA, CF MB Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ DE, K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bµi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD và CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ đó suy OA DE Bµi 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song víi BM c¾t CM t¹i N a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC 1 c)* Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ CM Chøng minh r»ng: + = AM MB MD Bµi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A và C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B và C Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai là F Hai dây BC vµ MF c¾t t¹i E Chøng minh r»ng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định Bµi 9: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M là trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN b) Chøng minh r»ng AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC là hình thoi Tính diện tích cử hình thoi đó Bµi 10: Cho đờng tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D là điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động trên dây AB c) Gọi O' là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chøng minh r»ng MAB = AO'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bµi 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vu«ng gãc víi AD ( E AD) a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chøng minh r»ng CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA CH và cung nhỏ AH đờng tròn nói trên biết AC= 6cm, ACB = 300 Bµi 12: Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F (77) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh r»ng AME = ACB c) Chứng minh AM là tiếp tuyến đờng tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bµi 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D là tiếp điểm) a) Chøng minh r»ng C, M, D th¼ng hµng b) Chứng minh CD là tiếp tuyến đờng tròn (O) c) TÝnh tæng AC + BD theo R d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600 Bµi 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BD, DA t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm trên đờng tròn b) Chøng minh r»ng ba ®iÓm N, I, P th¼ng hµng c) Gäi giao ®iÓm cña tia BO víi MN, NP lÇn lît lµ H, K Tam gi¸c HNK lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí trên tia AC Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt hai điểm A và B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt C và C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt D và D' a) Chøng minh C, B, D' th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bµi 2: Từ điểm C ngoài đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM và AB đồng quy điểm D b) Chứng minh các tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bµi 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) và (O') theo thứ tự B và C ( B và C khác A) EF là dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D a) Tø gi¸c BEFC lµ h×nh gi? b) Chøng minh ba ®iÓm A, D, F th¼ng hµng c) CF cắt đờng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’) Bµi 4: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài C AC và BC là đờng kính (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoµi (D (O), E (O’)) AD c¾t BE t¹i M a) Tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c g×? b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’) c) KÎ Ex, By vu«ng gãc víi AE, AB Ex c¾t By t¹i N Chøng minh D, N, C th¼ng hµng d) Về cùng phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB và OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bµi 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngoài (O) Từ điểm chính P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD c) Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng luôn qua A, B Chứng minh IQ luôn qua điểm cố định Bµi 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động trên AB N di động trên tia đối tia CA cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A và D Chứng minh D cố định b) TÝnh gãc MDN c) MN c¾t BC t¹i K Chøng minh DK vu«ng gãc víi MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn Bµi 3: (78) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho (O ; R) Điểm M cố định ngoài (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A và B Tiếp tuyến (O) A và B cắt t¹i C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H cát tuyến quay quanh M c) CH c¾t AB t¹i N, I lµ trung ®iÓm AB Chøng minh MA.MB = MI.MN d) Chøng minh: IM.IN = IA2 Bµi 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O C là điểm chính cung AB M di động trên cung nhỏ AC Lấy N thuéc BM cho AM = BN a) So s¸nh tam gi¸c AMC vµ BCN b) Tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c g×? c) KÎ d©y AE//MC Chøng minh tø gi¸c BECN lµ h×nh b×nh hµnh d) Đờng thẳng d qua N và vuông góc với BM Chứng minh d luôn qua điểm cố định Bµi 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C và D Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I lµ trung ®iÓm cña CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đờng tròn b) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB, tø gi¸c OAHB lµ h×nh g×? c) Khi M di đồng trên d Chứng minh AB luôn qua điểm cố định d) §êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi OA c¾t AB, AD lÇn lît t¹i E vµ K Chøng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học Bµi 1: Cho đờng tròn (O) và dây AB M là điểm chính cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chøng minh MA2 = MC.MD b) Chøng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD Chứng minh R + R2 không đổi C di động trên AB Bµi 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến A, B lần lợt C và E a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB và CE cắt F Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên AB HA FA + Chøng minh r»ng: = HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động trên nửa đờng tròn Bµi 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P bất kì Các đờng thẳng AP và BC cắt 1 t¹i Q Chøng minh r»ng: = + PQ PB PC Bµi 4: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A và cắt Oy hai ®iÓm B, C Chøng minh c¸c hÖ thøc: 1 + 2= a) AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các bài toán tính số đo góc và số đo diện tích Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O); C (O’)) a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC và các cung AB, AC hai đờng tròn Bµi 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K) a) Chøng ming r»ng EC = MN b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN (79) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bµi 3: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn Từ điểm M trên cung nhỏ BC kÎ mét tiÕp tuyÕn thø ba c¾t hai tiÕp tuyÕn t¹i P vµ Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 và bán kính đờng tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp , K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O là trung ®iÓm cña IK a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bµi 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E là điểm trên đờng tròn mà AE > EB M là điểm trên đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chøng minh AOM vu«ng t¹i O b) OM cắt đờng tròn C và D Điểm C và điểm E cùng phía AB Chứng minh ACM đồng dạng víi AEC c) Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Gi¶ sö tØ sè diÖn tÝch hai tam gi¸c Acm vµ AEC lµ TÝnh AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích Bµi 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn đó Gọi D là hình chiÕu cña B trªn AM vµ P lµ giao ®iÓm cña BD víi CM a) Chøng minh BPM c©n b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển trên đờng tròn (O) Bµi 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M trên d và ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiÕp tuyÕn MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động trên d b) Xác định vị trí M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động trên d Bµi 3: Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt hai điểm A và B Đờng thẳng d qua A cắt các đờng tròn (O) và (I) lần lợt P, Q Gọi C là giao điểm hai đờng thẳng PO và QI a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm AP, AQ, K là trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = cm; AC = cm vµ A’C = 13 cm TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh hình hộp chữ nhật đó Bµi 2: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ cã diÖn tÝch mÆt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √ cm2 TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toàn phần hình lập phơng đó Bµi 3: Cho h×nh hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 60 TÝnh thÓ tÝch vµ diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó Bµi 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh và thể tích nó biết cạnh đáy dài cm vµ gãc AA’B b»ng 300 Bµi 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a Bµi 6: (80) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a và đờng cao là a √ 2 a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác b) TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên a a) TÝnh diÖn tÝch to¸n phÇn cña h×nh chãp b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp Bµi 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là cm Tính thể tích hình chóp cụt đó Bµi 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp b) Chøng minh r»ng bèn mÆt bªn lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp Bµi 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh nã Bµi 12: Một hình nón có bán kính đáy cm và diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón đó Bµi 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm và đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt đó Bµi 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đó Bµi tËp H×nh tæng hîp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF là đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E và F cùng nhìn BC dới góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH = => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC = => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) (81) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 = C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB HM => CHM c©n t¹i C => CB là đơng trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED Chứng minh tơng tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đờng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo gi¶ thiÕt: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 900 AD là đờng cao => AD BC => BDA = 900 Nh E và D cùng nhìn AB dới góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đờng cao nên là đờng trung tuyến => D lµ trung ®iÓm cña BC Theo trªn ta cã BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E Vậy DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt N Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900 Chøng minh AC BD = AB 4 Chøng minh OC // BM Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD Chøng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lêi gi¶i: (82) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900 Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang L¹i cã I lµ trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đờng trung bình hình thang ACDB => IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB là tiếp tuyến O đờng tròn đờng kính CD CN AC CN CM Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy = = BN BD BN DM => MN // BD mµ BD AB => MN AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O lµ trung ®iÓm cña IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lêi gi¶i: (HD) Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI BK hayIBK = 900 Tơng tự ta có ICK = 900 nh B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK đó B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = √ 202 − 122 = 16 ( cm) 2 CH2 = AH.OH => OH = CH =12 = (cm) AH 16 OC = √ OH2 +HC2 =√ 92+ 122=√ 225 = 15 (cm) Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d Lêi gi¶i: (HS tù lµm) Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính (83) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh vËy K, A, B cïng nhìn OM dới góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM AB t¹i I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI là đờng cao áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH AB; còng theo trªn OM AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ có đờng thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động nhng luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE là tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Lêi gi¶i: (HD) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến BEC => BEC là tam giác cân => B1 = B2 Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH vµ BE AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M Ta cã ABM néi tiÕp ch¾n cung Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn AM; AOM lµ gãc ë t©m Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Lêi gi¶i: (HS tù lµm) (84) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 AOM ch¾n cung AM => ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c AOM ( t/c AOM hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM IB ( theo trªn) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao tam giác ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B BAF là tam giác cân B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iÓm cña cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) (85) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC là đờng cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh và đờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi đó AC AE không đổi ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối tứ giác CDFE đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n Chứng minh PM là tiếp tuyến đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng trßn ) => AMS = 900 Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M’ nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số đo => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’ Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S) (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM M => PM là tiếp tuyến đờng tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) các điểm D, E, F BF cắt (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp = CB CF Lêi gi¶i: (86) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE) Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AB AC => DF // BC DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp đợc đờng tròn Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy ®iÓm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn N đờng tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nµo Lêi gi¶i: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ) Nh M và N cùng nhìn OP dới góc 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC CM CO => CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) (87) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC là tứ gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) => AE AF AEF ACB => AC AB => AE AB = AF AC * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tơng tự ta có O2F EF Vậy EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) TÝnh MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) (88) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Gọi E là giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Lêi gi¶i: Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D và A cùng nhìn BC dới góc 900 nên A và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh BA, EM, CD là ba đờng cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => A2 = B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (H×nh b) C©u : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CE CS SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chøng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp (89) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 90 nh F và A cùng nhìn BC dới góc 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; từ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ là tø gi¸c néi tiÕp * Vì AM là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm AM Tam giác ABC có AH là đờng cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP là đờng cao => SABM = AB.MP Tam giác ACM có MQ là đờng cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH là đờng cao nên là đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là đờng cao => OH PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C và D Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp Lêi gi¶i: => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) Ta có : ACB = 90 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) (90) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCID nên MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trên Ta có BC MA; AD MB nên BC và AD là hai đờng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB Theo giả thiết thì MH AB nên MH là đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 Mµ A1 + M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung điểm cña ®o¹n AB Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Lêi gi¶i: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì là hai gãc kÒ bï); DE AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MBID nên MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE AB t¹i M nªn M còng là trung điểm DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đờng thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 20 Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên đờng tròn Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Lêi gi¶i: BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (91) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Theo gi¶ thiÕt DE AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB M) nh F và M cùng nhìn BD dới góc 900 nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên đờng tròn Theo giả thiết M là trung điểm AB; DE AB M nên M là trung điểm DE (quan hệ đờng kÝnh vµ d©y cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình tho => BE // AD mµ AD DF nªn suy BE DF Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF DF mà qua B có đờng thẳng vuông góc với DF ®o B, E, F th¼ng hµng Theo trªn DF BE; BM DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC là đờng cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo trªn DF BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 21 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, trên (I) lấy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chứng minh các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Lêi gi¶i: Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lợt là các bán kính đờng tròn (O) và đờng tròn (I) Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc A OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy IP // OQ APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => OP AQ => OP là đờng cao OAQ mà OAQ cân O nên OP là đờng trung tuyến => AP = PQ (HD) Kẻ QH AB ta có SAQB = AB.QH mà AB là đờng kính không đổi nên SAQB lớn QH lớn QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI AO mµ theo trªn PI // QO => QO AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB và đó H trung với O; OQ lớn nên QH lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH DE t¹i H nªn BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nên H và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => BHCD là tứ giác néi tiÕp BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800 (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2) (92) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC KDB => KB KD => KC KD = KH.KB (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E B th× H B; E C th× H C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên đờng trßn Chứng minh MC là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông F (1) FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp đờng tròn suy CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => ®iÓm b, k, e, m, c cùng nằm trên đờng tròn CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC C => MC là tiếp tuyến đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB A Gọi H là giao điểm CD và AE, Chứng minh đờng trung trực cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH D Chứng minh OD là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE F Lêi gi¶i: O H AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) / _ 0 => AEB = 90 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 45 _K => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB / I B E C Gọi K là trung điểm HE (1) ; I là trung điểm HB => IK là đờng trung bình tam giác HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE HE t¹i E => IK HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1 (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 (4) Theo trên ta có CD và AE là hai đờng cao tam giác ABC => H là trực tâm tam giác ABC => BH là đờng cao tam giác ABC => BH AC F => AEB có AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID t¹i D => OD là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE (93) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) B và C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp Chøng minh MI2 = MH.MK Chøng minh PQ MI Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AB = AC => ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 1800 mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2) MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => MH MI => MI2 = MH.MK Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị nhau) Theo giả thiết MI BC nên suy IM PQ Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M là điểm chính cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB Chøng minh : KC AC AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp = KB AB Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC là tiếp tuyến đờng tròn M Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MB MC => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c KC AC = cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB (HD) Theo gi¶ thiÕt CD AB => A lµ trung ®iÓm cña CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => OM BC t¹i I => OIC = 900 ; CD AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp KÎ MJ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM BC => OM MJ t¹i J suy MJ lµ tiếp tuyến đờng tròn M Bài 27 Cho đờng tròn (O) và điểm A ngoài đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) B và C Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: (94) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO = BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (nội tiếp cùng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => HIM KHM MI MH Theo trªn HIM KHM => MH MK => MI.MK = MH2 Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H là trực tâm tam giác ABC; E là điểm đối xứng H qua BC; F là điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F nằm trên đờng tròn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo giả thiết F là điểm đối xứng H qua trung điểm I BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (đối đỉnh) => BAC + BHC = 1800 Theo trên BHCF là hình bình hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O) * H và E đối xứng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) Ta có H và E đối xứng qua BC => BC HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trên F (O) và FEA =900 => AF là đờng kính (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( vì cùng phụ ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trên AF là đờng kính (O) => O là trung điểm AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm HF => OI là đờng trung bình tam giác AHF => OI = 1/ AH Theo giả thiết I là trung điểm BC => OI BC ( Quan hệ đờng kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le GI OI GI trong); lại có OGI = HGA (đối đỉnh) => OGI HGA => GA HA mà OI = AH => GA mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Bài 29 BC là dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động trên cung lớn BC cho O luôn nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (95) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn Lêi gi¶i: (HD) Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF ABC Vẽ đờng kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cùng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK là đờng trung bình AHK => AH = 2OA’ áp dụng tính chất : hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hia trung tuyến, tỉ số hai bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng ta có : R AA ' R ' AA1 (1) đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC; R’ là bán kính đờng tròn AEF ABC => ngo¹i tiÕp AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF Tứ giác AEHF nội tiếp đờng tròn đờng kính AH nên đây là đờng tròn ngoại tiếp AEF AH 2A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lợt là các đờng cao các tam giác OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R AA ' mà AA ' là tỉ số trung tuyến hai tam giác đồng dạng AEF và ABC nên AA ' EF FD ED = BC Tơng tự ta có : OB’ = R AC ; OC’ = R AB Thay vào (3) ta đợc EF FD ED BC AC AB AC AB 2SABC = R ( BC ) 2SABC = R(EF + FD + DE) * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn SABC Ta có SABC = AD.BC BC không đổi nên SABC lớn AD lớn nhất, mà AD lớn A là điểm chính giìa cña cung lín BC Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đờng cao AH và bán kính OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH Gi¶ sö B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM BC; Theo gi¶ thiÕt AH BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH (96) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 VÏ d©y BD OA => AB AD => ABD = ACB Ta cã OAH = DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 B C 1200 B 700 B C 200 C 50 => R 1202 R R R R (4 3) R 3600 2= 12 b) Svp = SqBOC - S BOC = tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC Kẻ BM cắt đờng tròn D Đờng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp · · b) ABD = ACD · c) CA lµ ph©n gi¸c cña SCB Bµi tËp Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt E Vẽ EF vuông góc víi AD Chøng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA lµ ph©n gi¸c cña BCF c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi tËp Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chứng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp Cho tam giác ABC vuông A và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn các điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song víi FG d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy Bµi tËp Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A 90 ; AB > AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C) Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm MN và AB Chứng minh: a Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc đờng tròn b CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCS TA TC c TD TB Bµi tËp Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và cát tuyến bất kì cắt đờng tròn P, Q Gọi L là trung điểm PQ (97) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc đờng tròn · b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña MLN c/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña ML víi (O) Chøng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh KLN c©n Bµi tËp Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng v ới ểm A v à AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn t ại hai ểm E v à B ( E n ằm B và H) Chứng minh góc ABE góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH Lấy điểm C trên d cho H là trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB= R Bµi tËp Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P Chøng minh r»ng: C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bµi tËp Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F thứ tự là hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm BC, AB Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF Bµi tËp 10 Cho đờng tròn tâm O và điểm A bên ngoài đờng tròn Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đờng trßn ( B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) Gäi Hlµ trung ®iÓm cña DE a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn này b) Chøng minh: HA lµ tia ph©n gi¸c BHC c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE Chøng minh: AB2 = AI.AH d) BH c¾t (O) t¹i K Chøng minh: AE // CK Bµi tËp 11 Từ điểm S ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD đờng tròn đó a) Gọi E là trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B cùng thuộc đờng tròn b) NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao? AC.BD BC.DA AB.CD c) Chømg minh r»ng: Bµi tËp 12 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 13 Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI C cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2) Chøng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bµi tËp 14 Cho ABC vuông A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB E, cắt AC F a) Chøng minh AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b) Chøng minh:BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF d) Gäi M lµ lµ giao ®iÓm cña CE vµ BF H·y so s¸nh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c BMC (98) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi tËp 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bµi tËp 16 Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA và MB Trên cung nh ỏ AB l ểm C V ẽ CD AB; CE MA; CF MB Gọi I là giao điểm AC và DE; K là giao điểm BC v à DF Ch ứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF c) IK CD Bµi tËp 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M là điểm di động trên cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh DMC b) Chøng minh MB + MC = MA c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ? Bµi tËp 18 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d Bµi tËp 19 Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B và C (BC không là đờng kính (O)) Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm BC; K là trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D Chøng minh: AE2 = AB.AC Tø gi¸c AEOF Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên đờng tròn ED song song víi Ac Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc đờng thẳng cố định Bµi tËp 20 µ Cho ABC có các góc nhọn và A = 45 Vẽ đờng cao BD và CE ABC Gọi H là gia điểm BD và CE a) Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp DE b) TÝnh tØ sè BC c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE Bµi tËp 21 Cho tam giác nhọn PBC Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M và N Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC điểm thứ hai E a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P cùng nằm trên đờng tròn Hãy xác định tâm và bán kính đờng trßn Êy b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC c/ Gọi F là điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE Bµi tËp 22 Cho tam giác vuông ABC ( A 90 ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C) Đờng tròn đờng kính DC cắt BC các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC điểm F (F không trùng víi D) Chøng minh: a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn (99) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 c AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF Bµi tËp 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A và D cắt E Gọi I là giao điểm hai đờng chéo AC và BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S Chøng minh: * I lµ trung ®iÓm cña RS 1 * AB CD RS Bµi tËp 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I là giao điểm Fx vµ Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên đờng tròn b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào? Bµi tËp 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đờng tròn đờng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó theo R Bµi tËp 26 Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó Một đờng tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ đó suy (O) thay đổi qua M, N thì T, T’ thuộc đờng tròn cố định b) Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K lµ trung ®iÓm cña MN Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N thì TT’ luôn qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT’ = 600 Bµi tËp 27 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A và C) Vẽ đờng tròn đờng kính MC Gọi T là giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai là D Đờng thẳng AD cắt đờng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai S Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp · b) Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi c) AB//ST Bµi tËp 28 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt A, B Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt các điểm C, D Lấy M trên cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm hai đờng thẳng CM, DN là P a Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ABC vuông A (AB < AC) H nằm A và C Đường tròn (O) đường kính HC c BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA là tia phân giác KCB Bµi tËp 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC - AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ Bµi tËp 31 (100) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E là điểm chính cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH AB c) Cho BC = R Tính PK Bµi tËp 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng tròn (O) Gọi H là trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên đờng tròn b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña BHC c) DE c¾t BC t¹i I Chøng minh : AB AI.AH R OH= TÝnh HI theo R d) Cho AB=R vµ Bµi tËp 34 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính và cắt A và B Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn E và F (E (O1); F (O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C (O 1); D (O2)) Gọi P là giao điểm CE và DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I là trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? Bµi tËp 36 Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC, CD lÇn lît lÊy ®iÓm E, F cho EAF 45 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng Bµi tËp 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; trên tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bµi tËp 38 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN, cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC c Chøng minh AE.AC AI.IB = AI2 d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhá nhÊt Bµi tËp 39 (101) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Cho ba điểm A, B, C trên đờng thẳng theo thứ tự và đờng thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy trên đờng tròn cố định Bµi tËp 40 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B và C Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C) Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuèng BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · b/ Chøng minh: MHI = MK H c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tËp 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M và Q là hai điểm trên (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) các điểm thứ hai là N và P Chøng minh: Tích BN.BM không đổi Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O và P là trung điểm cung AB không chứa C và D Hai dây PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a Gãc CID b»ng gãc CKD b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB Bµi tËp 43 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D a Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB b Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh các tiếp tuyến M và E đờng tròn (O) cắt điểm nằm trên đờng th¼ng CD 0 d Cho biÕt BAM 45 vµ BAE 30 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R Bµi tËp 44 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I là trung điểm cña MN Tõ A kÎ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K Gäi C lµ giao ®iÓm cña Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D là giao điểm thứ hai tia Ax với (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ 600; trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn này Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn c) Các đờng thẳng AB và CG cắt M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao? d) Chøng minh: MBG c©n Bµi tËp 46 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn hai điểm A, B Từ điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H là trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên đờng tròn b Chøng minh KN.KC = KH.KO c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN và MN d Một đờng thẳng qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt E và F Xác định vị trí C trªn d cho diÖn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt Bµi tËp 47 Cho BC là dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A là điểm di động trên cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt H (D BC; E CA; F AB) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ đó suy AE.AC = AF.AB Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh r»ng: AH = 2OA' (102) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S là diện tích ABC, 2p là chu vi DEF Chứng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B và D cắt điểm K a Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành Bµi tËp 49 Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm trên đờng tròn Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi các giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC các điểm thứ hai tơng ứng là M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H là trực tâm tam giác AOP Chứng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn Bµi tËp 50 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm I nằm A và O (I khác A và O) Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 và góc COD = 900 Gọi M là điểm trên nửa đờng tròn cho C là điểm chính cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lÇn lît t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M và cắt các tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C và D cho điểm M, O, B, K, S cùng thuộc đờng tròn Bµi tËp 52 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm dây cung AB Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên đờng tròn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến đờng tròn (O) Bµi tËp 53 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đờng tròn đờng kính BC I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chứng minh MI là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC Bµi tËp 54 Cho đờng tròn (0) và điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm dây MN, I là giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đờng tròn a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc đờng tròn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bµi tËp 55 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Tõ M kÎ c¸t tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I và O nằm trên đờng tròn b IAB AMO c O lµ trung ®iÓm cña FE (103) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi tËp 56 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành Bµi tËp 57 Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn Đờng thẳng qua O vuông góc với xy H cắt đờng tròn (O) A và B M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy E, đờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K a) Chøng minh: IM = IF b) Chứng minh: điểm E, M, K, F cùng thuộc đờng tròn c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O) d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp AMH M di động trên (O) Bµi tËp 58 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A và O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) M và N Gọi S là giao điểm BM và AN Qua S kẻ đ ờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt K và H Hãy chứng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM 2) KM là tiếp tuyến đờng tròn (O; R) 3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59 Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM P và Q a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) Xác định vị điểm S trên tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA Bµi tËp 60 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là điểm chính cung AB K thuộc cung BM ( K khác M và B ) AK c¾t MO t¹i I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P là hình chiếu K lên AB) Bµi tËp 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng tròn này thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t t¹i F Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tø gi¸c AIFK Bµi tËp 62 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I cho OA AI = KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC - AI IB = AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhÊt Bµi tËp 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P là điểm chính cung nhỏ AB ; DP cắt AB E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chøng minh: IK // AB c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC (104) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chứng minh: R + R2 = 4R PA Bµi tËp 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a E là điểm chuyển trên đoạn CD (E khác D), đ ờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy AFK vuông cân 2) Gọi I là trung điểm FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF, suy điểm A, B, F, I cùng nằm trên đờng tròn Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B cho OA = OB M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với Oy B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB 2) Chứng minh M nằm trên cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 là ngắn Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát ến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn b) Chứng minh HA là tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E vaø F Bieát BF caét CE taïi H vaø AH caét BC taïi D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC OK c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm BC Tính tỉ số BC tứ giaùc BHOC noäi tieáp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây MN vuông góc với OA C Gọi K là điểm tuỳ ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn và tính giá trị lớn đó Bµi tËp 70 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt A và B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J là trung điểm AC và AD 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gọi M là giao diểm CO1 và DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên đờng tròn 3) E là trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn Bµi tËp 71 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E và F 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bµi tËp 72 Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ngoài đờng tròn ) Từ điểm chính cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp (105) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tuyÕn nµy c¾t t¹i M Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn MC CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cña gãc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam giác ABC vuông A và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn các điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song víi FG d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy Bµi tËp 75 Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O) a Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP là hình g×? c Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD; J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO; K lµ trung ®iÓm cña AD Chøng tá r»ng c¸c ®iÓm I, J, K th¼ng hµng Bµi tËp 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M là điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh AMB HMK 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn G ọi C l à ểm trên n ửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C v à B Các tia AC, AD c Bx l ần l ượt t ại E và F a, Chứng minh ABE vuông cân b, Chứng minh ABF BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC và BD cắt t¹i E Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên đờng tròn Bµi tËp 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chứng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B 45 ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt B và C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B và C) hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh t¬ng øng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IK; Q lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH Chøng minh PQ MI Bµi tËp 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Hạ các đờng cao AD, BE tam giác C¸c tia AD, BE lÇn lît c¾t (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ M, N Chøng minh r»ng: Bốn điểm A,E,D,B nằm trên đờng tròn Tìm tâm I đờng tròn đó MN// DE (106) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đ ờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi Bµi tËp 82 Cho điểm A ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) M là ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M B ; M C ) Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm MB và DF ; K là giao điểm MC và EF 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) Tìm vị trí M trên cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Bµi tËp 83 Cho ABC vuông cân A AD là trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K là hình chiếu vuông góc M trên AB, AC H là hình chiếu vuông góc c I trên đoạn DK a/Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn đó c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đờng cao AD và BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đờng cao còn lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sö CH = AB TÝnh sè ®o cña gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A và tiếp tuyến D đờng tròn (O) c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD Chøng minh: CAB AOD a b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M là trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O D và E N ối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iÓm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vuông góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm và DKE ABE Bµi tËp 88 Từ điểm A ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) M là M B; M C Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, mét ®iÓm trªn cung nhá BC, AB Gäi P lµ giao cña MB vµ IK; Q lµ giao cña MC vµ IH a Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI là phân giác góc KMH c Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM Bµi tËp 90 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) phía nửa mặt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iÓm B, cã tiÕp ®iÓm thø tù lµ E vµ F Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t ® êng trßn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt I (107) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ngoài đường tròn) Từ điểm chính cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 4) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE góc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam giác ABC vuông A và có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC Đờng tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) D và E Gọi F là giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh: a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b AF // BD c Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng d Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bµi tËp 94 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt A và B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyÕn víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') t¹i N §êng trßn t©m I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P a Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm trên đờng tròn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E và F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H là trung ®iÓm cña ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên đờng tròn c Tam gi¸c PQO c©n d PM2 = PE.PF e PHM PHN Một số đề thi tuyển sinh THPT §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1998 – 1999) C©u I (2®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x 3y 3x 4y 2 C©u II (2,5®) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm các giá trị m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình) C©u III (4,5®) Cho tam giác ABC vuông cân A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O 1) là đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB B, gọi (O 2) là đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC C Đờng tròn (O1) và (O2) cắt D (D kh«ng trïng víi A) 1) Chøng minh r»ng tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c vu«ng 2) Chøng minh O1D lµ tiÕp tuyÕn cña (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên đờng tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn C©u IV (1®) Cho sè d¬ng a, b cã tæng b»ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: (108) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a2 b2 C©u I Cho hµm sè f(x) = x2 – x + §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1999 – 2000) 1) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = vµ x = -3 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x f(x) = vµ f(x) = 23 C©u II Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx y 2 x my 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m C©u III Cho tam giác ABC vuông B (BC > AB) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm đờng trßn néi tiÕp víi c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lµ P, Q, R 1) Chøng minh tø gi¸c BPIQ lµ h×nh vu«ng 2) Đờng thẳng BI cắt QR D Chứng minh điểm P, A, R, D, I nằm trên đờng tròn 3) §êng th¼ng AI vµ CI kÐo dµi c¾t BC, AB lÇn lît t¹i E vµ F Chøng minh AE CF = 2AI CI §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1999 – 2000) C©u I 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành C©u II Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 C©u III Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC t¹i P vµ c¾t AB t¹i Q 1) Chøng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gäi H lµ mét ®iÓm n»m tam gi¸c ABC cho HB2 = HA2 + HC2 TÝnh gãc AHC §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2000 – 2001) C©u I Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy C©u II Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : 1) x2 + x – 20 = 1 2) x x x 3) 31 x x C©u III Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đờng cao tam giác (H BC) 1) Chøng minh tø gi¸c ABDC lµ h×nh ch÷ nhËt 2) Gäi M, N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B, C trªn AD Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC 3) Gọi bán kính đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R Chøng minh : r + R AB.AC (109) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2000 – 2001) C©u I Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = C©u II Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) C©u III Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D và cắt đờng tròn ngo¹i tiÕp t¹i I 1) Chøng minh OI vu«ng gãc víi BC 2) Chøng minh BI2 = AI.DI 3) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¹nh BC Chøng minh r»ng : BAH CAO C HAO B 4) Chøng minh : §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2001 – 2002) C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) x2 – = 2) x2 + x – 20 = 3) x2 – x – = C©u II (2,5®) Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ®iÓm C(0 ; 2) C©u III (3®) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lÇn lît t¹i E vµ F 1) Chøng minh AE = AF 2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH 3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành C©u IV (1®) x y 3200 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2001 – 2002) C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 2(x – 1) – = 5x + 2) 3x – x2 = x x 1 2 x 3) x C©u II (2,5®) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P) 1) C¸c ®iÓm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; -4) cã thuéc (P) kh«ng ? 2) Xác định các giá trị m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P) C©u III (3®) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB M và cắt cạnh AC N 1) Chứng minh MN là đờng kính đờng tròn đờng kính AH 2) Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp 3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC I Chứng minh: BI = IC C©u IV (1®) (110) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 là nghiệm phơng trình: x2 + 6x + = x , từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – Chøng minh r»ng thµnh nh©n tö C©u I (3®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 4x2 – = x x x 4x 24 x2 2) x x §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2002 – 2003) 3) 4x 4x 2002 C©u II (2,5®) x2 Cho hµm sè y = 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lợt là và -2 Viết phơng trình đờng thẳng AB 3) Đờng thẳng y = x + m – cắt đồ thị trên hai điểm phân biệt, gọi x và x2 là hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 C©u III (3,5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB (D kh«ng trïng víi A, O, B) Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD 1) Chøng minh OI song song víi BC 2) Chứng minh điểm I, J, O, D nằm trên đờng tròn 3) Chøng minh r»ng CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC vµ chØ OI = OJ C©u IV (1®) 74 3 T×m sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ §Ò sè (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2002 – 2003) C©u I (2,5®) Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = C©u II (3®) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 x x x2 x2 2) 1 x12 x 22 x1x x x1 x x12 x12 x22 x22 3) C©u III (3,5®) Cho đờng tròn tâm O và M là điểm nằm bên ngoài đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn MAB 1) Gọi I là trung điểm AB Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên đờng tròn 2) PQ c¾t AB t¹i E Chøng minh: MP2 = ME.MI 3) Gi¶ sö PB = b vµ A lµ trung ®iÓm cña MB TÝnh PA C©u IV (1®) Xác định các số hữu tỉ m, n, p cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12 §Ò sè 10 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (1,5®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 5 2 18 A= (111) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 C©u II (2®) x Cho hµm sè y = f(x) = 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x hµm sè trªn nhËn c¸c gi¸ trÞ : ; -8 ; - ; 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lợt là -2 và Viết phơng trình đờng thẳng qua A và B C©u III (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl C©u IV (3,5®) Cho hình vuông ABCD, M là điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc M trªn AB, BC vµ AD 1) Chøng minh : MIC = HMK 2) Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ C©u V (1®) Chøng minh r»ng : (m 1)(m 2)(m 3)(m 4) lµ sè v« tØ víi mäi sè tù nhiªn m §Ò sè 11 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) x Cho hµm sè y = f(x) = ) ), 1) H·y tÝnh f(2), f(-3), f(f( 3 3 ; 1; 2; 2; , D có thuộc đồ thị hàm số không ? ,B 2) C¸c ®iÓm A ,C C©u II (2,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1 1) x x 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) C©u III (1®) Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + = x x x x1 TÝnh (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) C©u IV (3,5®) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt A và B, tiếp tuyến chung hai đờng tròn phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chøa B, cã tiÕp ®iÓm víi (O 1) vµ (O2) thø tù lµ E vµ F Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t (O 1) vµ (O2) thứ tự C và D Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt I Chứng minh: 1) IA vu«ng gãc víi CD 2) Tø gi¸c IEBF néi tiÕp 3) §êng th¼ng AB ®i qua trung ®iÓm cña EF C©u V (1®) Tìm số nguyên m để m2 m 23 lµ sè h÷u tØ §Ò sè 12 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2004 – 2005) C©u I (3®) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua: (112) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) A(-1; 3) ; b) B( ; -5 ) ; c) C(2 ; -1) 2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 2x – điểm nằm góc vuông phần t thứ IV C©u II (3®) Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 9x + = 0, gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: a) x1 + x2 ; x1x2 3 b) x1 x c) x1 x 2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x1 x và x x1 là nghiệm C©u III (3®) Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC Gọi E là giao điểm AM với CN 1) Chøng minh tø gi¸c AMNC néi tiÕp 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB và BC 3) Kẻ đờng kính MK đờng tròn đờng kính AB Chứng minh điểm K, B, N thẳng hàng C©u IV (1®) Xác định a, b, c thoả mãn: 5x a b c x 3x x x x 1 §Ò sè 13 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2004 – 2005) C©u I (3®) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: 1 ; 5 2; a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C 2) Thay m = Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y = x – C©u II (3®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a 1)x y a x (a 1)y 2 cã nghiÖm nhÊt lµ (x; y) 1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức x y nhận giá trị nguyên C©u III (3®) Cho tam gi¸c MNP vu«ng t¹i M Tõ N dùng ®o¹n th¼ng NQ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c MNP cho NQ = NP vµ MNP PNQ vµ gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ, MI c¾t NP t¹i E 1) Chøng minh PMI QNI 2) Chøng minh tam gi¸c MNE c©n 3) Chøng minh: MN PQ = NP ME C©u IV (1®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x x 3x 10x 12 2 x 7x 15 A= víi x x §Ò sè 14 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2005 – 2006) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: (113) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 x y xy x y y x x y xy N= ;(x, y > 0) 1) Rót gän biÓu thøc N 2) Tìm x, y để N = 2005 C©u II (2®) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh B = x13 + x23 C©u III (2®) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là và đổi chỗ hai chữ số cho thì ta đợc số số ban đầu C©u IV (3®) Cho nửa đờng tròn đờng kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P M, P N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ I và từ N kẻ NK vuông góc với đờng thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm trên đờng tròn 2) Chøng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P trên nửa đờng tròn cho NK.MQ lớn C©u V (1®) Gäi x1, x2, x3, x4 lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = TÝnh: x1x2x3x4 §Ò sè 15 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2005 – 2006) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: a a a a 1 a a N= 1) Rót gän biÓu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 C©u II (2®) x 4y 6 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 4x 3y 5 2) Tìm giá trị k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x y= ;y= vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm C©u III (2®) Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất 80 cây Biết số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là ; bạn nam trồng đợc nhiều b¹n n÷ c©y TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷ cña tæ C©u IV (3®) Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đờng tròn qua N và P Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đờng tròn (O) (Q và K là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm NP 1) Chứng minh điểm M, Q, O, I, K nằm trên đờng tròn 2) Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) F Chứng minh QF song song với MP 3) Nèi QK c¾t MP t¹i J Chøng minh : MI MJ = MN MP C©u V (1®) Gäi y1 vµ y2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : y2 + 5y + = T×m a vµ b cho ph¬ng tr×nh : x2 + ax + b = cã hai nghiÖm lµ : x1 = y12 + 3y2 vµ x2 = y22 + 3y1 §Ò sè 16 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi (3®) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x + = b) 2x - x2 = (114) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2x y 3 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 5 y 4x Bµi (2®) 1) Cho biÓu thøc: a 3 a1 a a (a 0; a 4) a a P= a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 Bµi (1®) Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lúc là km/h Tính vận tốc lúc « t« Bµi (3®) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chứng minh: a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE.DN = EN.BD Bµi (1®) 2x m Tìm m để giá trị lớn biểu thức x §Ò sè 17 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi (3®) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 5(x - 1) - = b) x2 - = 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Bµi (2®) 1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1) x x 5 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình x2 - 2(m - 1)x - = (m là tham số) Tìm m để 3) Rót gän biÓu thøc: x 1 x1 x (x 0; x 1) P = x 2 x 2 Bµi (1®) Một hình chữ nhật có diện tích 300m Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ nhật míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu TÝnh chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu Bµi (3®) Cho điểm A ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là tiếp điểm) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C) Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF 1) Chøng minh: a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bµi (1®) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ §Ò sè 18 (§Ò thi cña thµnh phè H¶i Phßng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x ay 1 (1) ax y 2 1) Gi¶i hÖ (1) a = (115) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm nhÊt C©u II (2®) Cho biÓu thøc: x2 x x1 : x x x x 1 x A= , víi x > vµ x 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Chøng minh r»ng: < A < C©u III (2®) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt C©u IV (3®) Từ điểm M ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và cát tuyến MCD (MC < MD) tới đờng tròn Gọi I là trung điểm CD Gọi E, F, K lần lợt là giao điểm đờng thẳng AB với các đờng thẳng MO, MD, OI 1) Chøng minh r»ng: R2 = OE OM = OI OK 2) Chứng minh điểm M, A, B, O, I cùng thuộc đờng tròn 3) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD Chøng minh : DEC 2.DBC C©u V (1®) Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = Chøng minh r»ng: 14 xy yz zx x y z §Ò sè 19 (§Ò thi cña tØnh B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) 1) TÝnh : 1 21 x y 1 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y 5 C©u II (2®) Cho biÓu thøc: x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= 1) Rót gän A 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên C©u III (2®) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tèc thùc cña ca n« C©u IV (3®) Cho đờng tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; trên tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H Chứng minh: 1) BMD BAC , từ đó suy tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp 2) HK song song víi CD 3) OK OS = R2 C©u V (1®) Cho hai sè a, b tho¶ m·n : 1 a b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh Èn x sau lu«n cã nghiÖm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = §Ò sè 20 (§Ò thi cña tØnh Th¸i B×nh n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: (116) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 x x x 4x x 2003 x x 1 x2 x A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? C©u II (2®) Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003) 2) Song song với đờng thẳng x – y + = x 3) TiÕp xóc víi parabol y = - C©u III (3®) 1) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh : Một hình chữ nhật có đờng chéo 13m và chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật đó 2) Chứng minh bất đẳng thức: 2002 2003 2002 2003 2003 2002 C©u IV (3®) Cho tam giác ABC vuông A Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy E Nối BE và kéo dài c¾t AC t¹i F 1) Chøng minh CDEF lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) KÐo dµi DE c¾t AC ë K Tia ph©n gi¸c cña gãc CKD c¾t EF vµ CD t¹i M vµ N Tia ph©n gi¸c cña gãc CBF c¾t DE vµ CF t¹i P vµ Q Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh g× ? T¹i sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh rằng: r = r12 r22 §Ò sè 21 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2007 – 2008) C©u I (2®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 2x – = ; C©u II (2®) 2) x2 – 4x – = S x x1 x1 x 1) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2x – = cã hai nghiÖm lµ x1 , x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 1 a 3 a víi a > vµ a 9 2) Rót gän biÓu thøc : A = a C©u III (2®) mx y n 1; 1) Xác định các hệ số m và n, biết hệ phơng trình nx my 1 có nghiệm là 2) Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đờng tròn (O) Kẻ đờng kính AD Gọi M là trung điểm AC, I lµ trung ®iÓm cña OD 1) Chøng minh OM // DC 2) Chøng minh tam gi¸c ICM c©n 3) BM c¾t AD t¹i N Chøng minh IC2 = IA.IN Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0) Tìm m cho chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt §Ò sè 22 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2007 – 2008) C©u I (2®) 2x 0 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 4x 2y (117) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u II (2®) x x 4 1) Cho hµm sè y = f(x) = 2x2 – x + TÝnh f(0) ; f( ) ; f( ) x x 1 x x x x x 2) Rót gän biÓu thøc sau : A = víi x 0, x C©u III (2®) 1) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x) x2 – (m + 2)x + m2 – = Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp? 2) Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, ph¶i ®iÒu c«ng nh©n ®i làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động công nhân là nh C©u IV (3®) Cho đờng tròn (O ; R) và dây AC cố định không qua tâm B là điểm bất kì trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Kẻ đờng kính BB’ Gọi H là trực tâm tam giác ABC 1) Chøng minh AH // B’C 2) Chøng minh r»ng HB’ ®i qua trung ®iÓm cña AC 3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Chứng minh điểm H luôn nằm trên đờng tròn cố định C©u V (1®) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m + 1)x – 4m – và điểm A(-2 ; 3) Tìm m để khoảng cách từ A đến đờng thẳng trên là lớn §Ò sè 23 C©u I (2®) 2 x x y 2 1, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x x y C©u II (2®) x x x , víi x > vµ x Cho biÓu thøc P = x 1) Rót gän biÓu thøc sau P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = C©u III (2®) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Biết (d) cắt trục hoành điểm có hoành độ và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003 1) T×m a vµ b x2 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) (d) và Parabol y = C©u IV (3®) Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P và Q là các tiếp điểm Đờng thẳng qua O vuông góc với OP và cắt đờng thẳng AQ M 1) Chøng minh r»ng MO = MA 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ đờng tròn (O) Tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ lÇn lît t¹i B vµ C a) Chøng minh : AB + AC – BC kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm N b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC C©u V (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2x x x2 3x x §Ò sè 24 C©u I (3®) 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : (118) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 P = 14 14 2) Cho biÓu thøc : x 2 x x 1 x x x x Q= , víi x > ; x a) Chøng minh r»ng Q = x ; b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị nguyên C©u II(3®) a 1 x y 4 ax y 2a Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a lµ tham sè) 1) Gi¶i hÖ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y C©u III(3®) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) cho M khác A và Q khác A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) ®iÓm thø hai lµ N vµ P Chøng minh : 1) Tích BM.BN không đổi 2) Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp 3) BN + BP + BM + BQ > 8R C©u IV (1®) x 2x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y = x 2x §Ò sè 25 C©u ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc : 1 x −1 + ¿2 − √1 − x 2 √ x − √ x+1 A=¿ 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rót gän biÓu thøc A 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x A = -2 C©u ( ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 3x x C©u ( ®iÓm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) a) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với (D) C©u ( ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a E là điểm chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đ ờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F , đờng thẳng vuông góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy tam giác AFK vuông cân 2) Gọi I là trung điểm FK , Chứng minh I là tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF , suy điểm A , B , F , I cùng nằm trên đờng tròn §Ò sè 26 C©u ( ®iÓm ) Cho hµm sè : y = x 1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi hàm số 2) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + m – = 1) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc (119) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 x 21+ x 22 −1 Từ đó tìm m để M > M= x1 x 2+ x x 22 2) Tìm giá trị m để biểu thức P = x 21+ x 22 −1 đạt giá trị nhỏ C©u ( ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) √ x − 4=4 − x b) |2 x+3|=3 − x C©u ( ®iÓm ) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) có bán kính R cắt A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đ ờng tròn (O1) và (O2) thứ tự E và F , đờng thẳng EC , DF cắt P 1) Chøng minh r»ng : BE = BF 2) Mét c¸t tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O1) vµ (O2) lÇn lît t¹i C,D Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng tròn AB = R §Ò sè 27 C©u ( ®iÓm ) 1) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : |x +2|<|x −4| 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn lín nhÊt cña x tho¶ m·n x +1 x −1 > +1 C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 – ( m+ )x +m – = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Tìm các giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng C©u3 ( ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; ) b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với giá trị m C©u ( ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B cho OA = OB M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với Ox A , đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB 2) Chứng minh M nằm trên cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 là ngắn §Ò sè 28 C©u ( ®iÓm ) x+x x +2 Cho biÓu thøc : A=( √ − ): √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc b) TÝnh gi¸ trÞ cña √ A x=4 +2 √ C©u ( ®iÓm ) x−2 x −2 x −1 − = Gi¶i ph¬ng tr×nh : x −36 x −6 x x +6 x C©u ( ®iÓm ) Cho hµm sè : y = x a) T×m x biÕt f(x) = - ; ;0;2 b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hoành độ lần lợt là -2 và C©u ( ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC lấy điểm M Đờng tròn đờng kính AM cắt đờng tròn đờng kính BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E 1) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng 2) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC Chøng minh Δ BCF= ΔCDE 3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC §Ò sè 29 C©u ( ®iÓm ) ( ) (120) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ −2 mx+ y =5 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+3 y=1 ¿{ ¿ c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = d) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m e) Tìm m để x – y = C©u ( ®iÓm ) ¿ x2 + y 2=1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x − x= y − y ¿{ ¿ 2) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2 C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O M là điểm chuyển động trên đờng tròn Từ B hạ đờng thẳng vuông góc với AM cắt CM D Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u ( ®iÓm ) 1 + 1) TÝnh : √5+ √ √ − √ 2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + ) > 2x( x + ) §Ò sè 30 C©u ( ®iÓm ) ¿ + =7 x −1 y+ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : − =4 x −1 y −1 ¿{ ¿ C©u ( ®iÓm ) x +1 Cho biÓu thøc : A= √ : x √ x + x+ √ x x − √ x a) Rót gän biÓu thøc A b) Coi A là hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A C©u ( ®iÓm ) Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = vµ x2 + (2m + )x +2 =0 C©u ( ®iÓm ) Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M trên d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) 1) Chứng minh góc EMO = góc OFE và đờng tròn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi trên d 2) Xác định vị trí M trên d để tứ giác OEMF là hình vuông §Ò sè 31 C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – = a) Chøng minh x1x2 < b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x1 + x2 C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 + 7x + = Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh lËp x1 x2 ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : vµ x −1 x −1 C©u ( ®iÓm ) 1) Cho x2 + y2 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y (121) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ x − y =16 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x + y=8 ¿{ ¿ 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m = C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? §Ò sè 32 C©u1 ( ®iÓm ) Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt C©u ( ®iÓm ) ¿ x+ my=3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+ y=6 ¿{ ¿ c) Gi¶i hÖ m = d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y > C©u ( ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x5+y5 = x3 + y3 Chøng minh x2 + y2 + xy C©u ( ®iÓm ) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD Đờng cao tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K và cắt đờng tròn (O) E a) Chøng minh : DE//BC b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh §Ò sè 33 C©u ( ®iÓm ) Trôc c¨n thøc ë mÉu c¸c biÓu thøc sau : 1 2+ ; B= ; C= A= √ √3+ √2 √ − √2+1 √ 2+ √2 − √ C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( m+2)x + m2 – = (1) a) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m m tho¶ m·n x1 – x2 = b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác C©u ( ®iÓm ) 1 ; b= Cho a= − √3 2+ √ √a ; x = √b LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c hÖ sè b»ng sè vµ cã c¸c nghiÖm lµ x1 = √b+ √ a+ C©u ( ®iÓm ) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt A và B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J là trung điểm AC và AD 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gọi M là giao diểm CO1 và DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên đờng tròn 3) E là trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn §Ò sè 34 C©u ( ®iÓm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x 2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên C©u ( ®iÓm ) (122) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 S=x √1+ y + y √ 1+ x2 víi xy + √ (1+ x )(1+ y )=a C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E và F 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn C©u ( ®iÓm ) Cho F(x) = √ 2− x+ √1+ x a) Tìm các giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn §Ò sè 35 C©u ( ®iÓm ) 1) Vẽ đồ thị hàm số y= x 2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) và ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên C©u ( ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x +1 x + =5 x x +1 C©u ( ®iÓm ) Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC và BC theo thứ tự M và N Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC 1) Chøng minh c¸c tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ c¸c tam gi¸c c©n 2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên đờng tròn C©u ( ®iÓm ) Cho x + y = vµ y Chøng minh x2 + y2 §Ò sè 36 C©u ( ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x +5+ √ x − 1=8 2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2 +ax +a –2 = là bé C©u ( ®iÓm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) và đờng thẳng x – 2y = - a) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đờng thẳng với trục tung và trục hoành là B và E b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng x – 2y = -2 c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đờng thẳng đó Chứng minh EO EA = EB EC và tính diện tích cña tø gi¸c OACB d) C©u ( ®iÓm ) Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = (1) a) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để x 21+ x 22 đạt giá trị bé , lớn C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B , C trên đờng kính AD a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE b) Chứng minh N là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF §Ò sè 37 C©u ( ®iÓm ) ; b= So s¸nh hai sè : a= −√3 √ 11 − √2 C©u ( ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (123) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ x + y =3 a −5 x − y=2 ¿{ ¿ Gọi nghiệm hệ là ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ C©u ( ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x+ y+ xy=5 x 2+ y + xy=7 ¿{ ¿ C©u ( ®iÓm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt P và BC , AD cắt Q Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm 3) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh AB AD+ CB CD AC = BA BC+DC DA BD C©u ( ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : S= 2 + x + y xy §Ò sè 38 C©u ( ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2+ √ −√3 P= + √ 2+ √2+ √3 √2 − √ − √ C©u ( ®iÓm ) 1) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2) Cho ph¬ng tr×nh x2 – x – = cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 H·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ x1 x : ; − x 1− x2 C©u ( ®iÓm ) x −3 Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức : P= lµ nguyªn x +2 C©u ( ®iÓm ) Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ngoài đờng tròn ) Từ điểm chính cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB §Ò sè 39 C©u ( ®iÓm ) ¿ x −5 xy −2 y 2=3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : y + xy + 4=0 ¿{ ¿ C©u ( ®iÓm ) Cho hµm sè : y= x vµ y = - x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – và cắt đồ thị hàm số y= x điểm có tung độ là C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = (124) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm phơng trình là 16 C©u ( ®iÓm ) 1) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : |x − 3|+|x +1|=4 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −1− x −1=0 C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác vuông ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đ ờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD b) Chøng minh EF // BC c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN §Ò sè 40 C©u : ( ®iÓm ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ là - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ là - C©u : ( 2,5 ®iÓm ) 1 A= : 1- x x x x x Cho biÓu thøc : a) Rót gän biÓu thøc A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A x = c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ C©u : ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x x 0 vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 2 2 x x2 a) b) x1 x2 1 3 x x2 x x2 c) d) C©u ( 3.5 ®iÓm ) Cho tam giác ABC vuông A và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn các điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song víi FG d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy §Ò sè 41 C©u ( 2,5 ®iÓm ) a a a a 1 a : a a a a a Cho biÓu thøc : A = a) Với giá trị nào a thì A xác định b) Rót gän biÓu thøc A c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn C©u ( ®iÓm ) Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu C©u ( ®iÓm ) (125) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 x y x y 3 1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x y x y x 5 x x 25 2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x x x 10 x x 50 C©u ( ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB các nửa đờng tròn đờng kính theo thứ tự là AB , AC , CB có tâm lần lợt là O , I , K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm cuae EA , EB với các nửa đ ờng tròn (I) , (K) Chøng minh : a) EC = MN b) MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I) và (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn §Ò sè 42 C©u ( ®iÓm ) 1 1 a 1 1 a 1 a Cho biÓu thøc : A = a a a a 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a C©u ( ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - = 1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 và x2 không phụ thuộc vào m 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 vµ x2 cïng d¬ng C©u ( ®iÓm ) Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô C©u ( ®iÓm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M là điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh AMB HMK 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK C©u ( ®iÓm ) xy ( x y ) 6 yz ( y z ) 12 zx( z x) 30 T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ : §Ó sè 43 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 28 / / 2006 ) C©u ( ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + = b) 2x - x2 = 2 x y 3 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 5 y 4 x C©u 2( ®iÓm ) a 3 a1 a a > ; a 4 4 a a 2 1) Cho biÓu thøc : P = a a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m lµ tham sè ) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại (126) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 3 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 x2 0 C©u ( ®iÓm ) Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 phút B , lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lúc là km/h Tính vận tốc lúc cña « t« C©u ( ®iÓm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE DN = EN BD C©u ( ®iÓm ) 2x m Tìm m để giá trị lớn biểu thức x §Ó sè 44 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 30 / / 2006) C©u (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - ) = b) x2 - = 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ C©u ( ®iÓm ) 1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b Xác định a , b để (d) qua hai điểm A ( ; ) và B ( - ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - = ( m lµ tham sè ) x x2 5 Tìm m để : x 1 x1 ( x 0; x 0) x1 3) Rót gän biÓu thøc : P = x 2 x C©u 3( ®iÓm) Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu giảm chiều rộng m , tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu C©u ( ®iÓm ) Cho điểm A ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) M là ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M B ; M C ) Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm MB và DF ; K là giao điểm MC và EF 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) Tìm vị trí M trên cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; ) và Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ (127) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 (128)