a Tìm điều kiện của x để giá trị cuả phân thức M đợc xác định.. Gọi M, N lần lợt là điểm đối xøng víi D qua AB vµ AC.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH LIÊM TRƯỜNG THCS LIÊM PHONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Rót gän biÓu thøc: A = (2x + 1)2 + (3x - 1)2 + 2(2x + 1)(3x - 1) 2) T×m x, biÕt: 2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26 C©u 2: (4 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x(x + y) - 3x - 3y b) x2 + (x - 2)2 - 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 t¹i x = 6; y = - C©u 3: (3 ®iÓm): Chøng minh r»ng:52005 + 52003 chia hÕt cho 13 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho ph©n thøc M = x +3 x −1 a) Tìm điều kiện x để giá trị cuả phân thức M đợc xác định b)TÝnh gi¸ trÞ cña M t¹i x = c) Tìm giá trị x để phân thức M có giá trị -2 xy x y x y y : x y 2x y 2x y x C©u 5:(3 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Câu 6:(5 điểm) Cho ABC vuông A, đờng cao AD Gọi M, N lần lợt là điểm đối xøng víi D qua AB vµ AC DM c¾t AB t¹i E, DN c¾t AC t¹i F a) Tø gi¸c AEDF lµ h×nh g× ? t¹i ? b) Chứng minh M đối xứng với N qua A -*** PHÒNG GD&ĐT THANH LIÊM TRƯỜNG THCS LIÊM PHONG Híng dÉn chÊm §Ò kiÓm tra chän häc sinh giái cÊp trêng M«n: To¸n N¨m häc: 2012 - 2013 (2) C©u §¸p ¸n §iÓm (3) 1) A = (2x + 1)2 + (3x - 1)2 + 2(2x + 1)(3x - 1) = (2x + + 3x - 1)2 = (5x)2 = 25x2 2) 2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26 =>2x2 - 10x -3x - 2x2 = 26 => -13x = 26 => x = -2 1a) x(x + y) - 3x - 3y =x(x + y) - 3(x + y) = (x + y)(x - 3) 1b) x2 + (x - 2)2 - = x2 + [(x - 2)2 - 22] = x2 + [( x- + 2)(x - - 2)] = x2 + x(x- 4) = x(x + x- 4) = x(2x - 4) 2) M = 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 t¹i x = 6; y = - M = (2x - y)3 x = , y = -8 => M = (2.6 + 8)3 = 800 Chøng minh r»ng:52005 + 52003 chia hÕt cho 13 Ta cã: 52005 + 52003 = 52003.52 + 52003 = 52003(52 + 1) = 52003.26 13 3x 3( x 1) M = x ( x 1)( x 1) a) M xác định x 1 3(2 1) 3 b) Khi x = => M = (2 1)(2 1) 3( x 1) 2( x 1) 3 c) Khi M = -2 Ta cã: -2 = ( x 1)( x 1) x 3 x 1 1 1 Thùc hiÖn phÐp tÝnh xy x y x y y : y x x y 2x y 2x xy x y 2x y ( x y )( x y ) 2( x y ) x y x y xy.2 ( x y )( x y ) x y 2( x y )( x y ) x y x y 2x ( x y) y 2( x y )( x y ) x y x y x( x y ) y ( x y )( x y ) x y x( x y) y ( x y) ( x y )( x y ) ( x y )( x y ) 1 ( x y )( x y ) (4) GT AD BC D ABC, A 90 , ; M đối xứng với D qua AB; B MD AB E M N đối xứng với D qua AC D E ND AC F F A KL a) Tø gi¸c AEDF lµ h×nh g× ? t¹i ? b) Chứng minh M đối xứng với N qua A C 0,5 N a)XÐt tø gi¸c AEDF cã BAC 900 ( gt ) AED 900 (vì M đối xứng với D qua AB) AFD 900 (vì N đối xứng với D qua AC) Suy tø gi¸c AEDF lµ h×nh ch÷ nhËt b) Vì M đối xứng với D qua AB => AB là đờng trung trực MD => AM = AD hay AMD c©n t¹i A => A1 A (trong tam giác cân đờng trung trực cạnh đáy đồng thời là đờng phân giác) Tơng tự AND ta có A A 2,5 0 Mµ A A3 90 nªn A1 A 90 0 => A1 A A3 A 90 90 180 => MAN 180 Hay M, A, N th¼ng hµng Mặt khác ta lại có AM = AN (= AD) nên M và N đối xứng qua A (5)