Chứng minh rằng luôn tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5cm.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: a/ Giải phương trình: x2 + 4x + = 2x b/ Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2012 2012 a 2012 b 2012 c2 Chứng minh A = có giá trị là số hữu tỉ Câu 2: a/ Cho a, b là các số tự nhiên Chứng minh 5a + 15ab – b2 chia hết cho 49 và 3a + b chia hết cho 2 b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4y 2 199 2x x Câu 3: a/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b/ Cho sáu số dương a, b, c, x, y , z thỏa mãn ax + by + cz = xyz Chứng minh x + y + z > a b bc ca Câu 4: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R > r) Gọi M, A là hai điểm trên đường tròn (O; r) với M cố định và A di động Qua M vẽ dây BC đường tròn (O; R) vuông góc với AM Gọi H là hình chiếu O trên BC Chứng minh : a/ AM = 2OH b/ Tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A c/ Trọng tâm G tam giác ABC cố định Câu 5: a/ Cho tứ giác ABCD có độ dài đường chéo AC = 8cm, BD = 6cm Chứng minh luôn tồn cạnh tứ giác có độ dài không nhỏ 5cm b/ Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2 = c(a + b) + ab Chứng minh 8c + là số chính phương (2)