Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số tính đơn điệu, bị chặn.[r]
(1)D·y truy håi víi m¸y tÝnh casio fx - 570MS *************** A Đặt vấn đề: Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt các MTBT kh¸c Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y số là ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, chính xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán các tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ đó giúp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o ViÖc biÕt c¸ch lập quy trình để tính các số hạng dãy số còn hình thành cho học sinh nh÷ng kü n¨ng, t thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh tin häc Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp ch¬ng tr×nh, ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: B néi dung: I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè: 1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Trong đó f(n) là biểu thức cña n cho tríc (UnchØ phô thuéc vµo n) un = f(n), n N* C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A : SHIFT STO A : - LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí SHIFT STO A : A = A + = (U ) = (U ) - LÆp dÊu b»ng: Gi¶i thÝch: f(A) A = : ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A A + : tÝnh u = f(n) t¹i gi¸ trÞ A (khi bÊm dÊu n thứ lần nhất) và thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai) * Công thức đợc lặp lại ấn dấu = VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: n n 1 1 un ; n 1, 2,3 Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh sau: SHIFT STO A ( ( ( ANPHA ( ( ) ANPHA A - ) : ( + ) ANPHA ) ANPHA = ) ANPHA A A ANPHA A + 1= - LÆp l¹i phÝm: = = Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 - (2) 2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: Trong đó f(un) là biểu thức un cho tríc ( Un+ chØ phô thuéc vµo Un) u1 = a u n+1 = f(u n ) ; n N* C¸ch lËp quy tr×nh: - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a = - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( biÓu thøc cña u n+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ANS ) - LÆp dÊu b»ng: = Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a = mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ lu kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i lu kÕt qu¶ nµy - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng dãy số u3, u4 VÝ dô 2: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: u1 1 un un 1 u , n N * n Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: = (u1) ( ANS + ) = = ( ANS + ) = (u ) - Ta đợc các giá trị gần đúng với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 3: Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 3 u u , n N * n n 1 Tìm số tự nhiên n nhỏ để un là số nguyên Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: SHIFT ANS = = SHIFT (u1) 3 = (u2) = (u4 = 3) Vậy n = là số tự nhiên nhỏ để u4 = là số nguyên 3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: u = a, u b u = A u + Bu + C ; n N* (3) C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B Gi¶i thÝch: Sau thùc hiÖn B + C SHIFT STO B b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B « nhí A lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo « nhí B , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau thùc hiÖn: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A m¸y tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A Nh đó ta có u4 trên mµn h×nh vµ « nhí A (trong « nhí B vÉn lµ u3) Sau thùc hiÖn: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B m¸y tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B Nh đó ta có u5 trên mµn h×nh vµ « nhí B (trong « nhí A vÉn lµ u4) Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B SHIFT B + C SHIFT STO B COPY LÆp dÊu b»ng: = = * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc (Sö dông nhiÒu) BÊm phÝm: a SHIFT A (G¸n Un vµo « nhí A) b SHIFT STO B (G¸n Un + vµo « nhí B) ANPHA C ANPHA thøc vµo MH) = A ANPHA B + B ANPHA A + C (Ghi c«ng ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C (chuyÓn U n + sang Un + 1) LÆp dÊu b»ng: = (U3) = (U4) = Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi: (chuyÓn Un + sang Un) (4) u = 1, u 2 u n+2 = 3u n+1+ u n + ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A + + SHIFT STO B + ANPHA A + SHIFT STO A + ANPHA B SHIFT + SHIFT STO B COPY = = ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C A + = = ta đợc kết nh trên 4) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng: u = a u n+1 = f n, un ; n N* f n, un Trong đó lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng dãy: A : chøa gi¸ trÞ cña n B : chøa gi¸ trÞ cña u - Sö dông « nhí: n C : chøa gi¸ trÞ cña u n+1 - Lập công thức tính un+1 thực gán A : = A + và B := C để tính sè h¹ng tiÕp theo cña d·y - LÆp phÝm : = Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 = n u n+1 = n+1 u n +1 ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A ANPHA ( C SHIFT STO B ANPHA ANPHA B = ( + ) ANPHA ANPHA A : ( ANPHA ANPHA A A ANPHA + ) ) = (5) ANPHA A : ANPHA B 2, , 3, , + ANPHA ANPHA = ANPHA C = = , ta đợc dãy: 1, , II/ LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Lập quy trình trên MTBT để tính số số hạng dãy số - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chứng minh công thức tìm đợc quy nạp VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt: a1 0 n( n 1) an 1 (n 2)(n 3) ( an 1) ; n N * Gi¶i: - Tríc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ( ANPHA ( ( ANPHA ANPHA B = ANPHA + ) A + ) ( ANPHA ( A ANPHA ANPHA : A ANPHA ANPHA A + ANPHA : ANPHA B 27 11 13 , , , , , , - Ta đợc dãy: 20 50 15 14 A + A + ) ) ) ANPHA = ANPHA = ANPHA C - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 1.5 a2 = 30 3.10 2.7 2.7 a3 = 20 40 4.10 27 3.9 a4 = 50 5.10 a2004 2003.4009 20050 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an (n 1)(2n 1) 10( n 1) (1) * DÔ minh công thức (1) đúng * b»ng quy víi mäidµng n Nchøng n¹p VÝ dô 2: XÐt d·y sè: a1 1, a2 3 * an 2 2an an 1; n N Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + lµ sè chÝnh ph¬ng Gi¶i: - TÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh: SHIFT STO A + SHIFT STO B 2 - ANPHA A + SHIFT STO A - ANPHA B + SHIFT STO B (6) SHIFT COPY + = = - Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - T×m quy luËt cho d·y sè: 1(1 1) a1 1 2(2 1) a2 3 3(3 1) a3 6 4(4 1) a4 10 5(5 1) a5 15 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an n(n 1) (1) * Ta víi hoµn minh c«ng thøc (1) đúng mäitoµn n chøng N* Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 A lµ mét sè chÝnh ph¬ng Cách giải khác: Từ kết tìm đợc số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Víi n = th× A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc (*) III/ Mét sè d¹ng bµi tËp sö dông thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: n un 3 3 n Bµi 1: Cho d·y sè (n = 0, 1, 2, ): a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi: ao 2 an 1 4an 15an 60 , n N * a) Xác định công thức số hạng tổng quát an A a2n biểu diễn đợc dới dạng tổng b) Chøng minh r»ng sè: b×nh ph¬ng cña sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1 un 2 1999un 1 un , n N T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n cho un lµ sè nguyªn tè Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 5, a2 11 an 1 2an 3an , n 2, n N Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d¬ng, sè ©m b) a2002 chia hÕt cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: (7) a1 a2 1 an2 a , n an n 3, n N Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức: n n 2 n an , n N * 3 ; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè ) Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ an3 an Bài 7: Cho dãy số a1 = 3; an + = an a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 xn3 1 xn 1 Bài 8: Cho dãy số x1 = ; a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 xn 1 xn xn (n 1) Bài 9: Cho dãy số a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 và tính x100 xn 1 xn2 xn2 (n 1) Bài 10: Cho dãy số a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn + b) Tính x100 n Un 5 7 5 7 n Bài 11: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + và Un Hướng dẫn giải: a) Thay n = ; ; ; ; vào công thức ta U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; và công thức ta hệ phương trình: U aU1 bU c U aU bU1 c U aU bU c a c 10 10a b c 82 82a 10b c 640 Giải hệ này ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio 570MS Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, n n 3 3 U n 2 Bài 12: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 (8) b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un và Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio Bài 13: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 13 − √ ¿n ¿ 13+ √ ¿n − ¿ với n = , , , k , ¿ U n=¿ a) Tính U ,U , U ,U ,U , U , U ,U b) Lập công thức truy hồi tính U n+ theo U n và U n −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ theo U n và Un U n −1 Bài 14: Cho dãy số tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 570 MS: b) Ta có các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; bảng sau: ài U0 = U5 = 22 U1 = U6 = 155 U2 = U7 = 3411 U3 = U4 = U8 = 528706 U9 = 1803416167 B 15: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính các giá trị Un với n = 18, 19, 20 Bài 16: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính các giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 125862690 Bài 17: Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un + (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 C KÕt luËn: Trªn ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp toán học bồi dỡng học sinh giỏi vụựi mục đích là để tham khảo cho giáo viªn d¹y to¸n, gi¸o viªn d¹y båi dìng häc sinh gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio vµ c¸c em häc sinh cã n¨ng khiÕu vÒ häc to¸n Qua qu¸ tr×nh triÓn khai th«ng qua thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thân, qua đề tài này, tôi hi vọng giúp c¸c em n¾m v÷ng h¬n kiÕn thøc c¬ b¶n cña m«n häc gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio và có đủ sửù tự tin thực hành giải toán Từ đó phát huy đợc khả vận dụng kiến thức linh hoạt, khả sáng tạo nh t độc lập đặc biệt (9) gióp c¸c em nh÷ng kü n¨ng, t thuËt to¸n vµ cã mét hµnh trang tèt chuÈn bÞ cho mét cÊp häc cao h¬n Ñứng trước nhu cầu muốn vươn lên học tốt học sinh và hoà vào không khí đổi phương pháp giảng dạy đó có bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi xin mạnh dạn giới thiệu số kinh nghiệm mình Bài viết chắn không trỏnh khỏi thiếu sút ẹeồ đề tài ủửụùc hoaứn thieọn hụn vaứ vieọc aựp duùng ủeà taứi vaứo thực tế giảng dạy có hiệu Rất mong nhận đựoc đĩng gĩp đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn (10)