Thời gian làm bài 150 phút – không kể thời gian giao đề đề bài.. Gọi D và E lần lợt là h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC.[r]
(1)Phßng gi¸o dôc Thä xu©n §Ò thi häc sinh giái líp THCS N¨m häc: 2006 - 2007 M«n thi: to¸n Trêng THCS Nam Giang (Thời gian làm bài 150 phút – không kể thời gian giao đề) đề bài C©uI- (4®) : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 1, √ √ − √3 − √ 29 −12 √ 2, √ 2+ √ + √ 14 −5 √ C©u II- (5®) : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1, x x −1 + x +1 = x −1 √ x2 −2 x+1 + √ x2 − x+ = 2, 3, x4 – 3x3 + 4x2 –3x +1 = C©u III- (3®) : 1, Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng : a2 +1 +2 b2 c2 32 abc +8 2, Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : √ n+1 - √ n > n+1 √ C©u III – (3®) : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : a, y = x +2 x −1 2 x + x +9 b, y = |x +3| - Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chøng minh r»ng AD AB = AE.AC c, Các đờng thẳng vuông góc với DE D và E lần lợt cắt BC M và N Chứng minh M lµ trung ®iÓm BH ; N lµ trung ®iÓm cña CH d, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c DENM -&*& - (2) §¸p ¸n vµ biÓu chÊm m«n: to¸n C©u I : (4®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau : a,(2®) 2 √ −3 ¿ √ √5 − √3 − √29 −12 √ ¿ ¿ = −√¿ √5 −√¿ √¿ = √ √5 − √3 −2 √ 5+3 = (0,5 ®) (0,5®) (0,25®) √ √5 − √ −2 √ ❑ √ 5− 1¿ ¿ ¿ √5 −√¿ √¿ = √ √ − ❑√ 5+1 = (0,5®) (0,25®) =1 b (2®) √ 2+ √3+ √14 − √3 ¿ √ 2+ √3 + √ 14 −5 √ = = (0,5®) √2 ¿ ¿ √ 4+2 √ 3+ √ 28− 10 √3 √2 (0,25®) √3+1 ¿2 ¿ = = = − √ ¿2 ¿ ¿ ¿ √¿ ¿ √3+1+5 − √ √2 =3 √ √2 (0,5®) (0,5®) (0,25®) C©u II: (5®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau a (1,5®) x + = x −1 x +1 x −1 - Tìm đợc §KX§: x ± (0,5®) - Gi¶i vµ t×m nghiÖm x = §KX§ (1®) x = - §KX§ 2 b √ x −2 x+1+ √ x − x + 4=3 (1,5®) Trang - Biến đổi đa phơng trình dạng (3) | x – 1| + | x – | = (0,5®) - Xét đúng các trờng hợp phơng trình (0,5đ) - Tìm nghiệm đúng x = 0; x = (0,5đ) c (2®) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = Lý luËn x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x chia c¶ vế cho x2 ta đợc: x2 – 3x + - + x x2 = (0,5®) - §a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: ( x2 + x2 ) – (x + ) + = x (0,25®) - Đặt đợc ẩn phụ và đa phơng trình dạng (Đặt y = x + ) x y2 – 3y + = (0,5®) - Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = - Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y đúng các trờng hợp NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = C©u III: (3®iÓm) a.(1,5®) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng: ( a2 +1)( 1 + ) ( b c2 +8) 32 abc - áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho các số dơng a2 +1 b2 +22 √ √ √ a (0,25®) (0,25®) (0,25®) (1®) = a 2 √2 = b b2 +8 c2 ( +1)( a √2 = c c 1 +8) + ) ( b c2 1 DÊu “=” x¶y a = 1; b = ;c= √2 √2 32 abc (0,25®) (0,25®) Trang b.(1,5®) Chøng minh r»ng víi mäi n N ta cã √ n+1− √ n> √ n+1 - Biến đổi √ n+1− √ n= ( √n+1 − √n)( √ n+1+ √ n) √n+1+ √n √n+1+ √n 1 > √ n+1 √n+1+ √n = - So sánh đợc: (0,25®) (0,5®) (4) - Từ đó suy ra: √ n+1− √ n> √ n+1 C©u IV:(3®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c¸c hµm sè: a (2®) x +2 x −1 2 x + x +9 11 (2 x +4 x+ 9) − 2 2 x +4 x +9 y = = (0,5®) 11 − x +8 x+18 = (0,25®) x+ 1¿ +14 4¿ 11 − ¿ = - Lý luận đợc y (0,25®) x+ 1¿2 +14 4¿ 11 ¿ max (0,25®) - T×m x+ 1¿ +14 4¿ 11 ¿ 11 14 max = - đợc y = − 11 = 2 14 x = -1 x = -1 (0,25®) (0,5®) b.(1®) y = | x + | - - Lý luận đợc | x + | x (0,25®) Trang |x+3| -4-4 (0,25®) y = - x = - (0,5®) C©u V: (5®) Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính đúng DE = (cm) (1®) b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông (1đ) c (2®) Gäi I lµ giao ®iÓm cña AH vµ DE th×: ID = IE = IA = IH (0,5®) MID = MIH (c¹nh huyÒn – c¹nh gãc vu«ng) (0,5®) MD = MH MDH c©n t¹i M MDH = MHD MDB = MBD (0,5®) MBD c©n ë M ta cã MD = MB (5) MB = MH (= MD) vËy M lµ trung ®iÓm cña BH Chøng ming……….th× N lµ trung ®iÓm cña HC (0,5®) d (0,5®) Tõ c©u c suy ra: DM = BH = = 2(cm) 2 EN = HC = = 4,5(cm) (0,25®) S DENM = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) = 19,5 (cm2) 2 (0,25®) Ghi chú: Mọi cách làm khác mà đúng cho điểm tối đa &*& - Trang (6)