de kiem tra HSG toan 8

Đề thi học sinh giỏi toán 8 §Ò sè 1  1 3   x2 1 Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A   2  :  2   3 x  3x   27  3x x  3  a) Rót gän A; b) T×m x ®Ó A < -1 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn 1 6y 2 2  Bµi 2: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 2 3y  10y 3 9y  1 1 3y x 3x  6 x 1 b) 2  4 1   3 2 x  2 3  2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B Khëi hµnh lÇn lît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2  4x  5 b) ab(a  b)  ac(a  c)  bc(2a  b  c) 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh x21x  x2 13x2 x2 15x6  x2 17x12 45 C©u II: (2 ®iÓm) 1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc f (x) x3  2x2  ax  b chia hÕt cho ®a thøc g(x) x2  x 1 2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P(x) x161  x37  x13  x5  x  2006 cho ®a thøc Q(x) x 2 1 C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2 b2 c2 P 2 2 2  2 2 2  2 2 2 a b c b c a c a b 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a  b , b  c, c  a CMR: a 2  bc  b2  ac  c 2  ab 0 (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b) C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi 2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H CMR: HA'  HB'  HC' b»ng mét h»ng sè AA' BB' CC' C©u V: (1 ®iÓm): Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña a2  ab  b2 biÓu thøc: Q 2 a  ab  b 2 §Ò sè 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a(b  c)2 (b  c)  b(c  a)2 (c  a)  c(a  b)2 (a  b) b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ 1  1  1 0 abc 1 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 2 Rót gän biÓu thøc: N a2 1 2bc  b2 1 2ca  c2 1 2ab Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M x 2  y 2  xy  x  y 1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( y  4,5)4  ( y  5,5)4  1 0 Bµi 3: (2®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km TÝnh qu·ng ®êng AB Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 5: (1®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3x2  5y 2 345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2 Rót gän biÓu thøc: A  a ab  a  2  b bc  b 1  2c ac  2c  2 Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P 4a 2ab b2 Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña  ABC ®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23 §Ò sè 5 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M  x2 1  5x  6  x2 1  7x 12  x2 1  9x  20  x2 1  11x  30 1) Rót gän M 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0 Bµi 2: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x2  2xy  x  y 2  4y 0 Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D) §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI 3) §Æt DE = x (a x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x 4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n: 1xy  1yz  1zx 0 TÝnh N  xyz  zx  2 y 2 z 2 xy §Ò sè 6 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 2 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 3 1) x  1  x  x 3x2  4x 1 2) (a  1)4  11(a  1)2  30 3(a  1)  18(a  2a)  342 C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th× a 2  b2 chia hÕt cho 13 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A a  b  c 1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac x2  2x 1 x2  2x  2 7 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2  x  2x  2 x  2x 3 6 C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3) Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh C©u IV: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD) Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA 3) Chøng minh AC 2 AB.AH  AD.AK C©u V: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2002 2002  x  2003 2003 1 §Ò sè 7 C©u I: (2®iÓm) 1 Thùc hiÖn phÐp chia A 2x4  x3  x2  x  2 cho B x2 1 T×m x  Z ®Ó A chia hÕt cho B 2 Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö C©u II: (2®iÓm) 1 So s¸nh A vµ B biÕt: A 532  1 vµ B 6(52 1)(54 1)(58 1)(516 1) 2 Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44 C©u III: (2®iÓm) 1 Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a  b  c)2 3(ab  bc  ca) Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ? 2 Cho ®a thøc f(x) = x100  x99   x2  x 1 T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x 2  1 C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE 1 Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2 Chøng minh AB CF = AC AE 3 So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC C©u V : (1 ®iÓm)Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn: x  2  x  3  x  4  x  2005  x  2004  x  2003 2005 2004 2003 2 3 4 §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x 2  2xy  2 y 2  2x  6 y 13 0 TÝnh N 3x 2 y  1 4 xy b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d¬ng A a3  b3  c3  3abc C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: A  a  b b  c c  a  c a b  9      c a b  a  b b  c c  a  C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h Nöa qu·ng ®êng sau ®i víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê 3 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 4 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF AI c¾t CD t¹i M Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x6  3x2 1  y 4 §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm)  16  6 1  x   x  6 2  x  x   Cho M  1  3 3 1 x  x  3  x x a) Rót gän M b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2x  5)3  (x  2)3 (x  3)3 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4x 2 17xy  9 y 2 5xy  4 y  2 TÝnh H x3  y3  xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c abc Chøng minh: a(b2  1)(c 2  1)  b(a 2  1)(c 2  1)  c(a 2  1)(b2  1) 4abc Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD Qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh: 1  1  2 AB CD MN c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn lît t¹i H vµ E Chøng minh HM + HE = 2AK d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) TÝnh S(ABCD) theo a vµ b §Ò sè 10 C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 2  x  12 ; b) x8  x 1; c) (x 2  3x  2)(x 2 11x  30)  5 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A 532 vµ B 24(52 1)(54 1)(58 1)(516 1) 2) Cho 3a 2  2b2 7ab vµ 3a  b  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  2005a  2006b 2006a  2007b C©u 3: (2 ®iÓm) 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2x2  9 y 2  6xy  6x  12 y 1974 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y 2  4 x  2 y  2x1  2 0 3) Chøng minh r»ng: a8  b8  c8  d 8 4a 2b2c 2d 2 C©u 4 Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm)  4 1  4 1   4 1  1   3   19    4  4   4 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  4 1  4 1   4 1   2   4    20    4  4   4 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph- ¬ng C©u 2: (2 ®iÓm) 4 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 5 a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 2006x  y  z 1 xy  2006x  2006 yz  y  2006 xz  z 1 b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3 c) Cho a  2b  3c 14 Chøng minh r»ng: a2  b2  c2 14  3x2  3 x  1 1  x 1 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: B  3  2   2  x  1 x  x 1 x  1 2x  5x  5 a) Rót gän B b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B C©u 4: a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: C 1 231  331  431  531  n3 1  2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x  1)(x  2)(x  3)(x  4) (x 1)(x  2)(x  3)(x  4) §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  7x  6 ;b) (x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  24 ;c) x4  4 2) Rót gän: A  x2 1  5x  6  x2 1  7x 12  x2 1  9x  20  x2 1 11x  30 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn A 2x3  x2  2x 5 2x 1 C©u 3: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x  1  x  3  x  5  x  2  x  4  x  6 99 97 95 98 96 94 b) (x 2  x 1)2  (x 2  x 1)  12 0 C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B 16x2  4x 1 (víi x > 0) 2x §Ò sè 13 C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; a) 2x  2 y  x 2  2xy  y 2 ;b) 2xy  2x  y 2  y ;c) x 2  2xy  y 2  3x  3y  10 C©u 2 (4 ®iÓm)Cho a  b  c 0 vµ abc 0 Chøng minh r»ng: C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q  2 x4  x 1 2x2  3x 1 ( x  1) x  x 1 x 1 §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a  b  c)3  a3  b3  c3 2x3  7x 2  12x  45 b) Rót gän: 3 3x  19x  33x  92 C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A n3 (n2  7)2  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A hót hÕt níc trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc trong 20 giê Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn m¸y b¬m B TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x  a  x  2a 3a (a lµ h»ng sè) §Ò sè 15 a3  4a2  a  4 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho P  3 2 a  7a 14a  8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 5 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 6 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc: P (x  1)(x  2)(x  3)(x  6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã C©u 3: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 1  9x  20  x2 1 11x  30  x2 1 13x  42  118 b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng; A  a  b  c 3 bc a ac b ab c C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh: a) BD.CE  BC 2 4 b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED C©u 5: (1 ®iÓm)T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi 6 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 7 §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh (x2  6x  9)3  (1  x2 )3  (6x  10)3 0 b) Cho x, y tho¶ m·n: x2  2 y 2  2xy  6x  2 y 13 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H  x2  7xy  52 x y Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x  víi x, y 0 ; x, y  ; 2  3y y 2  3x 1 x  y x(1  3 y) y(1  3x) 3 Chøng minh r»ng: 1  1 x  y  8 xy 3 §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x8  x7 1;b) (4x 1)(12x  1)(3x  2)(x 1)  4 2) Cho a  b  c 0 vµ a 2  b2  c2 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M a4  b4  c4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M  x2  y 2  x 2 y 2 (x  y)(1  y) (x  y)(1  x) (1  x)(1  y) a) Rót gän M b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7 Bµi 3: (2®iÓm)Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x 4  4x 2 5 ;b) x  1  2x  3 5 x4  x C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: A  2 x x a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m x ®Ó A > 1 C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê 50 phót Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u? §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x4  3x2  4x  12 b) TÝnh: A  1  1  1   1 1.3 3.5 5.7 2003.2005 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a2  b2 4ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  a  b ab b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2   1 3 C©u 3: a3  3ab2 14 TÝnh gi¸ trÞ cña : P a2  b2 Cho  3 2 b  3a b 13 §Ò sè 20 7 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 8 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: x 2  2xy 3y 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x  y xy b) Víi x 1 Rót gän biÓu thøc: B   x2  6x  5 5x n  x n1 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc P(x) 1985 x3 1978 x 2  5 x cã gi¸ trÞ nguyªn 3 26 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe ®¹p, mét ngêi ®i xe m¸y, mét ngêi ®i « t« cïng ®i tõ A vÒ B khëi hµnh lÇn lît lóc 6 giê, 7 giê, 8 giê víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu ngêi ®i xe ®¹p vµ xe m¸y Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®êng trung trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH BiÕt OE = OH TÝnh sè ®o gãc BAC ? §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) a2  a  2  (a  2)2  a2 3  a) Rót gän biÓu thøc: A  n1 n  2 2  a  3a  4a  4 a  a  b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B x19  5x18  5x17  5x16   5x2  5x 1886 víi x = 4 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x3  5x  12 y 4 b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1 Chøng minh r»ng: 1  a2 1  1  b2 1  2 1  ab C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« vËn t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 45 km/h Sau ®ã mét thêi gian mét « t« con còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp « t« t¶i t¹i B Nhng ngay sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp nhau t¹i C c¸ch B 30 km TÝnh qu·ng ®êng AB §Ò sè 22 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã: A  x5  x4  7x3  5x2  x lu«n lu«n lµ sè nguyªn d¬ng 120 12 24 12 5 b) Rót gän: B  x24  x20  x16   x4 1 26x  x  x   x 124222 C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè t«i h¬n mÑ t«i 4 tuæi Tríc ®©y khi tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i lµ 104 tuæi th× tuæi cña ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6 HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i” TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (1 ®iÓm) T×m x, y, z  Z tho¶ m·n: (2x  5y 1)(2 x  y  x2  x) 105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) 3k 2  3k 1 a) Cho ak  2 3 víi k  N*.TÝnh tæng S = a1  a2  a3   a2007 (k  k) b) Chøng minh r»ng: A n3(n2  7)2  36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn C©u 2: (3 ®iÓm) a) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi: x2  2 y  1 0 ; y2  2z  1 0 ; z2  2x 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x2005  y2006  z2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th× P (x  y)(x  2 y)(x  3y)(x  4 y)  y4 lµ mét sè chÝnh ph¬ng c) T×m sè d trong phÐp chia: 8 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 9 (x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  2007 cho x2  8x  1 §Ò sè 24 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1      .x a)  2 3 4 2005  2004 2003 2002 1 2005 1  2  3   2004 b) x  1  x  3 4 C©u 2: (2 ®iÓm) T×m tØ lÖ ba ®êng cao cña mét tam gi¸c BiÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5 : 7 : 8 C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: P(x) (2004  2005x  x2 )2004 (2004  2005x  x2 )2005 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n4  n2 1 lµ sè nguyªn tè C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC KÎ ®êng cao AH Gäi C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AC Gäi giao ®iÓm cña B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K Chøng minh IB, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c  0; 1 vµ a  b  c 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P a2  b2  c2 §Ò sè 25 C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x9  x7  x6  x5  x4  x3  x2  1 1 3y2 y  x2  b) Rót gän biÓu thøc:  2 4 3 3 2 2   y    x  xy x  xy x  x y  xy   x  y  C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cã tån t¹i mét cÆp sè tù nhiªn (x, y) nµo ®Ó sè 4x4  y4 lµ mét sè nguyªn tè kh«ng b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y2  2 y  3  x2 6  2x  4 C©u 3: Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng Chøng minh r»ng:1 a  b  c  2 ab bc ca §Ò sè 26 x4  x3  x2  2x  2 (víi x  Z) C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: A  4 x  2x  x  4x  232 a) Rót gän A b) X¸c ®Þnh x ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x2  yz a ; y2  zx b ; z2  xy c Th× tæng ax  by  cz chia hÕt cho tæng a  b  c b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 th× d 7, cßn khi chia cho x2  5x  6 th× ®îc th¬ng lµ 1  x2 vµ cßn d T×m ®a thøc f(x) C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3  x 2  x 1 3 C©u 4: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña c¸c ch÷ sè cña mçi sè b»ng 1 9 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 10 §Ò sè 27 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho y  x  0 vµ x2  y2 10 M x  y  TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x y xy 3  4 1  4 1   4 1  1   3   11   b) Rót gän biÓu thøc A   4  4   4   4 1  4 1   4 1   2   4   12    4  4   4 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4  4x3  19x2 106x  120 0 b) Cho x4  y4  1 2 2 x2004 y 2004 2 vµ x  y 1 Chøng minh r»ng: 1002  1002  a b 102 a b ab (a  b) C©u 3: (2 ®iÓm) Lóc 8 giê, An rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ b×nh víi vËn tèc 4 km/h Lóc 8 giê 20 phót, B×nh còng rêi nhµ m×nh ®Ó ®i ®Õn nhµ An víi vËn tèc 3 km/h An gÆp B×nh trªn ®êng råi c¶ hai cïng ®i vÒ nhµ B×nh Khi trë vÒ ®Õn nhµ m×nh An tÝnh ra qu·ng ®êng m×nh ®i dµi gÊp bèn lÇn qu·ng ®êng B×nh ®· ®i TÝnh kho¶ng c¸ch tõ nhµ An ®Õn nhµ B×nh C©u 4: (1 ®iÓm)Cho p3  q3 2 Chøng minh r»ng: 0  p  q 2 §Ò sè 28 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2  4x  4)3  (2  x2 )3  (4x  6)3 0 b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 4  2004x 2  2003x  2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho a  b  c 0 ; x  y  z 0 ; ax  by  cz 0 Chøng minh: ax2  by2  cz2 0 C©u 3: T×m x nguyªn ®Ó y nguyªn: y  x2 2x  3 1 §Ò sè 29 C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) A  3x2 x  2  x  x  8x  4 b) B  x2 2 2x  x2 3  7x 10  x2 4 14x 15  1 x  9 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho 3a2  b2 4ab vµ b > a > 0 TÝnh P a  b ab b) T×m x, y biÕt: x2  y2  xy  3x  3 0 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 th× a2  b2  ab chia hÕt cho 19 b) Chøng minh r»ng tÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 lµ sè chÝnh ph¬ng §Ò sè 30 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A 2a2b2  2b2c2  2a2c2  a4  b4  c4 a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× A> 0 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  y2 2 4xy 1 b) Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau vµ a  b  c 0 b c c a a b 10 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 11 TÝnh P (b  c)2 a  (c  a)2 b  (a  b)2 c C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m2  n 4m2  n Chøng minh (m-n) vµ (4m + 4n + 1) ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n x  y  z xyz vµ 1x  1y  1z m TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x2 1  y2 1  z2 1 theo m §Ò sè 31 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: M  x2  y 2  x 2 y 2 (x  y)(1  y) (x  y)(1  x) (1  x)(1  y) a) Rót gän M b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7 C©u 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: A 20n 16n  3n  1 chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ x  y  z 0 Chøng minh r»ng: NÕu 1x  1y  1z  1 x  y  z th× 1 1 1 1 x2007  y 2007  z 2007  x2007  y 2007  z 2007 C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc Mét xe trong mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt lµ 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba 3 km, ®Õn ®Ých chËm h¬n xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®êng ®i T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian C©u 4: (2 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi K, O, E, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD) C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng S  1  1  1   1 1.2.3 2.34 3.4.5 n(n  1)(n  2) §Ò sè 32 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch a4  4 thµnh nh©n tö 24  4 64  4 104  4 144  4 184  4 b) TÝnh : A  4 4 4 4 4 4  4 8  4 12  4 16  4 20  4 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x15  7x14  7x13  7x2   7x2  7x  5 víi x = 6 b) T×m n nguyªn ®Ó n - 1 chia hÕt cho n2  n 1 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) x100  x99   x2  x 1 T×m d cña phÐp chia f(x) cho x2  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B xy(x  2)( y  6)  12x2  24x  3y2  18y  2004 §Ò sè 33 C©u 1: (2 ®iÓm) 1 Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x10  x2  1 b) (x2  3x  2)(x2  7x  12)  15 2 Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a2  b2  ab 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a4  b4  (a  b)4 P 2 2 a  b  (a  b) 2 C©u 2: ( 2 ®iÓm) ) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè b) T×m c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x  y xyz vµ x  y  z 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i C¸c xe nµy 11 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 12 chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh nhau Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A vît qua ngêi ®ã C©u 4: (3 ®iÓm) a) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD LÊy E thuéc BD, Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua E Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng d T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt 2 b2 x2 C©u 5: (1 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  a x  2 2  a  2 2 b x x b §Ò sè 34 C©u 1: (2 ®iÓm) 2 x4  x2 1 a) Cho x  4x 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  2 x b) T×m sè tù nhiªn x ®Ó x2  8 lµ sè chÝnh ph¬ng x 8 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  12 4x 1 b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x  1 1 2 x C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh hai ch÷ sè cuèi lËp thµnh mét sè chÝnh ph¬ng vµ sè nµy gÊp bèn lÇn sè kia ? ViÖt: Sau mét lóc suy nghÜ ®· t×m ra sè nhµ cña Nam Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? C©u 4: ( 3 ®iÓm) 1) Cho hai ®iÓm A vµ B n»m cïng phÝa ®èi víi ®êng th¼ng a H·y t×m trªn ®êng th¼ng a mét ®iÓm P sao cho tæng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt 2) Cho gãc nhän xOy vµ 1 ®iÓm A ë miÒn trong gãc ®ã H·y t×m trªn hai c¹nh Ox, Oy c¸c ®iÓm t¬ng øng B vµ C sao cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x2  y2  z2  t2 x( y  z  t) §Ò sè 35 C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 b) (x 2  y 2 )3  (z 2  x 2 )3  ( y 2  z 2 )3 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho f(x) = ax2  bx  c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) T×m c¸c sè x, y nguyªn d¬ng tho¶ m·n: x2  y2 2 y 13 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng n5  5n3  4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn b) Cho tam gi¸c cã ®é dµi hai ®êng cao lµ 3 cm vµ 7 cm H·y t×m ®é dµi ®êng cao thø ba, biÕt r»ng ®é dµi ®êng cao ®ã lµ mét sè nguyªn C©u 4: (3 ®iÓm) a) Chøng minh tæng ®é dµi c¸c c¹nh cña mét ngò gi¸c låi bÐ h¬n tæng ®é dµi c¸c ®êng chÐo cña ngò gi¸c ®ã b) Cho tam gi¸c ABC Trong c¸c h×nh ch÷ nhËt cã hai ®Ønh n»m trªn c¹nh BC vµ hai ®Ønh cßn l¹i lÇn lît n»m trªn hai c¹nh AB vµ AC, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt C©u 5: (1 ®iÓm).T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n: x3  y 3 xy  1 27 §Ò sè 36 C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: n5  n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x3  y3  6xy  8 C©u 2: (2 ®iÓm) 12 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 13   1  1  1 2 a) T×m x, y, z tho¶ m·n: x y z   2 1  z 4   xy b) Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau Chøng minh r»ng: A  (a  b)2 1  (b  c)2 1  (c  a)2 1 lµ mét sè h÷u tØ C©u 3: ( 2 ®iÓm)  1 2   y   1  2  25   a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng: x   x  y 2 b) Chøng minh r»ng: 15  113   n2  (n 1)2 1  12 C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) x4  ax3  bx2  cx  d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8) C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x2 y2  x2  8y2 2xy §Ò sè 37 Bµi 1: (4 ®iÓm) nhËn gi¸ trÞ nguyªn a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A x4  4 b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc P a2  a  3 a 1 Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d 7, khi chia cho x + 5 d -9 cßn khi chi cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ x2 + 1 vµ cßn d T×m ®a thøc P(x) Bµi 3: (6 ®iÓm) a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x  ab  x  ac  x  bc a  b  c ab ac bc T×m x ë d¹ng thu gän (23  1)(33  1)(43  1) (503  1) b) Rót gän biÓu thøc: M  3 (2  1)(3  1)(4  1) (50  1)33 3 Bµi 4: (6 ®iÓm) a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tríc mét ®iÓm A H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã mét ®iÓm B sao cho OB + BA = d (víi d lµ ®é dµi cho tríc b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 §Ò sè 38 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x4  3x2  2x  3 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3  3x 2  3x  1 0  a  2 a  2 a 1 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P     a 1 a  1 a a) Rót gän P b) T×m a ®Ó P nguyªn Bµi 3: (3 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: y  z 1 x  z  2 x  y  3  1 x y z xyz b) Cho ®a thøc f(x) = ax2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®êng cao AA’, BB’, CC’ Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: HA'  HB'  HC' 1 AA' BB' CC' Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc x2  ax  b chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho (x-3) th× d -5 §Ò sè 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: 13 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 14 a) P (a  b  c)2  (a  b  c)2  (a  b  c)2  (b  c  a)2 b) Q  1 x  y  1 x  y  x2  y2 1 Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc b) T×m x, y biÕt: x2  y2  x  3y  5 0 2 c) Cho A (n  1)(n2  3n 1) T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña A lµ mét sè nguyªn tè Bµi 3: ( 2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  13  x  11  x  9  x  7  x  5 x  117  x  119  x  121  x  123  x  125 117 119 121 123 125 13 11 9 7 5 Bµi 4: (2 ®iÓm) Mét « t« khëi hµnh ®i tõ A ®Õn C, hai giê sau mét « t« kh¸c ®i tõ B ®Õn C Sau 3 2 giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau TÝnh vËn tèc cña mçi « 5 t« BiÕt r»ng B n»m trªn ®êng tõ A ®Õn C vµ qu·ng ®êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cña « t« ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF Gäi M, N, P theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña B, A vµ C qua AD, BE , AD Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua CF Chøng minh MN // PQ §Ò sè 40 Bµi 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a)  x4 1  2x3  x2 b) a(b3  c3 )  b(c3  a 3 )  c(a 3  b3 ) Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc sau: (a  b 1)3  (a  b  1)3  6(a  b)2 b) X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®a thøc x3  ax2  2x  b chia hÕt cho ®a thøc x2  1 c) T×m d cña phÐp chia ®a thøc f (x) 2004x2005  2005x2004  x2002  1 cho ®a thøc x2  1 d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: 2x  1  5 Bµi 3: a) TÝnh nhanh: 9982  9992 10012 10022 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x2  xy  y2  3x  3y  2004 §Ò sè 41 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x4  x3  2x2  3x  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2x2  9 y2  6xy  6x  12 y  2006 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m th¬ng vµ phÇn d trong phÐp chia ®a thøc: f (x) 1  x  x2  x3   x1997 cho x2 1 b) §a thøc f(x) khi chia cho x-3 th× d 10, khi chia cho x+5 th× d 2 cßn khi chia cho (x-3) (x+5) th× ®îc th¬ng lµ x2 1 vµ cßn d T×m ®a thøc f(x) Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x sao cho M x1999  x1997 1 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè §Ò sè 42 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x5  2x4  2x3  4x2  3x  6 b) x3  x2  4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän P b) TÝnh P khi m  2001 1999 Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× ph©n sè: 15n2  8n  6 tèi gi¶n 30n2  21n 13 14 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 15 b) T×m sè nguyªn n ®Ó n  7 chia hÕt cho n2  64 Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi b) Chøng minh r»ng chi vi tam gi¸c CEM kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó P = a4 + 4 lµ mét sè nguyªn tè §Ò sè 43 Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x  y)2  (x  y)  6 b) (x 2  x 1)(x 2  3x 1)  x 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc P(x) x5  ax4  bx3  cx2  dx  e vµ cho biÕt P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51 TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8) Bµi 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 4x2 a) x  2 5 x  4x  4 b) x5 x4  x3  x2  2 Bµi 4: (2 ®iÓm)Dïng hai can 4 lÝt vµ 2,5 lÝt lµm thÕ nµo ®Ó ®ong ®îc 3 lÝt rîu tõ mét can 6 lÝt ®ùng ®Çy rîu (c¸c can kh«ng cã v¹ch chia ®é) Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x100  10x10 10 §Ò sè 44 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x5  x4  1 b) T×m c¸c cÆp sè (x, y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt: P  x2  y2  xy  2x  2 y Bµi 2: ( 2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: a)  x  2 2   x  33   x  4 4 2 b) x 2  1  x 2  4 x 2  2x  4 Bµi 3: ( 2 ®iÓm)T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n cña ®a thøc: 1  x2 (1  x)8 Bµi 4: (2 ®iÓm) T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã b»ng luü thõa bËc bèn tæng c¸c ch÷ sè cña nã Bµi 5: (2 ®iÓm) 1 x2  x 1 3 Chøng minh r»ng:  2 3 x  x 1 §Ò sè 45 C©u 1: ( 2 ®iÓm)Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x 4 y 4  64 b) 2x4  9x3 14x2  9x  2 C©u 2: ( 2 ®iÓm)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm: x  x  2  x  1 m C©u 3: ( 2 ®iÓm)Cho x2  2006x 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P x4  x2 1 C©u 4: (2 ®iÓm)Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 Chøng minh r»ng: x 2 x3  y3 1  1  y3  z3 1  1  z3  x3 1  1 1 C©u 5: ( 2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n: a  b  c 1 15 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 16  1  1  1  T×m GTNN cña biÓu thøc: P 1 1 1    a  b  c  16 ... y  6xy  6x  12 y 1974 2) Giải phơng trình: y x  y  2x1  0 3) Chøng minh r»ng: a8  b8  c8  d 4a 2b2c 2d Câu Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức... n  2  a  3a  4a  a  a  b) Tính giá trị biểu thức: B x19 5x 18  5x17  5x16   5x2  5x 188 6 với x = Câu 2: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3 5x  12 y 4 ... chéo BD Kẻ ME MF vuông góc víi AB vµ AD a) Chøng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện