MỤC TIÊU: HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: a + bn Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số bài tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ và kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q đó p là ước hệ số tự do, q là ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng các hệ số thì f(x) có nhân tử là x – + Nếu f(x) có tổng các hệ số các hạng tử bậc chẵn tổng các hệ số các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có nhân tử là x + f(1) f(-1) + Nếu a là nghiệm nguyên f(x) và f(1); f(- 1) khác thì a - và a + là số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = Ví dụ 2: x3 – x2 - Cách 1: x – x Cách 2: x –4= x x x x x x x( x 2) 2( x 2) = x3 x x x x x ( x 2)( x x 4) ( x 2)( x 2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt cùng số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = Thêm, bớt cùng số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) = (2) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung là x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết 1 + 2 x ) = x2 [(x2 + x ) + 6(x - x ) + ] x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – x 1 Đặt x - x = y thì x2 + x = y2 + 2, đó A = x (y + + 6y + 7) = x (y + 3) = (xy + 3x) = [x(x - x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 2 2 Chú ý: Ví dụ trên có thể giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: 2 2 A= ( x y z )( x y z ) ( xy yz +zx) = ( x y z ) 2( xy yz +zx) ( x y z ) ( xy yz +zx) 2 2 Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b 4 2 2 2 2 Ví dụ 4: B = 2( x y z ) ( x y z ) 2( x y z )( x y z ) ( x y z ) Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c 3 3 Ví dụ 5: (a b c) 4(a b c ) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2 III PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + (3) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + BÀI TẬP: Phân tích đa thức thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 23 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) x + x2 – 4x - 25 a – a4 + 2a3 + 2a2 x – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x + x3 + x2 - 27 X – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + + xm + – x - 10 x – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 14 a – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5 15 x + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + (4) 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + 17 x5 - x4 - x4 – 3x2 + 18 x12 – 3x6 + x4 + 3x2 + 19 x8 - 3x4 + 2x4 – x2 – 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + x4y4 + 21 m3 – 6m2 + 11m - (5) x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x4y4 + 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 32x4 + 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 10 x7 + x2 + 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 11 x8 + x + 27 x8 + x6 + x4 + x2 + 12 x8 + x7 + 28 x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 13 x8 + 3x4 + 29 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14 x10 + x5 + 15 x5 + x + 16 x5 + x4 + CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC A MỤC TIÊU: HS nắm công thức khai triển luỹ thừa bậc n nhị thức: (a + b)n Vận dụng kiến thức vào các bài tập xác định hệ số luỹ thừa bậc n nhị thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I Nhị thức Niutơn: n 1 (a + b)n = an + Cn an - b + Cn an - b2 + …+ Cn ab n - + bn C kn Trong đó: n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] 1.2.3 k II Cách xác định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C kn n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7 là C Chú ý: a) b) Ta có: C k n k n C 74 7.6.5.4 7.6.5.4 35 4! 4.3.2.1 n! 7! 7.6.5.4.3.2.1 C 74 35 n!(n - k) ! với quy ước 0! = 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 =C k-1 n nên C 74 C 37 Cách 2: Dùng tam giác Patxcan 7.6.5 35 3! (6) Đỉnh Dòng 1(n = 1) Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) Dòng 6(n = 6) 1 1 1 1 10 15 10 20 15 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dòng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo các hệ số hạng tử đứng trước: a) Hệ số hạng tử thứ b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số mũ biến hạng tử thứ k chia cho k 1.4 4.3 4.3.2 4.3.2 Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + a3b + a2b2 + 2.3 ab3 + 2.3.4 b5 Chú ý rằng: các hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa là các hạng tử cách hai hạng tử đầu và cuối có hệ số n(n - 1) n(n - 1) (a + b)n = an + nan -1b + 1.2 an - 2b2 + …+ 1.2 a2bn - + nan - 1bn - + bn III Ví dụ: Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai triển (x + y)5 rút gọn A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm nhân tử còn lại b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 (7) = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có sau khai triển a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Thay x = vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = * Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức đó x = C BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng các hệ số có sau khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 CHUYÊN ĐỀ – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC NGUYÊN I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = 2 = a1 a a n 2(a1a a1a a1a n a 2a a 2a n a n 1a n ) ; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + ………+ abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i (8) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Bµi tËp: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 2 Cho a – b = 4c Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a) b) c) d) a b = x y 2 2 a) Chøng minh r»ng nÕu (a + b )(x + y ) = (ax + by) vµ x, y kh¸c th× b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c = = x y z vµ x, y, z kh¸c th× Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 CHUYÊN ĐỀ – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A Dạng 1: Tìm dư phép chia mà không thực phép chia (9) Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a Ta có: f(x) = (x – a) Q(x) + r Đẳng thức đúng với x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a f(a) = b) f(x) có tổng các hệ số thì chia hết cho x – c) f(x) có tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hệ số các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – không Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia là Q(x), dư là ax + b thìf(x) = g(x) Q(x) + ax + b Ví dụ 1: Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) Ví dụ 2: Tìm dư các phép chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + B Sơ đồ HORNƠ Sơ đồ HÖ sè thø 1®a thøc bÞ chia a Để tìm kết phép chia f(x) cho x – a (a là số), ta sử dụng sơ đồ hornơ HÖ sè thø cña ®a thøc bÞ chia HÖ sè cña ®a thøc chia Nếu đa thức bị chia là a0x + a1x + a2x + a3, a0 a đa thức chia là x – a ta thương là + a1 a2 a3 b = a0 b = ab + a1 b = ab + a2 r = ab + a3 (10) b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – Ta có sơ đồ -5 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = Vậy: x3 -5x2 + 8x – = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + là phép chia hết -4 r = 2 +(- 4) = Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị đa thức x = a Giá trị f(x) x = a là số dư phép chia f(x) cho x – a Ví dụ 1: Tính giá trị A = x3 + 3x2 – x = 2010 Ta có sơ đồ: a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + = 4046130 -4 2010.4046130 – = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 C Chưng minh đa thức chia hết cho đa thức khác I Phương pháp: Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số là đa thức chia Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia là nghiệm đa thức bị chia II Ví dụ 1.Ví dụ 1:Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n N Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) (11) Ví dụ 6: Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) là các số lẻ Chứng minh f(x) không có nghiệm nguyên Giả sử x = a là nghiệm nguyên f(x) thì f(x) = (x – a) Q(x) Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, đó f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 – a) Q(1) Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên – a là số lẻ, mà – a là hiệu số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn Vậy f(x) không có nghiệm nguyên Bài tập nhà: Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009 Bài 3: Chứng minh a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + b) x10 – 10x + chia hết cho x2 – 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia hết cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + e) (xn – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ A Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất các nhân tử khác b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung B Bài tập: x4 5x2 4 Bài 1: Cho biểu thức A = x 10 x a) Rút gọn A b) tìm x để A = Bài 2: x x 12 x 45 Cho biểu thức B = x 19 x 33 x a) Rút gọn B Bài b) Tìm x để B > c) Tìm giá trị A x 7 (12) x 1 2x : x x 1 x x 1 Cho biểu thức C = a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B là số nguyên Bài Cho biểu thức D = x3 x x x x x2 a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên c) Tìm giá trị D x = Bài tập Bài 1: 2 x x 2 x 3 x : 1 Cho biểu thức A = x x x x x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0; A > Bài 2: y3 y2 y Cho biểu thức B = y y y 2D b) Tìm số nguyên y để 2y + có giá trị nguyên a) Rút gọn B c) Tìm số nguyên y để B CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC (TIẾP) * Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật Bài 1: Rút gọn các biểu thức a) A = 2n 2 (1.2) (2.3) n(n 1) Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm quy luật 2n Ta có n(n 1) 2n 1 2 n (n 1)2 Nên = n (n 1) 1 1 1 1 1 n(n 1) 2 n n (n 1) (n 1) (n 1)2 A= 2 3 1 n b) B = k (k 1)(k 1) 1 k k k2 Ta có Nên (13) 1.3 2.4 3.5 ( n 1)(n 1) 1.3.2.4 (n 1)(n 1) 1.2.3 (n 1) 3.4.5 (n 1) n n 2 2 2 n n 2.3.4 ( n 1) n 2.3.4 n n 2n B= 1 1 1 1 150 150 150 150 150 50 45 8 11 47 50 50 50 10 47.50 = c) C = 5.8 8.11 11.14 1 1 1 1 1 ( n 1) n n( n 1) (n 1)n(n 1) = 1.2 2.3 2.3 3.4 d) D = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 1 (n 1)(n 2) 4n(n 1) = 1.2 n(n 1) Bài 2: m m 2 m n 1; a) Cho A = 1 1 A n Tính B B= 1 1 (2n - 3).3 (2n - 1).1 ; b) A = 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) 1 2n - B=1+ Tính A : B Bài tập nhà Rút gọn các biểu thức sau: 12 32 52 n2 (n + 1) b) 1 1 + + (n - 1)n a) 1.2 2.3 1 + + n(n + 1)(n +2) c) 1.2.3 2.3.4 * Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện biến x + =3 x Bài 1: Cho Tính giá trị các biểu thức sau : a) A = x2 + x2 ; b) B = x3 + x3 ; c) C = x4 + x4 ; Lời giải æ 1ö A = x + =ç x+ ÷ ÷ ç ÷- = - = ç è ø x x a) ; 2 æ 1ö æ 1ö ç B = x + =ç x+ ÷ x+ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷= 27 - = 18 ç ç è ø è ø x x x b) ; 3 æ2 ö C = x + =ç x + 2÷ ÷ ç ÷- = 49 - = 47 ç è ø x x c) ; d) D = x5 + x5 (14) æ2 ö æ3 ö 1 ÷ ÷ ç A.B = ç x + x + = x + + x + = D +3 ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç è ø è ø x x x x d) D = 7.18 – = 123 a b c x y z + + =2 + + =2 y z b c Bài 2: Cho a (1); x (2) 2 b a c + + z y Tính giá trị biểu thức D = x Bài a b 2c a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A = ab + a + bc + b + ac + 2c + a2 b2 c2 2 2 2 2 b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = a - b - c b - c - a c - b - a c) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: (a + b + c) = a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 + 2 Rút gọn biểu thức C = a + 2bc b + 2ac c + 2ab * Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện biến 1 1 1 + + =2 + + =2 b c b c Bài 1: Cho a (1); a (2) Chứng minh rằng: a + b + c = abc 1 1 + + = Bài 2: Cho a, b, c ≠ và a + b + c ≠ thỏa mãn điều kiện a b c a + b + c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : a 2009 + b 2009 + c 2009 = a 2009 +b 2009 + c2009 Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc và a b 1 + + =a+b+c b c Chứng minh rằng: a a b c + + =0 y z Bài 5: Cho a + b + c = x + y + z = x ; Chứng minh rằng: ax2 + by2 + cz2 = a b c a b c + 0 + 0 2 (c - a) (a - b) Bài 6: Cho b - c c - a a - b ; chứng minh: (b - c) Bài 7: b - c c - a c a b a-b + + a b a - b b-c c - a = (1) Cho a + b + c = 0; chứng minh: c (15) Bài tập nhà: 1 yz xz xy + + 0 + + 2 y z y z 1) cho x ; tính giá trị biểu thức A = x xyz xyz xyz + + 3 y z ; vận dụng a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc HD: A = x a b c + + 1 + c a 2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = b yz xz x y 0 y z 3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: x a b c 4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; x y z Chứng minh xy + yz + xz = CHUYÊN ĐỀ – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi và đưahết vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b 0 thì phương trình (1)vô nghiệm b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm b TH2:a 0 thì phương trình (1) có nghiệm x= a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 b)12-6x=0 c)5x-2=0 d)-2x+14=0 e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 5 x x x 10 g) h) i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) x 1 2x 6 p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 3 13 3x 2( x 7) x 5 x 5 5 v) w) 7x 20 x 1,5 5( x 1) x 2(2 x 1) 5( x 9) 5 6 s) y) II/Phương trình tích: A 0 *Cách giải: Pt:A.B=0 B 0 (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc cách giải tương tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) (16) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) *Các bài tập tương tự: 2( x 3) x 0 b)(3x-2) a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 x 2(1 3x ) 0 c)(3,3-11x) d) ( x 5)(2 x 1) 0 e) (2 x 7)( x 10 3) 0 f) (2 x 5)(2,5 x 2) 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n)x +1=x(x+1) 0)x +(x=2) (11x-7)=4 p)x +x +x+1=0 q)x2-3x+2=0 r)4x -12x+5=0 s)-x2+5x-6=0 x 3( x 2) 0 t)2x +5x+3=0 y) CHUYÊN ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A.Mục tiêu: * Củng cố, ôn tập kiến thức và kỹ giải các Pt bậc cao cách phân tích thành nhân tử * Khắc sâu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử và kỹ giải Pt B Kiến thức và bài tập: I Phương pháp: * Cách 1: Để giải các Pt bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để dưa Pt dạng Pt có vế trái là đa thức bậc cao, vế phải 0, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa Pt dạng pt tích để giải * Cách 2: Đặt ẩn phụ II Các ví dụ: 1.Ví dụ 1: Giải Pt a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 b) x4 + x2 + 6x – = (1) c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1) f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + Bài 2: a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = (3) (17) d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = (4) Bài 3: a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72 (1) b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) a+b Chú ý: Khi giải Pt bậc dạng (x + a) + (x + b) = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + 4 c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 e) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + = Bài 4: Chứng minh rằng: các Pt sau vô nghiệm a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = Vế trái (x2 – 2)2 + (x + 3)2 không đồng thời xẩy x2 = và x = -3 b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = x7 – = x = x = không là nghiệm Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = Bài tập nhà: Bài 1: Giải các Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1) HD: Chuyển vế, triển khai (x2 + 1)2, phân tích thành nhân tử: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhân nhân tử với nhau, áp dụng PP đặt ẩn phụ) c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = (Nhân vế với 24, đặt 12x + = y) d) (x2 – 9)2 = 12x + (Thêm, bớt 36x2) e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = ( Đặt y = x – 1,5; Đs: x = 1; x = 2) f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Đặt x + = y; Đs:0; -1; -2 ) g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3 Đặt x + = a; x – = b; - 2x = c thì a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + = i) x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + = (Chia vế cho x2; Đặt y = x+ x ) (Vế trái là đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn tổng các hệ số bậc lẻ ) Bài 2: Chứng minh các pt sau vô nghiệm a) 2x4 – 10x2 + 17 = (Phân tích vế trái thành tổng hai bình phương) b) x4 – 2x3 + 4x2 – 3x + = (Phân tích vế trái thành tích đa thức có giá trị không âm ) (18) CHUYÊN ĐỀ – BẤT ĐẲNG THỨC Phần I : các kiến thức cần lưu ý A B A B 0 1-Đinhnghĩa: A B A B 0 2-tính chất + A>B ⇔ B< A +A>B>0 ⇒ A n > Bn + A>B và B >C A > C +A>B ⇒ An > Bn với n lẻ + A>B ⇒ A + C >B + C + | A| > |B| + A>B và C > D ⇒ A +C > B + D chẵn + A>B và C > ⇒ A.C > B.C + A>B và C < ⇒ A.C < B.C + m > n > và A > ∀n ⇒ An > Bn với n ⇒ A ❑m > A ❑n + < A < B và < C < D ⇒ < A.C < B.D + m > n > và <A < ⇒ A ❑m < A n ❑ +A < B và A.B > ⇒ 1 > A B - số bất đẳng thức + A ❑2 với ∀ A ( dấu = xảy A = ) + An với ∀ A ( dấu = xảy A = ) + | A|≥ với ∀A (dấu = xảy A = ) + - | A| < A = | A| + + AB A B | A − B|≤|A|−|B| ( dấu = xảy A.B > 0) ( dấu = xảy A.B < 0) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Phương pháp 1: dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M ❑2 với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx 2xy – 2xz + 2yz Giải: a) Ta xét hiệu : x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = xy – yz – zx) ( x y )2 ( x z ) ( y z ) đúng với x;y;z R = ( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 (19) Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu xảy x = y (x- z)2 0 vớix ; z Dấu xảy x = z (y- z)2 0 với z; y Dấu xảy z = y Vậy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) ❑2 đúng với x;y;z R 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Vậy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 Dấu xảy x + y = z Ví dụ 2: chứng minh : a2 +b2 a+ b ≥ 2 ( ) a) a2 +b2 +c a+ b+c ≥ 3 ( ; b) ) c) Hãy tổng quát bài toán giải a) Ta xét hiệu a2 +b2 a+b − 2 ( ) Vậy ( a2+ b2 ) a2+ 2ab+ b2 − 4 a2 +b2 a+ b ≥ 2 = ( a −b )2 ≥ Dấu xảy a = b a2 +b2 +c a+b+ c − 3 ( a2 +b2 +c a+ b+c ≥ 3 c)Tổng quát: ( a2 +2 b2 − a2 −b −2 ab ) = ( ) b)Ta xét hiệu: Vậy = ( ) = [ ( a − b ) + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ ) Dấu xảy a = b =c a21 +a22 + +a2n a1 +a2 + +an ≥ n n ( * Tóm lại các bước để chứng minh A ) B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H = (C+D) ❑2 H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bước 3: Kết luận A B 2) phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh b2 a) a + ≥ ab b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) (20) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: { x y z =1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh : có đúng ba số x,y,z lớn 3) Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A) số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) 2 b) x 2+ y ≥∨xy∨¿ dấu( = ) x = y = x + y ≥ xy c) ( x+ y )2 ≥ xy d) a b + ≥2 b a a1 +a2 +a 3+ + an ≥ √ a1 a2 a3 an n 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với >0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski +¿ n ¿ x 21+ x 22 + ¿ ( a1 x 1+ a2 x + +an x n ) ( a + a22+ + a2n ) ¿ 4) Bất đẳng thức Trê-bư - sép: aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ 3 {Aa≤≤ bB≤≤ cC ⇒ a ≤b ≤ c ⇒ Nếu { A ≥ B ≥C a=b=c Dấu xảy { A=B=C Nếu aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≤ 3 B) các ví dụ ví dụ Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh (a+b) (b+c)(c+a) 2 a +b + c =1 ví dụ 2: Cho a > b > c > và a3 b3 c3 chứng minh b c a c a b ví dụ 3: Cho a,b,c,d > và abcd =1 Chứng minh : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 ví dụ 4: Chứng minh : 2 a +b + c ≥ ab+ bc+ac 4) Phương pháp 4: dùng tính chất tỷ số 8abc (21) A Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a – Nếu a >1 b a a+ c > b b+ c thì 2) Nếu b,d >0 thì từ a <1 b b – Nếu thì a a+ c < b b+ c a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+ d d B Các ví dụ: ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh : 1< ví dụ : Cho: a c < b d a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b và b,d > ví dụ : Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c+d =1000 tìm giá trị lớn a b + c d 1 1 < + + + < n+1 n+2 n+ n Ví dụ : Với số tự nhiên n >1 chứng minh : Ví dụ 5: CMR: A = 1+ 1 1 + + + + 2 n Ví dụ 6: Cho a ,b ,c ,d > Chứng minh : với n ≥ không là số tự nhiên 2 a b bc cd d a 3 a b c b c d c d a d a b Phương pháp 5:Dùng bất đẳng thức tam giác Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác thì : a; b; c > Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ1: Cho a; b; clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Ví dụ2: (đổi biến số) Cho a,b,c là ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥ (1) b+c c +a a+b Ví dụ 3: (đổi biến số) Cho a, b, c > và a + b + c <1 Chứng minh : 6) phương pháp làm trội : Chứng minh BĐT sau : 1 1 (2n 1).(2n 1) a) 1.3 3.5 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ac c +2 ab (1) (22) b) 1 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Giải : 1 2k 1 (2k 1) 1 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k a) Ta có : Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) n 1 1 b) Ta có : (đpcm) 1 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n 1 1 1 1 2 n 2 3 n n < (đpcm) Bài tập nhà: 1) Chứng minh rằng: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 (x + y + z) HD: Ta xét hiệu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : 1 a b c 2 b c c a a b a aa 2a a a (HD: b c a b c a b c và b c a b c ) 1 1 2n + 3n 3n + < 3) < n + n + áp dụng phương pháp làm trội 4) Cho a, b, c > Chứng minh bc ac ab a b c a + b + c b a bc ac ac ab bc ab a b 2c; b b =c c ?; a c ? HD: a CHUYÊN ĐỀ – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị biểu thức A luôn luôn lớn (nhỏ bằng) số k và tồn giá trị biến để A có giá trị k thì k gọi là giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với các giá trị biến thuộc khoảng xác định nói trên 2) Phương pháp (23) a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A k với k là số + Chỉ dấ “=” có thể xẩy với giá trị nào đó biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A k với k là số + Chỉ dấ “=” có thể xẩy với giá trị nào đó biến Kí hiệu : A là giá trị nhỏ A; max A là giá trị lớn A B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a < Giải b b b2 Ta có: P = a(x2 + a x) + c = a(x + 2a )2 + (c - 4a ) b2 b Đặt c - 4a = k Do (x + 2a )2 nên: b b a) Nếu a > thì a(x + 2a )2 đó P k P = k x = - 2a b b b) Nếu a < thì a(x + 2a )2 đó P k max P = k x = - 2a II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - +5 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = b) B = x-2 + x-3 x2 - x + x2 - x - 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| III.Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y (24) a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + IV Dạng phân thức: Phân thức có tử là số, mẫu là tam thức bậc hai Biểu thức dạng này đạt GTNN mẫu đạt GTLN -2 2 2 Ví dụ : Tìm GTNN A = 6x - - 9x = 9x - 6x + (3x - 1) 1 2 2 2 Vì (3x – 1)2 (3x – 1)2 + (3x - 1) 4 (3x - 1) 4 A - 1 A = - 3x – = x = Phân thức có mẫu là bình phương nhị thức 3x - 8x + a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = 3 2 (x - 1) x - (x - 1) Đặt y = x - Thì A = x - 2x + 1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y = x - = x = +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 = 2 2 x 2x + (x 1) (x 1) A= A = x – = x = x b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = x 20x + 100 x + y2 2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y Các phân thức có dạng khác - 4x a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = x - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2) A = - x = x 1 x 1 Ta có: A = x - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1) 4 4 2 max A = x = x 1 x 1 Ta lại có: A = x C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ các biến 1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy (25) Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = x = – y b) Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y = x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 x2 – 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 1 2(x + y ) x + y A = x = y = 2 2 2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > và x + y + z = 4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y4 z D Một số chú ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y thì A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta có thể thay đk biểu thức này đạt cực trị đk tương đương là biểu thức khác đạt cực trị: +) B lớn B nhỏ (với B > 0) +) -A lớn A nhỏ ; +) C lớn C2 lớn x4 + x Ví dụ: Tìm cực trị A = + 1 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức các khoảng biến, sau đó so sámh các cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến y Ví dụ: Tìm GTLN B = - (x + y) 4) Sử dụng các bất đẳng thức Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 5) Hai số có tổng không đổi thì tích chúng lớn và chúng Hai số có tích không đổi thì tổng chúng lớn và chúng (26) a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) (x + 4)(x + 9) x b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức Ví dụ: Tìm GTNN A = 11m 5n (27)