Đang tải... (xem toàn văn)
Mà hai góc OAC và OMC đối nhau Do đó tứ giác OACM nội tiếp được đường tròn đường kính OC có tâm là trung điểm của OC 2/ Chứng minh BM // OC ... Hay BM ^ AM Do đó : BM // OC vì cùng vuôn[r]
(1)ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 NĂM HỌC 2012-2013 ( 20 bài tập hình học tự luyện tham khảo) ************ Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R.Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với (O) Qua điểm M thuộc đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By P và Q 1/ Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp 2/ Chứng minh : PQ = AP + BQ 3/ AM cắt By B’ và BM cắt Ax A’ Chứng minh : AA’.BB’ = 4R2 GIẢI 1/ Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp x y - xét tứ giác APMO có : B' PAO PMO 90 ( T/c tiếp tuyến ) 0 Suy PAO PMO 90 90 180 Mà PAO và PMO đối Do đó tứ giác APMO nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh : PQ = AP + BQ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt có : MP = AP và MQ = BQ Suy MP + MQ = AP + BQ Hay PQ = AP + BQ 3/ Chứng minh : AA’.BB’ = 4R2 A' Q M P A 1 O B Ta có : AMB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 'AB ABB ' A 900 ( T/c tiếp tuyến ) Xét hai tam giác vuông A’AB và ABB’ có ' B B 1 ( vì cùng phụ với A1 ) AA ' AB ' ' A AB ABB ' AB2 AA ' BB' AB BB mà AB = 2R ’ ’ 2 Do đó AA BB = ( 2R) = 4R Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (O) đường kính BH cắt AB D, vẽ đường tròn (O’) đường kính CH cắt AC E Chứng minh rằng: 1/ AD AB = AE.AC (2) 2/ DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’) 3/ Tứ giác BDEC nội tiếp 4/ So sánh diện tích tứ giác DEO’O và diện tích tam giác ABC Giải 1/Chứng minh : AD AB = AE AC Ta có : BDH 90 (Góc nt chắn nửa đ.tròn) D HD AB D HEC 900 ( góc nt chắn nửa đ.tròn ) B Þ HE AC E O Lại có : AH BC H (gt) Áp dụng hệ thức các tam giác AHB và AHC vuông H có HD và HE là các đường cao : Có AH2 = AD AB A E I H O' Và AH2 = AE AC Suy : AD AB = AE AC 2/Chứng minh : DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O)Và (O’) Xét tứ giác ADHE có : A D E 90 Suy tứ giác ADHE là hình chữ nhật Gọi I là giao điểm AH và DE Ta có : IA = ID = IH = IE (tc hai đường chéo hình chử nhật) Xét hai tam giác ODI và OHI có : ID = IH ; OD = OH ( bán kính đt (O) ) ; OI là cạnh chung ODI OHI (c c c) ODI OHI Mà OHI 90 ( gt ) ODI 900 DE OD D Do đó DE là tiếp tuyến đường tròn (O) ; (1) Tương tự ta có IH = IE , O’H = O’E , O’I là cạnh chung / / Þ IHO IEO (c c c ) / IEO / 900 DE O / E IHO E Do đó DE là tiếp tuyến đ.tròn (O’) (2) Từ (1) và (2) suy DE là tiếp tuyến chung hai đ.tròn (O) và (O’) 3/ Chứng minh :Tứ giác BDEC nội tiếp Xét tứ giác BDEC có : C (3) DEH D (hai góc so le , vì AD // EH) DEH C Và (vì cùng chắn cung EH đ tròn (O’) ) C D 1 Mà D1 là góc đối ngoài C1 Do đó tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn 4/So sánh diện tích tứ giác DEO’O và diện tích tam giác ABC Gọi R là bán kính đt (O) , r là bán kính đt (O’) Theo tính chất tiếp tuyến có: DE OD, DE O / E OD / /O / E Hay tứ giác DEO’O là hình thang vuông S DEO / O 1 OD O / E DE R r DE 2 1 S ABC BC AH BH HC AH R 2r AH 2 2 R r DE = ( vì DE = AH ) S DEO / O S ABC R r DE 1 S DEO / O S ABC 2 R r DE 2 Bài 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) với M, N là các tiếp điểm ; lấy điểm H thuộc dây MN, đường thẳng vuông góc với OH H cắt AM E và AN F 1/ Chứng minh: H, O, E, M cùng thuộc đường tròn 2/ Chứng minh tam giác OEF cân 3/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI.OE = OM.OH E Giải M 1/ Chứng minh : H , O , E , M , cùng thuộc đường tròn A Ta có : OME 90 ( t/c tiếp tuyến) OHE 90 ( gt) H O I F 1 N (4) Suy M , H nằm trên đường tròn đường kính OE ( Theo quỹ tích cung chứa góc a = 90 ) Do đó : H,O,E,M cùng thuộc đường tròn đường kính OE 2/ Chứng minh : tam giác OEF cân Xét tam giác MON cân O (vì OM = ON = R ) N M 1 (1) Xét tứ giác ONFH có : 900 ( gt ) ONF 900 (tctt ) và OHF ONF OHF 900 900 1800 Mà ONF , OHF đối Do đó tứ giác ONFH nội tiếp F (2) N 1 ( vì cùng chắn cung OH ) Lại có : tứ giác HOEM nội tiếp (vì H,O,E,M cùng thuộc đ.tròn) E M 1 (3) ( vì cùng chắn cung OH ) Từ (1) ,(2) ,(3) suy : F1 E1 Hay tam giác OEF cân O 3/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh: OI.OE = OM.OH Xét tam giác OIM vuông I (gt) Và tam giác OHE vuông H (gt) có: E (cmt ) OIM OHE M 1 OI OM OI OE OM OH OH OE Bài 4: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm, từ M là điểm trên cung nhỏ BC hạ MH,MI, MK vuông góc với BC, AB, AC H , I , K 1/ Chứng minh các tứ giác BHMI, CHMK nội tiếp; 2/ Chứng minh MH2 = MK.MI; 3/ Gọi giao điểm BM và HI là P; giao điểm CM và HK là Q Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp; Giải B I 1/ Chứng minh các tứ giác BHMI , CHMK nội tiếp M A P H Q K C O (5) *Xét tứ giác BHMI có : BHM BIM 900 (gt) BHM BIM 900 90 1800 Mà hai góc BHM và BIM đối Do đó tứ giác BHMI nội tiếp đường tròn đường kính BM * Xét tứ giác CHMK có : CHM CKM 90 ( gt ) CHM CKM 900 900 1800 Mà hai góc CHM và CKM đối Do đó tứ giác CHMK nội tiếp đường tròn đường kính CM 2/ Chứng minh : MH2 = MK MI B Do tứ giác CHMK nội tiếp (cmt) H1 C1 (1) (vì cùng chắn cung MK ) Do tứ giác BHMI nội tiếp (cmt) I M A B (2) I (vì cùng chắn cung MH) P H O Q Mà C1 B1 (3) (vì cùng chắn cung MC) K I H N 1 (*) Từ (1),(2),(3) Ta có AB = AC (tc hai tiếp tuyến cắt ) Suy tam giác ABC cân A ABC ACB (4) Mà ABC IMH 180 (5) (do tứ giácBHMI nội tiếp ) ACB KMH 1800 (6) (do tứ giácCHMK nội tiếp) C Từ (4),(5),(6) KHMI(*) MH MI MH MK MI MK MH Từ (*),(**) IMH HMK ( g g ) 3/ Gọi giao điểm BM và HI là P ; giao điểm CM và HK là Q Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp 900 PMH B Ta có (do tam giác MHB vuông H) H (cmt ) B 1 900 PMH H 900 QMH C (do tam giác CHM vuông H) (6) MKH C (vì cùng chắn cung MH) MKH H (do hai tam giác IMH và HMK đồng dạng) 90 HMQ H QMH 900 900 PMH H H H PMH QMH H 1800 PMQ PHQ 1800 Mà hai góc PMQ và PHQ đối Vậy tứ giác MPHQ nội tiếp đường tròn Bài 5: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp tuyến đó lấy điểm P cho AP >R Từ P kẻ tiếp tuyến với (O) M 1/ Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn; 2/ Chứng minh BM//OP 3/ Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành; 4/ Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng 1/ Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn; Xét tứ giác APMO có : OAP 900 ( tính chất tt ) x P N M OMP 900 ( tính chất tt ) OAP OMP 900 900 1800 Mà OAP và OMP đối Do đó tứ giác APMO nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh BM//OP A O ABM AOM (1) Ta có : ( góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung AM) OP là tia phân giác góc AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) B (7) AOM AOP (2) Từ (1) và (2) ABM AOP ( vị trí đồng vị ) Do đó : BM // OP 3)Chứng minh tứ giác OPNP là hình bình hành Xét tam giác OAP vuông A và tam giác BON vuông O có : OA = OB ( bán kính ) và AOP OBN (cmt ) Do đó : OAP BON ( Cạnh góc vuông-Góc nhọn ) Nên OP = BN – Lại có : OP // BN Vậy tứ giác OBNP là hình bình hành 4/ Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Do tứ giác OBNP là hình bình hành x Suy PN//OB hay PJ//AB P Mà ON AB ON PJ Ta có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ) Mà ON và PM cắt I nên I là trực tâm tam giác POJ Lại có tứ giác AONP là hình chữ nhật A ( vì PAO AON ONP 90 ) Suy K là trung điểm OP ( t/c đường chéo HCN ) Và AO//PN AOP NPO ( hai góc so le ) N J I M K O Ta có AOP POM ( t/c hai tt cắt ) NPO PON Do đó tam giác JPO cân J có JK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên I thuộc JK Vậy : I , J , K thẳng hàng Bài 6: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (C, B là hai tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến (O) Gọi H là trung điểm DE B (8) 1/ Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc đường tròn; 2/ Chứng minh HA là tia phân giác góc BHC; 3/ DE cắt BC I Chứng minh AB2 = AI.AH; 4/ Cho AB = R ; OH R Tính IH theo R Giải B A O D 1/ Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc đường tròn I H C Ta có : ABO ACO (tctt ) H là trung điểm dây DE (gt) OH DE OHA 900 Nên ABO ACO OHA 90 Và OA là đoạn thẳng cho trước Suy B,H,C nằm trên đường tròn đường kính OA Do đó : năm điểm A,B,H,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA 2/ Chứng minh HA là tia phân giác góc BHC Ta có: AB = AC (theo tc hai tt cắt ) AB AC ( hai dây thì căng hai cung ) BHA CHA (hai góc nội tiếp chắn hai cung thì nhau) Do đó HA là tia phân giác góc BHC 3/ DE cắt BC I Chứng minh : AB2 = AI AH Ta có : CHA CBA Mà ( vì cùng chắn cung AC ) CHA BHA (cmt ) CBA BHA Nên Xét hai tam giác ABI và AHB E (9) có : A là góc chung Và IBA BHA (cmt) ABI AHB( g g ) AB AI AB AI AH AH AB R 4/ Cho AB = R ; OH = Tính IH theo R Xét tam giác OBA vuông B có OA2 = OB2 + AB2 ( đl Py tago ) OA2 R R 3R R 4 R OA 2R Xét tam giác OHA vuông H có OH2 + AH2 = OA2(đl Pytago) R 16 R R 15R R 4 R 4 R 2 2 4 AH = OA – OH 15 R R 15 AH Mà AB2 = AI.AH AB 2 15 AI 3R 2 R AH R 15 R 15 15 R 15 R 15 R 15 R 10 10 Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm di động trên cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MB 1/ Chứng minh: DMB là tam giác đều; HI AH AI 2/ Chứng minh: MB + MC = MA; 3/ Chứng minh tứ giác ADOB nội tiếp được; A Giải 1/ Chứng minh: DMB là tam giác đều; Xét tam giác DMB có : MD = MB (gt) D O C B M (10) Nên tam giác DMC cân M (1) Lại có : DMB ACB 60 ( 2) (vì cùng chắn cung AB ,tam giác ABC đều) Từ (1) , (2) suy DMB là tam giác 2/ Chứng minh: MB + MC = MA; Xét hai tam giác ABD và CBM có : AB = CB ( ABC là tam giác ) BD = BM ( DMB là tam giác ) ABD MBC (vì cùng cộng với góc DBC 600) ABD CBM (c g c) AD MC Lại có : DM = MB ( gt) Suy AD + DM = MC + MB Hay AM = MB + MC 3/ Chứng minh tứ giác ADOB nội tiếp Xét tứ giác ADOB có : ADB 1200 ( vì kề bù với BDM 60 ) AOB = sđ AB 120 (do ABC là tam giác đều) Hai đỉnh liên tiếp D , O cùng nhìn cạnh AB cố định góc 1200 Do đó tứ giác ADOB nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho đường tròn (O; R) , hai dây AB và CD vuông góc với I ( AB không phải là đường kính) 1/ Chứng minh hệ thức : IA.IB = IC.ID 2/ Kẻ đường kính AM Chứng minh : BM // CD 3/ Khi điểm I di chuyển đường tròn (O;R) Chứng minh: IA2 +IB2 +IC2 +ID2 = 4R2 C Giải 1/ Chứng minh hệ thức : IA.IB = IC.ID A I B Ta có AB CD I ( gt) O Xét hai tam giác vuông AIC và DIB có : IAC IDB ( vì cùng chắn cung BC ) D M (11) AIC DIB IA IC IA.IB IC.ID ID IB 2/ Kẻ đường kính AM Chứng minh : BM // CD Ta có : ABM 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) BM AB B mà CD AB(gt) Do đó BM // CD 3/Chứng minh: IA2 +IB2 +IC2 +ID2 = 4R2 Áp dụng định lí Py-ta-go các tam giác vuông AIC và DIB có : IA2 + IC2 =AC2 Và IB2 + ID2 = BD2 Suy IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = AC2 + BD2 (1) Mặt khác xét tứ giác BCDM có BM // CD ( cmt) nên BCDM là hình thang Mà hình thang BCDM nội tiếp (O) suy BCDM là hình thang cân Do đó : BD = MC suy BD2 = MC2 ( 2) Từ (1) và (2) suy IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = AC2 + MC2 (3) Lại có : ACM 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Xét tam giác ACM vuông C có AC2 + MC2 = AM2 (Đl Py-ta-go) Hay AC2 + MC2 = ( 2R)2 = 4R2 (4) Từ (3) và (4) suy IA2 +IB2 +IC2 +ID2 = 4R2 Bài 9: Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính cố định vuông góc AB và CD 1/ Chứng minh ACBD là hình vuông; 2/ Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E khác B và C) Trên tia C đối tia EA lấy điểm M cho EM = EB Chứng minh ED là phân giác góc AEB và ED//MB E X 3/ Chứng minh CE là đường trung trực BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R Giải A O D X B M (12) 1/ Chứng minh ACBD là hình vuông; Xét tứ giác ACBD có : OA = OB = OC = OD = R Suy ACBD là hình chữ nhật Lại có : AB CD O ( gt) Do đó : ACBD là hình vuông 2/ Chứng minh ED là phân giác góc AEB và ED//MB 1 AED AOD 900 450 2 *Ta có : ( góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung AD ) 1 DEB DBO 900 450 2 ( góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung DB ) AED DEB Do đó ED là tia phân giác góc AEB AEB 900 Ta có : ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) BEM 900 ( vì kề bù với góc AEB ) Xét tam giác BEM vuông E có EM = EB ( gt) Suy tam giác BEM vuông cân E EBM 450 mà DEB 45 (cmt) EBM DEB Nên ( vị trí so le ) Do đó : ED // MB 3/ Chứng minh CE là đường trung trực BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R ' M *Ta có : CED 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) CE ED , mà ED // MB nên CE MB Lại có : tam giác BEM vuông cân E Do đó CE là đường trung trực MB C E x Suy CM = CB = R ( không đổi ) x A O D B M (13) Vậy : điểm M di chuyển trên đường tròn (Vì điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC nên : Khi E trùng B thì M trùng B , E trùng C thì M đến vị trí M’ Do đó M di chuyển trên cung tròn C; R BMM’ tâm C có bán kính là R ) Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC Gọi E, F là hình chiếu M lên các cạnh AB và AC 1/ Chứng minh : Tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn 2/ Gọi D là giao điểm EF và BC Chứng minh : MD BC 3/ Chứng minh : MA = MB + MC Giải 1/ Chứng minh : Tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn Xét tứ giác AEMF có : MEA MFA 900 ( gt) 0 Suy MEA MFA 90 90 180 Mà hai góc MAE và MFA đối Do đó tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn 2/Chứng minh : MD BC Do tứ giác AEMF nội tiếp ( cmt) MAE MFA ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung ME ) Lại có : MAE MCB ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM (O) ) MFE MCB Hay MFD MCD Xét tứ giác MCFD có hai đỉnh liên tiếp C và F cùng nhìn cạnh MD hai góc nên tứ giác MCFD nội tiếp · · Suy MDC = MFC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC ) (14) · · 0 Mà MFC = 90 ( gt) nên MDC = 90 Hay MD ^ BC D 3/ Chứng minh : MA = MB + MC Trên tia AM lấy điểm I cho MB = MI · · Ta có tam giác BMI cân M có : BMI = ACB = 60 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB , tam giác ABC ) Suy tam giác BMI là tam giác Xét hai tam giác ABI và CBM có : AB = BC ( tam giác ABC ) · · ABI = CBM ( vì cùng cộng với góc IBC 600 ) BI = BM ( tam giác BMI là tam giác ) Suy D ABI = D CBM ( c-g-c) Nên AI = MC mà MI = MB ( gt) Suy AI + MI = MB + MC Hay AM = MB + MC Bài 11: Cho đường tròn (0;R) , đường kính AB Lấy điểm M trên nửa đường tròn cho MOB 60 Tiếp tuyến A và M cắt C 1/ Chứng minh tứ giác 0ACM nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó 2/ Chứng minh BM // OC /Cho R = 6cm , AM cắt 0C H Tính diện tích hình viên phân tạo dây AM và cung nhỏ AM ( Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) Giải 1/ Chứng minh tứ giác 0ACM nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó C Xét tứ giác OACM có : M m · · OAC = OMC = 900 ( T/c tiếp tuyến ) H A 600 O B (15) · · 0 Nên OAC +OMC = 90 + 90 = 180 Mà hai góc OAC và OMC đối Do đó tứ giác OACM nội tiếp đường tròn đường kính OC có tâm là trung điểm OC 2/ Chứng minh BM // OC Ta có : OA = OC = R CA = CM ( T/c hai tiếp tuyến cắt ) Suy OC là đường trung trực AM Nên OC ^ AM · Lại có : AMB = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Hay BM ^ AM Do đó : BM // OC ( vì cùng vuông góc với AM ) 3/Tính diện tích hình viên phân tạo dây AM và cung nhỏ AM ( Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) Ta có : S ¼M VP A m =S ¼ M qOA m - SDOAM · · ¼ 0 0 Sđ AmM = AOM = 180 - MOB = 180 - 60 = 120 Hay n = 1200 pR 2n p.62.120 S ¼ = = =12p(cm2 ) qOAmM 360 360 SD OAM = AM OH , với Sđ ¼ M = 1200 Þ AM = R A m ¼ · Sđ BM = MOB = 60 Þ BM = R , OH = bình tam giác AMB ) , BM R = 2 ( OH là đường trung (16) R R 62 SD AOM = R = = = 3(cm2) 2 4 S ¼M VP A m = 12p - ; 22,11(cm2) Bài 12: Cho đường tròn tâm O, từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm ) Kẻ dây CD song song với AB Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) E a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp; b/ Chứng tỏ AB2 = AE.AD c/ Chứng minh AOC ACB và tam giác BDC cân; d/ CE kéo dài cắt AB I Chứng minh IA = IB Giải a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp; B Xét tứ giác ABOC có : I ABO ACO 900 ( t/c tiếp tuyến ) ABO ACO 900 900 1800 A O E D Mà hai góc ABO và ACO đối C Do đó tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA b/ Chứng tỏ AB2 = AE.AD là góc chung Xét ADB và ABE có : A ABE ADB ( vì cùng chắn cung BE ) ADB ABE(g g) AB AD AB AE.AD AE AB C/ Chứng minh : AOC ACB và tam giác BDC cân * Do ABOC nội tiếp AOC ABC (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c tia tiếp tuyến cắt nhau) ABC cân A ABC ACB AOC ACB (17) * Ta có : BCD ABC ( hai góc so le , CD//AB ) Mà ABC = BDC ( vì cùng chắn cung BC ) BDC BCD BDC cân B d/ CE kéo dài cắt AB I Chứng minh IA = IB *Xét hai tam giác IBE và ICB có góc I chung IBE ECB ( cùng chắn cung BE) IE IB = IBE ICB IB IC IB2 = IE ICu Xét IAE và ICA có I chung; B I · · IAE = EDC ( hai góc so le , vì AB // CD ) · · ACE = EDC Mà · · Þ IAE = ACE A O E D C ( vì cùng chắn cung EC ) Do đó IAE ICA ( g-g) IA IE = IC IA IA2 = IE IC v Từ uvàv IA2 = IB2 IA = IB Bài 13: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm Từ C kẻ đường kính CD, tiếp tuyến D cắt AB E 1/ Chứng minh tứ giác ODEB nội tiếp, xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ODEB 2/ Chứng minh : OE OA và OE // BC 3/ Qua A kẻ cát tuyến AMN tới đường tròn (O) (M nằm A và N) Gọi H là giao điểm BC và OA Chứng minh : AM.AN AH.OA Giải 1/ Chứng minh tứ giác ODEB nội tiếp, xác định tâm và bán kính đường đường tròn ngoại tiếp tứ giác ODEB - Xét tứ giác ODEB có : · · ODE = OBE ( T/c tiếp tuyến ) · · 0 Suy ODE +OBE = 90 + 90 = 180 Mà hai góc ODE và OBE đồi (18) Do đó tứ giác ODEB nội tiếp đường tròn đường OE kính OE có tâm là trung điểm OE và bán kính là R = 2/ Chứng minh : OE OA và OE // BC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt có : - OE là tia phân giác góc DOB - OA là tia phân giác góc BOC Mà hai góc DOB và BOC kề bù Do đó OE ^ OA O Ta có : OB = OC = R AB = AC ( T/c hai tiếp tuyến cắt ) Suy OA là đường trung trực BC nên OA ^ BC Do đó OE // BC ( vì cùng vuông góc với OA ) 3/Chứng minh : AM.AN AH.OA · Ta có : ABO = 90 ( T/c tiếp tuyến ) BH ^ OA H - Xét tam giác ABO vuông B có BH là đường cao Nên AB2 = AH.OA (1) - Xét hai tam giác ABM và ANB có : µ · · A : là góc chung và ABM = ANB ( vì cùng chắn cung BM ) Do đó : D ABM : D ANB (g - g) Þ AB AM = Þ AB = AM AN (2) AN AB Từ (1) , (2) suy AM.AN = AH.OA Bài 14: Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AG, BE, CF gặp H 1/ Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó (19) 2/ Chứng minh : AF.AC = AH.AG 3/ Chứng minh GE là tiếp tuyến đường tròn (I) 4/ Cho bán kính đường tròn (I) là 2cm , BAC 50 Tính độ dài cung FHE đường tròn (I) và diện tích hình quạt tròn IFHE ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) Giải 1/ Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó Xét tứ giác AEHF có : A · · AEH = AFH = 900 ( gt) · · 0 Nên AEH + AFH = 90 + 90 = 180 I Mà hai góc AEH và AFH đối O F Do đó tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH có tâm I là trung điểm AH B H E G C 2/ Chứng minh : AF.AC = AH.AG Xét hai tam giác vuông AFH và AGC (gt) · · Có : HAF = GAC ( vì AG là đường cao tam giác ABC cân A nên là đường phân giác ) Suy D AFH : D AGC Þ AF AH = Þ AF AC = AH AG AG AC 3/ Chứng minh GE là tiếp tuyến đường tròn (I) -Xét tam giác AIE cân I ( vì IA = IE là bán kính đường tròn (I) ) · · · · Nên IAE = IEA mà IAE +GCE = 90 ( tam giácAGC vuông G ) · · Suy IEA +GCE = 90 ( 1) -Mặt khác xét tam giác tam giác ABC cân A ( AB = AC ) có AG là đường cao nên AG là đường trung tuyến , nên G là trung điểm BC (20) - Xét tam giác BEC vuông B có EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC , suy EG = BC Hay EG = CG nên tam giác EGC cân G · · Þ GCE = GEC (2) · · Từ (1) , (2) suy IEA +GEC = 90 · · · · · 0 0 Mà IEG + IEA +GEC = 180 Þ IEG + 90 = 180 Þ IEG = 90 Hay GE ^ I E E Do đó GE là tiếp tuyến đường tròn (I) 4/ Tính độ dài cung FHE đường tròn (I) và diện tích hình quạt tròn IFHE ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) · Ta có : r = 2cm , BAC = 50 Suy · ¼ 0 Sđ FHE = 2.BAC = 2.50 = 100 hay n = 1000 Độ dài cung FHE : l= prn p.2.100 10p = = ; 3, 49(cm) 180 180 Diện tích hình quạt tròn IFHE ; Sq = l.r 3,49.2 ; = 3, 49(cm2) 2 Bài 15: Cho đường tròn (O; R), và dây CD ( CD khác đường kính) Tiếp tuyến B đường tròn (B thuộc cung lớn CD) cắt đường thẳng CD P 1/.Chứng minh : BP2 = PC.PD 2/.Gọi M là trung điểm dây CD Chứng minh bốn điểm P, B, O, M cùng thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn nầy 3/.Cho R = cm, số đo cung nhỏ CD 60 Tính diện tích hình viên phân tạo dây CD và cung nhỏ CD (kết lấy chữ số thập phân) Giải 1/.Chứng minh : BP2 = PC.PD P 600 D - Xét hai tam giác PBD và PCP có : // Pµ là góc chung B O M // C (21) · · PBD = PCB ( vì cùng chắn cung DB ) Do đó D PBD : D PCB (g - g) BP PD = Þ BP = PC PD PC BP Þ 2/.Gọi M là trung điểm dây CD Chứng minh bốn điểm P, B, O, M cùng thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn nầy Ta có : MC = MD ( gt) · Nên OMP = 90 ( Quan hệ vuông góc đường kính và dây ) · PBO = 900 ( T/c tiếp tuyến ) · · 0 Suy OMP + PBO = 90 + 90 = 180 Mà hai góc OMP và PBO đối Do đó tứ giác PBOM nội tiếp đường tròn đường kính OP Hay bốn điểm P ,B , O , M cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm OP OP và bán kính là 3/ Tính diện tích hình viên phân tạo dây CD và cung nhỏ CD (kết lấy chữ số thập phân) » Ta có : n = SđCD = 60 nên CD = R Suy tam giác COD là tam giác ( vì OC = OD = CD = R ) Nên S R 62 = = = 3(cm2) 4 SCOD ¼ qOCD pR 2n p.62.60 = = = 6p(cm2) 360 360 Diện tích hình viên phân tạo dây CD và cung nhỏ CD SVP = S ¼ qOCD - SCOD = 6p - ; 3,3(cm2) (22) Bài 16: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, trên AB lấy điểm C cho AC < CB Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến nửa đường tròn, đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By Q Gọi D là giao điểm CP và AM; E là giao điểm CQ và BM; chứng minh rằng: a/ Tứ giác ACMP nội tiếp được; b/ AB song song với DE; c/ Ba điểm M, P , Q thẳng hàng Giải a Chứng minh: ACMP nội tiếp y x Q (Áp dụng tổng hai góc đối) M b C/m : AB//DE P Do ACMP nội tiếp ( cmt) D PCM PAM ( 1)(cùng chắn cung PM) E A Chứng minh tương tự tứ giác MDCE nội tiếp C B O H×nh 65 PCM MED (cùng chắn cung MD) (2) ABM = sđ AM Ta lại có: PAM (3) MED Từ (1),(2) , (3) ABM ( vị trí đồng vị ) Do đó : DE//AB c C/m : Ba điểm M;P;Q thẳng hàng: Ta có : MCD ABM MED ; CBQ 900 (tctt ) MCQ MBQ ( vì cùng phụ với hai góc MCD ABM ) Hai đỉnh liên tiếp C , B cùng nhìn cạnh MQ hai góc Suy tứ giác BCMQ nội tiếp 0 Mà CBQ 90 CMQ 90 (23) 0 PMQ PMC CMQ 90 90 180 Do đó : Ba điểm P,M,Q thẳng hàng Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Từ A và B vẽ các tiếp tiếp với đường tròn , chúng cắt S 1/ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn 2/ SC cắt đường tròn (O) I Chứng minh : SA.SB = SI.SC 3/ Tính diện tích tứ giác SAOB theo R Giải 1/ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn A S - Xét tứ giác SAOB có : · · SAO = SBO = 900 ( T/c tiếp tiếp ) · · Þ SAO + SBO = 900 + 900 = 1800 I O B Mà hai góc SAO và SBO đối Do đó tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn 2/Chứng minh : SA.SB = SI.SC Ta có : SA = SB ( T/c hai tiếp tiếp cắt ) OA = OB = R CA = CB ( vì tam giác ABC là tam giác ) Nên S , O , C thuộc đường trung trực cạnh AB Suy bốn điểm S , I , O ,C thẳng hàng - Xét hai tam giác SAI và SCA có : µ · · A là góc chung và SAI = SCA ( vì cùng chắn cung AI ) Do đó : D SAI : D SCA(g - g) SA SI = Þ SA = SI SC SC SA Hay SA.SB = SI.SC ( Vì SA = SB ) 3/ Tính diện tích tứ giác SAOB theo R Þ Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R) ¼ · Nên Sđ AIB = AOB = 120 Þ AB = R C (24) · AOB 1200 ·AOI = BOI · = = = 600 2 Lại có: (T/c hai tiếp tuyến cắt ) Xét tam giác SAO vuông A có : OA OA R · AOS = Þ OS = = = 2R · OS Cos 60 CosAOS Cos Xét tứ giác SAOB có SO ^ AB 1 SSAOB = OS.AB = 2R.R = R 2 Suy ( đvdt) Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D và E theo thứ tự là điểm chính các cung AB; AC Gọi giao điểm DE với AB và AC theo thứ tự là H và K a/ Chứng minh tam giác AHK cân; b/ Gọi I là giao điểm BE với CD Chứng minh AI vuông góc với DE; c/ Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp đường tròn; d/ Chứng minh IK song song với AB Giải A E a C/m: AKH cân H D O AE sđ AHK = sđ ( DB ) AKD EC sđ = sđ ( AD ) K I B (Góc có đỉnh nằm đường tròn) Mà AD DB; AE EC (gt) AHK = AKD Do đó : tam giác AHK cân A b C/m: AI DE EC EBC Do AE ABE (góc nội tiếp chắn các cung nhau) C (25) BE là phân giác góc ABC Tương tự CD là phân giác góc ACB Mà BE cắt CD I I là giao điểm đường phân giác ABC AI là phân giác góc A Mà AHK cân A có AI là phân giác nên AI là đường cao AI DE c C/m : Tứ giác CEKI nội tiếp: Xét tứ giác CEKI có : DB ACD Ta có DEB (2 góc nội tiếp chắn cung AD ) KCI hay KEI , Hai đỉnh liên tiếp E , C nhìn cạnh KI hai góc Do đó : tứ giác CEKI nội tiếp d C/m : IK//AB IEC Do KICE nội tiếp IKC (cùng chắn cung IC) BEC BAC Mà IEC (cùng chắn cung BC) IKC BAC ( vị trí đồng vị ) IK//AB Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn E và F, cắt AC I (E nằm trên cung nhỏ BC) a/ Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp được; b/ Chứng minh DC2 = DE DF c/ Chứng minh tứ giác DOIC nội tiếp đường tròn A d/ Chứng tỏ I là trung điểm EF F Giải O I a/ Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp được; Xét tứ giác BDCO có : C B E D (26) OBD OCD 900 ( t/c tiếp tuyến ) OBD OCD 900 900 1800 Mà hai góc OBD và OCD đối Do đó : tứ giác BDCO nội tiếp đường tròn đường kính OD b/ Chứng minh DC2 = DE DF Xét hai tam giác DCE và DFC có góc D chung DCE DFC ( vì cùng chắn cung CE ) DC DE DC2 DE.DF DF DC DCE~DFC C /Cm: tứ giác DOIC nội tiếp: BE Vì FD//AB ( gt) AF ( cung chắn hai dây song song thì ) DIC Ta có : = sđ( AF CE ) (đl góc có dỉnh bên đường tròn) ( ) 1 » +CE » DIC BE sđ = sđ BC (1) 1 DOC BOC Mà ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) DOC sđ BC Hay (2) Từ (1) , (2) suy DIC DOC Xét tứ giác DOIC có hai đỉnh liên tiếp O và I cùng nhìn cạnh DC hai góc Do đó tứ giác DOIC nội tiếp d C/m : I là trung điểm EF Do tứ giác DOIC nội tiếp (cmt) DIO DCO (cùng chắn cung DO) 0 Mà DCO 90 (tính chất tiếp tuyến) DIO 90 , hay OI FE I Do đó I là trung điểm EF ( liên hệ vuông góc đường kính và dây) (27) Bài 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn này cắt AB và AC D và E.; BE và CD cắt H a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được; b/ Chứng minh AE.AC = AB.AD; c/ AH kéo dài cắt BC F Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp DFE d/ Gọi I là trung điểm AH Chứng minh IE là tiếp tuyến A (O) Giải D Xét tứ giác ADHE có : BDC BEC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADH AEH 900 ( kề bù với góc 900) E I a Cm: Tứ giác ADHE nội tiếp: B H F O 0 ADH AEH 90 90 180 Mà hai góc ADH và AEH đối Do đó : Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH b C/m: AE AC = AB AD Xét hai tam giác vuông AEB và ADC có góc A chung AEB ADC AE AB AE.AC AB.AD AD AC c C/m : H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H là giao điểm hai đường phân giác tam giác DEF Xét tam giác ABC có hai đường cao BE , CD cắt trực tâm H Nên AH là đường cao thứ ba , suy AF BC F Hay BFH 90 - Xét tứ giác BDHF có : BDH BFH 900 nên BDH BFH 900 900 1800 Mà hai góc BDH và BFH đối C (28) Do đó tứ giác BDHF nội tiếp FDC EBC (vì cùng chắn cung HF ) Lại có : EDC EBC ( vì cùng chắn cung EC ) FDC EDC Hay DC là đường phân giác tam giác DEF - Xét tứ giác CEHF có : CEH CFH 900 nên CEH CFH 900 900 1800 Mà hai góc CEH và CFH đối Do đó tứ giác CEHF nội tiếp BEF BCD (cùng chắn cung FH) Lại có BED BCD ( vì cùng chắn cung BD ) BEF BED Hay EB là đường phân giác tam giác DEF - Xét tam giác DEF có hai đường phân giác DC và EB cắt H , suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF d/ C/m : IE là tiếp tuyến (O): Ta có IA = IH (gt) Xét tam giác AEH vuông E có EI là đường trung tuyến IA = IE = IH = AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông) IAE IAE cân I IEA (1) Xét tam giác COE cân O ( OC = OE) OEC OCE (2) Lại có : IAE OCE 90 (3) Từ (1),(2),(3) suy IEA OEC 90 IEO 1800 IEA OEC 1800 90 90 Do đó : IE là tiếp tuyến đường tròn (O) ***** HẾT **** Hay IE OE E (29) (30)