Đang tải... (xem toàn văn)
• Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm.. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f li[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp D D ⊂ ℝ và x ∈ D ( ) ( ) a ) x ñược gọi là ñiểm cực ñại hàm số f tồn khoảng a;b chứa ñiểm x cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) với x ∈ (a;b ) \ {x } Khi ñó f (x ) ñược gọi là giá trị cực ñại 0 hàm số f ( ) b ) x ñược gọi là ñiểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a;b chứa ñiểm x cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) với x ∈ (a;b ) \ {x } Khi ñó f (x ) ñược gọi là giá trị cực tiểu 0 hàm số f Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu x là ñiểm cực trị hàm số f thì người ta nói hàm số f ñạt cực trị ñiểm x ( Như : ñiểm cực trị phải là ñiểm tập hợp D D ⊂ ℝ ) ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị ñiểm x Khi ñó , f có ñạo hàm ñiểm x thì f ' x = ( ) Chú ý : • ðạo hàm f ' có thể ñiểm x hàm số f không ñạt cực trị ñiểm x • Hàm số có thể ñạt cực trị ñiểm mà ñó hàm số không có ñạo hàm • Hàm số có thể ñạt cực trị ñiểm mà ñó ñạo hàm hàm số , ñó hàm số không có ñạo hàm ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a;b chứa ñiểm x và có ñạo hàm trên các khoảng ( ) (a; x ) và (x ;b ) Khi ñó : f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x ) a ) Nếu thì hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b ) 0 0 0 ( ) Nói cách khác , f ' x ñổi dấu từ âm sang dương x qua ñiểm x thì hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x x ( ) f (x ) f' x x0 a b − + () () f a f b ( ) f x0 ( ) ( ) ( ( ) ) f ' x > 0, x ∈ a; x 0 b ) Nếu thì hàm số ñạt cực ñại ñiểm x Nói cách khác , f ' x ñổi f ' x 0, x x ; b < ∈ 0 dấu từ dương sang âm x qua ñiểm x thì hàm số ñạt cực ñại ñiểm x ( ) -41Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 x a x0 b ( ) f (x ) + f' x http://www.maths.vn − ( ) f x0 () () f a f b ( ) ( ) ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp trên khoảng a;b chứa ñiểm x , f ' x = và f có ñạo hàm cấp hai khác ñiểm x ( ) Nếu f '' ( x ) > thì hàm số f a ) Nếu f '' x < thì hàm số f ñạt cực ñại ñiểm x b) ñạt cực tiểu ñiểm x Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý ( ) • Tìm f ' x ( ) Xét dấu f ' ( x ) Nếu f ' ( x ) ñổi dấu x qua ñiểm x • Tìm các ñiểm x i i = 1, 2, ñó ñạo hàm hàm số liên tục không có ñạo hàm • thì hàm số có cực trị ñiểm x Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý • Tìm f ' x ( ) ( ) ( ) Với x tính f '' ( x ) Nếu f '' ( x ) < thì hàm số ñạt cực ñại ñiểm x Nếu f '' ( x ) > thì hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x • Tìm các nghiệm x i i = 1, 2, phương trình f ' x = • − − i i i i i i Ví dụ : Tìm cực trị các hàm số : a ) f x = x − x − 3x + 3 b) f x = x x + ( ) ( ) ( ( ) x (x − ) f (x ) = x c) f x = ) d) Giải : x − x − 3x + 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x − 2x − Cách Bảng biến thiên x −∞ −1 f' x + − ( ) 10 ( ) f x −∞ ( ) f ' x = ⇔ x = −1, x = +∞ + +∞ − 22 -42Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 Vậy hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = , hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 3, f = − 3 Cách : f '' x = 2x − ( ) () ( ) ( ) ( ) Vì f '' −1 = −4 < nên hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = () () Vì f '' = > hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 3, f = − ( ) 10 22 x x + x ≥ b) f x = x x + = −x x + x < Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ 2x + > x > Ta có f ' x = f ' x = ⇔ x = −1 −2x − x < Hàm số liên tục x = , không có ñạo hàm x = Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ f' x + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ −∞ Vậy hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = , hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 0, f = ( ) ( ) ( c) f x = x x −3 () ) ( ) x x − x ≥ Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ f x = −x x − x < 3 x − x > x Ta có f ' x = f' x =0⇔x =1 − x + −x > x < −x ( ) ( ( ) f (x ) ) ) ( ) x f' x ( ( ) −∞ + − + +∞ −∞ +∞ −2 () () Hàm số ñạt ñiểm cực ñại ñiểm x = 0, f = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu ñiểm x = 1, f = −2 ( ) d) f x = x -43Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 x x ≥ Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ f x = −x x < 1 x > Ta có f ' x = −1 x < Bảng biến thiên x −∞ +∞ f' x − + http://www.maths.vn ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ +∞ Hàm số ñạt ñiểm cực ñại ñiểm x = 0, f = () Ví dụ : Tìm cực trị các hàm số sau : ( ) f ( x ) = − cos x − cos 2x ( ) f ( x ) = x − sin 2x + a) f x = x − x c) f x = sin 2x − b) d) Giải : ( ) a) f x = x − x Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn −2;2 − 2x Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 − x2 ( ) ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = − 2, x = ( ) f ' x ñổi dấu từ âm sang dương x qua ñiểm − thì hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = − 2, ( ) f − = −2 ( ) f ' x ñổi dấu từ dương sang âm x qua ñiểm f thì hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = 2, ( 2) = Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: x ( ) f (x ) −2 − − f' x + 2 − −2 ( ) b ) f x = − cos x − cos 2x Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ -44Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 ( ) ( Ta có f ' x = sin x + s in2x = sin x + cos x http://www.maths.vn ) sin x = x = k π f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ ⇔ cos x = − = cos 2π x = ± 2π + k 2π 3 ( ) ( ) f '' x = cos x + cos 2x 2π 2π 2π 2π + k 2π = f '' ± + k 2π = cos = −3 < Hàm số ñạt cực ñại x = ± + k 2π , f ± 3 ( ) c) f ( x ) = sin 2x − ( ) ( f '' k π = cos k π + > 0, ∀k ∈ ℤ Hàm số ñạt cực tiểu x = k π , f k π = − cos k π ) Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ ( ) Ta có f ' x = cos 2x ( ) f ' x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = , π +k π ,k ∈ ℤ π π −8 k = 2n π f '' + k = −8 sin + k π = k = 2n + 2 4 2 8 π π Vậy hàm số ñạt cực ñại các ñiểm x = + nπ ; f + nπ = −1 và ñạt cực ñại 4 π π π π x = + 2n + ; f + 2n + = −5 4 2 ( ) f '' x = −8 sin 2x ( , ) ( ) ( ) d ) f x = x − sin 2x + Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại các ñiểm x = − π + k π , k ∈ ℤ và ñạt cực tiểu các ñiểm π + kπ , k ∈ ℤ Ví dụ : x = ( ) Chứng minh với giá trị m , hàm số y = f x , m = có cực ñại và cực tiểu ( ) ( ( ) x − m m + x + m3 + x −m luôn ) Với giá trị nào m ,hàm số y = f x , m = m + x + 3x + mx + m có cực ñại , cực tiểu mx + x + m không có cực ñại , cực tiểu x +m Xác ñịnh các giá trị tham số k ñể ñồ thị hàm số y = f x , k = kx + k − x + − 2k ( ) Với giá trị nào m ,hàm số y = f x , m = ( ) ( ) có ñiểm cực trị ( ) Xác ñịnh m ñể ñồ thị hàm số y = f x , m = y = ñại Giải : -45Lop12.net x − mx + có cực tiểu mà không có cực 2 (6) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 { } g (x ) − 2mx + m − = (x − m ) (x − m ) http://www.maths.vn Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m x2 Ta có y ' = 2 ( ) , x ≠ m , g x = x − 2mx + m − ( ( ) ) ( ) Dấu g x là dấu y ' và ∆ 'g = m − m − = > , ∀m Do ñó ∀m thì g x = luôn có nghiệm phân biệt x = m − 1, x = m + thuộc tập xác ñịnh x f' x ( ) f (x ) −∞ + m −1 − m − +∞ m +1 + +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñổi dấu từ dương sang âm x qua ñiểm x = m − thì hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = m − y ' ñổi dấu từ âm sang dương x qua ñiểm x = m + thì hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = m + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ ( ) Ta có y ' = m + x + 6x + m Hàm số có cực ñại và cực tiểu phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt hay m + ≠ m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m < ∆ ' = − 3m m + > 3 −m − 2m + > Vậy giá trị m cần tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 ( ( ) ) { } Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm y ' = mx + 2m 2x (x + m ) Hàm số không có cực ñại , cực tiểu y ' = không ñổi dấu qua nghiệm , ñó phương trình ( ) ( ) g x = mx + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghiệm có nghiệm kép • Xét m = ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = thoả • Xét m ≠ Khi ñó ∆ ' = m Vì ∆ ' = m > 0, ∀m ≠ ⇒ g x = có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m ñể ( ) ( ) ( ) g x = mx + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghiệm có nghiệm kép Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ Ta có y ' = 4kx − k − x ( ) x = y' = ⇔ 2kx + k − = (*) -46Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số có cực trị phương trình y ' = có nghiệm và y ' ñổi dấu x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình 2kx + k − = (*) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = k = k = k ≤ ⇔ k ≠ ⇔ ⇔ k < 0∨k ≥1 k ≥1 ∆ ' = −2k k − ≤ Vậy k ≤ ∨ k ≥ là giá trị cần tìm Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ x = Ta có y ' = 2x − 2mx y' = ⇔ x = m * Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại phương trình y ' = có nghiệm và y ' ñổi ( ) () dấu x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình x = m (*) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = ⇔m≤0 Vậy m ≤ là giá trị cần tìm Ví dụ : x + mx + ñạt cực ñại x = x +m Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x + m + x + − m ñạt cực ñại ( ) ( ) Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = ( ) x = −1 Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x − 6x + m + x − m − ñạt cực ñại và ( ) ( ) cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu ( ) Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = (P ) : y = x x + mx + có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol x −1 +x −4 Giải : { } ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm f ' x = x + 2mx + m − (x + m ) m = −3 Nếu hàm số ñạt cực ñại x = thì f ' = ⇔ m + 4m + = ⇔ m = −1 x = x − 6x + , ≠ ' = ⇔ x f x m = −3 , ta có f ' x = x =4 x −3 () ( ) Bảng biến thiên : x −∞ f' x + ( ) f (x ) ( ( ) ) − − +∞ + +∞ +∞ -47Lop12.net , x ≠ −m (8) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 −∞ −∞ http://www.maths.vn Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại x = , ñó m = −3 thoả mãn Tương tự với m = −1 Cách : x + 2mx + m − , x ≠ −m Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm f ' x = x +m { } y '' = ( x +m ) ( ) ( ) , x ≠ −m Hàm số ñạt cực ñại x = =0 1 − m + 4m + = y ' = m = −1 ∨ m = −3 2+m ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3 2 m < − '' y < m < −2 <0 2+m Vậy m = −3 là giá trị cần tìm () () ( ) ( ) Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ ( ) ( ) ( Ta có f ' x = 3x + m + x = x 3x + 2m + −∞ x ( ) f (x ) − + f' x 2m + − + Hàm số ñạt cực ñại x = −1 ⇔ − ( ( ) +∞ Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ ) x = ⇒f' x =0⇔ x = − 2m + 2m + = −1 ⇔ m = − ) Ta có : y ' = 3x − 12x + m + ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − m + > ⇔ 2−m > ⇔ m < 1 y = x − 3x − 12x + m + + m − x + m − = x − y '+ m − x + m − 3 Gọi A x1; y1 , B x ; y2 là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm phương trình ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) g x = 3x − 12x + m + = Trong ñó : -48Lop12.net ( ) ( ) (9) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 y1 = x − y ' x + m − x + m − ⇒ y1 = m − x + m − y ' x = y2 = x − y ' x + m − x + m − ⇒ y2 = m − x + m − y ' x = Theo ñịnh lý Vi-ét , ta có : x + x = 4, x 1x = m + Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y1.y2 > ⇔ 2 m − x + m − 2 m − x + m − > ⇔ m − ( ) ( ) ( ) ( ) (2x http://www.maths.vn )( ) + 2x + > ) ( ⇔ m − 4x 1x + x + x + 1 > ⇔ m − 4x 1x + x + x + 1 > ⇔ m − ) ( 4m + 17 ) > 17 m > − ⇔ m ≠ 17 < m < là giá trị cần tìm 4 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ So với ñiều kiện bài toán , − {} Ta có y ' = x − 2x − m − ( x −1 ) ( ) ,x ≠ g x = x − 2x − m − ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu phương trình g x = 0, x ≠ có hai nghiệm phân biệt khác ( ) ∆ ' = − −m − > m + > ⇔ ⇔ m > −3 m ≠ −3 g = −m − ≠ m+3 =m +2−2 m +3 x = − m + ⇒ y1 = − m + + m + + − + m Khi ñó y ' = ⇔ m+3 =m +2+2 m +3 x = + m + ⇒ y2 = + m + + m + + m+3 Bảng biến thiên : x −∞ x1 x2 +∞ () ( ) f (x ) + f' x − − +∞ y1 −∞ + −∞ +∞ y2 ) ( Dựa vào bàng biến thiên suy A + m + 3; m + + m + là ñiểm cực tiểu hàm số ( ) ( A∈ P ⇔ m +2 +2 m + = 1+ m + ) +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 ( ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + = 1+ m + ) http://www.maths.vn + + m + − ⇔ m + = ⇔ m = −2 So với ñiều kiện bài toán ,vậy m = −2 là giá trị cần tìm Ví dụ : ( ) Tìm các hệ số a, b, c, d cho hàm số f x = ax + bx + cx + d ñạt cực tiểu ñiểm x = 0, () () Tìm các hệ số a, b, c cho hàm số f ( x ) = x x = −2 và ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A (1; ) f = và ñạt cực ñại ñiểm x = 1, f = ( ) Tìm các hệ số a, b cho hàm số f x = + ax + bx + c ñạt cực trị ñiểm ax + bx + ab ñạt cực trị ñiểm x = và x = ax + b Giải : ( ) x = 0, f ( ) = và ñạt cực ñại ñiểm x = 1, f (1) = 1 Tìm các hệ số a, b, c, d cho hàm số f x = ax + bx + cx + d ñạt cực tiểu ñiểm Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ Ta có f ' x = 3ax + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b ( ) ( ) () () () () f ' = c = c = Hàm số f x ñạt cực tiểu x = và ⇔ ⇔ b b > > f '' 0 > f ' = 3a + 2b + c = Hàm số f x ñạt cực ñại x = và ⇔ a b + < f '' < ( ) ( ) () () Từ (1) , ( ) , ( ) suy a = −2, b = 3, c = 0, d = Ta kiểm tra lại f ( x ) = −2x + 3x Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + f '' ( ) = > Hàm số ñạt cực tiểu x = f '' (1) = −6 < Hàm số ñạt cực ñại x = () () () f = ⇒ d = , f = ⇒ a + b + c + d = hay a + b + c = d = 3 2 Vậy : a = −2, b = 3, c = 0, d = ( ) Tìm các hệ số a, b, c cho hàm số f x = x + ax + bx + c ñạt cực trị ñiểm x = −2 ( ) và ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A 1; Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ Ta có f ' x = 3x + 2ax + b ( ) -50Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn f ' −2 = 4a − b = 12 ⇔ Hàm số ñạt cực trị ñiểm x = −2 và a b c − + = f − = ( ) ( ) ( ) () () () ðồ thị hàm số ñi qua ñiểm A 1; và f = ⇔ a + b + c + = ()( ) Từ , suy a = 3, b = 0, c = −4 Hàm số ñã cho xác ñịnh ax + b ≠ và có ñạo hàm y ' = a 2x + 2abx + b − a 2b (ax + b ) • ðiều kiện cần : Hàm số ñạt cực trị ñiểm x = và x = và b − a 2b = b − a 2b b = a > = y ' = a = −2 ≠ b b ⇔ 16a + 8ab + b − a 2b ⇔ ⇔ + = ⇔ a a 2 b=4 =0 y ' = 16a + 8ab + b − a b = 4a + a ≠ 4a + b ≠ 4a + b () () ( ( ) • ðiều kiện ñủ : a = −2 x − 4x ⇒ y' = b = −x + ( ) x = y' = ⇔ x = ) Bảng biến thiên −∞ x f' x ( ) f (x ) + 0 − − +∞ + +∞ Cð −∞ −∞ +∞ CT Từ bảng biến thiên :hàm số ñạt cực trị ñiểm x = và x = Vậy a = −2, b = là giá trị cần tìm Ví dụ 6: ( ) Cho hàm số y = f x = x − 3x + (C ) Hãy xác ñịnh tất các giá trị a ñể ñiểm cực ñại ( ) và ñiểm cực tiểu ñồ thị C hai phía khác ñường tròn (phía và phía ngoài): (C ) : x a + y − 2ax − 4ay + 5a − = ( ) Cho hàm số y = f x = ( x ∈ 0;2m ) x + m 2x + 2m − 5m + Tìm m > ñể hàm số ñạt cực tiểu x y = f (x ) = x − 3x + m 2x + m có cực ñại , cực tiểu và hai ñiểm ñó ñối xứng qua -51Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ñường thẳng y = x − 2 x − m + x − m + 4m − Tìm tất các giá trị tham số m thì hàm số y = f (x ) có cực x −1 trị ñồng thời tích các giá trị cực ñại và cực tiểu ñạt giá trị nhỏ x + m + x + 3m + Tìm tất các giá trị tham số m thì hàm số y = f (x ) = có giá trị x +1 2 + yCT > cực trị , ñồng thời y CÑ Giải : x = ⇒ y = Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = 3x − 6x y' = ⇔ x = ⇒ y = −2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị A 0;2 , B 2; −2 Hai ñiểm A 0;2 , B 2; −2 hai phía hai ( ) ñường tròn C a ( )( ) ⇔ PA/(C ) PB /(C ) < ⇔ 5a − 8a + 5a + 4a + < ⇔ 5a − 8a + < ⇔ < a < a a ( ) ( ) ( Cách : C a : x + y − 2ax − 4ay + 5a − = ⇔ C a : x − a ) + (y − 2a ) 2 =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = a Ta có : IB = (a − ) + (2a + ) 2 2 36 = 5a + 4a + = a + + ≥ > = R ⇒ ñiểm B 5 5 ( ) nằm ngoài C a , ñó ñiểm A nằm ñường tròn (C ) ⇔ IA < ⇔ a ( a + − 2a ) < ⇔ 5a − 8a + < ⇔ {} <a <1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ và có ñạo hàm ( ) x − 2m + 5m − g x = , x ≠ Với g x = x − 2m + 5m − Hàm số ñạt cực tiểu x x x ∈ 0;2m ⇔ g x = có hai nghiệm phân biệt x 1, x x < x thoả y' = ( ) ( ) ( ) ( ) m > 1 m > m > m < <m <1 ⇔ x < < x < 2m ⇔ 1.g < ⇔ −2m + 5m − < ⇔ 2 m > m > 1.g 2m > 2m + 5m − > m < −3 m > () ( ) -52Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 Vậy giá trị m cần tìm là < m < ∨ m > 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = 3x − 6x + m http://www.maths.vn Hàm số có cực ñại , cực tiểu phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt x 1, x m2 là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm ñoạn AB ⇔ ∆ ' = − 3m > ⇔ − < m < Vi-ét, ta có x + x = ( ) ( Gọi A x1; y1 , B x ; y2 ) ðường thẳng AB có hệ số góc 3 2 y − y1 x − x − x − x + m x − x kAB = = = x1 + x x − x1 x − x1 ( ) ( ) ( ) x 1.x = , ( ) − x 1x − x + x + m m2 2m − − + m2 = 3 ðường thẳng y = x − ∆ có hệ số góc k = 2 kAB = − ( ) AB ⊥ ∆ Hai ñiểm A x1; y1 , B x ; y2 ñối xứng qua ñường thẳng ∆ và I ∈ ∆ 2m − • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB k = −1 ⇔ = −1 ⇔ m = x = ⇒ y = ⇒ A 0; y' = ⇔ • m = ⇒ y ' = 3x − 6x ⇒ I 1; −2 x y = ⇒ = −4 ⇒ B 2; −4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Dễ thấy I 1; −2 ∈ ∆ Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ {} g (x ) x − 2x + m − 3m + g ( x ) = x − 2x + m − 3m + = ,x ≠ Ta có y ' = ( x − 1) ( x − 1) Hàm số có cực ñại , cực tiểu phương trình g ( x ) = 0, x ≠ có hai nghiệm phân biệt x , x 2 2 2 khác ∆ ' > −m + 3m − > ⇔ ⇔ ⇔1<m <2 g ≠ m m − + ≠ Gọi () A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x , x 1 2 là nghiệm phương trình ( ) g x = 0, x ≠ x = − −m + 3m − ⇒ y = − m + −m + 3m − Khi ñó y ' = ⇔ x = + −m + 3m − ⇒ y = − m − −m + 3m − 2 ( )( ) ( y1.y2 = − m + −m + 3m − − m − −m + 3m − = − m -53Lop12.net ) ( − −m + 3m − ) (14) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 7 4 y1.y2 = 5m − 14m + = m − − ≥ − ⇒ y1.y2 = − m = 5 5 5 So với ñiều kiện , m = là giá trị cần tìm 5 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −1 { } Ta có : y ' = x + 2x − 2m ( x +1 ) = ( ) ( x + 1) g x ( ) , x ≠ −1 g x = x + 2x − 2m ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghiệm phân biệt x 1, x khác ∆ ' > 2m + > −1 ⇔ ⇔ ⇔m >− g −1 ≠ −2m − ≠ ( ) ( ) ( nghiệm phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 ) Gọi A x 1; y1 = 2x + m + , B x ; y2 = 2x + m + là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x 1, x là Theo ñịnh lý Vi- ét x + x = −2, x x = −2m Theo bài toán : ( ) + (2x + m + ) = (x + x ) + (m + )(x + x ) + (m + ) + m + x + x + m + = 4 + 4m − m + + m + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 y CÑ + yCT = y12 + y22 = 2x + m + y12 + y22 = x + x ( ) − 2x 1x 2 2 2 2 2 y12 + y22 = 2m + 16m + 1 Do ñó hàm số f m ñồng biến trên khoảng m ∈ − ; +∞ và f m > f − = , m ∈ − ; +∞ 2 2 + yCT > , m ∈ − ; +∞ Vậy y CÑ Ví dụ 7: 1 Với giá trị nào m thì ñồ thị hàm số y = mx − m − x + m − x + có cực ñại , 3 cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu x 1, x thỏa x + 2x = ( ) Xét f m = 2m + 16m + 8, m > − ( ) f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − ( ) ( ) ( Với giá trị nào m thì ñồ thị hàm số y = ( ) ( ) ) mx + m + x + 4m + m tương ứng có x +m ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV mặt ( ) ( ) phẳng tọa ñộ Giải : Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ -54Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 ( ) ( Ta có y ' = mx − m − x + m − 2 http://www.maths.vn ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu y ' ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình ( ) ( ) mx − m − x + m − = có hai nghiệm phân biệt x 1, x m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ 2 − 2+ <m < −2m + 4m + > ∆ ' = m − − 3m m − > Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: x = 3m − + = x x gt m 2 m −1 2−m m = x x x m m m + = ⇔ = ⇔ − + = ≠ ⇔ 0 2 m m m = m −2 3m − − m m − = x 1.x = m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( So với ñiều kiện bài toán , m = ∨ m = là giá trị cần tìm { } Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m Ta có : y ' = mx + 2m 2x − 3m ( ) 4m và y = mx + + m≠0 x +m ( ) ) , x ≠ −m (x + m ) Gọi A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x , x ( x < x ) là nghiệm phương trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m ðồ thị hàm số có ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( II ) và ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( IV ) mặt phẳng tọa ñộ • x < < x (1 ) A thuộc góc phần tư thứ (II) ⇔ ⇔ • y < < y (2) B thuộc góc phần tư thứ (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn () (1) ⇔ m.g ( ) < ⇔ −3m < ⇔ m ≠ (a ) (2 ) ⇔ ðồ thị hàm số không cắt trục Ox ⇔ mx + (m + 1) x + 4m + m = (x ≠ −m ) vô 2 2 2 2 2 nghiệm m ≠ m < − m ≠ ≠ m ⇔ ⇔ ⇔ 1⇔ 2 m m − − + < 15 ∆ = m + − 4m 4m + m < m > m > ( ) ( ) ( ) ⇔ m < (c ) -55Lop12.net (b ) (16) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 Từ a b c suy m < − là giá trị cần tìm Ví dụ 8: http://www.maths.vn ()()() ( ) ( ) ( ( ) ) Cho hàm số f x = x + m − x − m + x − , có ñồ thị là C m , m là tham số Chứng minh hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu ( ) Khi m = , ñồ thị hàm số là C () a ) Viết phương trình ñường thẳng d vuông góc với ñường thẳng y = ( ) ( ) x và tiếp xúc với ñồ thị C b ) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị C Giải : Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ Ta có f ' x = 3x + m − x − m + ( ) ( ) ( ) ( ) Vì ∆ ' = m + m + > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = luôn có hai nghiệm phân biệt Do ñó ñồ thị hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu với giá trị tham số m m = ⇒ C : f x = x − 3x − a ) ( ) ( ) Gọi M ( x ; y ) là toạ ñộ tiếp ñiểm ñường thẳng (d ) và ñồ thị (C ) 0 () ⇒ y = x 03 − 3x − 1, y ' = 3x 02 − ðường thẳng d vuông góc với ñường thẳng y = 1 y ' = −1 ⇔ 3x 02 − = −3 ⇔ x 02 = ⇔ x = 0, y = −1 3 () ( ) ( x ) Vậy ñường thẳng d : y = −3x − và tiếp xúc với ñồ thị C ñiểm 0; −1 ( ) ( ) ( ) b ) ðồ thị C có ñiểm cực ñại là A −1;1 , ñiểm cực tiểu là B 1; −3 Do ñó ñường thẳng qua AB là : y = −2x − Ví dụ 9: ( ) ( ( ) ) Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = x − 2m + x + m − 3m + x + có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm hai phía trục tung x − m + x + 3m + 2 Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = có hai ñiểm cực ñại và x −1 cực tiểu cùng dấu Cho hàm số y = f x = −x + m + x − 3m + 7m − x + m − ðịnh m ñể hàm số ñạt ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) cực tiểu ñiểm có hoành ñộ nhỏ x + 2mx + có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và x +1 khoảng cách từ hai ñiểm ñó ñến ñường thẳng ∆ : x + y + = Giải : ( ) Tìm giá trị m ñể ñồ thị hàm số f x = ( ) ( ) Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm f ' x = 3x − 2m + x + m − 3m + -56Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm hai phía trục tung và phương trình f ' x = có hai nghiệm phân biệt x 1, x thoả mãn x < < x ⇔ 3.f ' < ( ) () ⇔ m − 3m + < ⇔ < m < Vậy giá trị cần tìm là < m < {} ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ và có ñạo hàm f ' x = x − 2x − 2m − ( x −1 ) ,x ≠ ( ) Hàm số có cực ñại và cực tiểu f ' x = có hai nghiệm phân biệt x ≠ hay phương trình ( ) g x = x − 2x − 2m − = có hai nghiệm phân biệt x ≠ , ñó ∆ ' > 2m + > ⇔ ⇔ m > −1 −2m − ≠ g ≠ () ( ) ( Gọi A x ; y1 , B x ; y2 ) (1 ) ( ) là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x 1, x là nghiệm g x = 2m + = − m − 2m + x = − 2m + ⇒ y1 = − 2m + − m + 2 − + m Khi ñó: y ' = ⇔ 2m + = − m + 2m + x = + 2m + ⇒ y2 = + 2m + − m + 2m + Hai giá trị cực trị cùng dấu )( ( ) ( y1.y2 > ⇔ − m − 2m + − m + 2m + > ⇔ − m ⇔ m − 10m − > ⇔ m < − ∨ m > + ) ( ) − 2m + > (2 ) () () Từ và suy −1 < m < − ∨ m > + {} ( ) Cách khác : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ và có ñạo hàm f ' x = x − 2x − 2m − ( x − 1) ,x ≠ ( ) Hàm số có cực ñại và cực tiểu f ' x = có hai nghiệm phân biệt x ≠ hay phương trình ∆ ' > 2m + > g x = x − 2x − 2m − = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ ⇔ m > −1 −2m − ≠ g ≠0 Hai giá trị cực trị cùng dấu ñồ thị hàm số y = cắt trục hoành hai ñiểm phân biệt x ≠ hay ( ) () ( ) phương trình x − m + x + 3m + = (x ≠ 1) có hai nghiệm phân biệt x ≠ Tức là m < − 2 ∆ = m + − 3m + > 10 − − > m m ⇔ ⇔ ⇔ m > + 2m + ≠ − m + + 3m + ≠ m ≠ −1 ( ( ) ) ( ) So với ñiều kiện , giá trị −1 < m < − ∨ m > + là giá trị cần tìm -57Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 ( ) ( http://www.maths.vn ( ) ) Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm f ' x = −3x + m + x − 3m + 7m − Hàm số ( ) ( ( ) ) ñạt cực tiểu ñiểm có hoành ñộ nhỏ ⇔ f ' x = −3x + m + x − 3m + 7m − = có hai nghiệm x 1, x thoả mãn ñiều kiện : () () ⇔ −3.f ' < 3 3m + m − < 9 m + − 3m + 7m − > x < < x ∆ ' > ⇔ ⇔ 3 3m + m − ≥ < ≤ x x ' ⇔ − ≥ f S m + < < 2 − <m <1 − < m < m < − < m < 12 m − + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m <1 3m + m − ≥ ≤ − ∨ ≥ m m m≤− 3 m < < m x + 2x + 2m − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −1 và có ñạo hàm f ' x = , x ≠ −1 x +1 () () () ( ( ) ( () ) ( { } ) ) ( ) ( ) ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu f ' x ñổi dấu hai lần qua nghiệm x hay phương trình ( ) g x = x + 2x + 2m − = có hai nghiệm phân biệt khác −1 ∆ ' > 3 − 2m > ⇔ ⇔ ⇔m< g −1 ≠ 2m − ≠ ( ) A (x ; y ) ( ) nghiệm phương trình g ( x ) = 0, x ≠ Theo ñịnh lý Vi ét x Gọi 1 = 2x + 2m , B x ; y2 = 2x + 2m là các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số thì x 1, x là + x = −2, x x = −2m Theo yêu cầu bài toán ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ⇔ 3x + 2m + ( ) ( x + y1 + x + y2 + = ) = ( 3x 2 + 2m + ) ) ⇔ 3x + 2m + = 3x + 2m + ( ⇔ 3x + 2m + ( ) ) − ( 3x ⇔ x − x 3 x + x + 4m + = ⇔ x + x + 4m + = So với ñiều kiện, m = + 2m + 2 (x ) ) =0 ( ) ≠ x ⇔ −2 + 4m + = ⇔ m = là giá trị cần tìm Ví dụ 10: Chứng tỏ có ñiểm A trên mặt phẳng toạ ñộ cho nó là ñiểm cực ñại x2 − m m + x + m3 + ñồ thị f x = ứng với giá trị thích hợp m và là ñiểm cực x −m tiểu ñồ thị ứng với giá trị thích hợp khác Tìm toạ ñộ A ( ) ( ) -58Lop12.net (19) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 4 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có cực ñại , cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị lập thành tam giác ñều Giải : { } Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m ( ) Ta có f ' x = x − 2mx + m − (x − m ) ,x ≠ m ( ) g x = x − 2mx + m − ∆g = > 0, ∀m ( ( ( ) ( ) x = m − ⇒ f x = −m + m − ⇒ M m − 1; −m + m − Do ñó f ' x = ⇔ x = m + ⇒ f x = −m + m + ⇒ N m + 1; −m + m + ( ) ( ) ) ) ðặt A x ; y Giả sử ứng với giá trị m = m1 thì A là ñiểm cực ñại và ứng với giá trị m = m2 thì A là ñiểm cực tiểu ñồ thị hàm số x = m1 − x = m2 + Ta có: ; 2 y = −m1 + m1 − y = −m2 + m2 + m − = m2 + m1 − m2 = ⇔ Theo bài toán , ta có : −m1 + m1 − = −m2 + m2 + m1 − m2 m1 + m2 − = −4 1 m1 − m2 = m1 = x = − ⇒ ⇒ A− 1;− ⇔ ⇔ 4 m1 + m2 = −1 m = − y = − 7 Vậy A − ; − là ñiểm cần tìm thoả yêu cầu bài toán 4 Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ x = Ta có y ' = 4x − 4mx = 4x x − m y' = ⇔ x = m * ðồ thị hàm số có cực ñại , cực tiểu y ' = có nghiệm phân biệt và y ' ñổi dấu x qua các ( ( ) )( ) () () nghiệm ñó , ñó phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > Khi ñó : ( ) x = ⇒ y = m + 2m ⇒ A 0; m + 2m y' = ⇔ x = ± m ⇒ y = m − m + 2m ⇒ B − m ; m − m + 2m ,C Hàm số có cực trị A, B,C lập thành tam giác ñều ( ) ( m ; m − m + 2m AB = AC ⇔ ⇔ AB = BC ⇔ m + m = 4m ⇔ m m − = ⇔ m = 3 m > AB = BC ( ) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm Ví dụ 11: Xác ñịnh tham số a ñể hàm số sau có cực ñại: y = −2x + + a x − 4x + Giải : -59Lop12.net ( ) ) (20) Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt 063.28.78.79 0989.80.78.79 a x −2 Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = −2 + x − 4x + ( ( ) http://www.maths.vn a y '' = (x ) − 4x + a x −2 x − 4x + a y ' x = =2 = ⇔ x − 4x + ⇔ Hàm số ñạt cực ñại x = x ⇔ x0 − 0 y '' x < a < a < ( ) ( ) () Với a < thì ⇒ x < x 02 − 4x + ( ) Xét hàm số : f x = ( ) lim f x = lim x →−∞ ( ) x0 − , x0 < = −1 , −2 ( Bảng biến thiên : x −∞ f' x ( ) f (x ) x 02 − 4x + x →−∞ Ta có f ' x = x0 − x0 − ) x 02 − 4x + ( ) lim− f x = lim− x →2 ( x 02 − 4x + x →2 < 0, ∀x ∈ −∞;2 x0 − = −∞ ) − −1 −∞ a Phương trình có nghiệm x < ⇔ < −1 ⇔ a < −2 () BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm cực trị các hàm số sau : a ) f x = x + 2x + 3x − 3 b) f x = x − x + 2x − 10 c) f x = x + x 1 d) f x = x − x + x − 3x + e) f x = x −1 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) f x = − x2 x g) f x = x +1 x3 h) f x = x +1 i) f x = − x ( ) ( ) j ) f (x ) = x + k ) f (x ) = x Tìm cực trị các hàm số sau : -60Lop12.net x2 − − x − 3x + ) (1) (21)