b Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XÍN MẦN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức M = x +2 x +1 + √ + x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x với x ≥ , x ≠ a) Rút gọn M b) Chứng minh với x ≥ , x ≠ , ta có M < Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình a) 2− x ¿ x − 2¿ =1+ ¿ ¿ b) x 3+ x +11 x+ 6=0 Câu 3: (3,0 điểm) Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC ADC Tính độ dài đoạn BE theo m AB b) Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh hai BEC góc AHM BHM Tính số đo GB HD = c) Tia AM cắt BC G Chứng minh: BC AH+HC Câu 5: (3, điểm) a) Giải phương trình x −121 x − 181 x − 166 x −157 x+137 x +2 + + = + + 2133 2193 2178 2169 1875 2010 b) Tìm số tự nhiên đôi khác và lớn thỏa mãn điều kiện: Tích hai số số cộng với chia hết cho số thứ ba Câu 6: (2,0 điểm) Cho a+b=1 Xác định a,b để A=a3 +b3 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó -Hết Họ và tên thí sinh: Họ tên và chữ ký giám thị Số báo danh: Họ tên và chữ ký giám thị (2) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XÍN MẦN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Câu Nội dung đáp án x +2 x +1 + √ + x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x x2 x 1 M x1 x3 x x x+2+ x −1 − x − √ x −1 M= ( x + √ x+1 ) ( √ x − ) Câu x − √x √x (3,0 điểm) M= = ❑ ( x+ √ x +1 ) ( √ x −1 ) x+ √ x+ √ x − (√ x − 1) M − = − = <0 b) Xét x + √ x +1 3 ( x + √ x +1 ) Vậy M < Thang điểm a) M = 2− x ¿ a) x − 2¿ 2=1+ ¿ ⇔ x − x + 4=1+ − x + x 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm ¿ b) Câu (3,0 điểm) ⇔ x=1 ⇒PTVN 2 x + x +11 x+ 6=0 ⇔ x + x +5 x +5 x +6 x +6=0 ⇔ x ( x +1 ) +5 x ( x +1 ) +6 ( x+ )=0 ⇔ ( x +1 ) ( x2 +2 x+ x +6 )=0 ⇔ ( x +1 ) ( x ( x +2 ) +x ( x +3 ) ) =0 ⇔ ( x +1 ) ( x +2 ) ( x+ )=0 ⇒ x=−1 , x=−2 , x=−3 là nghiệm phương 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm trình - Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là x x +11 (x là số nguyên khác -11) - Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số Câu x−7 x +15 0,5 điểm 0,5 điểm (x khác -15) x x +15 = x +11 x−7 0,5 điểm - Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) 1,0 điểm (3,0 điểm) - Theo bài ta có phương trình Vậy phân số cần tìm là − 0,5 điểm (3) (Vẽ hình, viết giả thiết kết luận đúng: 0,5 điểm) 0,5 điểm a) Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung 0,5 điểm CD CA = CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Câu (6,0 điểm) Do đó, chúng đồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC=ADC=135 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên AEB 45 , đó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD = b) Ta có: BC BC AC (do BEC ADC) mà AD=AH ( AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH = = AB BE (do ABH nên BC AC AC CBA) Do đó BEC BHM (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450 c) Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC 0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm GB AB = Suy ra: GC AC , mà = = = (ABC DEC và ED // AH) GB HD GB HD GB HD = = = GB+GC HD+HC BC AH+HC Do đó: GC HC Câu (3,0 điểm) a) x −121 x − 181 x − 166 x −157 x+137 x +2 + + = + + 2133 2193 2178 2169 1875 2010 ⇔ x −121 x − 181 x − 166 x −157 x +137 x+2 + 1+ +1+ +1= +1+ +1+ +1 2133 2193 2178 2169 1875 2010 x +2012 x +2012 x +2012 x +2012 x +2012 x +2012 + + = + + ⇔ 2133 2193 2178 2169 1875 2010 0,5 điểm (4) 1 1 1 + + − − − =0 (2133 2193 2178 2169 1875 2010 ) ⇔ ( x+ 2012 ) ⇔ x+ 2012=0 ⇔ x=− 2012 0,5 điểm b) Giả sử a,b,c N và a < b < c thoả mãn ab + c, ac + b, bc + a ⇒ (ab + 1)(ac + 1)(bc + 1) abc ⇒ ab +bc + ca + abc ⇒ ab +bc + ca + abc ⇒ Nếu b 0,5 điểm 1 1 + + + ≥1 a b c abc thì c 5, đó 1 1 1 39 + + + ≤ + + = < (vô lí) a b c abc 40 Vậy b < ⇒ b= 3, a = Từ ab + = c ⇒ c = 0,5 điểm Thử lại (a, b, c) = (2, 3, 7) thoả mãn điều kiện A=a3 +b3 =( a+b ) ( a2 − ab+b )=a − ab+b2 1 ¿ ( a2 +b 2) + a2 − ab+ b2 2 2 a b ¿ ( a2 +b 2) + − ≥ ( a2 +b ) √2 √2 ( Câu (2,0 điểm) 2 0,5 điểm Mặt khác a+b=1 ⇒ 1=a + b +2 ab=2 ( a + b ) − ( a − b ) 1 A ≥ ⇒ A= ⇔ a=b= 2 2 ⇒ ≤2 ( a +b ) ⇒ a +b ≥ Do đó 0,5 điểm 0,5 điểm ) 2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (Thí sinh làm theo cách khác đúng và có lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa) (5)