5 điểm Cho hình chóp thập diện đều có đáy nội tiếp trong đường tròn có bán kính r = 3,5 cm, chiều cao h = 8 cm a Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.. b Tìm thể tích p[r]
(1)Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Thõa Thiªn HuÕ §Ò thi chÝnh thøc Kú thi chän häc sinh giái tØnh Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 01/12/2007 Chú ý: - Đề thi gồm trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này Điểm toàn bài thi Bằng số Bằng chữ Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Giám khảo 1: Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Giám khảo 2: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết tính toán vào ô trống liền kề bài toán Các kết tính gần đúng, không có định cụ thể, ngầm định chính xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 2 Bài (5 điểm) Cho các hàm số f ( x) ax x 2,( x 0) và g ( x) a sin x Giá trị nào a thoả mãn hệ thức f [ f ( 1)] g f (2) Cách giải Bài (5 điểm) Tính gần đúng tọa độ các điểm uốn đồ thị hàm số Cách giải Kết f ( x) x2 x 3x Kết (2) Bài (5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) phương trình: sin 2 x 4(sin x cos x) 3 Cách giải Kết v Bài (5 điểm) Cho dãy số { un } và n với : u1 1; v1 2 un 1 22vn 15un v 17v 12u n n n 1 với n = 1, 2, 3, ……, k, … Tính u5 , u10 , u15 , u18 , u19 ; v5 , v10 , v15 , v18 , v19 Viết quy trình ấn phím liên tục tính un 1 và 1 theo un và Lập công thức truy hồi tính un+1 theo un và un-1; tính vn+1 theo và vn-1 Cách giải Kết Bài (5 điểm) Xác định các hệ số a, b, c hàm số f(x) = ax + bx2 + cx – 2007 biết f(x) chia cho (x – 16) có số dư là 29938 và chia cho (x – 10x + 21) có đa thức số dư là 10873 x 3750 16 (Kết lấy chính xác) Tìm khoảng cách điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị hàm số f(x) với các giá trị a, b, c vừa tìm được Cách giải Kết (3) Bài (5 điểm) Theo chính sách tín dụng Chính phủ cho học sinh, sinh viên vay vốn để trang trải chi phí học đại học, cao đẳng, THCN: Mỗi sinh viên được vay tối đa 800.000 đồng/tháng (8.000.000 đồng/năm học) với lãi suất 0,5%/tháng Mỗi năm lập thủ tục vay hai lần ứng với hai học kì và được nhận tiền vay đầu mỗi học kì (mỗi lần được nhận tiền vay là triệu đồng) Một năm sau tốt nghiệp đã có việc làm ổn định bắt đầu trả nợ Giả sử sinh viên A thời gian học đại học năm vay tối đa theo chính sách và sau tốt nghiệp năm đã có việc làm ổn định và bắt đầu trả nợ Nếu phải trả xong nợ vốn lẫn lãi năm thì mỗi tháng sinh viên A phải trả bao nhiêu tiền ? Nếu trả mỗi tháng 300.000 đồng thì sinh viên A phải trả năm hết nợ ? Cách giải Kết Bài (5 điểm) Tìm chiều dài bé cái thang để nó có thể tựa vào tờng và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao m, song song và cách tờng 0,5 m kể từ tim cột đỡ (h×nh vÏ) Cách giải Kết (4) Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng qua điểm M(-3 ; 1), N(4 ; 1) Biết góc ABC 30 Hãy tính tọa độ đỉnh B Cách giải Kết Bài (5 điểm) Cho hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 3,65 cm Tính diện tích (có tô màu) giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB là cạnh ngũ giác đều và đường tròn (O) (hình vẽ) Cách giải Kết S Bài 10 (5 điểm) Cho hình chóp thập diện đều có đáy nội tiếp đường tròn có bán kính r = 3,5 cm, chiều cao h = cm a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp b) Tìm thể tích phần ở hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho O A M B (5) Cách giải HẾT - Kết (6) Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Thõa Thiªn HuÕ Kú thi chän häc sinh giái tØnh Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008 SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Cách giải f ( f ( 1)) f (t ) Kết a 3t t2 với f ( f ( 1)) t f ( 1) a a u f (2) g f (2) g (u ) với - Giải phương trình tìm a (dùng chức SOLVE): a a 5 3a 13 (a 5) a g f (2) a sin 2 8 Điểm 1,5 1,5 2,0 a 5,8122 f f ( 1) g f (2) a a 5 a 3a 13 a sin 2 8 Tính đạo hàm cấp để tìm điểm uốn đồ thị hàm số f '( x) 1,0 x x 5 x 3x x 3x 15 x 19 f "( x ) x 3x 3 Giải phương trình f "( x) 0 để tìm hoành độ các điểm uốn 1,0 x1 2, 6607 , y1 1,0051 3,0 x2 2,9507 , y2 5,8148 x3 1, 2101 , y3 4,3231 Theo cách giải phương trình lượng giác t sin x cos x cos x 45 Đặt Dùng chức SOLVE , lấy giá trị đầu X là 2; ta được nghiệm t, loại bớt nghiệm 2, 090657851 Giải pt cos( x 45 ) 0, 676444288 0, 676444288 cos( x 450 ) sin x t 1,0 Phương trình tương đương: t 2t 4t 0 | t | Giải pt được nghiệm: t 0, 676444288 x1 1060 25'28" k 3600 x2 106 25' 28" k 360 2,0 2,0 o (7) a) u5 , u10 , u15 , u18 , u19 ; v5 , v10 , v15 , v18 , v19 b) Qui trình bấm phím: Shift STO A, Shift STO B, Shift STO D, Alpha D Alpha = Alpha D +1, Alpha :,C Alpha = Alpha A, Alpha :, Alpha A Alpha = 22 Alpha B - 15 Alpha A, Alpha :, Alpha B, Alpha =, 17 Alpha B - 12 Alpha A, = = = c) Công thức truy hồi: Tìm các hệ số hàm số bậc 3: f ( x) ax bx c x 2007 , a 0 u5 = -767 và v5 = -526; u10 = -192547 và v10 = -135434 u15 = -47517071 và v15 = -34219414 u18 = 1055662493 và v18 = 673575382 u19 = -1016278991 và v19 = -1217168422 2,5 1,5 un 2 2un 1 9un và 2 2vn1 9vn a = 7; điểm c= b = 13 1,0 3,0 55 16 2,0 Tìm các điểm cực trị, tìm khoảng cách kc 11, 4210 chúng a) Sau nửa năm học ĐH, số tiền vay (cả Shift STO A, Shift STO D, D Alpha = vốn lẫn lãi): Alpha D + 1, Alpha : Alpha A Alpha = (Alpha A + 4000000) 1.0056 Sau năm (8 HK), số tiền vay (cả vốn Ấn phím = nhiều lần D = ta được lẫn lãi): A = 36698986 1,0 12 Sau năm tìm việc, vốn và lãi tăng Alpha A Alpha = Alpha A 1.005 thêm: A = 38962499 1,0 n + Gọi x là số tiền hàng tháng phải trả L 1 P ALn xL L L2 Ln ALn xL sau năm vay, sau n tháng, còn nợ (L L 59 = 1,005): AL L 1 749507 + Sau năm (60 tháng) trả hết nợ thì P P 0 x 1,0 L60 =0 0,005 1,005x-1A-300000(1.005x - 1) = b) Nếu mỗi tháng trả 300000 đồng, thì Dùng chức SOLVE, giải được x = 208,29, phải giải phương trình: 2,0 tức phải trả 209 tháng (17 năm và tháng) hết nợ vay Bài Cách giải Kết Điểm AB AC CB sin x cos x 1,0 x 0; cos x sin x 8cos x sin x f '( x) sin x cos x 2sin x cos x 1,0 f '( x) 0 sin x 8cos3 x tgx 2 1,0 f ( x) AB Cho AB = l lµ chiÒu dµi cña thang, HC = m là cột đỡ, C là giao điểm cột đỡ và thang, x là góc hợp mặt đất và thang (h×nh vÏ) Ta cã: CH CI sin x cos x x0 tan (2) 630 26 '6" ABmin Min f ( x) f x0 5,5902 (m) 1,0 1,0 (8) Pt đường thẳng MN 2 x y 0 y x 7 1,0 Hệ số góc đường thẳng AB là: k tan tan 300 1, 0336 1 k tan tan 150 0, 2503 2,0 Gán giá trị k cho biến A Vì đường thẳng AB qua điểm A(-1; 3) nên: b = + A, gán giá trị đó cho biến B Giải hệ pt: x y 1 Ax y B ta được tọa độ điểm B: B1 5,5846; 1, 7385 B2 5,3959;1,3988 2,0 r AI R sin 360 2,1454 (cm) , gán cho A 2,0 và + Tính bán kính nửa đường tròn + Tính diện tích viên phân giới hạn bởi AB và (O) + Hiệu diện tích nửa đường tròn và viên phân: 10 a) Tính độ dài cạnh và trung đoạn hình chóp Svp S R2 R sin 720 2,0355 cm , gán cho B r2 Svp 5,1945 cm2 2,0 1,0 a) a AB 2r sin18 2,1631(cm) , gán cho A 0,5 OM r cos180 3,3287 (cm) , gán cho B 2 SM = d OM h 8, 6649(cm) , gán cho C 0,5 S xq 10 ad 93,7159 cm 2 0,5 1 Vchop 10 AB OM h 96, 0049 cm3 0,5 b) b) Phân giác góc SMO cắt SO tại I, là mặt cầu nội tiếp hình chóp đều có tâm I, bán kính IO Trung trực đoạn SA mặt phẳng SAO cắt SO tại J Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có tâm J, bán kính SJ Lưu y: gán các kết trung gian cho các biến để kết cuối cùng không có sai số lớn 1 r1 IO OM tan tan OM 2 2, 2203(cm) SK SO SA2 R SJ 4, 7656 SJ SA SO (cm ) Hiệu thể tích: V V2 V1 R r13 = 407,5157 cm3 1,0 1,0 1,0 (9)