de thi dap an hsg mon toan nam 20122013 tinh Dong Nai

Tam giác gọi là tam giác nhọn nếu các góc trong của chúng đều là góc nhọn Caâu 2.3,5 ñieåm.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :.[r]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Caâu ( 3,5 ñieåm) Cho haøm soá y  x  x  1 ; với a là tham số thực, x là biến số thực.Chứng minh đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác nhọn và a   ( Tam giác gọi là tam giác nhọn các góc chúng là góc nhọn) Caâu 2.(3,5 ñieåm)      x  y  3xy  x     x  y  3xy  y 2 x  ; y   Giaûi heä phöông trình :  ( ) Caâu 3.(3,5 ñieåm) Giaûi phöông trình :   cos x   sin x  cos x  2 Caâu 4.(3,5 ñieåm) 2 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa : a  b  c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b   b  c   c  a   a  b  c  Caâu ( 3,5 ñieåm) SA   ABCD  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Bieát AB a, BC 2a, SA a ( Với a  , a  ).Gọi M,N là trung điểm các đoạn thẳng SB,AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và BN Caâu 6.( ñieåm) Ck Cho p,k là các số nguyên dương thỏa p là số nguyên tố và k  p  Chứng minh : p 1 chia hết cho p.( Bieát C pk 1 là số các tổ hợp chập k p+1 phần tử) …Heát… Đáp án Caâu y  x  ax TXÑ : D = R  x 0 y ' 4 x  2ax ; y ' 0    x  a (*)  a   0 a0 Để hàm số có cực trị - Khi đó pt (*) có nghiệm là : x   a  a a2   a a2  O  0;0  ; A   ;  ; B   ;      Giả sử hàm số có điểm cực trị là : a4 a  16  OAB cân O, đó ta cần chứng minh OAB có góc AOB nhọn Suy : OA = OB = thì OAB coù goùc nhoïn a a4    OA.OB a  8a a  cos AOB     164   a  8a a  OA OB  a  a 16 Ta coù : AOB   a    a    cos AOB a3  laø goùc nhoïn ( vì a < neân a   ) a   Kết hợp điều kiện có cực trị hàm số ta a < -2 Vậy hàm số có cực trị lập thành tam giác nhọn và a < -2  x  y  3xy  x     x  y  3xy  y 2 Caâu Giaûi heä phöông trình :  Ñieàu kieän : x 0; y 0 Nhaän xeùt x = y = khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân x >0 vaø y >           x  y  xy  x  y 0    3 xy  x  y 0 2 x  y 3 xy (1)    x  y x  y    x  y y  x     x  y  x  y 1 (2)    Hpt x  y 2  x  x 2 x  y 3 xy        0   x  y  y  y  (l )  Từ (1) và (2) Suy : ( Vì x >0 vaø y >0)      x 2  x 2 y Với y vào (2) ta : 3y   y  y 1  y y    1   y    x; y   21 3 2  y 3 3 2 3 2   ;  9   Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø :   cos x   sin x  cos x  2 Caâu Giaûi phöông trình : Suy x 2 y 2 3 2 Pt    2sin 2 x   sin x  cos x  2    sin 2 x   sin x  cos x  1   t sin x  cos x  sin  x    ( Ñk : t  )  Ñaët     t   t 1  Suy : sin x 1  t Phương trình trở thành :    t  2t   t 1  t  2t  2t  0   t  1  t  t  t  t  1 0  t  0   t  t  t  t  0   x   k 2      sin  x   1  sin  x     ;k   4 4    x   k 2 Với t = thì 1 t  t  t  t  0   t   t   0 t t Với (vì t =0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình) 1 u t   t  u  2 t t Ñaët Khi đó phương trình trở thành : u  u  0 (vn)    x   k 2 ; k    Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :  x   k 2 Câu : Giả sử c b a Ta coù : P 4  a  b  c   a  b   b  c   c  a  4  a  b  c   b  a   c  b   c  a    a  b  c   b  a    c  b   c  a    b  c  a  b  2c   a   b  c  2  a  b  c  1  P Caâu 1 2 2 PMax  a 0; b  ;c  Vaäy 2 Qua A kẻ đường thẳng song song với BN cắt CB E Gọi H  AB  EN Kẻ MH // SA a MH  MH   ABCD   Suy MH là đường cao khối chóp M ANBE Ta có : S ANBE 2 SANB 2 a a 2 a3 VM ANBE  MH S ANBE  Suy AM a; AE a 2; CB   SAB   CB  SB Ta laïi coù : 2 Suy SBE vuoâng taïi B  ME  BE  MB a Ta coù : AE ME a  AME caân taïi E a  S AME  a 2  a2 a2  4 BN / /  AME   d  BN ;  AME   d  N ;  AME    Vì 3VN AME SAME VM ANBE a 21 2  SAME d  AM ; BN   Vaäy Caâu a 21 Ck Aùp dụng bổ đề : p là số nguyên tố và p chia hết cho p với k 1, 2,3, , p   p  k  1  p  k    p  1 p   p! C pk   k ! p  k  ! k! Chứng minh : Ta có : p, k   p, k  1   p,1 1 C pk n p (n  )  Vì k < p , p nguyeân toá neân : Suy : C pk 1 C pk   C pk Ta coù : chia hết cho p ( với k  p  ) ( đpcm)