Đang tải... (xem toàn văn)
Đề HSG toán 8 Tam Dương Vĩnh Phúc năm học 2018 2019, nội dung khoa học chính xác, bám sát chương trình và có tính phân loại học sinh cao.
PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 2a 7a 2b 7ab 2b3 �x 2019 x 2019 �x Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức B � � x 1 � 2x �x x 2 Câu (2,0 điểm) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x x y Câu (2,0 điểm) Tìm số dư phép chia đa thức x 1 x 3 x x 2034 cho đa thức x x 10 Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n 3n số phương � 900 ) CD = 2AB Gọi H Câu (2,0 điểm) Cho hình thang vng ABCD ( � AD hình chiếu D đường chéo AC, M trung điểm đoạn thẳng HC Chứng minh BM vng góc với MD Câu (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm, � 300 Tính diện tích hình thang ABCD BCD Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, có AB = AC = 4cm Xét hình chữ nhật ADEF có D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC, F thuộc cạnh AC Tính độ dài BD để hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn Tính diện tích lớn Câu (2,0 điểm) Cho hai số x y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C = x + y + 2018 Câu 10 (2,0 điểm) Cho số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100 Xếp tùy ý tất 100 số nối tiếp thành dãy ta số P Chứng minh số P không chia hết cho 2019 -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD: .phòng thi PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I- Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) hướng dẫn phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần II- Đáp án thang điểm: Câu (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 2a 7a 2b 7ab 2b3 Nội dung trình bày Ta có: A a b 7ab a b 3 a b a ab b ab a b a b 2a 2b 5ab Điểm 0,5 0,25 0,25 a b 2a 4ab 2b ab 0,25 a b � 2a a 2b b b 2a � � � 0,25 a b 2a b a 2b Vậy A a b 2a b a 2b �x 2019 x 2019 �x Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức B � � x �2 x �x x Nội dung trình bày �x �0 � Điều kiện: �x �1 �x �1 � Điểm 0,5 �x 2019 x 2019 �x B � � Khi đó: x x x � � � � 2x x 2019 x 1 x 2019 x 1 x = 2x x 1 x 1 2.2018 x 0,25 0,25 x 1 = x x 1 2x 2018 x2 1 2018 Vậy B x 1 = Câu (2,0 điểm) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x x y 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Nội dung trình bày Ta có: x x y � x x 12 y 2 � x 1 y 11 � x y 1 x y 1 11 2 Do x, y nguyên nên: x y x y số nguyên Do đó, xảy trường hợp sau: TH1: x y =1 x y = -11 Tìm x =-3 y = TH2: x y =-1 x y = 11 Tìm x = y = -3 TH3: x y =11 x y = -1 Tìm x = y = TH4: x y = -11 x y = Tìm x = -3 y = - Vậy: (x,y)� (3;3), 2; 3 ,(2;3),(3; 3) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Tìm số dư phép chia đa thức x 1 x 3 x x 2034 cho đa thức x x 10 Nội dung trình bày Ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 2034 Đặt x2 + 8x + = y, ta có: y(y + 8) + 2034 = y(y + 8) + 15 + 2019 = (y + 3)(y + 5) + 2019 = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) + 2019 Vậy số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 cho đa thức x2 + 8x + 10 2019 Điểm 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n 3n số phương Nội dung trình bày Vì n số tự nhiên có hai chữ số nên: 10 �n �99 � 21 2n 199 Vì 2n số phương lẻ nên: 2n 1� 25; 49;81;121;169 Ta có: n � 12; 24; 40;60;84 � 3n 1� 37;73;121;181; 253 Vì 3n số phương nên: 3n 121 � n 40 Vậy với n 40 2n 81 3n 121 số phương Câu (2,0 điểm) Điểm 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 � 900 ) DC = 2AB Gọi H hình chiếu Cho hình thang vuông ABCD ( �A D D đường chéo AC, M trung điểm đoạn thẳng HC Chứng minh BM vng góc với MD Nội dung trình bày Điểm Ta có hình vẽ: 0,25 Gọi N trung điểm HD Ta có MN đường trung bình HDC nên: MN DC MN//DC 0,25 � 900 ) nên: Mà AB DC ( DC = 2AB); AB//DC (vì �A D 0,25 MN = AB MN//AB, suy tứ giác ABMN hình bình hành Suy ra: AN//BM � 900 ) nên MN AD Ta có: MN//DC DC AD (vì D ADM có DH MN hai đường cao cắt N, nên N trực tâm, AN MD Ta có: AN//BM, AN MD nên BM MD Câu (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho hình thang ABCD (AB//CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm, � 300 Tính diện tích hình thang ABCD BCD Nội dung trình bày Điểm Vẽ BH DC (H �DC) Gọi E điểm đối xứng B qua H Ta có: CB = CE nên CBE cân C, CH đường cao nên CH 0,25 Ta có hình vẽ: đường phân giác 0,25 � BCE � � BCE � 2.BCH � 2.300 600 Suy ra: BCH 0,25 � 600 nên CBE tam giác � BE BC Do CBE cân có BCE 0,25 2 Do đó: BH BE 3(cm) 0,25 12 cm Tứ giác ABCD hình thang nên: S ABCD AB DC BH 0,25 0,25 Vậy diện tích hình thang ABCD 12 cm 0,25 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vng cân A, có AB = AC = 4cm Xét hình chữ nhật ADEF có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC Tính độ dài BD để hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn Tính diện tích lớn Nội dung trình bày Điểm Đặt BD = x (cm) (với 0< x < 4) AD = – x (cm) Vì BDE vuông cân nên DE = BD = x (cm) Đặt S ADEF S , ta có: S = DE.AD = x(4 - x) = -x2 + 4x = - (x2 - 4x + 4) + = - (x - 2)2 + �4 Ta có: Max(S) = � x = Vậy với BD = 2cm hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất, diện tích 0,5 0,25 Ta có hình vẽ: lớn 4cm2 Câu (2,0 điểm) 0,5 0,25 0,25 0,25 Cho x y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C = x + y + 2018 Nội dung trình bày Ta có: x + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + = � x y 3 y 2 Mà y �1 y �0 với y nên: x y 3 �1 � x y �1 � 1 �x y �1 � 2014 Vậy: Min(C) = 2014 � x 4; y Max(C) = 2016 � x 2; y Câu 10 (2,0 điểm) x y 2018 2016 Điểm 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100 Xếp tùy ý tất 100 số nối tiếp thành dãy ta số P Chứng minh số P không chia hết cho 2018 Nội dung trình bày Ta thấy số P số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; xuất 20 lần, số xuất 21 lần Tổng chữ số P là: (2 + + + + + + + 9).20 + 1.21 = 901 Như P không chia hết cho hiển nhiên P không chia hết cho 2018 Điểm 1,0 0,5 0,5 ... + 7) + 2034 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 2034 Đặt x2 + 8x + = y, ta có: y(y + 8) + 2034 = y(y + 8) + 15 + 2019 = (y + 3)(y + 5) + 2019 = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) + 2019 Vậy số dư phép...PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 20 18 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I- Hướng... x � � � � 2x x 2019 x 1 x 2019 x 1 x = 2x x 1 x 1 2.20 18 x 0,25 0,25 x 1 = x x 1 2x 20 18 x2 1 20 18 Vậy B x 1 = Câu (2,0 điểm)