(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề nguyên hàm tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN TỔ: TỐN – TIN MƠN TỐN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN NĂM HỌC 2016 – 2017 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K, F '( x) = f ( x) , với x∈ K Định lý Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u = u ( x) ∫ kdx = kx + C , k ∈ R ∫ kdu = ku + C , k ∈ R ∫x ∫u α dx = xα +1 + C (α ≠ −1) 1+α α du = uα +1 + C (α ≠ −1) 1+ α dx = ln x + C ( x ≠ ) x dx ∫ x = x +C ∫ du = ln u + C ( x ≠ ) u du ∫ u = u +C ∫ e dx = e ∫ e du = e ∫ x x +C u u +C ax ∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C au ∫ a du = ln a + C (0 < a ≠ 1) ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C x dx ∫ cos x = tan x + C ; dx ∫ sin x u = − cot x + C du ∫ cos u = tan u + C ; du ∫ sin u = − cot u + C Ngồi cịn số công thức thường gặp (ax + b) k +1 ∫ (ax + b) dx = a k + + C , (a ≠ 0, k ≠ −1); ax+b ax+ b ∫ e dx = a e + C ; ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C k 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C , a ≠ ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F ( x ), G ( x ) tương ứng nguyên hàm f ( x), g ( x ) a ∫ f '( x)dx = f ( x) + C b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x )dx = F ( x ) ± G ( x) + C ; c ∫ a.f(x)dx = a ∫ f ( x)dx = aF( x) + C (a ≠ 0) Một số phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u) liên tục cho f [u ( x)] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức ∫ f (u )du = F (u ) + C ∫ f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: ax+b Dạng ∫ P( x).e dx , ∫ P( x) sin(ax + b) dx , ∫ P( x)cos(ax + b) dx c dv = sin(ax + b)dx, dv = cos(ax + b)dx) Cách giải: Đặt u = P( x) , dv = eax+b dx ( hoaë Dạng ∫ P ( x) ln(ax + b)dx Cách giải: Đặt u = ln(ax + b) , dv = P( x)dx II TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân b f ( x) từ a đến b ký hiệu ∫ f ( x)dx Trong trường hợp b a < b a tích phân f [ a; b ] Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a • ∫ f ( x) dx = • a b c a a b • ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x) dx b a a b ∫ f ( x)dx a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b a a • ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x )dx c b b b a a a • ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Một số phương pháp tính tích phân u (b) b • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ a f [u ( x)]u '( x) dx = ∫ f (u )du u(a) Trong f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u ( x )] xác định J; a, b ∈ J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x = x (t ) ( x hàm số t) • Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u ( x ), v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai b b a a b số thuộc K ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx Ứng dụng tích phân • Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] diện tích S hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S = ∫ f ( x) dx a • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a • Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với b trục Ox điểm a, b V = ∫ S ( x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện a vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ∈ [ a; b ] S(x) hàm liên tục • Tính thể tích khối trịn xoay • Hàm số y = f ( x) liên tục không âm [ a; b ] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành b tạo nên khối trịn xoay Thể tích V tính công thức V = π ∫ f ( x )dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính d cơng thức V = π ∫ g ( y )dy c CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phần Tìm ngun hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số ∫( + x )dx x a ∫ ( x + 2)( x − x + 4)dx b d ∫ sin xdx e ∫ tan xdx g ∫ sin x.cos xdx k ∫ x3 − x + dx x5 l ∫ sin(2 x + 1)dx n ∫ + ln x dx x o h ∫ 10 ∫ xe 2x x2 x x dx dx c ∫ sin xdx f ∫ cot xdx i ∫ (x − 1)(x + 3) x2 10 m ∫ (1 + x ) xdx p dx ∫ (1 − x) Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx Phương pháp Đổi biến t = ϕ ( x) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx = ϕ '(t )dt +) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx = g (t )dt Khi I = ∫ g (t )dt dx Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f ( x, ϕ ( x)) Đặt t = ϕ ( x) Hàm f ( x, n ϕ ( x), m ϕ ( x)) Đặt t = mn ϕ ( x) Hàm f ( x) = asin x + b cos x c sin x + d cos x + e Đặt t = tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t = s inx Hàm chẵn với sinx cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x = ϕ (t ) +) Lấy vi phân dx = ϕ '(t )dt +) Biểu thị f(x) theo t dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi I = ∫ g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn a2 − x2 π π   x =| a | sin t , − ≤ t ≤   x =| a | cost , ≤ t ≤ π x2 − a2 |a| π π   x = sin t , − ≤ t ≤ ; t ≠  x = | a | , ≤ t ≤ π ;t ≠ π  cost x2 + a2 π π  x = | a | tan t , − < t <  2   x =| a | cott , < t < π a+x a−x Đặt x = a cos 2t a−x a+x Đặt x = a + (b − a )sin t ( x − a)(b − x) Bài Tìm nguyên hàm hàm số a ∫ (2 x + 1) dx b ∫ 2z z +5 dz c ∫ x( x + 1)dx d ∫ sin(7 x + 6)dx e 2012 g ∫ sin x.cos xdx h x2 l ∫ o ∫ cos (5x + 2) dx r ∫ cos (3x + 1) dx − x3 1+ x ∫ xe dx ∫ 1+ e −x dx m ∫ x − x dx dx sin(3x + 1) p ∫x s ∫x ∫x k ∫ x − x + 2012 n ∫ dx x (1 + x ) 2 1 sin cos dx x x q ∫ sin x.cos xdx xdx − 2x2 − t 2x dx + 4x + 2x −1 f ∫x dx xdx − 4x − x2 dx v ∫ (1 − x)39 x3 dx u ∫ x −x −2 Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm hàm số x a ∫ xe dx b ∫ x cos xdx d ∫ x ln xdx e ∫ h ∫ sin g x ∫ cos x dx x ln( x + x + 1) x +1 c ∫ ( x + 1).ln xdx dx x f ∫ e cos xdx dx x Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm a d g i dx ∫ 2x + 4x + dx c ∫ (2 x − 1) f ∫x ∫ 4x + dx x + x +1 h x − 14 x + 13 x + dx ∫ x2 − 5x + ∫ x2 + x + dx (x − 1)3 l ∫x b ∫ x + dx ∫ x + 3x + dx x+3 e ∫x ∫ x + 3x + dx x2 + 5x + h ∫ x3 + x − dx x2 − k 2x − dx − 5x + Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng: 2 4x − dx − 3x + xdx +3 ⊕ f ( x ) = cos ax.cos bx ⊕ f ( x) = sin ax.sin bx ⊕ f ( x ) = sin ax.cos bx ⊕ f ( x) = sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: a ∫ cos3x.cos xdx b ∫ s inx.cos xdx c ∫ cos x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x) = sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm 3 a ∫ (sin x + cos x)dx dx d ∫ sin g sin x ∫ cos6 x dx x 5 b ∫ (sin x + cos x)dx c cos3 x ∫ sin x dx e ∫ sin 2xdx f ∫ sin h dx x tan x ∫ cos2 x dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a ∫ a − x dx b ∫ x − a dx c ∫ x + a dx d ∫ a+ x dx a−x e ∫ ( x − a )(b − x)dx f ∫ dx ( x + a )( x + b) g dx ∫ x2 + a h ∫ k (a1 x + b1 x + c1 )dx ∫ ( x − d )(ax2 + bx + c) l ∫ ( x + a) ( x + b) dx 2 với ( a ≠ b ) m dx (a + x ) k +1 ∫ sin x + 3cos x dx s inx + cos x n ∫ 8cos xdx + sin x − cos2 x Bài Tìm nguyên hàm dx a ∫ d cos2 x ∫ sin x dx g ∫ (1 − x ) xdx x + 1 + + x x2 b ∫ x2 −1 e ∫ dx ( x + 2)( x + 1) h ∫ dx s inx + cos x dx dx c ∫ f ∫ x+ (1 + x )3 2x x2 −1 dx Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ lơgarit Bài Tìm ngun hàm a dx ∫ e (3 + e x −x ) d ∫ x.ln xdx b ∫ x ln x dx + ln x x −1 c ∫ ( x + 1).e dx e ∫e dx + ex − f 2x + ln x dx x ∫ Phần Tính tích phân • Dạng Dùng định nghĩa tính chất tích phân Bài 10 Tính tích phân a ∫ (x b ∫ ( x + ) dx x − x + 1) dx −2 16 d ∫x − x + dx e g ∫ π − ( x x l π ∫ π dx x+9 − x f tan xdx ∫ 2π x2 + x + dx h ∫ x +1 4 k ∫ (sin − cos ) dx c ∫ ( x x + 1)dx − 4sin x + cos x)dx cos2 x π n ∫ π 3 i π cos x + s inx.cos x ∫0 + s inx dx m −π ∫ sin π o s inx.cos ( x − π )dx ∫0 cos5x.sin3xdx − cos2 xdx π π ∫ p 2 dx (5 x + 6) ( x + 1)dx + x ln x ∫x • Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân x dx b ∫ x +1 π π sin xdx e ∫0 cos x + s inx dx d ∫0 cos4 x π g cos x.sin xdx ∫ π xdx a ∫ ( x + 1) 2 h ∫x dx ( x + 1) • Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến c cos3 xdx ∫ π f s inx − cos x + ∫ s inx + cos x + dx Bài 12 Tính tích phân sau b ∫ x a ∫ ( x − 1) xdx 25 d ∫ 2x +1 x2 + x + π x + 1dx ∫x c e e ∫ cos2 x cos3 x f ∫ dx π sin x s inx.cos xdx g sin xdx ∫ h π e ∫ π + ln x dx − cos x s inx.cos xdx i ∫ x ln k (sin x + es inx ).cos xdx ∫ l ∫ (3 + e x )5 e x dx ∫ m 0 x+2 dx + 4x + π π dx e x x dx Bài 13 Tính tích phân d ∫ g 2 dx a ∫ + x2 b ∫ − x dx + 3x dx x2 c dx e − x2 ∫ π sin xdx ∫0 2sin x + cos2 x h ∫x ∫x f ∫ −a dx x2 −1 a+x dx , ( a > 0) a−x dx x2 + Bài 14 Tính tích phân a ∫ x 2012 sin xdx −1  1− x  d ∫ x ln  ÷dx 1+ x  −1 π cos4 x b ∫0 sin x + cos4 x dx cos xdx ex + −1 ∫ c π x sin xdx e ∫ + cos2 x ∫ ln( x + f x + 1)dx −1 π sin xdx g ∫ x +1 −π π k ln( + s inx ) dx ∫0 + cos x π h ln(1 + t anx) dx ∫ 2π i ∫ x.cos xdx 0 dx l ∫ x e +3 m • Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 15 Tính tích phân ∫e dx + ex 2x π a ∫ ( x + 1)e dx b ∫ x e dx 2x 2x c (1 − x)sin xdx ∫ eπ π d ∫ x ln( x − 1)dx e ∫ e cos xdx x f ∫ cos(ln x)dx π 2 ln(1 + x) dx g ∫ x h cos x.ln(1 + cos x)dx ∫ • Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 16 Tính tích phân a ∫ x (e + x + 1) dx 2x π e5 ln x.ln(ln x)dx b ∫ x e2 c ( x + sin x + es inx ).cos xdx ∫ • Dạng Lập cơng thức tích phân truy hồi Bài 17 Lập cơng thức tích phân truy hồi cho tích phân sau π a I n = sin n xdx ∫ n b I n = ∫ x − xdx với n số nguyên dương 0 • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau a y = x − x trục hoành b y = x3 − 3x + đường thẳng x − y + = c y = sin x cos3 x ; y = x = 0; x = π d y = − x + x ; y = −3x e y = x ; y = x2 ;y = x f y = x − x + ; y = − x Bài 19 Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh trục hình phẳng giới hạn a y = ln x ; trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = b y = xe x , trục hoành đường thẳng x = c y = cos2 x + x sin x , y = 0, x = 0, x = x2 , y = 2, y = d y = Phần Bài tập tổng hợp Bài 20 Tính tích phân e (ln x + 2013) dx a ∫ x π d ∫x + x dx e g ∫ π sin x cos x + 2sin x k (e ∫ s inx dx + cos x) cos xdx h x3 ∫ c s inx f dx x4 + 1 ∫ + cos x dx π 2 3x dx b ∫ ( x + 3)2 π dx o ∫ 4sin x + 3cos x + π π dx ∫ (s inx + 3cos x) π cos xdx l ∫0 sin x + 4sin x + i cos x cos x − cos3 xdx ∫ ∫x m x dx + 3x + Bài 21 Tính tích phân e ln x a ∫ dx x π b x.cos 3x cos x dx ∫0 2 π d ∫ x ln( x + x + 1)dx c ∫ x ln( x + 1)dx ln e x tan xdx ∫ ∫ f 0 e3 x3 − x − x − dx g ∫ x2 − x − h ∫ e dx x ln x ln(ln x) ln i ∫ xe x ex +1 e2 x ex + dx dx π 2(2 x − 1) dx k ∫ ( x + 2)( x + 1) e4 l π ∫x − dx −3 m e2 n ∫ dx x sin (ln x) π o ∫ x − x − x + dx x2 −1 ∫1 x + dx p ∫ sin π −2 dx x cot x Bài 22 Tính tích phân ln a ∫ ln e x dx (e x + 1)3 e x − e− x b ∫ x − x dx e +e ln c ∫e ln x dx + 2e − x − π x4 + e ∫ dx x +1 ln(t anx) dx d ∫ π sin x dx ∫ x (1 + x f ) ln ∫ 2(e g k x x2 h ∫ (1 + x ) + 1) e + x ∫ i ∫ x3 dx l ∫ + x8 dx o x x2 + π q (A-05) sin x + s inx dx ∫0 + 3cos x π tan x ∫0 cos2 x dx (B-08) x + e x + x 2e x dx u ∫ + 2e x t ∫ ln( x − x)dx 2 m π ∫ sin x cos2 x + 4sin x dx π p − 2sin x dx ∫ + sin x e ln x dx r ∫ x(2 + ln x) 2x − x dx 1 − x2 dx 1− x ∫ n e x dx e s ∫ 1 + 3ln x ln x dx x π sin( x − ) v dx ∫0 sin x + 2(1 + s inx + cos x) π Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a y − y + x = 0, x + y = b y = + x − x , y = x + c y = 0, y = s inx, x = π 3π ,x = 2 d y = x − x + , x = 2, y = x + e y = e −2 x , y = 2− x , x = f y = x , y = x − x , x = g y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x x2 x2 h y = − , y = 4 2 i y = x − x + , y = x + Bài 24 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a y = x, y = x b y = x ln x, y = 0, x = e π 2 c y = 0, y = cos x + x s in x , x = 0, x = Bài 25 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: y = 0, y = x − x Bài 26 Tính tích phân π sin 2012 x a ∫0 sin 2012 x + cos2012 x dx π d x sin x + ( x + 1) cos x dx ∫0 x sin x + cos x b ∫ ln( x + −1 π π ∫ k − π cos2 x dx + ex ∫ h l x ln( x + 2) − x2 π sin x dx c ∫ + 2012 x −π x e + x sin ∫0 cos2 x dx π cot x + cos xdx g ∫ π sin x + x )dx f 4x −1 dx 2x +1 + ∫ dx i ∫ x3 + x + x x2 + x + dx π ( x + 1)(1 − 2sin x) + cos2 x x cos x + cos2 x ∫ Bài 27 Tính tích phân π x3 dx a ∫ x + 3x + b x(1 + sin x) dx ∫ c + ln(1 + x) dx x ∫ Bài 28 Tính tích phân x2 −1 a ∫ ln xdx x 1 ( x + 1) dx c ∫ x +1 b ∫ x − x dx TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013 π Bài 1: Tính I = (cos3 x − 1) cos xdx - ĐHKA-2009 ∫ KQ: π − KQ: 27 (3 + ln ) 16 Bài 2: Tính I = + ln x ∫ ( x + 1) Bài 3: Tính I = ∫e 1 Bài 4: Tính I = dx - ĐHKB-2009 dx - ĐHKD-2009 −1 x + e x + x 2e x ∫0 + 2e x dx - ĐHKA-2010 e Bài 5: Tính I = x ln xdx ∫ x(2 + ln x) - ĐHKB-2010 KQ: ln(e2+e+1) – KQ: 1  + 2e  + ln  ÷   KQ: − + ln e  1 3 Bài 6: Tính I = I = ∫  x − ÷ln xdx - ĐHKD-2010 x Bài 7: Tính I = π ∫ π  x sin x + ( x + 1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x + cos x x Bài 8: Tính I = + x sin dx ∫ Bài 9: Tính I = ∫ cos x 4x −1 dx 2x + + KQ: e2 −1 KQ:  π π  + ln   + 1÷÷ ÷    KQ: + - ĐHKD-2011 KQ: 34 +10 ln KQ: −2 + ln + ln 3 KQ: ( 2ln − 3ln ) + ln( x + 1) dx - KA-2012 x2 Bài 10: Tính tích phân I = ∫ Bài 11: Tính tích phân I = ∫ x3 dx - ĐHKB-2012 x + 3x + Bài 12: Tính tích phân I = π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ: Bài 13: Tính tích phân I = ∫ 1 Bài 14: Bài 15: x −1 ln xdx - ĐHKA-2013 x2 2 Tính tích phân I = ∫ x − x dx - ĐHKB-2013 ( x + 1) dx - ĐHKD-2013 x + Tính tích phân I = ∫ 2π + ln(2 − 3) - ĐHKB-2011 π2 32 + KQ: ln − 2 KQ: 2 −1 KQ: + ln ...CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f (... x) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u = u ( x) ∫ kdx = kx +... F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f (