hoặc thì phương trình đã cho có nghiệm ké CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình:ax2+bx +c =0a 0... c Theo hệ thức Vi-ét.[r]
(1)HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA Chương IV : HÀM SỐ y = ax (a 0) Hàm số y = ax2 (a 0) I Ví dụ mở đầu: SGK Quảng đường chuyển động vật S=5t2 Hoạt động : Tính chất hàm số y = ax2 (a 0) II.Hàm số y=ax2(a 0) 1: TXĐ: R 2: Tính chất : -Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến x<0 và đồng biến x>0 -Nếu a< thì hàm số đồng biến x<0 và nghịch biến x>0 VD: ?2 :SGK Bảng 1: x –3 y = 2x2 18 Bảng : x –3 y = –2x2 –18 x 2)y=- 2 x a) y=f(x) = ; f(0)= 02=0 25 f(5)= 52= ; f(-5)= 25 (-5)2= =>f(5)=f(-5) TXĐ: R x Hàm y=- đồng biến x<0 và nghịch biến x>0 Bảng giá trị : X -2 Nhận xét :f(x)=f(-x) x R b) f(x)=0 x-2=0 Đồ thị: y x=0 –2 –1 -1 x y=- -2 f(x)=1 x-2=1 x O x –2 –1 –8 Nhận xét : - Nếu a>0 thì y>0 x 0 Khi x=0 thì hàm số nhận giá trị nhỏ là - Nếu a<0 thì y<0 x 0 Khi x=0 thì giá trị lớn hàm số là Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A = 3x2 – 3,5x + với x = 4,13 Ví dụ : Tính diện tích hình tròn có bán kính R ( S = π R2 ) với R = 0,61; 1,53; 2,49 Hướng dẫn nhà: - Bài tập nhà số 2; tr 31 SGK; bài 1, tr 36 SBT Hướng dẫn bài SGK: Công thức F = av2 a) Tính a b) Tính F v = m/s ; F = 120 N ; F = av2 a =F/v2 v1 = 10 m/s ; s = 20 m/s ; F = av2 Bài tập tr 31 sgk: b) Ta có :S=4t2 t= Quảng đường vật rơi sau S 100 1s :S=4.12=4(m) Quảng đường vật rơi sau = =5 2s:S=4.22=16 (m) Vậy sau s thì vật tiếp đất Bài tập tr 74 sgk cũ : Giải : a) a= s 20 45 80 125 t2 16 25 b) S=5t2 Bài tập tr 74 sgk: =3 -2 x 3và x ĐỒ THỊ HÀM SỐ y=ax2(a 0) Nhận xét :Đồ thị hàm x sốy=- 1.Ví dụ : Vẽ đồ thị các hàm số : là đường parabol; nằm trục hoành; nhận O làm đỉnh và OY là trục đối xứng Đặc điểm : Nhận xét : tr 35 sgk x 2)y=- 1) y=2x2 Giải : 1)y=2x2 TXĐ:R Hàm y=2x2 đồng biến y y=2x Bàitậ7/38sg B A y C O M x x>0 và nghịch biến -4 x<0 Bảng giá trị : X -2 -1 y=2x2 Đồ5thị: Nhận xét :Đồ thị hàm sốy=2x2 là đường pa rabol;nằm trên trục hoành ;nhận O làm đỉnh và OY là trục đối xứng -3 -2 -1 O a) M(2;1) x=2; y=1 vào hàm số y=a x2 ta có: 1=a.22 1 a y x2 4 x (2) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA b) Với A(4;4) thì y 42 4 A(4;4) thuộc đồ thị y x2 hàm số c) B(-4;4) , C(-2;1) Bài tập 9/39sgk: Giải: a) y x2 * (0;0) ; (-3;3) ; (3;3) * y= -x +6 (0;6); (6;0) b) Toạ độ giao điểm là toạ độ nghiệm phương trình y x y x Giải hệ ta :(3;3) ,(6;12) Bài tập 10/39sgk: 1.Định nghĩa:(sgk) A x2+bx+c=0 (a 0) Vd: 1.x2-4=0 (a=1,b=0,c= -4) x2-33x+270=0 (a=1,b= -33,c=270) 2x2+5x=0 (a=2,b=5,c=0) ĐN: sgk: Một số ví dụ giải phương trình bậc hai ẩn: a.Trường hợp c=0: Ví dụ : Giải phương trình 2x2+5x=0 Giải: 2x2+5x=0 x(2x+5)=0 x=0 x= Vậy phương trình có nghiệm x1=0,x2= b Trường hợp b=0: - 4 x2-4x+4= (x-2)2= - (x-2)= = 14 y= Bài tập 14/43sgk: 2x2+5x=2=0 2x2+5x=- x2+ x=-1 25 x2+2x + 16 =-1+ 25 16 y x2 y=-x+6 x -2 -3 Giá trị nhỏ y là -12 Giá trị lớn y là PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN -1 O x2= x1= x2=- 14 Vậy x1=2+ x2=214 Bài tập 12/42sgk: b) 5x2-20=0 5x2 =20 x2=4 x1=2, x2=-2 d) 2x2+ 2x =0 Cách2: 3x2-2=0 3x 2x 2 x1 , x2 3 c Trường hợp b 0,c 0: Ví dụ giải phương trình 2x2-8x+1=0 Giải: 2x2-8x+1=0 2x2-8x=-1 x 5 x 16 x5 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Công thức nghiệm: Cho phương trình bậc hai: ax + bx + c = (a 0) (1 - Biến đổi phương trình (1) x 0 x 0 b b1 4ac x 0 x 4a2 x 20a x2 ( 2) 0 Bài tập 13/43sgk: x 3x 0 a).x +8x=-2 2 -1 Ví dụ giải phương trình: 3x2-2=0 Cách 1: 3x2-2=0 (x+1)2 = x2+2x,4+16=-2+16 (x+4)2=14 b) x2+2x= x2+2.x.1+1= +1 Kí hiệu: = b2 - 4ac ( đọc là “đenta” ) Thì phương trình (1) b x 2a 4a (2) ?1 ( sgk ) a) Nếu > thì từ phương trình (2) suy ra: (3) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA b x 2a 2a Do đó , phương trình (1) có hai nghiệm : x1 b b ; x2 2a 2a b) Nếu = thì từ phương trình (2) suy : b b x x 0 2a 2a b x 2a 0 x b 0 2a b x 2a x b 2a Do đó phương trình (1) có nghiệm kép là: x1 x2 b 2a ? ( sgk ) - Nếu < thì phương trình (2) có VT ; VP < vô lý phương trình (2) vô nghiệm phương trình (1) vô gnhiệm Tóm tắt: (Sgk 44 ) Cho phương trình bậc hai: áp dụng: (13 phút) Ví dụ ( sgk ) Giải phương trình : 3x2 + 5x - = ( a = ; b = ; c = -1 ) Giải: + Tính = b2 - 4ac Ta có : = 52 - 3.( -1) = 25 + 12 = 37 + Do = 37 > 37 phương trình có hai nghiệm phân biệt : 37 37 2.3 37 x2 ; ?3 áp dụng công thức x1 nghiệm để giải phương trình: a) 5x2 - x + = ( a = 5;b=-1;c=2) + Tính = b2 - 4ac Ta có : = ( -1)2 - 4.5.2 = - 40 = - 39 Do = - 39 < phương trình đã cho vô nghiệm b) 4x2 - 4x + = ( a = 4;b=-4;c=1) + Tính = b2 - 4ac Ta có = (- 4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = + Do = phương trình có nghiệm kép: x1 x2 ( 4) 2.4 ax + bx + c = (a 0) (1) c) - 3x2 + x + = (a = ; b = ; c = 5) +) Nếu > phương trình có hai nghiệm: x1 b 2a , b x2 2a +) Nếu = phương trình có nghiệm kép là: b 2a +) Nếu < phương x1 x2 trình vô nghiệm + Tính = b - 4ac Ta có : = 12 - 4.(- 3).5 = + 60 = 61 + Do = 61 > 61 phương trình có hai Nếu phương trình : ax2 + bx + c = (a 0) ( 1) có a và c trái dấu tức là a.c < thì phương trình luôn luôn có nghiệm phân biệt Bài tập 1: Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai để giải phương trình: a) 2x2 + x - = 6x2 +1 x - = (a=6;b=1;c=-5) Ta có : = b2 - 4ac = 12 6.(- 5) = + 120 = 121 Do = 121 > 121 11 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 x2 ( 8) 4 2.1 Vậy phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Bài tập 21: ( SBT - 41 ) Giải phương trình: a) x 2 x 0 (a = ; b 2 ; c = 1) Ta có : = b2 - 4ac = 2 4.2.1 8 0 Do = phương trình có nghiệm kép: 121 11 10 ( 2) x1 2.6 12 12x1 6x2 2.2 x 121 11 Vậy phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2.6 12 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : b) 2x2 x1= ; x2 2 x 0 = -1 b) 5x + 3x2 + = ( a = 3;b=5;c=2) Ta có = b2 - 4ac = 52 4.3.2 = 25 - 24 = Do = > 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: (a=2;b=-( 2) ;c=- ) Ta có: = b2 - 4ac = 2 4.2 1 = 21 2 x1 2.3 6 3> x 2.3 2 1 2 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: 61 1- 61 61 x1=613 x1 = ; x2 ; x2 = -1 6 6 e) y2 = 8y - 16 y2 Chú ý: (Sgk - nghiệm phân biệt: 45) Ta có: = b2 - 4ac =(-8)2 - 4.1.16 =64 - 64 = Do = phương trình có nghiệm kép: phương trình có hai nghiệm phân biệt: 8y + 16 = (a = 1; b = - 8; c = 16) (4) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA b = 2b’ => ’ = b’2 – ac * Nếu > thì phương trình có nghiệm phân biệt 2 1 2 x1 2.2 -b'+Δ' 1 2 1 2 x2 a 2.2 x1 = Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x1= ; x2 = - Bài tập 24: ( SBT - 41 ) Tìm m để phương trình có nghiệm kép: a) mx2 - 2(m - 1)x + = (m là tham số) (a = m; b = 2(m - 1); c = 2) Để phương trình có nghiệm kép a 0 0 m 0 2(m 1) 4.m.2 0 m 0 4m 16m 0 Để = 4m2 - 16m +4=0 m2 - 4m + = ( Có m = ( - 4)2 - 4.1.1 = 12 42 2 m1 m 2 2 m1 2 Vậy với m2 2 thì phương trình đã cho có nghiệm ké CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình:ax2+bx +c =0(a 0) ; x2 = -b'-Δ' a * Nếu ’ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = -b' a x2 = * Nếu ’ < thì phương trình vô nghiệm 2.áp dụng: * VD?2: Giải phương trình 5x2 + 4x – = a = 5; b’ = 2; c= -1 ' ’ = + = 9>0; =3 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -2+3 5; x2 = -2-3 6x- ; c = -4 = (-2 )2 – 3.(-4) = 24 + 12 = 36 > ' =6 x1 = -b'+Δ' a -b'-Δ' a ; x2 = 6+6 = = 6-6 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x2 = 6-6 ' 2 Nghiệm trình: phương -4+2 3 ; x2 = x1 = -4-2 b) HS2: 7x2 - x + =0 a = 7; b’ = -3 ; c = ’ = 18 – 14 = > ’ = Nghiệm trình: phương 2 ; x2 = 2 Bài 18b tr.49 SGK Đưa các phương trình sau dạng ax2 + 2b’x + c = và giải: (2x (x-1) )2 – = (x+1) 4x2 + x + – x2 +1=0 +2=0 2+ ; x2 2- 2 3 ?3 Giải phương trình: a) HS1: 3x2 + 8x + = a = 3; b’ = 4; c = ’ = 16 – 12 = > x1 = * Giải pt: 3x2 + 4=0 a = 3; b’ = -2 ’ = b’2 – ac x1 = 6+6 ; = 5.Hướng dẫn nhà - Bài tập nhà: số 17, 18acd, 19tr.49 SGK và bài số 27, 30 tr.42, 43 SBT - Hướng dẫn bài 19 SGK.: Xét ax2 + bx + c = a(x2 + + 2x b b2 b2 c + + 2a 4a 4a a ) = a[( b b -4ac ) 2a 4a )]= b b -4ac x+ )2 2a 4a a( x+ Vì ptrình ax2 + bx + c = vô nghiệm b2–4ac< => b -4ac<0 b -4ac >0 4a 4a>0 b ) 0 2a a(x+ mà ax2 + bx+ x > với giá trị x Dạng Giải phương trình Bài 20 tr.49 SGK a) 25x2- 16 = 25x2 = 16 3x2 - x a = 3; b’ = -2 ; c = ’ = – = > ’= phương trình có nghiệm là: x1 = b c x+ a a )=a(x2 x2 = 16 25 x1,2 = b) 2x2 + = Vì 2x2 x phương trình nghiệm c) 4x2 - =0 3x+ vô -1 (5) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA Bài 21 tr.49 SGK -2m > -1 c b a) x2 = 12x + 288 x1x2 = a , có x1 = -1 x2 x1 + x2 = a =2; x1.x2 = x + x=19 m< c c 12 b) 12 *pPhương trình có x2 + 7x – 288 = nghiệm kép ’ = a =m =-a =-3 Dạng 2: Không giải phương trình, xét số nghiệm nó Bài 22 tr.49 SGK a) 15x2 + 4x – 2005 = Cã a = 15 > 0 ac<0 c = - 2005 < phương trình có hai nghiệm phân biệt b) - 19 x - 7x+1890=0 Tương tư có a và c trái dấu phương trình có nghiệm phân biệt Dạng Bài toán thực tế Bài 23 tr.50 SGK a) t = phút v = 3.52 30.5 + 135 = 75150 + 135 v = 60(km/h) b) v = 120km/h 120 = 3t2 - 30t + 135 =>3t2 - 30t + 15 = t2 - 10t + = a = 1; b’ = -5; c = ’ = 25 - = 20 > ' =2 phương trình có nghiệm phân biệt: t1 = + 5; – 2m = 0 -2m = -1 m = *Phương trình vô nghiệm ’ < – 2m < 0 -2m < -1 m > HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 1.Hệ thức Vi-ét *Nếu x1 và x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a0) thì b x +x =1 a x x = c a ?2 Cho phương trình 2x2 -5x + = a) a = 2; b = -5; c = a+b+c=2-5+3=0 b) Thay x1 = vào phương trình 2.12 - 5.1 + = x1 = là nghiẹm p trình c) Theo hệ thức Vi-ét t2 = - t1 9,47; t2 0,53 Vì đa theo dõi 10 phút nên t1 và t2 thích hợp t1 9,47 (phút), t2 0,53 (phút) Bài 24 tr.50 SGK a) Tính ’: a = 1; b’ = (m-1); c =m2 ’ = (m-1)2 - m2 = m2 - 2m + - m2= -2m b) *Phương trình có nghiệm phân biệt ’ > 0 - 2m > 0 x1.x2 = c a= c a , có x1 = 1 x2 = ?3 Cho phương trình 3x2 + 7x + = a) a = 3; b = 7; c = a-b+c=3-7+4=0 b) Thay x1 = -1 vào phương trình 3.(-1)2 + 7.(-1) + = x1 = -1 là nghiệm ptrình c)theo hệ thức Vi-ét 2.Tìm hai số biết tổng và tích chúng Gọi số thứ là x thì số thứ hai là (S - x) Tích hai số P, ta có phương trình: x.(S - x) = P x2 - Sx + P =0 Phương trình có nghiệm nếu: = S2 - 4P Hai số cần tìm là nghiệm phương trình x2 - x + 5=0 = (-1)2- 4.1.5 = -19 < Phương trình vô nghiệm Vậy không có hai số nào có tổng và tích Bài 27 SGK a) x2 – 7x + 12 = Vì + = và 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = b) x2 + 7x + 12 = Vì (-3) + (-4) = -7 và (-3) (-4) = 12 nên ptrình có hai nghiệm là: x1 = - 3; x2 = - bài tập 28 (a) SGK Tìm hai số u và v biết u + v = 52; u.v =231 Hai số u và v là nghiệm phương trình x2 – 32x + 231 = ’ = (16)2 – 231 = 25 ' =5 x1 = 16 + = 21;x2= 16 -5 = 11 Vậy hai số cần tìm là 21 và 11 Bài 30 tr.54 SGK ’ = (-1)2 - m ’ = - m Phương trình có nghiệm ’ - m 0 m1 - Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ’ = (m - 1)2 - m2= -2m + Phương trình có nghiệm ’ 0 - 2m + m Vi-ét: Theo hệ thức x1 + x2 = b a= -2 (m – c a 1); x1.x2 = = m2 Bài 31 tr.54 SGK a) 1,5x2 -1,6x + 0,1 = Có a + b + c = 1,5 - 1,6 + 0,1 = x1 = 1; x2 = c a= 0,1 1,5 15 x2 - (1 - )x -1 b) =0 Có a -b + c = +1- -1=0 c x1 = -1; x2 = - a = 3 c) (2 (2 + )x2 + x 3)=0 Có a + b + c= 2 -2- x1 = 1; 3 + c a = =0 x2 = (2 3) x2 = -(2 + )2 (6) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA d) (m-1)x - (2m + 3)x + m + = 0với m Có a + b + c= m - - 2m 3+m+4=0 c a= Có x1 = 12,5 x2 = 0,5 Theo hệ thức Vi-ét x 1x2 4, k h ô n g gi ải p h n g tr ìn h h ã y tí n h: x1 + x2 ; x1 x 2; c a = 12,5.0,5 = m hay m = x1 = 1; x2 = 6,25 Bài 32 Tr.54 SGK m+4 u = -3; v = -8 m-1 ĐỀ KIỂM TRA THỬ Bài 38 tr.44 SBT Bài 1(2điểm) Xét = – 2.4 (-1) = 25 +8 = 33 Cho hàm số: PT có nghiệm: 33 33 4 y1 = ; y2 = <0 loại 33 Có + = và 2.4 = y ax (a 0) nênVớiphương y = y1= trình có x = a, Tìm a để đồ thị nghiệm:x1 = 4; x2 = hàm số qua điểm M(Có (-2) + (-4) = -6 và (-2) 1;1) ? (-4) = b, Vẽ đồ thị hàm nên phương trình có số tìm câu a)? nghiệm:x1 = -2; x2 = -4 Bài 2(2điểm) Giải các Có (-2) + = và (-2).5 = phương trình sau: -10 a) 2012x2 - 2012x + nên phương trình có 1=0 nghiệm x1 = 5; x2 = -2 b) Bài 40 (a, b) tr.44 SBT PT trùng phương PT trùng phương là PT có dạng: ax4 + bx2 + c = Cách giải: Đặt x2 = t (t ≥ ) thì PT trở thành: at2 + bt + c =0 Giải Pt bậc ẩn t.Thay t = x2 để tìm x 2 VD1: 4x + x - = (1) Đặt t = x2 (t ≥ 0) thì PT (1) trở thành 4t2 + t – = a) Biết a = 1; c=- 35 c x1.x2 = a = -35 Có x1 = x2 = -5 Theo hệ thức Viét:x1 + x2 b =-a + (-5) = - m m = -2 b) Biết a = 1; b = -13 x1 b + x2 = - a =13 3x x 0 c) x 279 0 Bài 3(1,5điểm) Tìm hai số biết tổng chúng và tích chúng -10 Bài 4(3,5điểm) Cho phương trình 3x2 - 8x + m =0 a) Kh i m = m n g hi ệ m c ò nl ại ? PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PT có nghiệm: 1 1; t1 = t2 = 1 (Loại) Với t = t1 = x2 = 1 x1 = 1, x2 = -1 Vậy PT (1)có nghiệm x1 = và x2 = -1 Bài 1: (bài 37) Giải Pt trùng phương d 2x2 + = x x 21 x 2 (1)ĐKXĐ: x ≠ b) Tì m m đ ể p h n g tr ìn h c ó m ột n g hi ệ m x1 = T ì Với x ≠ thì:(1) 2x4+ x2 = – 4x2 2x4+ 5x2- = Đặt x2 y (y ≥ 0) thì Pt trở thành: 2y2 + 5y – = 33 x= (?1) Phương trình chứa ẩn mẫu Các bước giải: (SGK) (?2) Giải PT: x 3x x x 9 (1)Điều kiện XĐ: x ≠ Khi đó: (1) x 3x x 3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x x2 - 3x + – x + x2- 4x + = (a=1; (7) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA b = -4; c = 3) Xét a + b + c = + (-4) + = PT có nghiệm: x1 = ; x2 = (Loại vì TXĐ) Vậy nghiệm PT đã cho là: x = 1 Bài tập 37: (Sgk 56) Giải các phương trình sau: a) 9x4 - 10x2 + = (1) Đặt x2 = t ĐK t ta có : (1) 9t2 - 10t + = ( a = ; b = - 10 ; c = 1) Ta có a + b + c = + ( -10) + = phương trình có hai nghiệm là : t1 = ; t2 = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là : 2; x 2 x1 = Bài tập 38: (Sgk - 56) Giải các phương trình sau: a) ( x - 3)2 + ( x + 4)2 = 23 - 3x x2 - 6x + + x2 + 8x + 16 - 23 + 3x = 2x2 + 5x + = ( a = 2; b = 5; c = ) Ta có = 52 - 4.2.2 = 25 - 16 = > 3 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = - ; x2 = - d) Với t1 = x2 = x1 = -1 ; x2 = 1 Với t2 = x2 = 1 x3 ; x 3 x ( x 7) x x 1 3 2x( x - ) - = 3x - ( x - 4) 2x2 - 14x - = 3x 2x + 2x2 - 15x - 14 = Vậy phương trình đã cho Ta có =(-15)2 - 4.2.(-14) có nghiệm là : = 225 + 112 = 337 > x1 = - ; x2 = ; x3 = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 13 Phương1 trình tích ; x4 VD3: Giải pt: x3 + 3x2 + 2x =là: 3 b) 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2 5x + 2x - 16 - 10 + x2 =0 5x4 + 3x2 - 26 = Đặt x2 = t ĐK : t ta có phương trình 5t2 + 3t - 26 = ( 2) ( a = ; b = ; c = - 26 ) Ta có = 32 - ( - 26 ) = 529 > 23 Vậy ptrình (2) có hai nghiệm là :t1 = ; t2 = - 3x f) 2x x x 8 x ( x 1)( x 4) (1) - ĐKXĐ: x - ; x 2x( x - ) = x - x + 2x2 - 8x = x2 - x + +(-8)=0 phương trình (2) có 2 x - x - = hai nghiệm là x1=-1; x2 = 13 Đặt x = t (≥ 0) thì Pt trở thành: Đối chiếu ĐKXĐ x1 = - * Với t2 –t26t=–- = 0( không thoảCómãn t ) – = (loại); x2 = (thoả mãn) a – điều b + ckiện = – (-6) PT có nghiệm t1 = -1 (loại) x 10 x (1 5) x 3 0 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là : x1 = ; x2 = x x 10 0 (1) ; x3 2 x (1 5) x 0 d) ( x(2) + 2x - )2 = ( x2 - x +5) Từ (1) phương trình ( x2 + 2x - )2 - ( x2 có hai nghiệm là : x + )2 = 10 x1 = -1 ; x2 = ( vì a - b x2 x x2 x x2 +c=0) Từ (2) phương trình ( 2x2 + x)( 3x - 10 ) = có hai nghiệm là : x3 = ; x4 = ( vì a + b +c=0) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x1 = - ; x2 = x x 0 x(2 x 1) 3x 10 0 x 10 0 Từ (1) ta có : x1 = ; x2 = - b) x3 + 3x2 - 2x - = ( x3 + 3x2 ) - ( 2x + 6)=0 x2 ( x + ) - ( x + )=0 ( x + 3) ( x2 - ) = Vậy phương trình đã cho có nghiệm : 10 Từ (2) x = x1 0; x2 10 ; x3 Bài38(SGK) F, 2x x2 x x 1 ( x 1)( x 4) ĐKXĐ x ≠ 1, x ≠4 2x (x - 4) = x2- x + 2x2 – 8x – x2 + x – = Xét ’= 49 – 32 = 17 PT có nghiệm: x1 = 17 ; x2 = 17 x = x2 + 3x + = (1) Giải PT (1): x2 + 3x + = Có a – b + c = – + t2 = Với t = t2 = x = x = 49 b (x2 – 4x + 2)2 + (x2 – 4x - 4) = Đặt x2- 4x + = y thì PT trở thành 10 ; x 1 ; x 15 x(x 3372 + 3x + 2)15 337 x1 ; x2 4 x2 - 7x - = ( 2) 13Bài Tập 40:giải cách đặt ẩn( phụ a = ; b = - ; c = - 8) Ta có a - b + c = - ( -7) x x c x =5 + 17 * Với t1 = x2 = x = Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = Bài tập 39: (Sgk 57) a) (8) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA PT có nghiệm là: x2 = -1 ; x3 = -2 Vậy Pt có nghiệm: x1= 0; x2= -1; x3 = -2 (x2 – x - 1)(x2 + 6x + 6) = Ví dụ: (Sgk - 57 ) Tóm tắt: Phải may 3000 áo thời gian - Một ngày may áo so với kế hoạch - ngày trước thời hạn đã may 2650 áo - Kế hoạch may ? áo Bài giải Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch là x áo (x N ; x > 0) Thời gian quy định mà xưởng đó phải may xong 3000 áo là (ngày) - Số áo thực tế xưởng đó may ngày là x + (áo) Thời gian để xưởng đó may xong 2650 áo là: (ngày) Vì xưởng đó may 2650 áo trước hết thời hạn ngày nên ta có phương trình: (1) Giải phương trình (1) 3000.( x + ) - 2650x = 5x.( x + ) 3000x + 18 000 2650x = 5x2 + 30x x2 - 64x 3600 = Ta có : ’ = 322 + 1.3600 = 4624 > x1 = 32 + 68 = 100 ; x2 = 32 - 68 = - 36 ta thấy x2 = - 36 không thoả mãn điều kiện ẩn Trả lời : Theo kế hoạch , ngày xưởng phải may xong 100 áo Tóm tắt : - Chiều rộng < chiều dài: 4m - Diện tích bằng: 320 m2 Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất Bài giải: Gọi chiều rộng mảnh đất là x ( m ) ĐK: (x > 0) Thì chiều dài mảnh đất là x + ( m) Diện tích mảnh đất là x( x + 4) ( m2 ) Vì diện tích mảnh đất đó là 320 m2 nên ta có phương trình: x.( x + 4) = 320 x2 + 4x - 320 = Ta có : ’ = 22 - 1.(320) = 324 > phương trình có nghiệm Nhận thấy x1 = 16 (thoả mãn), x2 = - 20 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất đó là 16 m Chiều dài mảnh đất đó là 16 + = 20 m Luyện tập: (13 phút) Bài tập 41: (Sgk - 58) Tóm tắt: số lớn > số bé : Tích 150 Vậy phải chọn số nào ? Giải: Gọi số bé là x ( Điều kiện x ) thì số lớn là x + Vì tích hai số là 150 nên ta có phương trình: x ( x + ) = 150 x2 + 5x - 150 = ( a = ; b = ; c = - 150 ) Ta có : = 52 - 4.1 ( 150) = 625 > Giải phương trình này ta x1 = 10; x2 =-15 Cả hai giá trị x thoả mãn vì x là số có thể âm, có thể dương Trả lời: Nếu bạn chọn số 10 thì bạn phải chọn số 15 Nếu bạn chọn số-10 thì bạn phải chọn số15 Ví dụ: (Sgk - 57 ) Tóm tắt: Phải may 3000 áo thời gian - Một ngày may áo so với kế hoạch - ngày trước thời hạn đã may 2650 áo - Kế hoạch may ? áo Bài giải Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch là x áo (x N ; x > 0) Thời gian quy định mà xưởng đó phải may xong - Diện tích bằng: 320 m2 Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất Bài giải: Gọi chiều rộng mảnh đất là x ( m ) ĐK: (x > 0) Thì chiều dài mảnh đất là x + ( m) Diện tích mảnh đất là x( x + 4) ( m2 ) Vì diện tích mảnh đất đó là 320 m2 nên ta có phương trình: x.( x + 4) = 320 x2 + 4x - 320 = Ta có : ’ = 22 - 1.(320) = 324 > 3000 áo là (ngày) - Số áo thực tế xưởng đó may ngày là x + (áo) Thời gian để xưởng đó may xong 2650 áo là: nghiệm (ngày) Vì xưởng đó may 2650 áo trước hết thời hạn ngày nên ta có phương trình: (1) Giải phương trình (1) 3000.( x + ) - 2650x = 5x.( x + ) 3000x + 18 000 2650x = 5x2 + 30x x2 - 64x 3600 = Ta có : ’ = 322 + 1.3600 = 4624 > x1 = 32 + 68 = 100 ; x2 = 32 - 68 = - 36 ta thấy x2 = - 36 không thoả mãn điều kiện ẩn Trả lời : Theo kế hoạch , ngày xưởng phải may xong 100 áo Tóm tắt : - Chiều rộng < chiều dài: 4m 324 18 phương trình có x1 = -2 + 18 = 16 x = -2 - 18 = -20 Nhận thấy x1 = 16 (thoả mãn), x2 = - 20 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất đó là 16 m Chiều dài mảnh đất đó là 16 + = 20 m Luyện tập: (13 phút) Bài tập 41: (Sgk - 58) Tóm tắt: số lớn > số bé : Tích 150 Vậy phải chọn số nào ? Giải: Gọi số bé là x ( Điều kiện x R ) thì số lớn là x + Vì tích hai số là 150 nên ta có phương trình: x ( x + ) = 150 x2 + 5x - 150 = ( a = ; b = ; c = - 150 ) Ta có : = 52 - 4.1 ( 150) = 625 > 625 25 Giải phương trình này ta x1 = 10; x2 =-15 Cả hai giá trị x thoả mãn vì x là số có thể âm, có thể dương Trả lời: Nếu bạn chọn số 10 thì bạn phải chọn số 15 Nếu bạn chọn số-10 thì bạn phải chọn số15 (9) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA ÔN TẬP CHƯƠNG IV I Lí thuyết: Hàm số y = ax2 ( a 0) Hàm y ax số a 0 +) Nếu a < thì hàm số đồng biến x<0 và nghịch biến x > +) Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > +) Đồ thị hàm số a 0 y ax là Parabol Nếu a > thì Parabol có bề lõm quay lên trên Nếu a < thì Parabol có bề lõm quay xuống Công thức nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai: II Bài tập: Bài tập 54: (Sgk – 63) - Vẽ đồ thị hàm số y = x y x2 -4 -2 Bảng số giá trị tương ứng x và y: x -4 -2 -4 a) M' ( - ; ) ; M ( ; 4) b) N' ( -4 ; -4 ) ; N ( ; 4) ; NN' // Ox vì NN' qua điểm B' ( ; - 4) và Oy b 2a +) Nếu < phương x1 x2 trình vô nghiệm Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Nếu phương trình bậc hai: ax + bx + c = (a 0) Có nghiệm x1 và x2 thì b x1 x2 a c x x 2a Giải bài toán cách lập phương trinh Vậy phương trình có hai nghiệm là: 5) x2 6x2 - 25x - 25 = c) -1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 2 3t - 12t+ = (2) (a = 3; b = -12; c = 9) Vì : a + b + c = + (-12) (1)+ = Nên phương trình (2) có hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = +) Với t1 = x2 = x = 1 +) Với t2 = x= x2 = trình 2 25 35 25 35 2 5 ; x 2.6 2.6 x2 = x1 x2 c) x 10 x x 10 x 2 x x 2x x - x ( x 2) = Bài tập 61: (Sgk - 64) a) Vì u + v = 12 và u.v = 28 nên theo Vi - ét ta có u, v là nghiệm phương trình: x2 - 12 x + 28 = Ta có ' = (- 6)2 - 1.28 = 36 - 28 = > (1) - ĐKXĐ: x và x - Ta có phương trình (1) (3) (a = 1; b' = 1; c = -10) Ta có : ' = 12 - (-10) = 2 x2 + 2x - 10 = (1) Đặt x2 = t (Đ/K: t 0) Ta có phương trình: phương nghiệm x1 = theo Vi - ét ta có: x1.x2 = 25.49 35 (2) 3x - 12x + = x x 0 có x.x 10 x x( x 2) x( x 2) Bài tập 56: (Sgk - 63) Giải phương trình: a) x1 ; 2 ; trình có nghiệm kép là: x2 x x b) 6x2 - 20x = ( x + trình có hai nghiệm: b x2 2a +) Nếu = phương x2 = 1 1 : x1 : 12 12 (a = 6; b = - 25; c = - 25) Ta có = ( -25)2 - 4.6.(25) = 25 49 > x2 ax + bx + c = (a 0) (1) +) Nếu > phương b 2a - Vẽ đồ thị hàm số y = y x 12 x3 ; x Bảng số giá trị tương ứng x và y: x Theo Vi - ét ta có: x1.x2 = Bài tập 57: (Sgk - 64) Giải phương trình: x1 Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x1 = -1; x2 = 1; x1 11 ; x 11 x1 11 ; x Bài tập 60: (Sgk - 64) a) Phương trình 12x2 - 8x + = có nghiệm x1 = x1 = 2 ; ' 11 11 > phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là: - Đối chiếu điều kiện ta thấy hai nghiệm trên thoả mãn phương trình (1) phương trình (1) có hai nghiệm là: ' 2 Phương trình có nghiệm x 6 2 Do u > v ta có u = x1 2; = v = x 6 2 b) Theo bài ta có u + v = ; u.v = - nên theo Vi - ét thì u , v là nghiệm phương trình bậc hai : x - 3x 11 - = Có = (-3)2 - 4.1.(-3) = + 12 = 21 > 21 Phương nghiệm: trình có (10) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA = 21 ; 21 x2 21 21 ; 2 ÔN TẬP CUỐI NĂM (Tiết 1) Lí I.thuyết: Định nghĩa bậc hai: Với a ta có: x 0 x = a 2 x ( a ) a Quy tắc nhân chia các bậc hai: a) Phép nhân - Khai phương tích: 3 2 32 2 3 3 3 3 (A 0; B > 0) Các phép biến đổi CBH: a) Đưa thừa số ngoài vào dấu căn: (B 0) b) Khử mẫu biểu thức lấy căn: = = 1 a = 1- a a (A.B 0; B 0) c) Trục thức: B > 0) (A 0; Vậy B = – a Bài 5: (Sgk- 131) Ta có: y = ax (a 0) b) TXĐ: x R y = ax + b ( a ) - Với a < Hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > - Với a > Hàm số đồng biến x > và nghịch biến x < - Đồ thị hàm số là Parabol đỉnh O (0; 0) nhận Oy là trục đối xứng b) TXĐ : x R Phương trình bậc hai - Đồng biến: a > ; Nghịch biến : a < - Đồ thị là đường thẳng qua hai điểm A(xA; yA) và B (xB; yB) Hoặc qua hai điểm đặc biệt P ( ; b ) ẩn: b a a 1 a ;0 và Q phương trình a 2. 1Hệ hai x1 a) Công thức hàm số: a a a a a a ( với a > 0; a 1) 1 a 1 x 1 Hàm số bậc nhất: 2 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức B= I Lí thuyết: 8 = 4 a a 1 1 a 1 ÔN TẬP CUỐI NĂM (Tiết 2) 4 3 44 Ta có: B = A2B = A B Chứng tỏ giáx trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x = 3 9 1 = A B 2 2 B = 2 2 (A, B 0) b) Phép chia - Khai phương thương: A = B x 1 x )( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 x x 1 x1 x 2x x x x x x 1 x = = 32 2 = (2 II Bài tập: Bài tập 1: Rút gọn biểu thức: A = A.B = A B A AB B B (A 0; B 0; A B) Vậy ta có hai số u; v là: (u, v) = A AB B B x 2 x a) Công xthức hàm số: ( x 1)( x 1) x 1 A B A-B A B x1 - Giải hệ phương pháp x3.( Hàm x 1)số bậc ( xhai 1): bậc hai ẩn: a) Dạng tổng quát: a) Dạng tổng ax + bx + c = quát: (a 0) b) Cách giải: Dùng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn ( sgk 44 ; 48 ) c) Hệ thức Vi - ét: Nếu phương trình ax by c a ' x b ' y c ' HPT ax + bx + c = có hai nghiệm x1 và x2 thì: b) Cách giải: 2 x x x x x x - 1Giải hệ phương pháp đồ thị x x x x - Giải hệ phương pháp cộng 10 (11) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA x1 x2 x1.x2 b a ; c a Bài 8: (Sgk - 132) +) Trường hợp 2: Gọi điểm cố định mà < ta có (I) b) x( x + 1)( x + 4)(x + 5) đường thẳng (k +1)x - 2y = 12 = luôn qua là M0 ( x2 + 5x )( x2 + 5x + x y 13 x y 13 4) = 12 (*) 3 x y 3 9 x y 9Đặt x2 + 5x = t Ta có phương trình: ( x0 ; y0) II Bài tập: phương trình Bài tập 6: (Sgk - 132) a) Vì đồ thị hàm số y = ax ( k + 1) x0 - 2y0 = có Với y x=-1 + b qua điểm A (1; 3) nghiệm với k R (*) t( t + 4) = 12 Thay toạ độ điểm A vào kx0 + x0 - 2y0 - = t2 + 4t - 12 = (a = công thức hàm số ta có: = a.1 + b có nghiệm với a + b = (1 ) Vì đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B (-1; -1) Thay toạ độ điểm B vào công thức hàm số ta có: -1= a.(-1) + b - a + b = -1 (2) k R x0 0 x0 y0 0 x 7 x 3x y 3 y Vậy k thay đổi, đường thẳng (k + 1) x - 1; b' = 2; c = -12) Ta có ' = 22 - 1.(-12) = + 12 = 16 > Vậy hệ phương trình đã ' 16 4 phương trình có cho có nghiệm là: nghiệm t1 = 2; t2 = - (thoả mãn) x 0 y0 0,5 33 x= 2; y=3 +) Với t1 = ta có: x2 + 5x = x2 + 5x - = Từ (1) và (2) ta có hệ điểm cố định là M0 (0; - 33 x ; y = - 7 phương trình : 0,5) Bài 16: (Sgk - 133) 25 + = > 2b 2 19: (Sgk - 132 ) bBài a b 3 2hệ phương trình : a b a b 3 a)aGiải 2x - x + 3x + = (2x3 + 2x2) + (- 3x2 - pt có nghiệm Vậy hàm số cần tìm là : y 3x) + ( 6x + 6) = x1 2y =1 luôn qua b) Vì đồ thị hàm số y = ax 2 x y 13 x y 3 (I) + b song song với đường +) Trường hợp 1: Với y thẳng y = x + ta có a = ta có (I) a' hay a = 2 x y 13 3x y 3 = 2x + Đồ thị hàm số đã cho có dạng: y = x + b (*) - Vì đồ thị hàm số qua điểm C ( ; ) Thay toạ độ điểm C và 2 x y 13 x y 9 công thức (*) ta có: Vậy hàm số càn tìm là: y =x+1 11x 22 3x y 3 (thoả mãn) x 2 y 3 Ta có: =52 - 4.1.(-2) = 2x2.(x + 1) - 3x.(x + 1) + 6.(x + 1) = (x+ 1).(2x2 - 3x + 6) =0 x2 5 33 +) Với t2 = - thay vào x 0 x 3x 0 Từ (1) 33 ; x = -1 (1)đặt ta có: x2 + 5x = - (2) x2 + 5x + = pt có nghiệm x3 = - Từ (2) ta có: = (- 3)2 - ; x4 = - 4.2.6 = 9- 48 =- 39 < Vậy phương trình đã cho phương trình (2) vô có nghiệm là: nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1 = 33 33 ; x2 2 ; x3 = -2; x4 = - 11 (12) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA ÔN TẬP CUỐI NĂM (Tiết 3) Theo bài ta có phương trình: I Ôn tập lý thuyết: Các bước giải bài toán cách lập phương trình, hệ phương trình: B1: Lập phương trình (hệ phương trình ) - Chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ các đại lượng B2: Giải phương trình (hệ pt) nói trên B3: Trả lời Kiểm tra xem các nghiệm phương trình (hệ phương trình) nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận II Bài tập: Bài tập 11: (Sgk 133) Tóm tắt: Giá I + giá II = 450 Chuyển 50 từ I II giá II = giá I Tím số sách giá I , và giá II lúc đầu BÀI GIẢI: - Gọi số sách lúc đầu giá I là x ĐK: (x Z ; < x < 450) Thì số sách giá II lúc đầu là (450 - x) Khi chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai thì số sách giá I là (x - 50) cuốn; số sách giá thứ II là (450 - x) + 50 = (500 - x) 500 x ( x 50) - 5x + 2500 = 4x - 200 -9x = - 2700 x = 300 ( t/m ) Vậy số sách lúc đầu giá thứ là 300 cuốn; số sách giá thứ hai là: 450 - 300 - 150 Bài tập 12: (Sgk 133) - Gọi vận tốc lúc lên dốc là x (km/h) và vận tốc lúc xuống dốc là y (km/h) (Đ/k: x > 0; y > 0) - Khi từ A B ta có: Thời gian lên dốc là x h); Thời gian xuống dốc là y (h) Theo bài ta có phương x y (1) trình: - Khi từ B A Thời gian lên dốc là x (h); Thời gian xuống dốc là y (h) Theo bài ta có phương 41 trình: x y 60 (2) - Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 4 x y 3 41 x y 60 Bài tập 17: (Sgk - 134) Tóm tắt: tổng số: 40 HS; Đặt 1 a ; b x y Ta có hpt: 4a 5b 5a 4b 41 60 16a 20b 25a 20b 41 12 9a 12 5a 4b 41 60 a 12 5 4b 41 12 60 a 12 4b 15 a 12 b 15 1 x 12 1 y 15 x 12 y 15 Vậy vận tốc lúc lên dốc là 12 km/h và vận tốc bớt ghế ghế xếp thêm HS Tính số ghế lúc đầu Bài giải: - Gọi số ghế băng lúc đầu lớp học là x (ghế) (Điều kiện x > 2; x N*) - Số học sinh ngồi trên 40 ghế là x (h/s) - Nếu bớt ghế thì số ghế còn lại là x-2 (ghế) - Số h/s ngồi trên ghế 40 lúc sau là x (h/s) Theo bài ta có phương trình: 40 40 1 x x 40x - 40 ( x 2) = x( x- 2) 40x + 80 - 40x = x2 - 2x x2 - 2x - 80 = (a = 1; b' =- 1; c =- 80) Ta có : ' = (-1)2 - (-80) = 81 > ' 9 Phương trình có nghiệm x1 = 10 ; x2 = - Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 10 thoả mãn Vậy số ghế lúc đầu lớp học là 10 cái xuống dốc là 15 km/h 12 (13) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN 9- C4 - ĐA KIA ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II THỬ Năm học 2010-2012 MÔN : TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 90 phút (Đề này gồm 06 câu, 01 trang) Câu (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 3 a) A = b) B c) Chứng d) Chứng minh IK là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HBK Câu (1,0 điểm) a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 2 a b c a b c b) Áp dụng tính 2010 x 0; x 1; x 4 Câu (2,0 điểm) CI.CA = CK.CB x x : x 1 x x M = với minh 20102 2010 2011 2011 ======== Hết Cho hàm số y (m -1) x m ======== (1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số (1) qua gốc toạ độ Câu (1,0 điểm) biết hệ Xác định a, b phương trình 2 x ay 3 ax by 1 có nghiệm là (2 ; 1) Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính là AB Dây CD vuông góc với AB H Gọi I, K là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC a) Chứng minh tam giác ACD cân b) Tính độ dài dây AC theo R H là trung điểm AO 13 (14)