Đang tải... (xem toàn văn)
2 Trường hợp 2 : Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau.. 2/Áp dung 1 Trường hợp 1 : Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình b[r]
(1)HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ Phương trình bậc hai ẩn x và y là hệ thức dạng : ax + by = c (1) Trong đó a , b và c là các số đã biết Ví dụ : các phương trình 2x - y = 3x + 4y = 0x + 2y = ; x + 0y = là phương trình bậc hai ẩn - Nếu với x = x0 và y = y0 mà VT=VP thì cặp số (x0; y0) gọi là nghệm pt Ta viết: phtrình (1) có ngiệm là (x;y)=(x0;y0) Ví dụ ( sgk ) (3 ; 5) là nghiệm phương trình 2x- y = Chú ý ( sgk ) ?1 ( sgk ) + Cặp số (1;1) thay vào phương trình 2x - y = ta có VT= 2.1 - = - = = VP ( ; ) là nghiệm phương trình +Thay cặp số (0,5;0) vào phương trình ta có: VT = 0,5 - = - = = VP cặp số(0,5;0) là nghiệm phương trình +Cặp số(2;3) là nghiệm p trình ? ( sgk ) : Phương trình 2x - y = có vô số nghiệm thoả mãn x R và y = 2x - Nhận xét ( sgk ) Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn * Xét phương trình : 2x - y = (2) Chuyển vế ta có : 2x - y = y = 2x - ? ( sgk ) x - 0,5 2,5 y = 2x - -1 y = 2x Tổng quát : với x R thì cặp số ( x ; y ) đó Cặp số ( x ; y ) = ( ; -1) là nghiệm hệ phương trình : 2 x y 3 x y 4 Tổng quát ( sgk ) Hệ hai phương trình bậc hai ẩn : ax by c a ' x b ' y c ' (I) - Nếu ( x0 ; y0) là nghiệm chung hai phương trình (x0 ; y0) là nghiệm hệ (I) - Nếu hai phương trình không có nghiệm chung hệ (I) vô nghiệm - Giải hệ ptrình là tìm tập nghiệm nó Minh hoạ hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn ? ( sgk ) Nhận xét ( sgk ) Tập nghiệm hệ phương trình (I) biểu diễn tập hợp các điểm chung (d) và (d’) (d) là đường thẳng ax + by = c và (d’) là đường thẳng a’x + b’y = c’ Ví dụ : ( sgk ) x y 3 x y 0 Xét hệ phương trình : Gọi (d1 )là đường thẳng x + y = và (d ) là đường thẳng x - 2y = Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ toạ độ ta thấy (d1) và (d2) cắt điểm M ( ; ) Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (2 ; 1) y (d 1) - là nghiệm phương trình (2) Vậy tập ng ptrình (2) là : S = x; 2x - 1x R pt (2) có ngh tổng quát là (x;2x- 1) x R y = 2x - với x R : (d 2) - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm phương trình (2) là đường thẳng y = 2x - ( hình vẽ 1) ( sgk ) (đường thẳng d) ta viết:(d):y=2x-1 Xét phương trình : 0x + 2y = ( 3) ngh tổng quát (3) là các cặp số ( x ; ) với xR, M O x x R y 2 hay y - Trên Oxy tập nghiệm (3) biểu diễn đường thẳng qua A(0;2) và // Ox Đó là đường thẳng y = ( hình - sgk ) Xét phương trình : 4x + 0y = ( 4) Vì (5) nghiệm đúng với x = 1,5 và y nên có nghiệm x 1,5 yR tổng quát là: (1,5; y ) với y R hay Trong mặt phẳng Oxy tập nghiệm (4) biểu diễn đường thẳng qua điểm B(1,5;0) và // Oy Đó là đường thẳng x = 1,5 Tổng quát ( sgk ) HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Xét hai phương trình bậc hai ẩn : 2x + y = và x - 2y = ? ( sgk ) (d 1) (d 2) -2 O x - (2) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA phương trình x+2 y=5 nghiệm tổng quát: ¿ x ∈R y=− x+ 2 ¿{ ¿ Ví dụ ( sgk ) 3x - y -6 x y 3 Xét hệ phương trình : x 3 Ta có 3x - 2y = - y = ( d1) 3 x ( d2) 3x - 2y = y = ta có (d1) // (d2) (vì a = a’ = và b b’ ) =>(d1) và (d2) không có điểm chung => Hệ đã cho vô nghiệm Ví dụ ( sgk ) x y 3 x y Xét hệ phương trình : Ta thấy (d1): y = 2x - và (d2) : y = 2x - => ta có (d1) (d2) ( vì a = a’ ; b = b’ ) =>hệ phương trình có vô số nghiệm vì (d1) và (d2) có vô số điểm chung Tổng quát ( sgk ) Chú ý ( sgk ) Hệ phương trình tương đương Định nghĩa ( sgk ) x y 1 2x - y =1 x y x y 0 Ví dụ : bài 9a,b (Tr 4,5 SBT) Áp dụng 9a SGK HS1: phương trình x + y =4 nghiệm tổng quát: ¿ x ∈R y=− x +4 ¿{ ¿ Hai đường thẳng trên có hệ số góc nhau, tung độ gốc ⇒ Hai đường thẳng trung ⇒ hệ có vô số nghiệm ¿ x∈ R y=x − ¿{ ¿ Bài 10a(Tr 12 SGK) ¿ x −4 y=2 −2 x+ y =−1 ¿ a/❑ { ¿ ( ≠ − ⇒ hai đường thẳng cắt ⇒ hệ có nghiệm d/ (tương tự) Bài (Tr 12 SGK) Hai đường thẳng cắt M (3 ; −2) Vậy (3 ; −2) là nghiệm chung hai phương trình Bài (Tr 12 SGK) a/ Hệ phương trình có nghiệm chung vì đường thẳng song song vớI trục tung còn đường thẳng x − y =3 cắt trục tung điểm (0 ; −3) nên cắt đường thẳng x=2 Vẽ hình Vậy nghiệm phương trình là (2;1) Nghiệm tổng quát ¿ x − y=3 −5 x − y=1 ⇔ ¿ y= x − y =− x − 3 ¿ a /❑{ ¿ Vì hệ số góc khác ¿ y∈ R x=− y + 3 ¿{ ¿ ) (1) ¿ 4 x −4 y=2 2 1 −2 x+ y =−1 có ¿{ ¿ Bài 11(Tr 12 SGK) ¿ ax+ by=c a ' x +b ' y=c ' ¿ a /❑{ ¿ (3) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA a/ Hệ có nghiệm khi: a b ≠ a' b ' 4 x y 3 y = 3x - 16 4 x 5(3x 16) 3 Ta có : 3x y 16 b/ Hệ phương trình vô nghiệm khi: a b c = ≠ a' b ' c ' hay a b c = = ⇒ hệ phương trình vô số a' b ' c ' nghiệm c/ Hệ phương trình vô số nghiệm khi: 4 x y x y 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Quy tắc ( sgk ) B Ví dụ ( sgk ) x y 2 Xét hệ phương trình : x y 1 (1) (2) Thay (3) vào (2) ta có : B2 : Kết hợp (3) và (4) ta có hệ : Vậy hệ (I) có nghiệm là ( - 13 ; - 5) Ví dụ : Giải hệ phương trình : x y 3 x y 4 (1) (2) (II) Giải : y 2 x y 2 x 5 x 4 (II) x 2(2 x 3) 4 y 2 x x 2 y 1 x 2 Vậy hệ (II) có nghiệm là (2; 1) ? ( sgk ) xR y 2 x (3) (4) x 3 y x = -13 y=-5 y Thay y = 2x + vào phương trình (1) ta có : Phương trình (4) nghiệm đúng với x R Vậy hệ (III) có vô số nghiệm Tập nghiệm hệ (III) tính công thức : (2) - 2( 3y + ) + 5y = (4) Vậytacó:(I) (2) y = 2x + (3) (1) 4x - ( 2x + ) = - 4x - 4x - = - 0x = ( 4) B1: Từ (1) x = + 3y ( 3) x 3 y 2(3 y 2) y 1 (1) (III) (2) + Biểu diễn y theo x từ phương trình (2) ta có : (I) x 3 y 2(3 y 2) y 1 Vậy hệ có nghiệm là ( ; ) C Chú ý ( sgk ) D Ví dụ ( sgk ) Giải hệ phương trình : a b c = = a' b ' c ' y 3x 16 y = 3.7 - 16 x = x=7 y = 11x 77 (3) (4) ? ( sgk ) Trên cùng hệ trục toạ độ nghiệm hệ (III) biểu diễn là đường thẳng y = 2x + Hệ (III) có vô số nghiệm ?3( sgk ) + ) Giải hệ phương pháp : x y 2 (IV) 8 x y 1 (1) (2) (IV) Từ (1) y = - 4x (3) Thay (3) vào (2) ta có : (2) 8x+2(2 - 4x) = 8x + - 8x = 0x = - ( vô lý ) ( 4) Vậy phương trình (4) vô nghiệm hệ (IV) vô nghiệm GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1/Quy tắc ( sgk - 16 ) Ví dụ ( sgk ) Xét hệ phương trình : (4) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA b) Trừ vế hai phương trình hệ (III) ta có : 2 x y 1 (I) x y 2 (III) Giải : Bước : Cộng vế hai phương trình hệ (I) ta : ( 2x - y ) + ( x + y ) = + 3x = Bước : dùng phương trình đó thay cho phương trình thứ ta hệ : 3x 3 x y 2 (I’) thay cho phương 3x 3 trình thứ hai ta hệ : 2 x y 1 (I”) Đến đây giải (I’) (I”) ta nghiệm hệ là ( x , y ) = ( ; ) ? ( sgk ) 2 x y 1 x y (I) y 5 x y 9 y 1 2 x 2.1 9 y 1 2 x 7 y 1 x Vậy hệ phương trình có nghiệm 7 ;1 (x;y)= 2 2) Trường hợp : Các hệ số cùng ẩn hai phương trình không và không đối Ví dụ ( sgk ) Xét hệ phương trình : 3x y 7 (IV) x y 3 x2 x3 6 x y 14 x y 9 x - 2y = - x y 2 2/Áp dung 1) Trường hợp : Các hệ số cùng ẩn nào đó hai phương trình đối ) ?4( sgk ) Trừ vế hai phương trình hệ ta (IV) Ví dụ : Xét hệ phương trình y 5 2 x y 3 2 x y 3 (II) x y 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x ; y ) = ( ; - 1) ? ( sgk ) Các hệ số y hai phương trình hệ II đối ta cộng vế hai phương trình hệ II , ta : ? 3x 9 x = Do đó x 3 3x 9 x y 6 x y 6 (II) x 3 y Vậy hệ có nghiệm ( x ; y) = ( ; 3) ( x y 7 2x + 3y = y 2 x 3.( 1) 3 sgk ) Ta y y x 6 x có : (IV) x3 9 x y 21 x2 x y 6 Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số ( sgk ) Bài tập 22 x y 4(1) 6 x y 7(2) 15 x y 12(1/ ) / 12 x y 14(2 ) a) Ví dụ ( sgk ) Xét hệ phương trình x y 9 (III) x y 4 ?3( sgk) a) Hệ số x hai phương trình hệ (III) (5) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA x 12 x y 14 x 12 y 14 x y 11 2u 3v 4 2u 4v 10 v v 6 Ta cú: u v 5 u Thay u=x+y;v=x-y ta cú hệ Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm 11 ( ; ) 3 3 x y 10(1) x y (2) c) 2u 3v 4 u 2v 5 3 x y 10 10 x y x R 3x y 10 0 x y 0 3x y 10 3 x y 10 y x Vậy hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm y x (x;y) với x thuộc R và Bài tập 23 :Giải hệ phương trỡnh sau: (1 2) x (1 2) y 5(1) (1 2) x (1 2) y 3(2) (1 2) y 2 (1 2) x (1 2) y 3 y 2 2 2 (1 2) x (1 2) y 3 x 2( x y ) 3( x y ) 4 Bài tập 24: x y 2( x y ) 5 x y x y 4 x y x y 5 x 5 x y 4 x x y x y y 13 Cách 2:Đặt x+y=u và x-y=v x y x y 6 x x y 6 x y 13 13 ; Vậy nghiệm hệ pt là:(x;y)= 2 bài tập 25:Một đa thức và các hệ số nó 0,nghĩa là : 3m 5n 0 4m n 10 0 Sau đó ta giải hệ theo ẩn m,n kết luận Bài tập 26 a) Vỡ A(2;2) thuộc đồ thị hàm số y=ax +b nên 2a+b=-2 Vỡ B(-1;3)thuộc đồ thị hàm sốy=ax +b nên 2a b 2 a b -a+b=3.Ta cú hệ pt: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Các bước giải bài toán cách lập hệ phương trình Lập hệ Giải hệ phương trình Chọn ngiệm và trả lời II Áp dụng : Ví dụ 1:sgk tr 20 Giải :Gọi số cần tìm là : xy 10 x y ĐK: x, y N ;0 x 9;0 y 9 Số là : yx 10 y x Theo đề cho ta có hệ 2 x y 1(1) 10 x y (10 y x) 27(2) Giải hệ x=7,y=4 Vậy số cần tìm là 74 VD2: sgk tr 21 1g 48/ g Giải : pt: (6) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA Gọi x (km/h)là vận tốc xe tải và y(km/h) là vận tốc xe khách ĐK: x,y>0 Thời gian xe tải đến lúc gặp xe khách: 14 1 g 5 Theo đề cho ta có hệ phương trình: y x 18(1) 14 x y 18g (2) Giải hệ được: x=36; y=49 Vận tốc xe tải là: 36 (km/h) Vận tốc xe khách là: 49 (km/h) VD3: sgk tr 22 Giải* Cách 1: : Gọi x (ngày) và y (ngày ) là thời gian đội A và B hoàn thành công việc mình ĐK :x,y>24 Mỗi ngày đội A làm :1/x (công việc) Mỗi ngày đội B làm :1/y (công việc) Mỗi ngày đội làm được:1/24 (c.việc) 1 x y (1) (2) Theo đề cho ta có hệ pt: x y 24 1 y 60 y y 24 Thế (1) vào (2): 1 x 40 Thế y=60 vào (1): x 20 Thời gian đội A hoàn thành công việc mình là:40 ngày Thời gian đội B hoàn thành công việc mình là 60 ngày * Cách 2:Gọi x,y là số phần công việc đội A và B làm ngày -Đk:x,y>0 x y (1) x y (2) 24 Theo đề cho ta có hệ pt: 5y 1 y x 60 40 Thế (1) vào (2) : 24 Thời gian đội A hoàn thành công việc mình là:40 ngày Thời gian đội B hoàn thành công việc mình là 60 ngày Nhận xét: Cách giải này thoả mãn tương quan suất còn thời gian thì không chính xác : Bài tập 32 tr 23 sgk Hướng dẫn:- Gọi x (giờ ) và y (giờ ) là thời gian vòi I và vòi II chảy mình đầy bể - Đk: x, y 24 -Hệ phương trình 1 x y 24 (1) ( ) 1(2) :x x y - Kết : vòi thứ II chảy mình đầy bể gờ Bài tập 34 tr 24 sgk: Gọi x là số luống rau vườn; y là số cây rau cải trên luống -ĐK: x,y Z Số cây rau bắp cải vườn :xy(cây) Nếu tăng thêm luống và luống giảm cây thì số cây là:-(x+8).(y-3) Nếu giảm luống và luống tăng cây thì số cây là:(x-4).(y+2) Theo đề cho ta có hệ phương trình: xy ( x 8).( y 3) 54(1) ( x 4).( y 2) xy 32(2) Giải hệ ta :x=50;y=15 Bài tập 35 tr 24 sgk: Gọi x (rupi) và y (rupi) là giá tiền ty và táo rừng thơm ĐK: x,y>0 9 x y 107(1) Theo dề cho ta có hệ pt: 7 x y 91(2) Giải hệ ta được: x=3; y=10 Vậy giá tiền yên là rupi giá tiền táo rừng thơm là:10 rupi Bài tập 36 tr 24 sgk: Gọi xlà số thứ ;y là số thứ ĐK: x,y Z Theo đề cho ta có hệ pt: 25 42 x 15 y 100(1) 10.25 9.42 x 7.15 y 100.8, 69(2) Giải hệ ta :x=14; y=4 Vậy số cần tìm là:4 và 14 Bài tập 37 tr 24 SGK: ?Em hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn HS:Gọi x(m/s) và y(m/s) là vận tốc vật ĐK: x>y>0 (7) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA ? Em hiểu nào kiện :khi chạy ngược chiều sau 4s gặp lần HS: Quảng đường vật chạy sau 4s vòng (20 ) ? Em hiểu nào kiện: chạy cùng chiều sau 20s chúng lại gặp HS: Sau 20s vật thứ vượt vật thứ vòng (20 )Giả sử vật có vận tốc >vật 2) ?Hãy lập hệ pt từ kiện trên ? * Gọi x(m/s) và y(m/s) là vận tốc vật ĐK: x>y>0 Theo đề cho ta có hệ pt: / 4 x y 2 (1) x y 5 (1 ) / 20 x 20 y 20 (2) x y (2 ) ÔN TẬP CHƯƠNG III I.Tóm tắt các kiến thức cần nhớ II.Bài tập: Bài tập 40 tr 27 sgk: Từ (2) 1, x y (1) 1,8 1,8 (2) y 10 Theo đề cho ta có hệ pt: x 1,8 1, 44 / x y (1 ) 1,8 1,8 (2/ ) x y 10 Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: 0,36 0 y 10 0,36 y 3, y 10 y 4,5 Vậy vận tốc người nhanh là:4,5 (km/h) vận tốc người châm là: 3,6 (km/h) Bài tập 44 tr 27 sgk: Giải: Gọi x(g), y(g) là khối lượng đồng và kẽm ĐK:x,y>0 2 x y 2(1) 2 x y 1(2) a) y 1 Giải : Gọi x(km/h) và y(km/h) là vận tốc người ĐK:x>0;y>0;x>y 10 x cm Thể tích x(g) Cu: 89 y cm Thể tích y(g) Zn: x (3) x) 2 Thế (3) vào (1): x 3 : PTVN x 5(1 x y 124(1) 10 x y 15(2) Theo đề cho ta có hệ pt: 89 Vậy hệ pt vô nghiệm 0, x 0,1y 0,3(1) b) 3x y 5(2) Từ (1) suy y=124-x(3) 10 x 124 x 15 Thế (3) vào (2): 897 x=89 y=35 Từ (2) y=5-3x(3); Thế (3) vào (2):0,2x+0,1(5-3x)=0,3 0,1x=0,2 x=2;y=-1 Vậy hệ pt có nghiệm:(2;-1) Bài tập 42 tr 27 SGK Vậy khối lượng Cu là:89(g) khối lượng Zn là:35 (g) a) Với m= thì hệ trở thành: 2 x y 2(1) 4 x y 2 2(2) 2 x y 2(1/ ) / 2 x y 2(2 ) Từ (1) y=2x+ (3) Thế (3) vào (2/):2x-2x- = 0x = 2 : PTVN Vậy hệ pt vô nghiệm Cách 2:Trừ (2/) cho (1/) vế theo vế 0x=2 PTVN B.Bài tập : Bài tập 43 tr 27 sgk: ĐỀ KT C3 THỬ Đề bài : Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trình : -3x + y = (1) (8) HÀ - HƯỚNG DẪN HỌC THEO SGK TOÁN - C3- ĐA KIA Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình (1) Xác định a để cặp số (–1 ; a) là nghiệm phương trình (1) Bài 2: (3,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau : a) x y 5 3 x y 1 4 x y 5 b) x y Bài 3: (2,0 điểm) 2 x my 4 Cho hệ phương trình: 2 x y a) Giải hpt m = b) Tìm m để hpt có nghiệm nhất? Bài 4: (3,0 điểm) Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A và B cách 210 km ngược chiều sau chúng gặp Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B 10km/h.? (9)