HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG CẤP TP – NH 2010-2011 PHẦN ĐẠI SỐ BÀI 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức : a) A = 2 2 2 a 3 a 2 a 1 (a 0) = 2 a 3 a 2 a 3 a 2 a 1 = 1 2 a .5 5 2 a 1 b) B = 2 a 1 1 : a a a a a a (a > 0, a 1) = 3 a 1 . a a 1 a a a 1 = a 1 a 1 = a – 1 BÀI 2 : (4 điểm) a) Chứng minh ad + bc 2 2 2 2 a b . c d với a, b, c, d là các số thực. b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng : 3 3 3 a b c ab bc ca b c a Giải a) Ta có : ad + bc ad bc với mọi a, b, c, d Xét BĐT ad bc 2 2 2 2 a b . c d 2 2 2 2 2 ad bc a b c d 2 ac bd 0 : đúng với mọi a, b, c, d. Từ đây ta có đpcm ! b) Ta có : 3 2 3 2 3 2 a ab 2a b b bc 2b c c ac 2c a . Như vậy : 3 3 3 2 2 2 a b c ab bc ac 2a 2b 2c b c a Mà : 2 2 2 2a 2b 2c 2(ab bc ac) đpcm ! BÀI 3 : (3 điểm) Cho phương trình : x 2 – (3m – 2)x + 2m 2 – 5m – 3 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Giải Ta có : = (m + 4) 2 a) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 m -4 b) Với m -4, ta có : S = 3m – 2, xét các trường hợp : * m 2 3 S 0 phương trình có ít nhất một nghiệm dương. * m < 2 3 S < 0, xét tiếp P = 2m 2 – 5m – 3 ; P = 0 1 m 2 m 3 m 1 2 2 3 3 P + 0 – 0 + Như vậy : với 1 2 < m < 2 3 P < 0 pt (1) có hai nghiệm trái dấu. Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm dương m 2 3 hoặc 1 2 < m < 2 3 c) Với m -4, theo trên ta thấy : * m 2 3 S 0 phương trình có ít nhất một nghiệm âm. * 2 3 < m < 3 S > 0, P < 0 : phương trình có đúng một nghiệm âm. * m 3 S > 0, P > 0 : phương trình không có nghiệm âm. Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm âm m 2 3 (khác -4) hoặc 2 3 < m < 3 BÀI 4 : (3 điểm) a) Giải hệ phương trình : 2 1 1 1 2 (1) x y z 2 1 4 (2) xy z b) Chứng tỏ rằng số có dạng n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n Giải a) ĐK x, y, z 0 CÁCH 1 Từ (1) 2 1 1 1 4 x y z , so sánh với (2) ta được : 2 2 1 1 1 2 1 x y z xy z 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 x y z xy yz xz xy z 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 0 x xz z y yz z 2 2 1 1 1 1 0 x z y z 1 1 x z 1 1 y z x = y = -z. Từ đây tính được : 1 1 1 x;y;z ; ; 2 2 2 CÁCH 2 Từ (1) 2 2 2 2 4 xy y yz y , và từ (2) 2 2 1 4 xy z Vậy : 2 2 2 2 1 4 4 y yz z y 2 2 2 1 4 1 2 1 4 0 y y y yz z 2 2 1 1 1 2 0 y y z Xong luôn nhé ! CÁCH 3 Đặt a = 1 x ; b = 1 y . Khi đó hệ pt trở thành 2 1 a b 2 z 1 2ab 4 z 2 1 a b 2 z 1 ab 2 2z Như vậy, hệ pt đã cho có nghiệm pt : X 2 – SX + P = 0 có nghiệm, với 2 1 S 2 z 1 P 2 2z S 2 4P 2 2 1 1 2 4 2 z 2z 2 2 1 4 2 4 8 z z z 2 1 0 2 z 1 z 2 Cũng xong luôn ! b) Ta có : n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) : Việc chứng minh dành cho bạn ! . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG CẤP TP – NH 2010 -2011 PHẦN ĐẠI SỐ BÀI 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức : a) A = 2. điểm) a) Giải hệ phương trình : 2 1 1 1 2 (1) x y z 2 1 4 (2) xy z b) Chứng tỏ rằng số có dạng n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n Giải. phương trình có ít nhất một nghiệm dương. c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Giải Ta có : = (m + 4) 2 a) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 m -4 b) Với m