co luong tu thay Dau 2

Bài tập 17 a Xét trường hợp không nhiễu loạn =0, xác định trị riêng và các vector riêng của toán tử H b Giải chính xác trị riêng của H =0.005 khai triển các trị riêng theo chuỗi lũy th[r]

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO Chương hai: NHIỄU LOẠN PhD D.H.Đẩu Chương hai: NHIỄU LOẠN NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 3.NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 4.ỨNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ PhD D.H.Đẩu Địa gửi bài tập nhóm Không có nhóm bài tập giống hệt Lecturer: Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com Tel: 84.71 832061 01277 270 899 EP PhD D.H.Đẩu Nhiễu loạn không suy biến Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần đúng phương trình schrodinger toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều PhD D.H.Đẩu PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER • Là phương trình xác định hàm riêng và trị riêng toán tử lượng:  (   V̂) ( x , y, z, t ) E. ( x , y, z, t ) 2m Nghiệm chính xác phương trình tìm toán tử có dạng đơn giản Với bài toán thực tế, có dạng phức tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính nghiệm giải tích số (việc tính toán nhanh nhờ máy tính hỗ trợ) PhD D.H.Đẩu PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là cách làm đơn giản toán tử (gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải gần đúng PT Schrodinger tìm mức lượng và hàm sóng Xem toán tử là gia số nhỏ toán tử lượng: Ĥ Ĥ  Ĥ' (2.1) Chân dung Schrodinger • Toán tử nhiễu loạn H’ xem là biến thiên nhỏ PhD D.H.Đẩu toán tử lượng không nhiễu loạn H0 1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến Điều kiện áp dụng: nghiệm phương trình Schrodinger không nhiễu loạn đã xác định:  (0) (0)  Ĥ  ( r , t ) E n  n ( r , t ) (2.2) (0) n here :  (0) n Denote :  (0) n  (0) m n  nm (2.3)  ; E (0) n E n Ký hiệu (0) không phải là lũy thừa, có số sách ghi giống lũy thừa Đây là bậc nhiễu loạn, PhD D.H.Đẩu bậc không tức là không có nhiễu loạn 1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến En0 là các trị riêng ứng với các hàm riêng toán tử Hamilton không nhiễu loạn, không suy biến vấn đề là tìm nghiệm (2.1)  Các trạng thái và mức lượng gần đúng cho: Ĥn ( x, y, z, t ) E n n ( x, y, z, t )  (Ĥ  Ĥ' )n ( x , y, z, t ) E n n ( x, y, z, t ) (2.4) Phương trình 2.4 là tính lượng và hàm sóng trường hợp chính xác có xét đến nhiễu loạn PhD D.H.Đẩu Nhiễu loạn dừng STOP Dừng: là không phụ thuộc thời gian  tức là trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là không đổi,  toán tử là không phụ thuộc PhD D.H.Đẩu thời gian Nhiễu loạn dừng và không suy biến Khi nói các trị riêng toán tử H là không suy biến tức là mức lượng ứng với trạng thái Bắt đầu, ta xem toán tử Hamilton gần đúng gồm thành phần: Ĥ Ĥ  Ĥ' (2.5) Ở đây, chọn  có giá trị nhỏ sau đó ta tăng dần giá trị nó đến 1,0 Khi đó toán tử Hamilton đạt giá trị chính xác (2.4) Khai triển các hàm sóng n và lượng En thành dạng các chuỗi lũy thừa  ta có: PhD D.H.Đẩu 10 Khai triển lũy thừa  n  (n0 )   (n1)  2  (n2 )   n  (nn ) E n E (0) n (1) n  E   E ( 2) n n    E (n ) n (2.6) (2.7) Khi đó En(1) gọi là số hiệu chỉnh bậc trị riêng lượng thứ n n(1) gọi là hàm hiệu chỉnh bậc hàm sóng riêng thứ n Tương tự En(2) và n(2) gọi là số hiệu chỉnh bậc hai cho lượng và hàm sóng… PhD D.H.Đẩu 11 Đưa 2.7,2.6, 2.5 vào 2.4, ta có 2.8: Bậc nhiễu loạn  (Ĥ  Ĥ' )  (0) n   (1) n   ( 2) n n     (n) n  (E 0n  E (n1)  2 E (n2 )   n E (nn ) ) x  (0) n   (1) n   ( 2) n n     (n) n (32.8) Nhân và gom nhóm theo lũy thừa  ta có:   Hˆ 0 n0   ( Hˆ 0 n1  Hˆ ' n( ) )  2 Hˆ 0 n( )  Hˆ ' n(1)   E0 n0   ( En0 n1  En1 n( ) )  2 ( En( ) n( )  En(1) n(1)  En( ) n( ) )  (2.9) Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn) Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT: Ĥ  (0) n ( 0) PhD D.H.Đẩu E n  (0) n ( 2) 12 Xét nhiễu loạn bậc và bậc • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất: (1) n ( 0) n (0) n (1) n (1) n (0) n (Ĥ   Ĥ'  ) (E   E  ) (2.10) • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai: Ĥ  ( 2) n   Ĥ'  (n1) (E (n0)  (n2 )  E (n1)  (n1)  E (n2 )  (n0) ) (2.11) Và tương tự cho thành phần K ta có nhiễu loạn bậc K 13 PhD D.H.Đẩu Bài tập w • Xét nhiễu loạn bậc (PT 2.10) • Tìm giá trị hiệu chỉnh lượng bậc En(1) PhD D.H.Đẩu 14 Hướng dẫn (thay ký hiệu giống lũy thừa) Lấy tích n0 với PT 2.10 (thực là nhân (n0)* sau đó lấy tích phân) ta có:  n0 Hˆ 0 n1   n0 Hˆ ' n0   n0 En0 n1   n0 En1 n0 right : En0  n0  n1  En1  n0  n0 (2.12) Bên vế trái 2.12 ta sử dụng Ho là Hermitian  n0 Hˆ 0 n1   n0 Hˆ ' n0  Hˆ 0 n0  n1   n0 Hˆ ' n0 En0  n0  n1   n0 Hˆ ' n0 (2.13) So sánh 2.12 và 2.13 ta có: n PhD D.H.Đẩu E  n ˆ H ' n (2.14 ) 15 Kết luận nhiễu loạn bậc • Số hiệu chỉnh lượng mức n nhiễu loạn bậc (1) chính là giá trị trung bình toán tử nhiễu loạn trạng thái mô tả hàm sóng không bị nhiễu loạn thứ n (số phía trên là bậc nhiễu loạn) E (1) n n   Ĥ'  n n  E n E  E PhD D.H.Đẩu (2.14) (1) n (2.15) 16 Bài tập 2w • Bài toán hạt tự hố vuông có cạnh là a (  x  a) với nghiệm là: nx  (x)  sin( ) a a 2 n  ( 0) here : E n  2ma (0) n Xét trường hợp có nhiễu loạn là V (có giá trị bé) hình Tính số hiệu chỉnh lượng Bậc và cho biết các giá trị lượng có nhiễu loạn bậc các mức 1,2,3 Chứng minh lượng PhD D.H.Đẩu dời lên giá trị V a/2 a 17 Hướng dẫn Sử dụng công thức 2.14 để xác định En1: a/2 n n E   Ĥ'  n   V a nx nx sin( )(V) sin( )dx a a a a a/2 nx 1 a V sin ( )dx  V   a a  2 2 Mức lượng chính xác thứ (nhiễu loạn bậc nhất): 12   V E E  E    2ma 1 2 2 Mức lượng chính xác E E  E      V 2 thứ 2: 2ma 2 2 Mức lượng chính xác   V E  E  E    18 PhD D.H.Đẩu thứ 3: 2ma Hàm sóng nhiễu loạn bậc Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm: n n n n n n (Ĥ   Ĥ'  ) (E   E  ) (2.10) n n n n n Ĥ   E   Ĥ'   E  0 n n n (Ĥ  E )  (Ĥ' E ) n n (2.16) Khai triển hàm n1 vế trái thành tổ hợp tuyến tính các hàm trạng thái không nhiễu loạn: (1) bậc n (1) mn   c  m n m (2.17) PhD D.H.Đẩu Không cần chọn m=n, Cho biết lý 19 Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng nhiễu loạn bậc Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16  lấy tích k0 Từ đó tính hàm riêng: ( Hˆ  En0 ) n1  ( Hˆ ' En1 ) n0 (2.16) (1) Left : ( Hˆ  En0 )  cmn m  m n ˆ  ( E  E )c   ( H ' En ) n m n (1) mn m (2.18) m n Lấy tích 2.18 với k0 với c(1) là hệ số KT bậc 0 (1) 0 ( E  E ) c    m n mn K m m chạy đến k thì dừng lại m n D.H.Đẩu PhD ˆ '  E     K0  ( Hˆ ' En1 ) n0    H K n n K n (2.1920) Hàm sóng nhiễu loạn bậc Từ PT 2.19 vế trái cho m=K K khác n (nếu không nhiễu loạn) số hạng cuối bên phải nhận trị không: ( Ek0  En0 )ckn(1)   K0  ( Hˆ ' En1 ) n0   K0 Hˆ ' n0  (2.20) Từ đó tính CKn(1) (1) ( Ek0  En0 )ckn   K0 Hˆ ' n0  (1) ckn  Thay vào biểu thức hàm sóng 2.17: n (1) mn m   c   m n m n   K0 Hˆ ' n0  m0 Hˆ ' n0 n k n (E  E ) m   PhD m D.H.Đẩu m n (E  E )   K0 Hˆ ' n0 n K (E  E ) H 'mn  m ( En0  Em0 ) (2.21) (2.22) 21 Phần tử ma trận toán tử nhiễu loạn bậc PhD D.H.Đẩu Ma trận phòng máy tính toán SV 22 Ma trận chứa các phần tử nhiễu loạn bậc • Phần tử ma trận toán tử H’ tổng quát viết lại là: 0 0* c (1)   mk  m Ĥ'  K m Ĥ' K dx H'mK    0 0  Em  EK  Em  EK  E 0m  E 0K (2.23) Tập hợp các phần tử H’mk tạo thành ma trận vuông gọi là ma trận toán tử nhiễu loạn bậc (các thành phần đường chéo là hiệu chỉnh lượng): H'11 H'12 H'1n H 21 H'22 H'2 n MXH'  H'n1 HPhD 'n D.H.Đẩu H'nn (2.24) 23 Bài tập 4: Bài toán dao động tử (DĐT) 1D Giải bài toán DĐT 1D ta có kết là hàm sóng: m u ( x ) A exp( x ) 2   exp( ax )dx   a  E n ( n  )   m  m u m ( x ) (â  ) u ( x ) (a  ) A exp( x ) 2  d  â  [  imx ] 2m i dx m Vấn đề là bị nhiễu loạn : V(x) = 0.5 kx2 Với k =(1+ )Ko PhD D.H.Đẩu K /m = 2 (cho = 0.01) 24 Bài tập 4w • A) Xác định hệ số A hàm sóng và toán tử nhiễu loạn H’ • B) Tìm các hàm sóng và bậc không xét nhiễu loạn • C) Tìm các mức lượng chính xác E0(0) và E1(0) xét thêm nhiễu loạn (bậc nhất) • D) Tìm các hàm sóng và hàm bậc xét thêm nhiễu loạn (bậc nhất) PhD D.H.Đẩu 25 Hint: Xác định biên độ hàm sóng Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định biên độ hàm sóng  u m u ( x ) A exp( x ) 2 Cho biết tích phân Gauss ( x )dx 1    exp( ax )dx   a  Đáp án:  m  A      1/  m  u ( x )      1/ PhD D.H.Đẩu exp( m x ) 2 26 Hàm sóng bậc m  u1 ( x ) (â  ) u ( x ) (a  )A exp( x ) 2 1/    d m  m    [  imx ]  exp( x )         2m i dx    m    m    1/ m m    {ixm exp( 2 x }  imx exp( 2 x ) 1/ m  m   u1 ( x )  2m  x )  ix exp( 2    PhD D.H.Đẩu 27 Hint Ĥ Ĥ  Ĥ' (2.5) 2 1 2 (  x  K x )   K x  Ĥ'  K x 2m 2 E 10   00 Ĥ'  00    m         1/ m m 2 exp( x )( K x ) exp( x )dx  2 2  m   K0     /   m   K0     1/  m 2 exp( x ) x dx      m  2     3/ 2n x exp(   x ).dx     (2n  1)!!  ( 2 ) n  K0    4 m PhD D.H.Đẩu 28 Tính lượng chính xác E11  10 Ĥ' 10    m   2m      1/ m m 2  x  exp( x )( K x ) exp( x )dx  2 2  m   K 2m2      /   m   K 2m2      1/ exp(  m x ) x dx    m  4     5/  (2n  1) x exp( x ).dx  n  2  (  )     2n 1 Mức lương chính xác E E  E ( )    thứ (nhiễu loạn bậc nhất): Mức lương chính xác E E  E ( )  ?  1 thứ 1: PhD D.H.Đẩu 29 0 Hàm sóng chính xác C(1) Kn  C(1) 01    0K Ĥ'  0n k  n (E  E )  00 Ĥ' 10 (E10  E 00 )   0K Ĥ'  0n n (2.21) K (E  E )  m      1/ 1/ m m  m  exp( x )( K x ) 2m  x )dx  (ix ) exp( 2 2     1/ C (1) 10  10 Ĥ'  00 0 (E  E )   m  m   m  2m  x )( K x )  ( ix ) exp(             1/ exp( m x )dx 2 Applied : the first order H'mn  m 0 ( E  E ) m n n m 1) 1n   c (mn  0m   m n 0 0 (2.22) ,1 (1)         c (m1)0  0m  00  c10 1 m n 1 1 ,1 1        c (m11)  0m PhD 10 D.H.Đẩu  c (011)  00 m n 30 Kết lưu ý C (1) 01   00 Ĥ' 10 0 (E  E )   m      1/ 1/ 1/ m m  m  exp( x )( K x ) 2m  ( i  x ) exp(  x )dx  2 2       2m  m  m  K0 x )x dx 0  (i) exp(        1/ C (1)10  10 Ĥ'  00 ( E 00  E10 )   1/ m  m   m  2m  x )( K x )  ( ix ) exp(             1/ exp( m x )dx 2  2m  m  m  K0 x )x dx 0  (i) exp(        PhD D.H.Đẩu 31  Xét tiếp nhiễu loạn bậc • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai: Ĥ  n n  n n n n n n  Ĥ'  (E   E   E  ) (2.11) Mục đích bài toán là tính mức lượng bổ chính là En2 và hàm sóng bổ chính n2 Phương pháp tương tự nhiễu loạn bậc  ta xem PhD là D.H.Đẩu bài tập 32 Bài tập w • Xét nhiễu loạn bậc hai PT 2.11 • Tìm giá trị hiệu chỉnh lượng bậc hai E n2 • Hướng dẫn: Tích chập n2 với 2.11 Sau đó chuyển vế rút gọn: PhD D.H.Đẩu 33 Hướng dẫn Lấy tích n0 với PT 2.11 (thực là nhân (n0)* sau đó lấy tích phân) ta có:  0n Ĥ  2n   0n Ĥ' 1n E 0n  0n  2n  E (n1)  0n 1n  E (n2 )  0n  0n  Ĥ  0n  2n   0n Ĥ' 1n left : H : Hermitian E 0n  0n  2n   0n Ĥ' 1n (2.23) E 2n   0n Ĥ'  1n  E 1n  0n  1n Khai triển n1 thành tổ hợp các n0 ta có: 1) 1) E1n  0n 1n E1n  c (mn  0n  0m E1n  c (mn 0 ( trucgiao) m n sin ce : c (1) kn m n  0K Ĥ'  0n  H 'Kn   0 (E k  E n ) (E n  E 0K ) PhD D.H.Đẩu (2.21) E 2n   0n Ĥ' 1n (234.24) Kết lượng bổ chính Khai triển n1 thành tổ hợp các n0 ta có: E 2n   0n Ĥ' 1n 1) 1)   0n Ĥ'  c (mn  0m   c (mn  0n Ĥ'  0m m n 1) note : c (mn  n  E  m n  0m Ĥ'  0n n (2.21) m (E  E )  0m Ĥ'  0n  0n Ĥ'  0m n m n m (E  E ) PhD D.H.Đẩu  m n  m Ĥ'  n n m (E  E ) (2.25) 35 Bài tập 6w • Giải lại bài toán dao động tử điều hòa 1D (bài tập 4) trường hợp nhiễu loạn bậc hai để tính chính xác mức lượng E0: • E0 = E00 + E01 +2E02 PhD D.H.Đẩu 36 Hint (hàm sóng sở có 2) • Năng lượng bổ chính cho mức E0: E 2n    0m Ĥ '  0n  0n Ĥ'  0m ( E 0n  E 0m ) m n 1 E E  E   E ( )     2 E 02 0  0m  E 02   m n   Kx  10   2  Kx   2    Kx    00    m    ( E 00  E 0m )    Kx    00       (E 00  E 10 )PhD D.H.Đẩu 0 0 37 Bài tập • Xét dao động tử điều hòa hạt mang điện có điện tích là q chịu tác dụng nhiễu loạn điện trường E có nhiễu loạn là: H’=-qEx • Chỉ là nhiễu loạn bậc thì các mức lượng không có thay đổi Tính thay đổi lượng nhiễu loạn bậc hai • CM: PT Schrodinger có thể giải chính xác cách đổi biến: x’=x-(qE/m2) Tính các giá trị lượng chính xác PhD D.H.Đẩu 38 Lý thuyết nhiễu loạn có suy biến Xét suy biến với trạng thái ứng với mức lượng E0 trường hợp không xét nhiễu loạn:  0A ,  0B Ĥ  0A E  0A , Ĥ  0B E  0B and  0A  0B 0 (2.27) Có thể xác định tổ hợp tuyến tính hàm sóng này, đó là nghiệm riêng H0 :   0A   0B  Ĥ  E  (2.28) Vấn đề là làm xác định trạng thái tạo tổ hợp tuyến tính trên (xác định , ) Khi có tổ hợp ta có thêm trạng thái  phá mức suy biến  nhiều mức PhD D.H.Đẩu 39 suy biến Vấn đề cần giải • Cần giải chính xác bài toán schrodinger có dạng: ' (Ĥ  Ĥ ) E Here :    1  2    n  n (2.29) E E  E1  2 E   n E n (2.30) • Đưa (2.29 và 2.30) vào PT schrodinger chính xác:   Ĥ    (Ĥ 1  Ĥ'  )  2 Ĥ   Ĥ ' 1   E   (E1   E 1 )  2 (E   E1 1  E  )  (2.31) Vì số hạng đầu vế trái và vế phải (bỏ qua)Nếu xét nhiễu loạn bậc nhất: 1 0 PhD (Ĥ   Ĥ'  )  ED.H.Đẩu  E  (2.32) 40 Nhiễu loạn suy biến hai cấp Lấy tích A0 với vế 3.32  A Ĥ    A Ĥ'  0 A 1 A E    E   (2.33) Vì H là Hermitian nên tác dụng lên A0 cho E0 A  Ĥ'  0 A A E   A 0 (khaitrien  ) B A A B  Ĥ' (   ) E  (   ) A right : left : E    A left :   Ĥ'  A A A E    A PhD D.H.Đẩu    Ĥ'  B B E  E  (2.34) 41 Tương tự nhân B0  0A Ĥ'  E1  0A  (khaitrien  )  0B Ĥ' ( 0A   0B ) E1  0B  0A   0B left :   0B Ĥ'  0A    0B Ĥ'  0B E1  (2.35) Viết lại 2.34 và 2.35 theo thành phần matrix H’ hai hàm suy biến ta có: B   Ĥ'  A B    Ĥ '  B  H'AA MXH'   H'BA H'AA  H 'AB E1  (2.34)  and : H'BA  H 'BB E PhD.(2D.H.Đẩu 35) H'AB   H'BB  42 Gỉai tường minh Nhân 2.35 cho H’AB ta có: H'AB H'BA H'AB H'BB E H'AB (2.35)  E1 x (2.34) : E1  H'AB E1  E1  H'AA     {H'AB H'BA  E1 E1  H'AA }   H'AB H'BB 0   replace : H'AB  E1  H'AA      {H'AB H'BA  E1 E1  H'AA }   E1  H'AA H'BB 0    {H'AB H'BA  (E1  H'BB ) E1  H'AA } 0 (2.36) PhD D.H.Đẩu 43 Bài tập 8w: Giải phương trình tính E1 • Chứng minh với  khác không ta có: E1  1 H'AA H'BB   H'AA H'BB   4H'AB H'BA    E1  1 2 H'AA H'BB   H'AA H'BB   H'AB   (2.38) PhD D.H.Đẩu 44 Hướng dẫn • Từ PT 2.36 ta suy PT:   H'AB H'BA  (E  H'BB ) E  H'AA 0  (E )  E (H'AA H'BB )  (H'AA H'BB  H'AB H'BA ) Và lưu ý: H'AB  H'BA  PhD D.H.Đẩu * (2.39) 45 Kết luận • Hai nghiệm PT 2.38 là giá trị bổ chính cùng mức lượng E0 • Nó tạo thành mức lượng nhiễu loạn có suy biến • Nếu  băng không  đó =1  PT 2.34 là: H' H' E1  H' 0 (2.40)  AA AB AB (2.35)  H'BA H'BB E  PhD D.H.Đẩu  H'BB E (2.41) 46 Bài tập 9W • Tính lại giá trị bổ túc lượng  băng không  đó  =1 PhD D.H.Đẩu 47 Bài tập 10W • Giả sử hai trạng thái nhiễu loạn mô tả hai hàm là:  0   A0    B0 (2.42)  ,  Nhận các giá trị từ đến 1.0 theo PT : H ' AA H ' AB E  (2.34) Chứng minh là: a)  0  0 0 b)  0 Hˆ ' 0 0 c)  0 Hˆ ' 0 E1 PhD D.H.Đẩu 48 Xem lại các hàm hố vuông 2D có suy biến lượng • Bài toán hạt tự hố vuông có cạnh là a (  x, y  a) với nghiệm là: nx ( 0) ny  (x)  sin( ), ny ( y)  sin( ) a a a a 2 2 2 n nx  y  (0) (0) (0) (0) ( 0) here : E nx  ; E   E  E  E ny nx ny 2 2ma 2ma ( 0) nx Xét lượng E có hai suy biến: Tính các mức lượng riêng bị suy biến? E PhD D.H.Đẩu (0) ny 2 5   2ma 49 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO Chương hai : NHIỄU LOẠN NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 3.NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 4.ƯNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ PhD D.H.Đẩu 50 Địa gửi bài tập nhóm Đánh máy càng dễ sửa và trao đổi Lecturer: Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com Tel: 84.71 832061 01277 270 899 EP PhD D.H.Đẩu 51 Ôn lại Nhiễu loạn có suy biến cấp • Nhiễu loạn suy biến mức có bổ chính lượng   0A   0B  Ĥ  E  (2.28)  Equation :   {H'AB H'BA  (E1  H'BB ) E1  H'AA } 0 (2.36) if  0  1 E   H'AA H'BB   H'AA H'BB   4H'AB H'BA    PhD D.H.Đẩu (2.38) 52 Xác định các hệ số   Sử dụng phương trình vector (Đại số tuyến tính) H'AA  H'AB H'AB    1     E   (2.34  2.35) H'BB     H'AA  H'AB E and : H'AB  H'BB E PhD D.H.Đẩu 53 Bài tập 11 • Xét bài toán hạt m hố vuông độ rộng a Thế nhiễu loạn có dạng: • U= V0 exp(-x2 /a2) với -(a/2)< x < (a/2) • Giả sử mức lượng thứ bị suy biến cấp Tính bổ chính lượng mức dùng công thức 2.38 • Lưu ý H’ có trị khác zero –a<x<+a PhD D.H.Đẩu 54 Hướng dẫn Dùng nghiệm hạt hố có dạng là nx nx  ( x)  cos( ) sin( ) a a a a (0) n 1  A  B a a 2 n  ( 0) here : En  2ma PhD D.H.Đẩu 55 Bài tập 12: Công thức tổng quát nhiễu loạn có suy biến bậc Phương trình tính hai giá trị tuyến tính: H ' AA if : MXH ' AB  H ' BA H ' AA  H ' BA H ' AB H ' BB H ' AB H ' BB   1     E   (2.44)   Ý nghĩa: E1 là trị riêng matrix MXH’ ứng với hai vector riêng là ,  PhD D.H.Đẩu 56 Mở rộng • Viết phương trình 2.44 với nhiễu loạn có bậc là n >2 (thí dụ n=3) • Thảo luận và câu hỏi ôn tập PhD D.H.Đẩu 57 Hint H ' AA if : MXH ' ABC  H ' BA H 'CA H ' AA  H 'BA H 'CA H ' AB H 'BB H 'CB H ' AB H 'BB H 'CB H ' AC H ' BC H 'CC H ' AC          H 'BC    E    (2.44)  H 'CC      PhD D.H.Đẩu 58 Bài tập • Xét bài toán hạt hố vuông 3D cạnh là a và xét toán tử nhiễu loạn • H’= 0.1 V0 khoảng (0, a/4) • Tính mức lượng E=6.E1 (E1 lượng BT 1D) Tính các thành phần toán tử nhiễu loạn? • PhD D.H.Đẩu 59 Nhiễu loạn suy biến bậc cao Phương pháp là giải bài toán tìm trị riêng matrix vuông có nn thành phần ứng với n vector riêng (dùng máy tính)  các vector riêng (, , , …) là sở để tạo tổ hợp tuyến tính n các hàm suy biến if : MXH'   H'11 H ' n1 H'11 .H'1n H ' n1 .H'nn    H'1n        E    (2.45) H'nn         H'   Ĥ'  0K PhD.JK D.H.Đẩu j 60 Ví dụ: electron hố vuông 3D • Mạng tinh thể có độ dài theo các phương là a: a a 0 if  x  a , and0  y  a , a V̂ ( x , y, z )  and0  z  a   otherwise PhD D.H.Đẩu 61 Hàm sóng và lượng electron hố vuông 3D Nghiệm hàm sóng trạng thái dừng có dạng đơn giản là tích các hàm 1D n y y n x x n z z  2  ( x, y, x )   sin( ) sin( ) sin( ) (2.46) a a a a 2 2 2 2 n   n   n y (0) x z  here : E n    2 2ma 2ma 2ma 2 2 2  ( n  n  n (2.47) x y z) 2ma (0) nx , ny , nz PhD D.H.Đẩu 62 SỰ SUY BiẾN Thực tế: MỨC NĂNG LƯƠNG không bị suy biến vì có giá trị nhau: 2 nx = ny =nz =1   2.47  E1  2ma • Mức lượng kích thích thứ có suy biến bậc 2 6  E  2ma 2 (n 2x  n 2y  n 2z 6) Có hàm sóng khác ứng mức lượng trên:  A 112 ;  B 121;  C  211 (2.48) PhD D.H.Đẩu 63 Khảo sát nhiễu loạn Xét toán tử nhiễu loạn xác định: a   V0 if  x  ,  Ĥ'  a and  y    otherwise  Sự hiệu chỉnh lượng mức E10 là xác định từ bài toán nhiễu loạn không suy biến : E  111 ĤPhD ' D.H.Đẩu 111  V0 (3.49) 64 Bài tập 13W Chứng minh bài toán hố vuông 3D thỏa biểu thức 3.49: E  111 Ĥ' 111  V0 (2.49) h int : 3/  2   V0 a  V0 a/2 a/2 a x y z sin ( )dx  sin ( )dy  sin ( )dz  a a a 0 PhD D.H.Đẩu 65 Nhiễu loạn có suy biến bậc Ở đây, mức lượng kích thích thứ có trạng thái suy biến  Tính các thành phần ma trận H’ Trước hết lưu ý: H'AA  112 H' 112 H'BB H'CC  V0 (2.5) Cần tính các thành phần không trên đường chéo H' AA MXH' ABC  H' BA H' CA H' AB H' BB H' CB Dễ dàng nhận thấy các thành phần H’AB =H’AC =0 PhD D.H.Đẩu H' AC H' BC H' CC 66 Bài tập 14W Tính tường minh các thành phần matrix H’ Và chứng minh là: H'AA MXH 'ABC  H'AB H'CA H'AB H'BB H'CB H'AC 0 V0 H'BC  K H'CC K here :K 0,7205  Cần giải tìm các vector riêng matrix H’ PhD D.H.Đẩu 67 Giải tìm các trị riêng Từ PT định thức giải tìm trị riêng 1.32 thay  cho  ta có: (H '11  ) H'12 H' 21 (H ' 22  ) H ' n1 Từ đó ta có: V0 H ' n1 (H' nn  ) (1  ) 0 (1  ) K K (1  ) Khai triển định thức: Các nghiệm riêng là: H'1n H' n 0 (1.32) 0 (3.50) V0 (1  ) (1  )  K 0 (3.51)   PhD D.H.Đẩu 1 1,  1  K 1.7205 , 3 1  K 0,279568, Bài tập 15W • Tính chính xác mức lượng kích thích thứ sau xét tác động nhiễu loạn • So sánh kết với kết bài toán nhiễu loạn bậc không suy biến 2 V V0   0 1 1,  E 1 E   1   4 2ma V0 3  V0  1  K 1.7205,  E 2 E      (1.7205), 4 2ma 2 V V0   0 3 1  K 0,2795,  E 3 E      (0.2795), 4 2ma (3.53) Như nhiễu loạn làm dịch chuyển từ mức D.H.Đẩu 69 lượng thành mứcPhD lượng khác Bài tập 16 w • Xác định tổ hợp tuyến tính chuẩn các hàm suy biến mức lượng kích thích thứ từ bài toán 15 H int :   A   B  C find , ,  : 0         K       (3.54)   K      PhD D.H.Đẩu 70 Kết Với  =1 ta có:  =1,  =  = 0; Với  =1K ta có:  =0,  =   = 1/2(0.5); Như vậy, các tổ hợp nghiệm là:  1 A  0 B  0 C  A  112  0 A   0 A  2 B  B  2 C  C  PhD D.H.Đẩu 2 ( B   C ) (3.54) ( B   C ) 71 Bài tập 17 • Xét hệ lượng tử với trạng thái mô tả các hàm tuyến tính độc lập Toán tử Hamiltion có dạng matrix sau: V ˆ H (1   ) 0 (1   )  here :   PhD D.H.Đẩu  (1   ) (3.56) 72 Bài tập 17 a) Xét trường hợp không nhiễu loạn (=0), xác định trị riêng và các vector riêng toán tử H b) Giải chính xác trị riêng H (=0.005) khai triển các trị riêng theo chuỗi lũy thừa  (lấy đến bậc 2) c) Dùng LT nhiễu loạn không suy biến bậc và bậc để tìm trị riêng gần đúng cho trạng thái kích thích thứ d) LT Có suy biến tìm hiệu chỉnh bậc cho trị riêng suy biến PhD D.H.Đẩu 73 Ứng dụng: LT nhiễu loạn để phân tích cấu trúc tinh tế quang phổ • Khảo sát lại nguyên tử Hydrogen: ta có toán tử Hamilton: 2  e H   2m 4 r Cấu trúc tinh tế quang phổ Hydrogen không phải hiệu chỉnh lượng khối lượng electron và nhân mà nó xuất phát từ chế khác nhau: 1- Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 2- Hiệu chỉnh lượng Spin quỹ đạo PhD D.H.Đẩu 74 Các mức lượng So sánh với các mức lượng Borh (liên quan bán kính Borh a) thì cấu trúc tinh tế là khảo sát bài toán nhiễu loạn nhỏ so = 2 với:  gọi là số cấu trúc tinh tế: e   4 c 137.036 (2.60) Một dịch chuyển lượng có số 4 nhỏ số 2 là dịch chuyển Lamb liên quan đến lượng tử trường Coublom Hằng số bé nửa 4 là số siêu cấu trúc liên quan đến tương tác từ giửa các PhD.electron D.H.Đẩu 75 momen lưỡng cực với và proton Các cấp độ cấu trúc Bảng sau cho ta biết độ lớn các HS cautruc muc Borh : cautruc tinhte : order : : order : dichuyen muc Lamb : order : Cautruc sieutinhte : order : PhD D.H.Đẩu  mc  mc 2  mc m  mc mP 76 REVIEW: Các đại lượng tương đối tính Năng lượng nghỉ: Hạt có khối lượng m0 lúc đứng yên có lượng nghỉ: En= m0c2 Năng lượng tương đối tính: Hạt chuyển động với vận tốc gần v gần c thì E T tổng lượng nghỉ và động tương đối (TT): E T E n  TT  m 0c 1  PhD D.H.Đẩu ( v / c) 77 Động TĐT TT m c [ Khối lượng TĐT 1  mT   pT  Xung lượng TDT:  1]; (  v / c) m0 1   m0v 1  2 (  v / c) (  v / c) Biểu thức liên hệ xung lượng-năng lượng tương đối D.H.Đẩu ET2=PT2 cPhD + m02c4 78 Động TĐT có thể viết: 2 TT m T c  m c ; Xung lượng TDT có thể viết:   p T m T v ( v c) Năng lượng tương đối tính E T m T c PhD D.H.Đẩu 79 Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối Trong công thức lượng số hạng đầu Hamilton xem là động (m là KL nghỉ) P classical : T  m v   for relativistic kinetic energy : 2m TT E T  E n  m 0c  ()  m 0c ( v / c) (2.61) Số hạng đầu 2.16 là động tương đối tínhkhông tính chưa hiệu chỉnh TDT Số hạng thứ hai 2.16 là lượng nghỉ khác với lượng đóng góp vào chuyển động PhD D.H.Đẩu 80 Bài tập 18W Hiệu chỉnh động tương đối tính Sử dụng công thức tương đối tính chứng minh: p T2 c  m c E T2 (TT  mc ) (3.63) (3.64) T    T  p c 2m c  mc p    1 TT m0 c    p      T mc 1    1 m c    mc     T T 2 2 T T Chứng minh: công thức tương đối tính quay công thức cổ điển mà v <<c hay p << mc Khai triển T theo hàm mũ (p/mc) p là TDT   1 p  1 p  TT mc 1        1  mc   D.H.Đẩu   mcPhD  (2.65) 81 Hướng dẫn Vì : ET2 = PT2 c2 + m02 c4  pTc  E T2  m 02 c E T2     41  m0c m0c  m 0c    pTc  TT  m c E T2   1    m c m c m 0c        pT  TT  m c TT      1 2 m0c m 0c  m 0c    TT m c         pT       1  PhD  D.H.Đẩu  m 0c    82 Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối   1 p  1 p  TT mc 1        1   mc   mc   (2.65) Khử và -1 (P là TDT) ta có: p p TT   (2.66) 2 m 8m c Theo 2.66 ta thấy số hạng đầu là động Hamilton và tiếp sau là toán tử nhiễu loạn – thực chất là bậc thấp đại lượng tương đối tính cấu thành Hamilton:  p̂ H r  (2.67) 8m c ' PhD D.H.Đẩu 83 Hiệu chỉnh theo Thuyết tương đối Einstein Theo LT nhiễu loạn bậc lượng bổ chính tính là: r r E   Ĥ'  r   p̂ 1 0   r  3  r p̂  r 3 8m c 8m c r 1 2 p̂  p̂  r r 3 8m c PhD D.H.Đẩu (2.68) 84 Bài tập 19W- Tính hiệu chỉnh lượng nhiễu loạn bậc p̂  (E  V)  2m (2.69) Thay 2.69 vào 2.68 và tính bổ chỉnh lượng bậc 2  p̂ p̂ (2.68)  E  r r  2mc 2m 2m r 1 0  ( E  V ) r ( E  V ) r  2mc 1 1 2 Er  (E  V)  E  2E V  V 3 2mc 2PhD mcD.H.Đẩu   (2.70) 85 Bài tập 20: Tính tiếp mức bổ chính lượng Sử dụng công thức tính Coulomb: e2 V 4 r Chứng minh các giá trị trung bình và nhiễu loạn từ công thức 2.70 cho mức lượng Born có giá trị là 1 1 2 E  ( E  V )  E  E V  V 2mc 2mc  r  (2.70) e2 e2 e2 V    (a bankinh Borh 0,5 A) 4 r 4 r 4 n a V 2  e     4  2  e  1     (  0,5)n a r    PhD D.H.Đẩu 86 Hướng dẫn • Quay lại nghiệm tổng quát bài toán Hydrogen theo biến (chương ôn tập): Người ta chứng minh hàm sóng theo n,l,m V   nm V e2 e2 e2  nm   40 r 40 r 40 n a  e   nm   4 r 2   e    nm    (   , ) n a   PhD D.H.Đẩu  87 Tính lượng bổ chính bậc r  các kết  biếu2 thức 2.70: Thay vào E  (E  V) 2mc  E 2n  4n    2mc       e  E   n 4 a  n  2mc  E 2n 3   2mc  E   2E V  V   4n  3      2  (2.73) Các vấn đề cần lưu ý là: hiệu chỉnh tương đối tính Không tỉ lệ với E2 mà nó PhD tỉ lệD.H.Đẩu với yếu tố E2/mc2 88 Hiệu chỉnh lượng tương tác Spin electron và từ trường quỹ đạo Trong học mômen Spin đặc trưng cho khả tự quay electron quanh chính nó Chỉ có hai khả electron: quay theo chiều ngược Kim đồng hồ  trục quay hướng lên Quay theo chiều cùng chiều Kim đồng hồ  trục quay hướng xuống Spin up Spin down PhD D.H.Đẩu 89 Năng lượng gọi là tương tác cập Spin - quỹ đạo Năng lương này electron tham gia chuyển động spin S tạo momen từ Spin S Electron quay quanh nhân nên theo tính tương đối có thể xem electron đứng yên còn nhân quay quanh electron  sinh dòng điện phân tử (do proton chuyển động)  momen từ quỹ đạo (từ trường quỹ đạo BL) • Momen từ Spin S đặt từ trường quỹ đạo Bl tương tác sinh lương phụ: H=- S BL PhD D.H.Đẩu (2.74) 90 Bài tập 21 W Xác định từ trường quỹ đạo BL, giả sử nhân NGUYÊN TỬ Hydrogen có proton (e, mhd=me) quay quanh electron bán kính r Biểu diễn vector B theo vector momen xung lượng L Check : for c 1 /  0   0 I e  B  L (3.75) 2r 4 mc r PhD D.H.Đẩu 91 Hướng dẫn Từ trường dòng điện tròn tạo tâm là : B=0I/(2R) (R là bán kính quỹ đạo gần 0,5 A) I là độ lớn dòng điện = e.f Với f là tần số quay electron (Cho Ve = 2,2 108 cm/s) 0= 4 10-7 (SI) PhD D.H.Đẩu 92 Bài tập 22W Xác định biểu thức tường minh lượng tương tác spin electron và từ trường quỹ đạo 2.74 cho biết momen từ electron là:  e   S  S m   e2   2 S L  H '   4  m c r (2.76) Thực tế các tính toán là không chuẩn vì hệ qui chiếu gắn với electron là hệ không quán tính  PhD D.H.Đẩu 93 cần có hiệu chỉnh Thomas (giảm ½.) Review: Momen xung lượng toàn phần electron    J L  S        J (L  S).(L  S) L2  S2  2L.S  2 (2.77) Chuyển vế ta có: 2L.S J  L  S Trị riêng tích L.S (2.77) có thể tính là: 2  j( j 1)  s(s 1)  ( 1) Since : J  j( j  1), S  s(s  1), L  (  1) PhD D.H.Đẩu 94 Bài tập 22W Chứng minh giá trị kỳ vọng sau đây: 1 3 r  (2.78) 2 r (  )(  1)n a h int : use Kramer' s relation s 1 S s S1 2 S r  (   ) a r  [(   )  s ] a r 0 n take : s   PT ( 1)  1 1 2  (2  1)a  [(2  1)  ]a 0 n r r r PhD D.H.Đẩu 95 Bài tập 23W • Từ PT 2.76 hãy xác định gía trị H’ sau hiệu chỉnh Thomas:  e2     2 S.L (2.76) H'S O   8  m c r  e2    2 S.L H'S O   8  m c r      e   j( j  1)  (  1)     2 r  8  2m c  e   j( j  1)  (  1)     2 2  8  2m c (  )(  1)n a (E n ) j( j  1)  (  1)  96 mc2 PhD (D.H.Đẩu  )(  1)n 3a   Nhận xét • Xét các hiệu chỉnh tương đối tính và hiệu chỉnh cập Spin-quỹ đạo chúng đầu giống hệ số tỉ lệ (E n ) • Nếu cộng hai hiệu chỉnh vào lượng mc ta có cấu trúc tinh tế hoàn chỉnh • Và cấu trúc hoàn chỉnh tinh tế là: E FS   E 4n 3    2mc    2  n PhD D.H.Đẩu 97 Kết hợp các mức lượng Borh Kết hợp với CT lượng Borh: Chúng ta tính các mức lượng tinh tế H2   13.6(eV)   n  (2.79) E nj    2  4 n n j   Mức tinh tế phá vỡ suy biến có nghĩa là không phải cùng mức lượng n ta có L trạng thái khác Nên xét chính xác các mức lượng là thay đổi theo các số n và j PhD D.H.Đẩu 98 Phân tích các mức lượng PhD D.H.Đẩu 99 Bài tập 24w • Kiểm tra các hệ thức sau đây xem có giao hoán không:   a ) Lˆ , S Lˆ b) Lˆ , S S   c) Lˆ , S J d ) Lˆ , S L   e) Lˆ , S S f ) Lˆ.S , J           Hint (L và S là thỏa hệ thức giao hoán) PhD D.H.Đẩu   100 Bài tập 25 w • Dẫn PT 2.79 từ công thức 2.73 from : E FS n E  2mc  4n  3      2  come to : En2 2mc  4n  3    J1  2  PhD D.H.Đẩu 101