Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến bằng 2.. Giải phương trình:.[r]
(1)Sở GD – ĐT Hà Tĩnh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 Trường THPT Nghèn, Can Lộc GV Đinh Văn Trường Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y Môn: Toán; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề x x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến Câu II (3,0 điểm) x cos x 2sin 1 Giải phương trình: cos x 1 y x y2 x 2 Giải hệ phương trình: x y2 x y Giải phương trình: log3 x 1 log 2x 1 Câu III (2,0 điểm) Tìm nguyên hàm: I ln x x dx Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T x y 1 x 1 y Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy AB = a Gọi SH là đường cao hình chóp và I là trung điểm SH Cho biết khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SBC) a 39 26 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu V (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A 3;6 , trực tâm H 2;1 và trọng 4 7 tâm G ; Xác định tọa độ các đỉnh B, C tam giác ABC 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y và điểm A 1;1 Viết phương trình đường tròn C qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng d Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………… ………………………… ; Số báo danh: …………… …… binhthien@yahoo.com.vn sent to www.laisac.page.tl (2) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm , x D 0,25 (1,0 điểm) Tập xác định: D R \ 1 Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' x 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; - Giới hạn và tiệm cận: lim y lim y ; tiệm cận ngang : y x x lim y , lim y ; tiệm cận đứng : x 1 x 1 - Bảng biến thiên: x 0,25 x 1 -1 y’ + + 0,25 y y Đồ thị: 3 1 0,25 x (1,0 điểm) a Giả sử điểm M a; (C) Phương trình tiếp tuyến M đồ thị (C) là: a 1 a a y x a x a y a 1 a 1 a 1 a 1 Tọa độ điểm I 1;1 Khoảng cách từ điểm I đến là: d I, a 1 a 1 0,25 a 2 a 2 0,25 Với a , ta có tiếp tuyến : 1 : y x Với a 2 , ta có tiếp tuyến : : y x Vậy có hai tiếp tuyến : 1 : y x và : y x 0,25 Theo giả thiết ta có a 1 0,25 a 1 (3) Câu II (3,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện : cos x x k2 (*) Phương trình đã cho tương đương với : cos x 1 cos x cos x cos x s inx-1 cos x s inx cos x t anx x k 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu với điều kiện (*), suy nghiệm : x 2 k2 0,25 (2,0 điểm) x, y (*) Điều kiện : 2 x y u x y Đặt Hệ đã cho trở thành : x v y 3 2 2 2v v u 1 v u 2v u 2v v 4v 13v v 1 u u 2v u Vì u nên u không thỏa mãn x y x v 1 1 y 1 y y Với u x x 1 x x y2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x; y 1; 1 x; y 1;1 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) x (*) Phương trình đã cho tương đương : log x log 2x 1 Điều kiện : log x 2x 1 x 2x 1 Xét hai trường hợp : x x x2 + x 1 2x 1 2x 3x 1 1 x 1 x 1 + 2 2 Phương trình vô nghiệm 1 x 2x 1 2x 3x Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Câu III (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) u ln x x dx du Đặt x2 v x dv dx x I x ln x x dx 1 x2 = x ln x 0,25 0,25 2 x 1 x 1 x C = x ln x x d x2 0,25 2 0,25 (1,0 điểm) Do x, y và x y nên x, y Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 0,25 2x 2x và y 2y 2 2 2 x 4xy y Do đó, T 2 2 2x 2y 4xy x 1 x Đặt x y t xy Ta có : t xy 0,25 4t Do đó, T 2 4t 0,25 4t Xét hàm số : f t , với t 4t 24 1 1 0, t 0; , suy f t f f 't 1 4 4 4t 0; 0,25 Vậy, T ; và x y IV (1,0 điểm) S K I A D 0,25 H B J C Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ HJ BC , J BC Vì BC SH nên BC SHJ Trong mặt phẳng (SHJ), kẻ IK SJ Khi đó, IK SBC Suy ra, IK Ta có : HJ a 39 26 a và hai tam giác vuông SIK , SJH đồng dạng nên SI IK 39 13SI SJ SJ JH 13 39 Đặt SH 2x , x SJ 13x 13x a2 Mặt khác, SJ SH HJ 4x 39 0,25 0,25 (5) x a Do đó, SH 2x a Diện tích đáy : SABCD Câu V (2,0 điểm) a3 a Thể tích : VS.ABCD SH.SABCD 3 Đáp án 0,25 Điểm (1,0 điểm) A H G B C I Gọi I là trung điểm BC và giả sử I a; b Ta có : AG 2GI 13 4 a 2 a Suy I ; 2 11 b b 3 Ta có, AH 5; 5 1; 1 Đường thẳng BC qua I và có VTPT là n 1; 1 Phương trình đường thẳng BC : x y Giả sử B t; t 3 BC C t; t Ta có AB t 3; t và CH t 5; t 3 Do H là trực tâm tam giác ABC nên AB.CH t t 3 t t t 3 t Vậy tọa độ các điểm B, C là : B 1; 2 , C 6;3 C 1; 2 , B 6;3 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Phương trình đường tròn (C) là : x y 2ax 2by c , với a b c Vì (C) qua gốc tọa độ O nên c Đường tròn (C) qua điểm A 1;1 nên a b ( 1) 0,25 Tọa độ tâm I đường tròn (C) là I a; b và bán kính R a b Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d nên 0,25 d I, d R a b 2 a b2 1 a b Sử dụng (1) a b (2) Ta có hệ phương trình 2 a b a a b 1 b Vậy có hai đường tròn: C1 : x y 2y C : x y 2x Chúc các em thành công ! 0,25 0,25 (6)