- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng b»ng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không.. [r]
(1)Nhắc lại biến đổi đồng I.PhÐp nh©n c¸c ®a thøc: Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE II.Những đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3 A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Lu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các đẳng thức theo hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t - Hai đa thức với giá trị biểu thức tất các hệ số chúng tơng ứng b»ng - Một đa thức đa thức không tất các hệ số nó không III C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: PP đặt nhân tử chung PP dùng đẳng thức PP nhãm nhiÒu h¹ng tö PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö PP thªm bít cïng mét h¹ng tö PP xÐt gi¸ trÞ riªng ( NÕu ®a thøc A(x) cã nghiÖm x = a th× tån t¹i ®a thøc B(x) cho A(x) = (x- a).B(x) ) Chó ý: Khi sö dông mét c¸c PP 3, , : sau nhãm, t¸ch, thªm bít h¹ng tö th× qu¸ tr×nh ph©n tÝch phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP ) IV Phân thức đại số Hai ph©n thøc b»ng nhau: A C AD BC B D AM A A : M A ; NÕu ®a thøc M kh¸c ®a thøc kh«ng th×: BM B B : M B C¸c phÐp tÝnh: A B AB M ( M ≠ 0) a) PhÐp céng: M M Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức thực hành cộng nh trên Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức có cùng mÉu) Bíc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) : - MTC phải chia hết cho tất các mẫu cần quy đồng (2) - Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích tất các mẫu đó Bíc 2: T×m nh©n tö phô (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng Bớc 3: Lấy tử và mẫu phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc các phân thøc cã cïng mÉu thøc A C A C ( ) D b) PhÐp trõ: B D B A C A.C c) PhÐp nh©n: B D B.D A C A D AD : d) PhÐp chia: B D B C BC Một số lu ý: - Trớc quy đồng mẫu thức hay thực các phép tính, có thể thì nên rút gọn phân thức trớc Kết sau biến đổi các biểu thức hữu tỷ cần đợc rút gọn - Các phép tính với đa thức có đầy đủ các tính chất các số thực ( giao hoán, kết hîp, ph©n phèi) - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Giải và biện luận: ∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2) +) Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 b 2a (Hoặc x1,2 b ' ' a ) +) Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b a ( Hoặc x1 x2 b' a) +) Nếu ∆ < ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm Hệ thúc Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: (3) b x1 x2 a x x c a C¸c d¹ng to¸n Dạng 1: Xác định số nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = Ph¬ng ph¸p gi¶i: Xác định các hệ số a, b, c phơng trình: - NÕu a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh PT bËc nhÊt mét Èn: bx + c =0 b NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hoÆc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = ) - NÕu ∆ < ( HoÆc ∆’ < 0): Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm NÕu ∆ = ( HoÆc ∆’ = ): Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp NÕu ∆ > ( HoÆc ∆’ > ): Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Lu ý: - Kh«ng cÇn tÝnh nghiÖm - NÕu ac<0 th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm các phơng trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + = 2) -2x2 - 8x -7 =0 3) ( 1) x 25 4) 2x2 + 5x + = x2 5) x 0 x 0 16 6) x x 0 Bµi 1.2: Kh«ng cÇn tÝnh biÖt sè ∆, chøng tá r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a) x x 0 2 b) (2 3) x x m 3m 0 ( m lµ tham sè) Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phơng trình vô nghiệm? a) 3x x k 0 c) 3x kx 0 3x 4kx k k 0 b) x 2kx k 0 d) Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: 2 a) 20 x x 3k 0 b) (k 1) x 2kx k 0 2 c) 3x 4kx k 0 Bµi 1.5: Cho c¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > c > 0, b > a + c Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm ph©n biÖt (4) 2 2 2 Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phơng trình c x (a b c ) x b 0 ( x lµ Èn sè) v« nghiÖm ( HDÉn: Sö dông B§T tam gi¸c) D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Ph¬ng ph¸p gi¶i: - §a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ d¹ng: ax2 + bx + c = - Xác định các hệ số a, b, c phơng trình - TÝnh ∆ hoÆc ∆’ -áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai để kết luận nghiÖm ( Chó ý rót gän c¸c nghiÖm nÕu cã thÓ) C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 2.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = c) x2 – 4x + = d) 3x2 + 7x + = Bµi 2.2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 5x2 a) x2 x2 x 0 12 b) 10 x 0 49 x 0 16 c) Bµi 2.3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (5 2) x 10 x 0 b) ( 2) x ( 1) x 0 2) x 2(1 2) x 0 d*) (1 c*) x x 0 2 e) ( 1) x x 0 f) x (2 3) x 0 D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = - NÕu b ≠ th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm nhÊt: x c b - NÕu b = vµ c ≠ th× ph¬ng tr×nh cã v« nghiÖm - NÕu b = vµ c = th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm * Víi a ≠ : Ph¬ng tr×nh trë thõnh ph¬ng tr×nh bËc hai Ta cã: ∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac ) - NÕu ∆ < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b - NÕu ∆ = th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp: x1 = x2 = - 2a b' (=- a ) - NÕu ∆ > th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 b b ; x2 2a 2a ( x1,2 b ' ) a (5) * Kết luận cho tất các trờng hợp đã biện luận C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 3.1: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh: ( x lµ Èn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = b) x2 + (1 – m)x – m = c) (m – 3)x2 - 2mx +m – = d) (m – )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – = e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + = (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + ( m – 2) = f) g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – = 2 Bµi 3.2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x (3 2m) x 2mx m 0 ( HDÉn: Coi m lµ Èn, x lµ tham sè ) D¹ng 4: HÖ ph¬ng tr×nh chøa hai Èn x vµ y gåm mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tõ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cña hÖ, t×m y theo x ( hoÆc x theo y ) - Thay biểu thức y theo x tìm đợc trên vào phơng trình bậc hai hệ ta đợc phơng trình bậc hai - Giải phơng trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức y để tìm y C¸c bµi tËp vËn dông: x y 0 y x 4 x Bµi 4.1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y 6 y x a Bµi 4.2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Xác định a để: a) HÖ v« nghiÖm b) HÖ cã nghiÖm nhÊt c) HÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt 3x y 0 a) Bµi 4.3: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: xy 3( x y) x y m 2 x y x 2 x y 2 b) xy x y 0 Bµi 4.4: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh: Dạng 5: Định tham số để hai phơng trình có nghiệm chung Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Giả sử x0 là nghiệm chung hai phơng trình Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ phơng trình với ẩn là các tham số (6) - Giải hệ để tìm tham số -Thö l¹i víi tham sè võa t×m, hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 5.1: Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + a = vµ x2 + ax + = a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung b) Định a để hai phơng trình tơng đơng Bµi 5.2: Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh : x2 + ax + b = vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiÖm chung th×: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + = và x2 + 2x + m = ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng: x2 – (2m + n)x – 3m = vµ x2 – (m + 3n)x – = HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm phơng trình (1); x3, x4 là nghiệm phơng trình (2) Để hai Phơng trìh tơng đơng thì x1 = x3 và x2 = x4 ngợc lại Nên S1 = S2 và P1 = P2 Bài 5.5: Tìm các giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + = (1) x + (m – 2)x + m - = (2) Bài 5.6: Tìm các giá trị a để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: a) x2 + x + a = x2 + ax + = b) x2 + ax + = x2 + 2x + a = c) x2 + ax + = x2 + x + a = Bài 5.6: Tìm các giá trị a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x + x + a)( x2 + ax + 1) = D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã hai Èn sè 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Trong mét ph¬ng tr×nh cã hai Èn sè, ta xem mét Èn lµ tham sè råi gi¶i ph¬ng tr×nh Êy theo Èn còn lại PP này gọi là phơng pháp đặt tham số C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 6.1: Chøng minh r»ng chØ cã mét cÆp sè nhÊt (x, y) tho¶ m ·n ph ¬ng tr×nh: x2 - 4x + y - y + 13 = x y 2 x xy y y 0 Bµi 6.2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 Bµi 6.3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: y y x 11 y xy y x 40 x 52 0 10 x y xy 38 x y 41 0 3x y xy 17 x y 20 0 Bµi 6.4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 698 x y 81 x y xy x y 0 Bµi 6.5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: D¹ng 7: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm sè 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ để phơng trình có nghiệm (7) S x1 x2 b a P x1.x2 - áp dụng định lý Vi-ét : ; C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 7.1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x x 0 c a b) x x 0 c) x x 0 D¹ng 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: d) x x 0 b c - áp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 = - a ; x1.x2 = a - NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1 = m ; x2 = n c - NÕu a + b + c = th×: x1 = ; x2 = a c - NÕu a - b + c = th×: x1 = -1 ; x2 = - a C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm các phơng trình sau: a) x 10 x 16 0 b) x 15 x 50 0 c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – = ( m ≠ -1) d) (2m – 1)x2 – mx – m – = (m≠ 2) Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = có các nghiệm Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = có các nghiệm -1 Xác định số k và nghiệm còn lại ? b) Phơng trình 15x2 + bx - = có các nghiệm Xác định số b và nghiệm còn lại ? D¹ng 9: Ph©n tÝch ax2 + bx + c thµnh nh©n tö Ph¬ng ph¸p gi¶i: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) D¹ng 10: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña nã 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: - TÝnh tæng hai nghiªm : S x1 x2 vµ tÝch hai nghiÖm : P x1.x2 - Ph¬ng tr×nh nhËn x1, x2 lµm nghiÖm lµ: X2 – SX + P = C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 10.1: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ c¸c cÆp sè sau: a) vµ b) vµ Bµi 10.2: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ : 10 Bµi 10.3: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ : 72 vµ 10 (8) a) 15 vµ 15 c) vµ b) vµ d) 5 vµ 5 5 Bµi 10.4: Gäi m, n lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x (1 2) x 0 (m<n) LËp ph¬ng tr×nh bËc 1 hai cã c¸c nghiÖm lµ: m vµ n Bµi 10.5: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn vµ cã mét nghiÖm lµ : Bµi 10.6: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn vµ cã mét nghiÖm lµ : D¹ng 11: DÊu nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: 5 5 5 5 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = (a ≠ ) : * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu P < * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu 0 P * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt S P S P * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 11.1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m – 1)x + m + = (1) Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Cã hao nghiÖm d¬ng ph©n biÖt c) Có đúng nghiệm dơng Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – = Định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng? b) Cã hai nghiÖm cïng dÊu? Bài 11.3: Cho phơng trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng d¬ng ? hai nghiÖm tr¸i dÊu ? Bµi 11.4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – mx + m2 – = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng ? Bài 11.5: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? (9) a) x2 – 2mx + (5m – 4) = b)mx2 + mx + = Bµi 11.6: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m + 1)x + m + = a) Định m để phơng trình có nghiệm b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dấu Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trớc 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : ∆ ≥ * Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ nghiệm x 1, x2 thay vào phơng trình thứ ba hệ để tìm tham số * KiÓm tra l¹i m cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng råi kÕt luËn C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1? Bµi 12.2: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m – 1)x + m – = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2: a) x2 + 6x + k = b) x2 + kx + = Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện sau: a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = Bµi 12.5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12 b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 12.6: Cho ph¬ng tr×nh (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có nghiệm ; tính nghiệm 1 x x2 c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2 Bµi 12.7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bµi 12.8: Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2m x + m + = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 0 x x1 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : Bµi 12.9: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 2)x - 2m + = ( m lµ tham sè) 2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và -x1 - x2 + 2006 đạt giá trị lớn Dạng 13: Biểu thức đối xứng các nghiệm phơng trình bậc hai 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: (10) * Biểu thức x1, x2 gọi là đối xứng ta thay x1 x2 và x2 x1 thì biểu thức không đổi * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số) Ch¼ng h¹n: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = S2 – 2P x12 + x23 = (x1+ x2)3 - x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS 1 x1 x2 S x1 x2 x1 x2 S P ; x1 x2 x1 x2 P x2 x1 x1 x2 P 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 13.1: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + mx + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau; x12 x2 2 x x1 b) a) x13 + x23 Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm phơng trình: x2 + 2mx + = Xác định m cho x14 + x24 ≤ 32 D¹ng 14: T×m hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm x1 , x2 cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc vµo tham sè 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥ * Tõ hÖ thøc Vi-Ðt t×m S, P theo tham sè m * Khử tham số m từ S, P để có hệ thức S, P ( tức là hệ thức x 1, x2 ) không phụ thuéc vµo m 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 14.1: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 - = T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bµi 14.2: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – (m – 3)x + 2m + = T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? 2 Bµi 14.3: Cho ph¬ng tr×nh : x (2m 3) x m 3m 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ; b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối ; c) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ? (m 2) Bµi 14.4: Cho ph¬ng tr×nh : ( m 2) x 2( m 4) x ( m 4)( m 2) 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ; A c) TÝnh theo m biÓu thøc d) Tìm m để A = 1 x1 x2 ; Bµi 14.4: Cho ph¬ng tr×nh : x mx 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ; A 2( x1 x2 ) x12 x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình là số nguyên (11) HDÉn: b) Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã x1 + x2 = m ; x1x2 = -4 A Ta cã A 2m m xác định với m và 2m Am 2m A 0 m 8 (*) Víi A = th× m = 3,5 Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiÖm nªn ∆ ≥ A Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = Dạng 15: Giải hệ phơng trình đối xứng hai ẩn 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y x * C¸ch gi¶i: + §Æt S = x + y, P = x.y + Đa hệ đã cho hệ hai ẩn S, P Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y + Giải tìm S, P Khi đó x, y là nghiệm phơng trình X2 – SX + P = + NÕu ( x, y ) lµ nghiÖm th× ( y, x ) còng lµ nghiÖm 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 15.1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: MaxA x y xy 5 x y 5 a) x y xy 11 x y 3( x y ) 28 c) x y xy 7 x y 5 b) d) x y 13 y x x y 5 x xy 3 x 2 y xy 3 y e) Mét sè ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng(ax4 + bx2 + c = 0) 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: §Æt t = x2 ( t 0), ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai at2 + bt + c = (1) Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã nghiÖm ph©n biÖt (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biệt, đó ta giải hệ sau theo m : S P Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã hai nghiÖm tr¸i dÊu P (12) Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng v« nghiÖm (1) v« nghiÖm (∆ < 0) hoÆc (1) cã hai nghiÖm cïng ©m, tøc lµ: 2.C¸c bµi tËp vËn dông: S P 2 Bµi 1.1: Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x m 0 (1) Xác định m để phơng trình : a) Cã nghiÖm ph©n biÖt b) V« nghiÖm c) Cã nghiÖm ph©n biÖt D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm phơng trình đã cho Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 2.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 2x 3x x x 2x 5 x x x 5x Bµi 2.2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: c) a) b) 4x x 1 x2 x d) 1 x 27 x 2 x x2 x 1 x x 2x2 x 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Bµi 2.3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: b) (1 x) 1 x mx ( m lµ tham sè ) Bµi 2.4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x (3 x 2)(3 x 2) x x 2x x3 (13) b) x 10 2 x 3x x x( x 9) D¹ng 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng tÝch 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: A( x) 0 A( x) B( x) 0 B( x) 0 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 3.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – = d) x3 + 3x2 + x + = D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh bËc ba cã mét nghiÖm cho tríc 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x = Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành: x ( x )(ax b1 x c1 ) 0 ax b1 x c1 0 Giải phơng trình bậc hai ax b1 x c1 0 ta đợc các nghiệm khác ngoài nghiệm x phơng tr×nh bËc ba Sơ đồ Hoocner: n n Chia ®a thøc P( x) a0 x a1 x an x an cho x ta cã: P( x) ( x )(a0 x n a1 x n an x an ) Sơ đồ xác định các bi : a0 a1 a2 … an b0 b1 b2 … bn Víi b0 = a0 vµ bi = bi-1 + ( i = 1, 2, 3, … , n ) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 4.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a ) x x 11x 0 b) x x x 0 2 Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x (2m 3) x (m 2m 2) x m 0 có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : x x 16 x m 0 có nghiệm là Tìm các nghiệm còn lại ? Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x (2m 1) x 3(m 4) x m 12 0 có ba nghiệm phân biệt ? D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m víi a + b = c + d 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Phơng trình đợc viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m * Giải tìm t sau đó tìm x cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = (14) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 5.1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297 Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt : a)( x 1)( x 3)( x 5) m b) x (2m 1) x m 0 ad bc 2m Bµi 5.3: Cho c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a b c d vµ Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( x a)( x b)( x c)( x d ) m 0 HDẫn: Phơng trình đã cho tơng ứng với : x (a b ) x ab x (c d ) x cd m 0 §Æt t x (a b) x V× a b c d nªn (t ab)(t cd ) m 0 t (ab cd )t abcd m 0 2 2 Ta cã : (ab cd ) 4(abcd m ) (ab cd ) 4m 2 ad bc 2m V× nên (ab cd ) 4m , đó VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: t x a b a b a b a b x t (t ) (t ) c 2 Ph¬ng tr×nh trë thµnh: 2 §Æt Khai triển và rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng ẩn t 4 2 Chó ý: ( x y ) x 4 x y x y 4 xy y 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 6.1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 3)4 + (x + 5)4 = Bµi 6.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a )( x 2) ( x 4) 82 b)( x 2)4 ( x 8) 272 c)( x 2) ( x 1) 33 12 HDÉn: a) §Æt x + = y b)§Æt x + = y c) x = lµ mét nghiÖm Víi x > 1, VT > VP Víi x < 1, VT < VP VËy x = lµ nghiÖm nhÊt D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax bx cx bx a 0 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * x = kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh; (1) a( x * Chia hai vế phơng trình cho x2, ta đợc: x * §Æt ( PT bậc có hệ số đối xứng) 1 ) b( x ) c 0 x x 1 t ( x )2 t x t x x x Ph¬ng tr×nh trë thµnh: (15) at bt c 2a 0 (2) x - Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m t, thay vao ph¬ng tr×nh D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax bx cx bx a 0 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: t x để tìm x (1)( PT bậc có hệ số đối xứng lệch) (16)