Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản... Cung cấp tài liệu, đề thi trắc[r]
(1)Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí A a - Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Trần Hải Nam – Trung tâm luỵện thi Tầm Cao Mới (tài liệu lưu hành nội bô) Phần II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ Hàm số y = sinx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số lẻ Chu kì: T0 = T0 b - 2 a y = sin(ax + b) có chu kỳ: y = sin(f(x)) xác định f(x) xác định Hàm số y = cosx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số chẵn Chu kì: T0 = T0 2 a y = cos(ax + b) có chu kỳ: y = cos(f(x)) xác định f(x) xác định c Hàm số y = tanx D R\ k , k Z 2 Tập xác địng - Tập giá trị T = R - Hàm số lẻ - Chu kì: T0 = y = tan(ax + b) có chu kỳ: T0 a f x k ( k Z ) y = tan(f(x)) xác định xác định d Hàm số y = tanx - D R\ k , k Z Tập xác địng Tập giá trị T = R Hàm số lẻ Chu kì: T0 = y = cot(ax + b) có chu kỳ: T0 a f x k ( k Z ) y = cot(f(x)) xác định xác định Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (2) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Lưu ý: y = f1(x) có chu kỳ T1; y = f2(x) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1(x) f2(x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ T1 và T2 Bài tập Bài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị hàm số sau 2x y sin x 1 a/ b/ y sin x d/ y cos x e/ y cot x 3 g/ y y c/ y sin x y tan x 6 f/ sin x sin x cos( x ) h/ Bài 2: Tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số i/ y = tan x 2sin x 4 a/ y = b/ y cos x c/ y sin x d/ y 4sin x 4sin x e/ y cos x 2sin x f/ y sin x cos x g/ y = sinx + cosx h/ y = sin x cos x Bài 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x i/ y = sin x cos x c/ y = sinx + cosx f/ y = sinx.cosx cos3 x sin x tan x g/ y = sin x cot x h/ y = sin3 x i/ y = tan x x c/ y sin x Bài 4: Tìm chu kỳ hàm số a/ y sin x d/ b/ y sin x cos x g/ y 2sin x cos3x ĐS a/ b/ c/ y cos y cos 3x 2x sin e/ y tan x cot x f/ h/ y cos x i/ y = tan(3x + 1) d/ e/ f/ 70 g/ h/ i/ Bài 10 Tìm GTLN, GTNN hàm số : y 2sin ( x ) cos x cos x a y 2sin(2 x ) 4cos x cos( x ) 3 c y 2sin( x ) cos( x ) sin x b 6 d y sin x cos x sin x Bai 11 Tìm GTLN và GTNN hàm số : Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (3) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 4sin x sin x sin(2 x ) cos x a b c sin x y cos x là số nguyên Bài 11’ Tìm các giá trị x để y sin x cos x sin x cos x y y B Phương trình lượng giác I Phương trinh lượng giác Phương trình sin x sin x k 2 sin x sin (k Z ) x k a sin x a Ñieàu kieän : a 1 x arcsin a k 2 sin x a (k Z ) x arcsin a k 2 b c sin u sin v sin u sin( v) sin u cos v sin u sin v 2 d sin u cos v sin u sin v 2 e Trường hợp đặc biệt: sin x x k (k Z ) sin x x sin x 1 x k 2 (k Z ) k 2 (k Z ) sin x 1 sin2 x 1 cos2 x cos x x k (k Z ) cos x cos Phương trình a cos x cos x k 2 (k Z ) cos x a Ñieàu kieän : a 1 b cos x a x arccos a k 2 (k Z ) c cos u cos v cos u cos( v) cos u sin v cos u cos v 2 d cos u sin v cos u cos v 2 e Đặc biệt: cos x x k (k Z ) Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (4) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x 1 x k 2 (k Z ) cos x x k 2 (k Z ) cos x 1 cos2 x 1 sin2 x sin x x k (k Z ) Phương trình tan x tan a tan x tan x k (k Z ) b tan x a x arctan a k (k Z ) c tan u tan v tan u tan( v) tan u cot v tan u tan v 2 d tan u cot v tan u tan v 2 e Đặc biệt: tan x x k (k Z ) tan x 1 x k (k Z ) 4 Phuơng trình cot x cot a cot x cot x k (k Z ) b cot x a x arccot a k (k Z ) Đặc biệt k (k Z ) π ⇔ sin x=sin Ví dụ 1: sinx = √ ⇔ ⇔ π π x= +k π x= +k π 3 ¿ ¿ π 2π x=π − +k π x= + k π 3 ¿ ¿ k ∈Z k∈Z ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ sin x sin sin x sin( ) 3 Ví dụ 2: sinx = x k 2 x k 2 k Z k Z x k 2 x 4 k 2 3 cot x x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (5) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ⇔ Ví dụ 3: sin2x = x=arcsin +k π ¿ x =π − arcsin +k π ¿ k∈Z ¿ ¿ ¿ Lưu ý: có thể viết nghiệp cách khác π Ví dụ 4: cos(2x + )= − ⇔ ⇔ 1 x= arcsin +kπ ¿ π 1 x= − arcsin + kπ 2 ¿ k∈Z ¿ ¿ ¿ 2 cos(2 x ) cos cos( ) cos 3 ⇔ ⇔ π 2π 5π x+ = + k π x= + kπ 24 ¿ ¿ π 2π 11 π x + =− +k 2π x=− + kπ 24 ¿ ¿ k ∈Z k ∈Z ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ tan( x − 600 )=tan30 Ví dụ 5: tan(x – 600) = √ ⇔ x −600 =300 +k 1800 k ∈ Z ⇔ x=900 +k 1800 k ∈ Z π π π ⇔ x= + arccot 5+kπ k ∈ Z Ví dụ 6: cot(x - )= ⇔ x − =arccot 5+kπ k ∈ Z 0 0 Ví dụ cot(x -75 ) = -1 ⇔ x −75 =− 45 + k 180 k ∈ Z ⇔ x=30 0+ k 1800 k ∈ Z Ví dụ : tan3x = tanx Điều kiện Ta có tan3x = tanx ¿ π x ≠ +kπ π x ≠ +kπ k ∈Z ¿{ ¿ ⇔ 3x = x +l π ⇔ ¿ π π x ≠ +k π x ≠ +kπ k ∈Z ¿{ ¿ ⇔ x=l π (l ∈Z ) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = m π (m Z ) Ví dụ : tan5x – cotx = Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (6) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ¿ π x ≠ + kπ x ≠ kπ (k ∈ Z) ¿{ ¿ Điều kiện Ta có tan5x = cotx ⇔ x= ⇔ ⇔ tan5x = tan( π 12 ¿ π π x ≠ +k 10 x ≠ kπ (k ∈ Z ) ¿{ ¿ π − x¿ ⇔ π 5x = − x + l π (l Z) π +l (l Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: π π x = 12 + l (l Z) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: π 2 a cos(3x - )= - √ b cos(x -2) = 5π d (1+ 2sinx)(3- cosx)= e tan2x = tan π g cot(4x - )= √ h sin(3x- 450) = x x k (cot -1)(cot +1)= l cos2x.cotx = π n sin(2x -150) = - √ p sin4x = π π r cos2x cot(x - )= s cos3x = c cos(2x + 500) = f tan(3x -300) = - √ i sin(2x +100)= sinx 2x π m cot( + )= -1 q cos(x + 3) = x π π t tan( − ¿=tan v sin3x + sin5x = u cos3x – sin2x = Bài 2: Giải các phương trình sau: a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 2 d 2sinx + √ sin2x = e sin 2x + cos 3x = f sin3x + sin5x = 0 g sin(2x +50 ) = cos(x +120 ) h cos3x – sin4x = π *i tan(x - ) + cotx = Bài 3: Giải các phương trình sau: cos x 0 6 1) sin x 0 3 4) 7) sin x 1 *j tan5x = tan3x cos x 1 3 2) x sin 1 5) 8) cos x 150 2 cos x 5 3) sin x 6) x sin 9) Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (7) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x 11) tan x 1 6 10) tan x cot x 1 6 3 13) 14) 12) cot x 10 3 15) cos(2x + 25 ) = 2 Bài 4: Giải các phương trình sau: 1) cos x cos x 3 6 2) sin x 1 sin x sin x 1200 cos x 0 3) cos3 x sin x 4) cos x cos x 0 3 3 5) tan x tan x 4 6 7) x sin x sin 0 2 6) cot x cot x 4 3 8) 9) 11) 10) sin x x 0 13) cot x 1 cos x cos x x 0 tan x 12) tan x 1 cot x 0 14) x tan sin2 x sin2 x cos2 x 4 16) 15) II Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: là phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t hàm số LG Daïng asin2 x b sin x c Ñaët t = sinx Ñieàu kieän t 1 a cos2 x b cos x c t = cosx t 1 a tan2 x b tan x c t = tanx a cot x b cot x c t = cotx x k (k Z ) x k (k Z ) Nếu đặt: t sin x t sin x thì điều kiện : t 1 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (8) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Ví dụ 1: 2sinx – √ = ⇔ π x= +k π ¿ π x=π − +k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ Ví dụ : 2tanx – = ⇔ 2sinx = ⇔ √2 √2 sinx = ⇔ sinx = sin π x= +k π ¿ 3π x= +k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ ⇔ ⇔ 2tanx = ⇔ tanx = ⇔ x = arctan + k π (k Z) √ cot x −3=0(1) ¿ cos x − 1=0 (2) Ví dụ : ( √ cotx – 3)(2cosx –1) = ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ π π (1) ⇔ √ cotx = ⇔ cotx = √ ⇔ cotx = cot ⇔ x = + k π π x= +k π ¿ π π x=− + k π ⇔ cosx = cos ⇔ (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 3 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ (k Z) Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ 4: 2sin2x – sin2x = ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = π x = + kπ ¿ π x= +k π ¿ π x=− + k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = (9) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ⇔ ⇔ sin x=0 ¿ sin x − cos x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ x=kπ ¿ π sin x=sin( − x ) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=kπ ¿ sin x=cos x ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ x=kπ ¿ π x= − x +k π ⇔ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ Ví dụ 5: 2sin2x – 5sinx – = Đặt t = sinx ( điều kiện -1 2t2 – 5t -3 = t ⇔ t=3(loai) ¿ t=− (nhân) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=kπ ¿ π x= +kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ 1) thay vào phương trình ta được: Với t = - ta π x=− + k π ¿ 7π π x= +k π ⇔ sinx = sin(sinx = - ) ⇔ 6 ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ π x=− + k π ¿ 7π Vậy nghiệm phương trình là: x= +k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ Ví dụ : cot22x – 4cot2x -3 = Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (10) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ⇔ cot x =1 ¿ cot x =3 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=arccot 1+ kπ ¿ x =arccot 3+ kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ Vậy nghiệm phương trình là: ⇔ x= arc cot 1+ k ¿ x= arc cot3+ k ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ π x= arc cot 1+ k ¿ x= arc cot3+ k ¿ (k∈ Z) ¿ ¿ π π π Ví dụ 7: 2cos2x +3sinx - = ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – = ⇔ – 2sin2x + 3sinx – = ⇔ 2sin2x – 3sinx + = ⇔ sin x=1 ¿ sin x= ¿ ¿ ¿ ¿ π * Với sinx = ⇔ x = +k π ( k ∈ Z) * Với sinx = ⇔ π sinx = sin Vậy nghiệm pt là: Ví dụ : tan4x + 4tan2x - = π x= +k π ¿ 5π x= +k π ¿ π x= +k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ ⇔ π x= +k π ¿ 5π x= +k π ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (11) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí tan x=1 ¿ tan x=−5 (loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ⇔ tan x=± ⇔ π x=± + kπ (k ∈ Z ) π Vậy nghiệm pt là: x=± + kπ ( k ∈ Z ) Ví dụ 9: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x) Ta có: + sin2x = 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x] sin x = – sin22x = 2 Vậy ta phương trình sin22x + sin2x -1 = Đặt t = sin2x với điều kiện -1 t ta phương trình: 1 1 Giá trị t2 + t – = t = < -1 nên bị loại 1 1 2 Với t = sin2x = 1 x arcsin k 2 (k Z ) 1 k x arcsin Ví dụ 10: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – Điều kiện phương trình là cosx Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: tan2x (tanx – 1) = 5tanx – – 2(1+tan2x) tan3x – tan2x = 5tanx – – tan2x tan3x + tan2x – 5tanx + = Đặt t = tanx ta phương trình t 1 t3 + t2 – 5t +3 = (t – 1)(t2 + 2t – 3) = t x k * Với t = 1, phương trình tanx = có nghiệm ,kZ * Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k Z Các giá trị này thỏa mãn điều kiện phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = x k (k Z ) x =arctan 3 k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (12) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 31 1 sin x cos3 x sin x sin x cos x 3 Ví dụ 11: Giải phương trình: Ta biến đổi phương trình đã cho: 3 3 sin x cos3 x 2sin x cos x sin x cos x =0 sin x 2 sin x cos x sin x cos x cos3 x sin x cos x 3 sin x (1) sin x cos x 0 sin x sin x cos x cos x 0 (2) sin x cos x cos x (sin x cos x) 0 3 sin x cos x 0 3 Giải phương trình (1) ta được: x = +k, k Z sinxcosx + cos2x = Giải phương trình (2): sin x + Nếu cosx = thì vế trái nên cosx = không thoả mãn phương trình + Nếu cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos2x, ta được: tan x - Giải phương trình, ta được: x = tan x 0 x k (k Z ) x arctan k 3 x k (k Z ) x k x arctan k Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a 4sinx – = b 3cotx + √ = π c - √ tan(5x + 200) =0 2π π d 2cos3x + = e sin(3x + 1)= f cos(x + )= g (2cosx + √ )(tan(x +100) - √ ) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= i 8sinx.cosx.cos2x = √ j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0 2 l 3tan x + √ tanx = m 4sin2x – sin 2x = n √ - 2sin3x = Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (13) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí π p cot(x + ) = q cos2(x – 300) = Bài 2: Giải các phương trình sau: r 8cos3x – = π sin x a tan3x tanx = b cot2x cot(x + ) = -1 c 1+cos x =0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a 3cos2x - 5cosx + = b 4sin2x – 4sinx – = c cot2x – 4cotx + = d tan2x + (1 - √ )tanx - √ = e 5cos2x + 7sinx – = f tan4x – 4tan2x + = g sin3x + 3sin2x + 2sinx = h cos2x + 9cosx + = i sin22x – 2cos2x + = Bài 4: Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + = j 4cos42x – 7cos22x + = 2) 4sin2x – 4cosx – = 4) tan x tan x 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 5) sin x 1 sin x 0 7) tan2x + cot2x = Bài 5: Giải các phương trình sau: 6) cos x sin x 8cos x 8) cot22x – 4cot2x + = 1) 4sin23x + 1 cos3 x = 2) cos2x + 9cosx + = 2 4) cos x 3) 4cos (2 – 6x) + 16cos (1 – 3x) = 13 tan x 0 5) cos x + tan2x = 6) – 13cosx + tan x = 7) sin x = cotx + 8) cos x + 3cot2x = 9) cos2x – 3cosx = 10) 2cos2x + tanx = sin x cos3 x cos x sin x 2sin x Bài 6: Cho phương trình Tìm các nghiệm phươngt ; 2 cos2 x trình thuộc Bài 7: Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + Tìm các nghiệm phươngt trình thuộc ; sin x sin4 x sin x 4 4 Bài 8: Giải các phương trình III Phương trình bậc sinx và cosx: 2 Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a b c b c tan cos Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt a , ta được: sinx+tancosx= a Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (14) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí c cos sinx cos + sin cosx= a c cos ñaët sin sin(x+ )= a 2 Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a b , ta được: a a b2 a Đặt: a b b cos ; a b2 sin x sin cos sin x sin cos x b a2 b2 cos x c a b2 Khi đó phương trình tương đương: c a b2 hay sin x ñaët c a2 b2 sin x t tan Cách 3: Đặt Ví dụ : √ sinx + cosx = Chia hai vế pt trên cho √ √ 2+12 = ta √3 sinx + cosx = π π π ⇔ cos ⇔ sinx + sin cosx = sin(x + )=1 6 π π π ⇔ x + = + k2 π ⇔ x = + k2 π Ví dụ cos3x – sin3x = Chia hai vế pt trên cho −1 ¿ +¿ = √¿ √ ta 1 cos3x sin3x = √2 √2 √2 π π ⇔ cos cos3x - sin sin3x = ⇔ cos(3x + π π ) = cos 4 ⇔ √2 ⇔ cos(3x + π π x+ = +k π 4 ¿ π π x+ =− + k π 4 ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ 3: 3sin2x + 4cos2x = Chia hai vế pt cho √ 32+ = ta π )= √2 x=k ⇔ 2π ¿ π 2π x=− + k ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ sin2x + cos2x = 5 Đặt sin α = , cos α = ta sin2x cos α + sin α cos2x = Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (15) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí ⇔ π sin(2x + α ) = ⇔ 2x + α = + k2 π Vậy nghiệm phương trình trên là: x = π ⇔ x = π α α - +k π - + k π (với sin α = , cos α = ) Ví dụ ; √ sinx – cosx = Ta có √ 2 + (-1)2 = <32 = đó phương trình trên vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình 4cosx + sinx + cos2x + sin2x + = Ta có: 4cosx + sinx + cos2x + sin2x + = 4cosx + sinx + 2cos2x – + sinxcosx + = sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0 2(cox +1)( sinx + cosx + 1) = cos x 0 sin x cos x 0 x (2k 1) x k 2 (k ) Ví dụ 6: Giải phương trình: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) Ta biến đổi phương trình đã cho: (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) - (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = (cos2x – sin2x – 1) ( + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = (cos2x – sin2x – 1) ( + sinx) + cosx(cos2x + – sin2x – 2) = (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + ) =0 cos x 4 cos x sin x 0 cos x cos x sin x 0 x k x k 5 x k 2 x k 2 x k 2 (k Z) (k Z) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (16) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí a sinx + √ cosx = √ b 2sinx – 5cosx = c 2cosx – sinx = d sin5x + cos5x = -1 e 3sinx – 4cosx = f 2sin2x + √ sin2x = g sin5x + cos5x = √ cos13x h sinx = √ sin3x – cosx Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) cos x sin x 2) 4) sin x cos x sin x 5) sin x cos x 1 sin x 3) cos3 x sin 3x 1 cos x 0 sin x sin x 1 2 6) Bài : Giải các phương trình sau: 1) 2sin x sin x 3 3) 8cos x 2) sin x cos6 x sin x cos8 x sin x cos x 4) cosx – 5) sin5x + cos5x = cos13x Bài 4: Giải các phương trình sau: sin x 2 cos x 3 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + = – 3(3cosx – 4sinx – 6) 1) 3sinx – 2cosx = 2) cosx + 4sinx – = 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = Bài 5: Giải các phương trình sau: x x + sin = 2) 1) 2sin cos x sin x sin x 2 6 Bài 6: Tìm m để phương trình (m + 2)sinx + mcosx = có nghiệm Bài 7: Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – vô nghiệm III Phương trình bậc hai sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (*) x k Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=d(1+tan2x) tan x x k 2 Chú ý: cos x Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d ⇔ a −cos x + b sin x + c 1+cos x =d bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Ví dụ 1: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = Với cosx = 2sin2x = (vô lý vì sin2x+cos2x = ) nói cách khác thì vế trái còn vế phải nên cosx = không thoả mãn phương trình ⇔ Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (17) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Với cosx chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được: 2tan2x + 4tanx – = + tan2x ⇔ tan x=1 ¿ tan x=− ¿ ¿ ¿ ¿ tan2x + 4tanx – = ⇔ π x= +kπ ¿ x=arctan (−5)+kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ ⇔ π x= +kπ ¿ x=arctan (−5)+kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ : 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = Cách : Áp dụng công thức hạ bậc ta ⇔ ⇔ ⇔ 1+cos x sin x + 2 – −cos x =3 sin2x + cos2x = π √ sin(2x + ) = π π sin(2x + ) = sin π sin(2x + ) = √2 ⇔ π π x + = +k π 4 ¿ π 3π 2x+ = +k 2π 4 ¿ ( k ∈ Z) ¿ ¿ ⇔ ⇔ x=kπ ¿ π x= +kπ ¿ (k ∈ Z ) ¿ ¿ Cách 2: Với cosx = -Sin2x = (vô lý, vì….) Với cosx 0 chia vế cho cos2x ta phương trình tương đương tan x tan x 3(1 tan x) tan x 3tan x 0 Bài tập vận dụng Bài Giải các phương trình: 2 a sin x s inxcosx - cos x 2 c 3cos x s inxcosx = + 2 b sin x s in2xcos2x + cos x 2 2 d sin x 3 sin x 2cos x 4 3 s inxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x + 1 2 e Bài Giải các phương trình a sin x s inxcosx + cos x 0 b sin x s in2x - 2cos x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (18) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí sin x s inxcosx + c Bài Giải các phương trình a sin x 4cos x 3 s inx cos x b 2sin3x = cos3x sin3 x s inx 4 c d 4sinx + 6cosx = cosx d 2sin3x = cosx e sin x cos x sin x cos x Bài Giải các phương trình a sin x sin x sin 3x 6cos x 3 c cos x sin x 3cosxsin x s inx=0 e cos x sin x cos x cos x sin x Bài 5: Giải các phương trình sau: a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = c 2cos2x -3sin2x + sin2x = e 4sin2x + √ sin2x – 2cos2x = −1 g √ sinx.cosx – sin2x = √ t anx 1 sin x g 1+tanx b sin x sin x cosx 0 d sin x 3cos x 3sin x cos x 2sin x g sin 3x cos x cos x sin x b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = Bài 6: Giải các phương trình sau: a cos3x – cos4x + cos5x = b sin7x – sin3x = cos5x c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x e 2tanx – 3cotx – = f sin2x – cos2x = cos4x g 2tanx + 3cotx = h cosx.tan3x = sin5x i 2sin x + (3 + √ )sinx cosx + ( √ - 1)cos2x = -1 j tanx.tan5x = Bài 7: Giải các phương trình sau: 2 2sin x sin x.cos x cos x 1 2 4sin x 3 sin x.cos x cos x 4 2 2 3sin x 8sin x.cos x cos x 0 sin x sin x cos2 x 2 2 2sin x sin x.cos x 1 cos x 5sin x sin x.cos x 3cos x 2 2 3sin x 8sin x.cos x cos x 0 1 sin2 x sin x cos x 1 cos2 x 0 11 cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – = 2 sin x sin x 1 cos x 2 10 3cos x 4sin x cos x sin x 0 12 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = sin x.cos x sin x 21 13 sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 14 Bài 8: Tìm m để phương trình (m + 1)sin x – sin2x + 2cos2x = có nghiệm Bài 9: Tìm m để phương trình (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = vô nghiệm Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (19) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí IV Phương trình đối xứng sinx và cosx: Dạng 1: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c t2 Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx Điều kiện t Ta có sinx.cosx = 1 t2 Đặt t= sinx-cosx Điều kiện t Ta có sinx.cosx = sin x cos x sin x cos x 4 4 sin x cos x sin x cos x 4 4 Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = t cos x sin x cos x ; Ñk : t 4 Nếu sin x.cos x (t 1) Ví dụ 1; Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – = Ta có: cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – = 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = Đặt t = sinx + cosx (- t ), phương trình trở thành: t 3(loai ) t x 3t2 – 10t + 30 = sinx + cosx = sin x arcsin 3 x arcsin Giải ta được: k 2 k 2 (k ) Ví dụ Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + =0 Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin3x + cos2x – 3cosx + = 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0 (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = (1) cos x 1 2sin x cos x 2(sin x cos x) 0 (2) Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2, k Z Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- t ) Phương trình (2) trở thành: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (20) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí t 1 3(loai ) t – 2t – = t 1 Với t = - , giải ta được: 2 6 x arcsin k 2 x 5 arcsin k 2 (k Z) Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x k 2 x arcsin k 2 2 6 5 x arcsin k 2 (k Z) Bài tập vận dụng Bài Gải các phương trình a s inx+cosx sin x 0 c sin x 12 s inx - cosx 12 0 sin x e + sin32x + cos32x = h t anx = 2 s inx Bài Giải các phương trình a sin x cos x 4sin x 1 b s inx - cosx + 4sinxcosx + = 3 d sin x cos x 1 sin x sin3 x cos x g 1 10 i sinx + s inx + cosx + cos x = b sin x cos x 1 1 sin x sin x 1 4 c 3 e sin x cos x sin x sin x cos x Bài Giải các phương trình d sin 3x cos 3x sin x cos x g cos x sin x sin x cos x 1 (ĐH QGHN 97) t anx+7 t anx + co t x+7 co t x = -14 a b 2 c tan x cot x t anx + cotx 2 ` tan x cot x 3 sin x e Bài Giải các phương trình tan x cot x t anx + cotx 1 3 2 d tan x cot x tan x cot x 1 g tan x cot x 4 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (21) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí a sin x 3 sin x cos x 0 c sin x cos x 2sin x d sinx + cosx – 4sinx.cosx – = Bài Giải các phương trình a sin x cos x sin x 4 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = c sin x cos x sin x b sin x cos x 3sin x 2 c sin x cos x sin x e sin x cos x sin x 1 b d cosx – sinx + 3sin2x – = sin x 1 4 e sin2x + sin x cos x f 1 (sin x cos x ) 0 g sin3x + cos3x = + sinx.cosx h 2sin2x – sin x cos x 0 V Phương trình đưa phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + (tan2x – 3cot3x) – = Giải Điều kiện phương trình là cos2x và sin3x Ta biến đổi 3tan2xcot3x + (tan2x – 3cot3x) – = 3tan2xcot3x + tan2x – 3 cot3x – = tan2x (3cot3x + ) - (3cot3x + ) = (3cot3x + ) (tan2x - ) = 2 3 x k cot 3x x k tan x (k ) 2 x k x k (k ) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện phương trình Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 2 k k và x = 2,k x= tan x sin x Bài 2: Giải phương trình: cot x Giải: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (22) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Điều kiện phương trình đã cho là: cosx 0, sinx và cot x -1 Ta biến đổi phương trình đã cho: tan x cos x sin x sin x sin x sin x cot x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 2 0 cos x sinx (Loại điều kiện) sin x 0 cos x 2 k 2 x= , k k 2 Giá trị x = - , k bị loại điều kiện cot x -1 Vậy nghiệm của phương k 2 trình đã cho là x = , k Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = với x (0,2) Giải: Điều kiện phương trình đã cho: cos3x 0, cos4x và cos5x sin x 2sin x 0 Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = cos 3x cos x cos x 2sin x cos x 2sin x 0 cos 3x cos x cos x cos x cos 3x cos x 0 cos 3x cos x cos x 2sin4x sin x 0 2sin4xsin2x = sin x 0 x k x k x k x k x k (k ) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm phương trình là: 3 5 7 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 4 4 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (23) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí III BÀI TẬP: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: π 2 a cos(3x )= - √ b cos(x -2) = 5π d (1+ 2sinx)(3- cosx)= e tan2x = tan c cos(2x + 500) = f tan(3x -300) = - √ π g cot(4x - )= √ h sin(3x- 450) = x x k (cot -1)(cot +1)= l cos2x.cotx = π n sin(2x -150) = - √ p sin4x = π π r cos2x cot(x - )= s cos3x = i sin(2x +100)= sinx 2x π m cot( + )= -1 q cos(x + 3) = x π π t tan( − ¿=tan v sin3x + sin5x = u cos3x – sin2x = Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 2 d 2sinx + √ sin2x = e sin 2x + cos 3x = f sin3x + sin5x = 0 g sin(2x +50 ) = cos(x +120 ) h cos3x – sin4x = π *i tan(x - ) + cotx = *j tan5x = tan3x IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÁC Baøi 1) sin2x = sin23x Giaûi caùc phöông trình sau: 2) sin2x + sin22x + sin23x = 2 2 4) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 3) cos x + cos 2x + cos 3x = Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: 1) sin6x + cos6x = + cos8x = 2 2) sin8x 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x + 4sin 2x – = Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (24) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 1) + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx sinx(sinx – cosx) – = 3) sin3x + cos3x = cos2x 2) 4) sin2x = + cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = + cosx + cos2x (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 6) 8) sinx + sin2x + sin3x = (cosx + cos2x + cos3x) Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + + 2cos2x + sinx = 3) 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinx.sin2x4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: sin x.sin x = cosx + sin3x 1) sin3x + cos3x + 2) + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x Bài 19 Giải các phương trình a cos5xcos3 = cosxcos7x b sin2x - cos5x = cosx - sin6x c cosx + cos11x = cos6x d sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x e tanx + tan2x = tan3x Bài 20 Giải các phương trình 2 a sin x sin x 2 sin 3x c 8cos4x = + cos4x e 3cos22x - 3sin2x + cos2x tan x sin x 1 tan x h Bài 21Giải các phương trình s inx+sin3x+sin5x tan x g cosx+cos3x+cos5x b cos x cos x cos x d sin4x + cos4x = cos4x g sin3xcosx - sinxcos3x = i tanx + tan2x = sin3xcosx b tan(x - 15 )cot(x - 15 ) = 0 a tanx = 1- cos2x c sin2x + 2cos2x = + sinx - 4cosx d 3sin4x + 5cos4x - = e (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x g + sinxcos2x = sinx + cos2x 2 h sin xtanx + cos xcotx - sin2x = + tanx + cotx Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (25) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí i sin x + sinxcos4x + cos 4x = Baøi 1: Baøi 1: Baøi 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011 cos 3x sin 3x sin x cos 2x x 0; 2 2sin 2x [ĐH A02] Tìm : 2 2 [ĐH B02] sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x x 0;14 cos 3x cos 2x 3cos x 0 [ĐH D02] Tìm : 0; Baøi 3: [Dự bị ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nghiệm thuộc sin x cos x cos 4x sin 2x m 0 Baøi 4: Baøi 5: sin x cos x 1 cot 2x 5sin 2x 8sin 2x [Dự bị ĐH02] sin 2x sin 3x tan x cos x [Dự bị ĐH02] x tan x cos x cos x sin x tan x.tan 2 Baøi 6: [Dự bị ĐH02] sin x cos x a Baøi 7: [Dự bị ĐH02] Cho phương trình : sin x cos x a= a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm Baøi 11: sin x 8cos x [Dự bị ĐH02] cos 2x cot x sin x sin 2x tan x [ĐH A03] cot x tan x 4sin 2x sin 2x [ĐH B03] x x sin tan x cos 0 4 [ĐH D03] Baøi 12: [Dự bị ĐH A03] tan x tan x 2sin x cos x 0 Baøi 13: [Dự bị ĐH A03] cos 2x cos x tan x 1 2 Baøi 8: Baøi 9: Baøi 10: Baøi 14: [Dự bị ĐH B03] 3cos 4x 8cos x cos x 0 x cos x 2sin 1 cos x [Dự bị ĐH B03] Baøi 15: cos x cos x 1 Baøi 16: [Dự bị ĐH D03] sin x cos x 2 sin x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (26) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Baøi 17: cot x tan x cos 4x sin 2x Baøi 18: [Dự bị ĐH D03] [ĐH B04] 5sin x 3(1 sin x) tan x Baøi 19: [ĐH D04] Baøi 20: Baøi 21: Baøi 22: Baøi 23: Baøi 24: Baøi 25: Baøi 26: Baøi 27: Baøi 28: Baøi 29: Baøi 30: Baøi 31: Baøi 32: Baøi 33: Baøi 34: Baøi 35: Baøi 36: Baøi 37: cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x sin x sin 2x cos x cox2x [Dự bị ĐH A04] [Dự bị ĐH A04] sin x cos x 1 sin x cos3 x cos x 3sin x [Dự bị ĐH B04] 1 2 cos x 4 [Dự bị ĐH B04] cos x sin x [Dự bị ĐH D04] sin 4x sin 7x cos 3x cos 6x sin 2x 2 sin x cos x 0 [Dự bị ĐH D04] 2 [ĐH A05] cos 3x cos 2x cos x 0 [ĐH B05] sin cos x sin 2x cos 2x 0 cos x sin x cos x sin 3x 0 4 4 [ĐH D05] [Dự bị ĐH A05] Tìm x 0; 4sin x 3 cos 2x 1 cos x 2 cos3 x 3cos x sin x 0 4 [Dự bị ĐH A05] 2 cos3 x 3cos x sin x 0 4 [Dự bị ĐH B05] cos 2x tan x tan x cos x 2 [Dự bị ĐH B05] sin x 3 tan x 2 cos x [Dự bị ĐH D05] [Dự bị ĐH D05] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 0 cos x sin x sin x cos x 0 2sin x [ĐH A06] x cot x sin x tan x tan 4 2 [ĐH B06] [ĐH D06] cos 3x cos 2x cos x 0 cos 3x cos3 x sin 3x sin x Baøi 38: [Dự bị ĐH A06] Baøi 39: 2sin 2x 4sin x 0 6 [Dự bị ĐH A06] Baøi 40: [Dự bị ĐH B06] 2sin 23 x 1 tan 2x cos x 1 0 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (27) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Baøi 41: cos 2x cos x sin x cos x 0 [Dự bị ĐH B06] Baøi 43: 3 [Dự bị ĐH D06] cos x sin x sin x 1 [Dự bị ĐH D06] 4sin x 4sin x 3sin 2x cos x 0 Baøi 44: [ĐH A07] Baøi 42: sin x cos x cos x sin x 1 sin 2x Baøi 45: Baøi 46: Baøi 47: Baøi 48: Baøi 49: Baøi 50: Baøi 51: Baøi 52: [ĐH B07] 2sin 2x sin 7x sin x x x sin cos cos x 2 2 [ĐH D07] [Dự bị ĐH A07] Baøi 54: Baøi 55: Baøi 56: sin x sin x 1 2 cot x 2sin x sin x [Dự bị ĐH A07] cos x sin x cos x 3(sin x cos x) 3x 5x x sin cos cos 4 2 4 [Dự bị ĐH B07] sin x cos x tan x cot x [Dự bị ĐH B07] cos x sin x 2 sin x cos x 1 12 [Dự bị ĐH D07] [Dự bị ĐH D07] (1 tan x)(1 sin x) 1 tan x sin x Baøi 53: [ĐH A08] 7 4sin x 3 sin x 3 2 [ĐH B08] sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2sin x cos 2x sin 2x 1 cos x [ĐH D08] [CĐ 08] sin 3x cos 3x 2sin 2x Baøi 58: [Dự bị ĐH A08] tan x cot x cos x sin x sin x 4 4 [Dự bị ĐH A08] Baøi 59: 2sin x sin x 3 6 [Dự bị ĐH B08] Baøi 57: Baøi 60: Baøi 61: [Dự bị ĐH B08] [Dự bị ĐH D08] 3sin x cos x sin x 4sin x cos sin x cos x cos x sin x 0 Baøi 63: tan x tan x sin x tan x 4 [Dự bị ĐH D08] (1 2sin x) cos x [ĐH A09] (1 2sin x)(1 sin x) Baøi 64: [ĐH B09] Baøi 62: x sin x cos x sin 2x cos 3x 2 cos 4x sin x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (28) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí Baøi 65: Baøi 66: [ĐH D09] cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 [CĐ 09] (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x s inx cos2 x sin x Baøi 67: [ĐH A10] t anx 4 cos x Baøi 73: s in2x+cos2 x cos x cos x s inx 0 [ĐH B10] [ĐH D10] sin x cos2 x 3sin x cos x 0 sin x cos2 x sin x sin x cot x [ĐH A11] [DB A11] 9sin x cos x 3sin x cos x 8 [ĐH B11] sin x cos x sin x cos x cos2 x s inx cos x sin x cos x s inx 0 t anx [ĐH D11] Baøi 74: [DB D11] Baøi 68: Baøi 69: Baøi 70: Baøi 71: Baøi 72: cos x cos x sin x 1 0 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 Bài A.2002 Hướng dẫn giải cos 3x sin 3x sin x cos 2x x 0; 2 2sin 2x Tìm : (1) sin x Điều kiện : cos 3x sin 3x sin x 2sin x sin 2x cos 3x sin 3x sin x 5 2sin 2x sin 2x sin x cos x cos x cos x sin 3x 5 2sin x sin 3x sin x cos x 2sin x cos x cos x 5 5 2sin x 2sin x Kết qủa cos x cos x k 2 k x k 2 x 0; 2 Vì Nên nghiệm phương trình : Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (29) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x(1 2sin x) 5 5cos x 2sin x (1) 5cos x cos x cos x cos x 0 x B.2002 cos x 2 (L) cos x cos 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x cos x cos8 x cos10 x cos12 x 2 2 cos12 x cos10 x cos8 x cos x cos x(cos11x cos x) 0 cos x.sin x.sin x 0 D.2002 Tìm x 0;14 : cos 3x cos 2x 3cos x 0 Ta có : cos 3x 4 cos x 3cos x (1) cos x 3cos x 4(1 cos x ) 0 (1) k x k x k x k ; k Vì x (0;14) 3 5 7 x ; ; ; 2 2 cos3 x 8cos x 0 cos x cos x 0 cos x 0 DB 2002 0; Xác định m để phương trình sau có ít nghiệm thuộc : 4 sin x cos x cos 4x sin 2x m 0 (1) 2 2sin x cos x sin x 2sin x m 0 (1) m 3sin 2 x sin x 0 3t 2t (m 3) 0 (2) với t sin x 5 ;x 3 x 0; x 0; t 0;1 2 Ta có : Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít 0;1 nghiệm thuộc đoạn (2) 3t 2t m y o 3 1 x y 3t 2t (P) y m d Đặt Số nghiệm (2) là số giao điểm d và (P) t 0;1 Khảo sát hàm số : y 3t 2t y ' 6t y ' 0 6t 0 t BBT x y' Phương trình (2) có ít nghiện trên 0;1 đoạn m 1 10 m Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 y – TT luyện0thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (30) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí DB 2002 sin x cos x 1 cot 2x 5sin 2x 8sin 2x Điều kiện : sin x 0 (1) 2sin x cos x 1 cos x (1) sin x 5 1 cos x (1 cos 2 x) 5cos x 2 cos x ( L) cos 2 x 5cos x 0 cos x DB 2002 tan sin x 1 2x sin 3x cos x (1) cos x Điều kiện : 4 (1) sin x cos x (2 sin x)sin x sin 2 x (2 sin 2 x)sin x sin 2 x (2 sin 2 x)2sin x 1 (2 sin 2 x)(1 2sin x) 0 2sin x 0 sin x DB 2002 cos x cos x k 2 x k 2 x k k x k sin x sin x k 2 x 5 k 2 k 2 x 18 x 5 k 2 18 k x tan x cos x cos x sin x tan x.tan (1) cos x 0 x cos 0 Điều kiện : x x x sin x sin cos x cos sin x sin x 2 tan x.tan 1 x x cos x cos cos x cos 2 Ta có : x cos x 2 x cos x cos x cos (1) tan x cos x cos x sin x cos x cos x 1 x k 2 ; k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (31) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí DB 2002 cos x 0 (L) cos x(1 cos x) 0 cos x 1 2sin x cos x a Cho phương trình : sin x cos x a= a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm Giải 2sin x cos x 1 a , phương trình thành : sin x cos x 3 (1) a)Với vì : sin x cos x x 6sin x 3cos x sin x cos x 5sin x 5cos x 0 sin x cos x 0 sin x 0 4 x k x k k sin x 0 sin x 0 4 4 (1) 2sin x cos x a sin x cos x a sin x cos x b) sin x cos x (2 a) sin x (2a 1) cos x 3a (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm : 2 a 2a 1 3a 1 4a 6a 0 a 2 sin x 8cos x a 2 DB 2002 10 A2003 (1) cos x 0 Điều kiện : sin x 0 sin x 8sin x cos x 8cos x (1) k 2sin 2 x 0 cos x 0 x k x cos 2x cot x sin x sin 2x tan x (1) sin x Điều kiện : tan x (1) Vì : sin x 0 x m2 3 x m2 ; m 5 x m2 7 x m 2 cos x cos x sin x 1 sin x(sin x cos x) sin x sin x 1 cos x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (32) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) sin x sin x cos x cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) sin x (cos x sin x) sin x sin x cos x 1 0 cos x sin x 0 sin x sin x cos x 0 cos x sin x 0 * 11 B2003 cos x 0 4 cos x 0 x k x k ; k 4 4 cos x sin x sin x sin x cos x 0 0 2 * sin x cos x 0 ( vô nghiệm ) cot x tan x 4sin 2x sin 2x (1) Điều kiện : sin x 0 cos x sin x 4sin x sin x cos x sin x (1) cos x sin x 4sin x sin x cos x sin x cos x 4sin 2 x 2 cos x cos 2 x 2 x k ; k x k k x k cos x 1 cos x cos x 0 cos x x x sin tan x cos 0 4 (1) cos x Điều kiện : 12 D2003 1 sin x cos x cos x cos x (1) sin x sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 0 sin x 1 sin x 1 cos x cos x sin x cos x 0 sin x 0 x k x k 2 x k So với điều kiện : cos x 0 Nghiệm (1) : x k 2 k x k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (33) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 13 DB A2003 tan x tan x 2sin x cos x 0 (1) Điều kiện : cos x 0 sin x sin x 2sin x cos x 3 cos x 0 cos x cos x (1) 3cos x sin x cos x cos x 0 3cos x cos x sin x cos x 0 cos x 3cos x sin x 0 cos x cos x 0 cos x cos x cos x 0 1 2 cos x cos x cos 2 14 DB A2003 15 DB B2003 cos x cos 2 2 x k 2 x 2 k 2 x k k x k cos 2x cos x tan x 1 2 (1) cos x Điều kiện : 2sin x cos x cos x 2 cos x (1) 2sin x cos x 2 cos x 1 2sin x cos x 2sin x 1 1 cos x cos x 2(1 cos x)(1 cos x ) (1 cos x) cos x cos x 2(1 cos x) cos x 0 x k x k 2 cos x cos x cos x cos x 5cos x 3cos 4x 8cos x cos x 0 3(1 cos x ) cos x(4cos x 1) 0 cos 2 x cos x(2 cos x 1)(2 cos x 1) 0 cos 2 x cos x(2 cos x 1) cos x 0 cos x 3cos x cos x(2 cos x 1) 0 cos x cos x 5cos x 0 k x 4 x k k cos x 0 cos x 5cos x 0 k cos x 0 x k x ; k * Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (34) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x 1 cos x 5cos x 0 sin x 0 cos x ( L) * 16 DB B2003 cos x 2sin cos x 1 cos x Điều kiện : (2 x 1 (1) 3) cos x 1 cos x 2 cos x cos x cos x sin x 2 cos x cos x sin x 0 cos x sin x 0 cos x cos sin x sin 0 2 6 cos x 0 x k x k ; k 6 (1) Vì : Nên nghiệm phương trình : cos x x 4 k 2 ; k 17 DB D2003 cos x cos x 1 sin x cos x 2 sin x (1) sin x cos x sin x 0 4 Điều kiện : (1) (1 sin x)(cos x 1) 2(1 sin x)(sin x cos x) sin x (1 sin x)(cos x 1) 2(sin x cos x) 0 sin x cos x sin x cos x sin x 2sin x cos x 0 x k 2 k x k 2 sin x sin x sin x cos x cos x 0 sin x (1 sin x) cos x(1 sin x) 0 18 DB D2003 sin x sin x cos x 0 cos x cos 4x cot x tan x sin 2x (1) sin x cos x 1 Điều kiện : cos x cot x tan x sin x (1) x k ; k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (35) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x cos x cos x cos 2 x cos x 0 19 B2004 cos x 1( L) cos x cos 2 5sin x 3(1 sin x) tan x (1) Điều kiện : cos x 0 3sin x 5sin x (1 sin x) sin x (1) (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x x k 2 k x 5 k 2 sin x sin 2sin x 3sin x 0 sin x cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x 20 D2004 (2 cos x 1)(2sin x cos x) sin x(2 cos x 1) cos x 1 sin x cos x 0 cos x cos x 1 sin x 0 sin x cos x 0 4 21 DB A2004 cos x cos sin x 0 4 x k 2 k x k sin x sin 2x cos x cox2x sin x sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x 2 2 sin x cos x 3 6 sin x cos x sin x 3 3 2 sin x sin x 0 3 3 3x sin 0 3x x 2sin cos 0 x cos 0 3x k x k 2 2 k 2 x x k 2 k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (36) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 22 DB A2004 sin x cos x 1 (1) TXĐ : D Chú ý : sin x 0 ; cos x 0 (sin x cos x ) (1 sin x)(1 cos x) 1 (1) (sin x cos x) (sin x cos x) sin x cos x 1 (2) t 1 sin x cos x t 2 Đặt : t sin x cos x ; ,khi đó : (2) t t 2t 0 t (t 1)2 0 t t 0 23 DB B2004 t t k 2 k x k 2 ( nhận xét và suy : t 1 ) t 1 sin x cos x 1 cos x cos 4 (3) x k 2 x k 2 4 k 3 sin x cos x cos x 3sin x (3) 4sin x cos3 x cos x 3sin x 0 4sin x cos x(1 sin x) cos x 3sin x 0 4sin x 3cos x 4sin x cos x 3sin x 0 3(cos x sin x) 4sin x(cos x sin x) 0 (cos x sin x) 4sin x 0 cos x 0 cos x sin x 0 sin x sin x sin x 24 DB B2004 1 2 cos x cos x sin x 4 x k k x k (1) Điều kiện : sin x 0 sin x cos x 2 cos x 4 (1) Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (37) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 25 DB D2004 cos x 2 cos x sin x 4 4 cos x sin x 0 4 x k cos x 0 k 4 x k 2 sin x sin 4x sin 7x cos 3x cos 6x 1 cos11x cos( x) cos x cos x 2 cos11x cos x cos x cos x cos11x cos x 0 10 x k cos10 x 0 cos10 x cos x 0 cos x 0 x k 26 DB D2004 27 A2005 x k k x k k x x 20 k10 k x k sin 2x 2 sin x cos x 0 (1) Đặt t sin x cos x với t t 3 t 2t 0 t (1) sin x t Với t sin x cos x cos x x k 2 k 4 2 cos 3x cos 2x cos x 0 (1 cos x ) cos x cos x 0 2 cos x cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 cos8 x cos x 0 cos x cos x 0 cos x 1 cos x cos x 0 cos x sin cos x sin 2x cos 2x 0 sin x cos x sin x cos x cos x 0 x 5 k 2 ; k x k ,k 28 B2005 (sin x cos x) cos x(sin x cos x) 0 sin x cos x 0 (sin x cos x) cos x 0 cos x cos 2 x k k x 2 k 2 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (38) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 29 D2005 cos x sin x cos x sin 3x 0 4 4 1 2sin x cos x sin x sin x 0 2 2 sin 2 x cos x sin x 0 sin 2 x (1 2sin 2 x) sin x 0 sin x 1 sin x sin x 0 sin x x 3 4sin cos 2x 1 cos x x 0; Tìm : 30 DB A2005 2(1 cos x) 3 cos x 1 cos x cos x 2 sin x x k ; k 3 cos x sin x cos x cos x cos x sin x 31 DB A2005 32 DB1 B2005 (chia vế cho 2) cos x cos x sin x cos( x) cos x 2 6 x x k 2 cos x cos( x) x x k 2 5 k1 2 x 18 k1 ; k2 x 7 k 2 k1 5 17 k1 0;1 x ; x k (0; ) 18 18 Vì k2 5 k2 1 x k (0; ) Vì 2 cos3 x 3cos x sin x 0 4 cos x 3cos x sin x 0 (cos x sin x)3 3cos x sin x 0 5 x 18 x 17 18 x 5 x k k x k cos3 x sin x 3cos x sin x 3cos x sin x 3cos x sin x 0 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (39) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x 0 sin x sin x 0 cos x 0 1 tan x tan x tan x 3(1 tan x) tan x(1 tan x) 0 sin x 1 tan x 1 33 DB B2005 cos x 0 tan x 1 cos 2x tan x tan x cos x (1) 2 Điều kiện : sin x 0 2sin x cot x tan x cos x (1) tan x 0 tan x tan x tan x 34 DB D2005 sin x 3 tan x 2 cos x (1) Điều kiện : sin x 0 sin x cos x sin x cot x 2 2 cos x sin x cos x cos x(1 cos x) sin x 2sin x(1 cos x) cos x cos x sin x 2sin x(1 cos x) cos x 1( L) (1 cos x) 2sin x 0 sin x sin (1) x k ; k x k 2 k x 5 k 2 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (40) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 35 DB D2005 sin 2x cos 2x 3sin x cos x 0 2sin x cos x 2sin x 3sin x cos x 0 2sin x (2 cos x 3) sin x cos x 0 (1) Chú ý : (1) là phương trình bậc với biến sin x 2 Ta có : (2 cos x 3) 8(cos x 1) (2 cos x 1) cos x cos x cos x sin x sin x cos x cos x Nghiệm (1) : x k 2 x 5 k 2 k x k 2 x k 2 x k 2 sin x sin k x 5 k 2 sin x cos x sin x cos x 1 sin x sin 4 36 A2006 cos x sin x sin x cos x 2sin x (1) điều kiện : sin cos x sin x cos x 0 (1) 0 sin x 3sin 2 x 1 sin x 0 sin x 1 3sin x sin x 0 sin x sin x 1 x k 2 x k ; k 37 B2006 x cot x sin x tan x tan 4 2 (1) sin x 0 x x 1 tan x.tan cos 0 cos x Điều kiện : Ta có : cos x sin x 4 4 sin x cos x sin x cos x (1) 2 vì : sin x 2 x k 2 x 3 k 2 Nghiệm (1) 5 x k 2 ; k x 12 k k x 5 k 12 x k 2 2sin x 1 sin x sin x 5 k 2 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (41) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 38 D2006 cos 3x cos 2x cos x 0 cos x cos x cos x 0 2sin x sin x 2sin x 0 2sin x sin x sin x 0 2sin x(2sin x cos x sin x) 0 sin x 0 2sin x cos x 1 0 cos x cos x k k x k 2 39 DB A2006 cos 3x cos3 x sin 3x sin x 23 (1) Ta có : cos 3x 4 cos3 x 3cos x cos3 x cos 3x 3cos x 3sin x sin 3x 3 cos 3x cos x 3cos x sin x 3sin x sin x sin 3x 3sin x 4sin x sin x (1) 3 2 cos x 3cos x cos x 3sin x sin x sin x 1 cos x cos x sin x sin x 1 2 cos x sin x k 2 ; k 4 cos 3x cos 3x 3cos x sin 3x 3sin x sin x 40 DB A2006 2sin 2x 4sin x 0 6 sin x cos cos x sin 4sin x 0 6 x k k x 7 k 2 sin x cos x 4sin x 0 sin x cos x 4sin x 2sin x 0 2sin x cos x sin x 0 sin x 0 cos x sin x 0 41 DB B2006 k x ;k 16 2sin x k cos x 6 x 1 tan 2x cos x 1 0 điều kiện : cos x 0 (1) k x ;k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (42) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x.tan 2 x 3cos x 0 cos x tan 2 x 0 tan 2 x 3 tan x tan tan x 3 tan x tan tan x 3 (1) 42 DB B2006 cos 2x cos x sin x cos x 0 (cos x sin x) (1 cos x)(sin x cos x) 0 (cos x sin x) cos x sin x cos x 1 0 cos x 0 4 cos x sin x 0 sin x cos x 1 sin sin x 4 x k x k x k 2 x k 2 k 4 x 3 k 2 x k 2 4 43 DB D2006 cos x sin x 2sin x 1 sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 0 sin x cos x sin x cos x(1 sin x) 0 sin x cos x sin x cos x 0 44 DB D2006 x k x k 2 x k 2 ; k sin x 0 sin x cos x 0 sin x x k 2 cos x 1 x k 2 4sin x 4sin x 3sin 2x cos x 0 x k x k 2 ; k x k 2 x k 2 k x 2 k 2 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (43) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 4sin x(sin x 1) cos x(sin x 1) 0 (sin x 1)(4sin x cos x ) 0 (sin x 1) 4(1 cos x) cos x 0 45 A2007 sin x sin x cos x 2 cos x 3cos x 0 cos x 2 sin x cos x cos x sin x 1 sin 2x cos x sin x cos x sin x cos x sin x (sin x cos x) 2 (sin x cos x) sin x cos x(sin x cos x) (sin x cos x) 0 (sin x cos x) sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 0 (sin x cos x)(1 sin x)(1 cos x) 0 1 sin x 0 cos x 0 46 B2007 2sin 2x sin 7x sin x sin x sin x 2sin 2 x 0 cos x.sin 3x cos x 0 cos x 0 cos x 2sin 3x 1 0 sin 3x sin 47 D2007 k x 8 x k 2 ; k 18 x 5 k 2 18 x x sin cos cos x 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 48 DB A2007 x k x k 2 ; k x k 2 x k 2 sin x sin 3 x 5 k 2 1 sin x sin x 2 cot x sin x sin x (1) điều kiện : sin x 0 x k 2 k x k 2 k x ;k 2 (1) sin x sin x sin x cos x 2 cos x Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (44) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí sin 2 x cos x (2sin x 1) 2 cos x cos 2 x cos x.cos x cos x 0 cos x (cos x cos x 2) 0 cos x 0 cos x (2 cos x cos x 1) 0 cos x cos x 0 (VN ) 49 DB A2007 cos x sin x cos x 3(sin x cos x) cos x sin x 3(sin x cos x) cos x sin x 3(sin x cos x) 1 1 3 cos x sin x 6 sin x cos x 2 2 2 cos x 6 cos x 3 6 cos x 3cos x 6 6 cos x 3cos x 0 6 6 50 DB B2007 cos x cos x cos x 3 0 6 cos x 3x 5x x sin cos cos 4 2 4 x 3x 5x sin sin cos 4 2 k ; k 0 6 6 3x 3x cos x sin cos 4 2 3x 3x cos x cos cos 4 2 51 DB B2007 x 3x cos 0 3x cos 2cos x 0 cos x sin x cos x tan x cot x cos x sin x (1) điều kiện : sin x 0 cos x.cos x sin x.sin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x (1) k 2 x 3 x k 2 ; k x k 2 x k 2 ; k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (45) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x 0 cos x ( L) cos x cos x 0 cos x 52 DB1 D2007 2 sin x cos x 1 12 sin x sin 1 12 12 sin x sin 12 12 sin x sin sin 2sin cos 12 12 12 53 DB1 D2007 5 5 sin x cos cos sin 12 12 12 12 5 x 12 12 k 2 x 7 k 2 12 12 (1 tan x)(1 sin x) 1 tan x (1) điều kiện : cos x 0 cos x sin x sin x cos x (sin x cos x) cos x cos x (1) x k k x k (cos x sin x )(sin x cos x) cos x sin x (cos x sin x ) (cos x sin x)(cos x sin x) 1 0 2 (cos x sin x )(cos x sin x 1) 0 cos x sin x 0 (cos x sin x )(cos x 1) 0 cos x 1 cos x 0 x k 4 x k cos x 1 54 A2008 sin x 7 4sin x 3 sin x (1) 3 sin x 0 Điều kiện : sin x 0 và x k k x k x k x k ; k x 5 k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (46) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 1 2(sin x cos x) (1) sin x cos x 3 sin x cos x Chú ý : 7 sin x sin x sin x cos x 4 1 2(sin x cos x ) (1) sin x cos x sin x cos x 2(sin x cos x) sin x cos x (sin x cos x) 2 0 sin x cos x sin x cos x 0 sin x sin x cos x 0 sin x sin x sin 4 55 B2008 sin x cos3 x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x) 0 cos x(sin x cos x) 0 cos x 0 cos x 0 sin x 0 sin x cos x 0 3 56 D2008 2sin x cos 2x sin 2x 1 cos x 4sin x cos x sin x 1 cos x sin x(2 cos x 1) (1 cos x) 0 (2 cos x 1)(sin x 1) 0 cos x sin x 1 57 CĐ 2008 k x 4 k x k sin 3x cos x sin x 1 2 x k 2 k x k cos 3x 2sin 2x sin x cos x sin x 2 3x sin 3x sin x 3 3x 2 x k 2 k x k 2 x k 2 k x 4 k 2 15 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (47) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 58 DB A2008 tan x cot x cos 2 x (1) điều kiện : sin x 0 cos x sin x cos 2 x 0 sin x cos x (1) cos x cos x sin x 0 cos x sin x.cos x 0 cos x 0 cos x(1 sin x) 0 sin x 59 DB A2008 x k x k 2 sin x sin x 4 4 1 sin x cos x sin x cos x 1 2 sin x sin x (1 cos x) cos x 0 sin x (2 cos x 1) cos x cos x 0 sin x (2 cos x 1) cos x(2 cos x 1) 0 (2 cos x 1)(sin x cos x) 0 60 DB B2008 k x 4 k x k x k 2 k x k cos x cos x 0 sin x 0 sin x cos x 0 4 2sin x sin x 3 6 1 sin x cos x sin x cos x 2sin x sin x cos x sin x cos x 2 cos x sin x sin x sin x 0 (1 sin x)( cos x sin x) 0 sin x 1 cos x sin x 0 x k k x k 2 x k 2 sin x 0 3 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (48) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 61 DB B2008 x cos x 3sin x cos x sin x 4sin x 3sin x cos x sin x 2sin x sin x 3sin x cos x sin x 4sin x cos cos x sin x 0 2sin x sin x 0 sin x 1 sin x sin 6 62 DB D2008 63 DB D2008 x k 2 x k 2 ; k x 7 k 2 sin x cos x cos x sin x 0 sin 2 x 1 2sin x sin x 0 sin x 4sin x sin x 0 sin x ( L) tan x tan x sin x tan x 4 x k ; k (1) điều kiện : cos x 0 tan x tan x sin x cos x tan x (1) cos x tan x tan x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x cos x 2sin x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x 1 0 x k x k 2 ; k x 5 k 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 2sin x 1 sin x cos 64 A2009 (1) sin x 1 (1 2sin x) cos x sin x (1 2sin x)(1 sin x) (1) điều kiện : 2sin x cos x 3(1 sin x)(1 sin x) x k 2 18 ; k Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (49) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí cos x sin x sin x 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 3 cos x sin x sin x cos x 2 2 x x k 2 cos x cos x 3 6 x x k 2 x k 2 k x k 2 18 65 B2009 sin x cos x sin 2x cos 3x 2 cos 4x sin x sin x 2sin x cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos x cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos 3x cos x 2 x 3 x k 2 cos x cos x 6 x x k 2 66 D2009 x k 2 k x k 2 42 cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 cos x sin x sin x sin x 0 cos x sin x 2sin x cos x sin x sin x 2 x 5x k 2 x k 2 3 sin x sin x 3 x 2 x k 2 x 2 k 2 3 k x k x k 18 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (50) Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận các lớp 8, 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học nhà theo nhóm cá nhân, học trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệmí 67 CĐ 2009 (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x (1 4sin x 4sin x) cos x 1 sin x cos x cos x 2sin x 4sin x cos x sin x cos x 0 2sin x 1 sin x 2sin x 1 0 sin x sin 2sin x 1 (sin x 1) 0 sin x x k 2 x k ; k 12 x 5 k 12 Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944 323844 (51)