Đang tải... (xem toàn văn)
aChứng minh tứ giác DHMK là hình bình hành bTính tỉ số diện tích giữa hình bình hành DHMK và diện tích tam giác ABC.. UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÃO DỤC VÀ ĐÀO TẠO..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI Năm học 2009-2010 Môn: Toán - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (3,0 điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sô có hai chữ số nhỏ số ban đầu là 45 b, Với n là số tự nhiên, chứng minh n5 và n có chữ số tận cùng Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a2 + b2 = x2 + y2 Chứng minh rằng: a2010 + b2010 = x2010 + y2010 Câu 3: (2,0 điểm) x x x 0 a, Giải phương trình: x xy y 3 z yz 0 b, Giải hệ phương trình: Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Vẽ góc xOy = 450 cho Ox cắt BC G (G nằm B, C) Oy cắt DC H (H nằm D, C) Gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng: a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB b, GM // AH Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A lần góc B và lần góc C Chứng minh rằng: 1 AB BC AC Hết (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU HƯỚNG DẪN CHẤM Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010 Môn: Toán Lớp Câu Nội dung Điểm a) Gọi số cần tìm là ab 0,5 ta có ab ba 45 (10a b) (10b a) 45 a b 5 (*) mà ab3 a b3 a b 3; 6;9;12;15;18 (**) 0,5 Từ (*) và (**) suy a + b = 9; 15 a b 5 a 7 a b b 2 Với a b 5 a 10 vô lý a b 15 Với 0,5 Vậy số phải tìm là 72 0,5 b) Xét n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 + 1)(n – 1)(n + 1) = n(n2 – + 5)(n – 1)(n + 1) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1) Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) 10, 5n(n – 1)(n + 1) 10 Suy điều phải chứng minh 0,5 0,5 Từ a + b = x + y (*) a–x=y–b Mặt khác a2 + b2 = x2 + y2 a2 – x2 = y2 – b2 (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b) (a + x)(a – x) = (y + b)(a – x) 0,5 a x 0(**) a x b y (***) a b x y b y a 2010 b2010 x 2010 y 2010 Với a x a b x y a y b x a 2010 b 2010 x 2010 y 2010 Với a x b y Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh 0,5 0,5 (1) 0,5 (2) a, x4 + x3 + 2x -4 =0 (x - 1)(x + 2)(x2 + 2) = => x=1 x = -2 2 ( x2 ) ( y 4) (1) y x xy y 3 ( z y ) (4 y ) (2) z yz 0 b, y 0 y 0 y 2 y 0 1 (3) +) Với y 2 x 1, z y x 1, z 1 +) Với a, HOD + O1=1350 OGB + O1=1350 nên HOD = OGB ->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g) b, từ câu a, suy : HD DO OB BG đặt BM = a Thì AD = 2a , OB = OD = a Ta có HD.BG = OB.OD = a a =2a.a =AD.BM HD BM = => => ΔAHD đồng dạng AD BG với ΔGMB(c.g.c) => AHD = GMB đó HAB = GMB => MG // AH M A B O G H D Gọi D là giao điểm AB với đường trung trực đoạn BC Khi đó ta có: ΔBCD cân D, ΔACD cân C AB AB DB DC CA CA DB (1) Do CA là phân giác B AB AD AB AD BC DC BC DB (Vì DC =DB) (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: AB AB AB AD 1 1 AC BC DB DB AC BC AB C D A C (4) Đề thi HSG Toán - cấp huyện C©u 1: a) T×m c¸c sè nguyªn m, n tho¶ m·n b) §Æt A = n3 + 3n2 + 5n + Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña n c) NÕu a chia 13 d vµ b chia 13 d th× a2+b2 chia hÕt cho 13 C©u2 : Rót gän biÓu thøc: a) A= bc (a − b)(a −c ) ca (b − c)(b − a) b) ( ) ( ) ( x + 1x ) + x + x1 + + ab (c −a)(c −b) x+ B= 1 − x + −2 x x 3 C©u 3: TÝnh tæng: S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 2009.2011 C©u 4: Cho sè x, y, z, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz = 2011 Chøng minh r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z : 2011x y z xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1942 1944 1946 1948 1950 xMy Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm BC Một góc = 600 quay quanh ®iÓm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña BDE vµ CED c) Chu vi ADE không đổi §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u S¬ lîc lêi gi¶i n n 1 m n = n + n 1 a, Thùc hiÖn chia §Ó m nguyªn víi n nguyªn n + lµ íc cña BiÓu ®iÓm 0.5 0.5 (5) Hay n + 1; -1 Khi đó : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Víi n = m = Víi n = -2 m = - VËy b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi đó : 3(n+1) n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp nªn tån t¹i mét sè lµ béi cña c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13 bc ca ab a) A= (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) (đổi dấu) (a b)(a c)(b c) = … = (a b)(a c)(b c) = 0.5 0.5 0.5 0.5 b) Ta cã: 1 x x = 2 x x (x ) 3(x ) x x ; x x 1 x x (x ) 3(x ) x x x x Tö thøc: = 1 3 x x3 3 x x x x = x x x 3 x 1 1 x x x 3 x x x = x x Méu thøc: Rót gän ta cã: B = 3(x + ) x 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 3 2009 2011 2011 2011 S= 2011x y z 2011 2011x xy xyz y yz z zx 2 xy.xz y z = xyz x yz xy xyz y yz z zx = xy xz xy (xz+ z +1) + 1+ z +zx + z = 1+ z +zx 1+ z + xz = không đổi 1+ z +zx 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948 1950 1 1 ( ) (2011 – x) 1942 1944 1946 1948 1950 = 1 1 0 2011 - x = ( v× 1942 1944 1946 1948 1950 ) x = 2011 VÏ h×nh a,Chøng minh BMD CEM 0.5 0.5 0,5 2.5 1.5 (6) BC BC V× BM = CM = BD.CE = b, Chøng minh BMD MED y A 1.5 x E D B 2 M ˆ ˆ Từ đó suy D1 D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH KÕt luËn… Chó ý: Cã nhiÒu c¸ch kh¸c , nhng cã chung kÕt qu¶ UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÃO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2002-2003 MÔN TOÁN - LỚP (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1:(4 điểm) Cho phân thức: A= x 28+ x 24 +x 20 + .+ x +1 30 28 26 x +x +x + + x +1 a) Rút gọn phân thức b) Tìm x để A lớn Bài 2: ( điểm) Cho n số a1, a2, .,an Mỗi số có giá trị -1 và a1a2+a2a3+a3a4+ +ana1= Chứng minh n chia hết cho Bài : (4 điểm) Chứng minh nếu: x 1+ 1 1 =x + =x + = =xn + x2 x3 x4 x1 thì x1 = x2 = x3 = =xn / x1.x2.x3 xn / = Bài : (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm, O là điểm cách ba đỉnh tam giác và M là trung điểm BC a) Chứng minh OM= AH C (7) b) Chứng minh AH.BC + BH.CA + CH.AB = 4.S ( S là diện tích tam giác ABC) Bài : ( điểm) Cho tam giác ABC Gọi O là trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N cho góc MON 600 a) Chứng minh tam giác BOM đồng dạng với tam giác CNO b) Chứng minh MO là phân giác góc BMN UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2004-2005 MÔN TOÁN - LỚP (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1: Giải phương trình: a) //x/ - 1/ = b) ( x - 1)( x - 3)(x + 5)(x + 7) =297 Bài 2: Cho A = n3 + 3n2 + 2n với n là số nguyên dương và chẳn a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh A luôn chia hết cho 24 Bài : Cho a, b, c thoả mãn: abc = và a b c b2 c2 a2 + + = + + b2 c a2 a b c Chứng minh số a,b,c là bình phương số còn lại Bài : Cho tam giác ABC , trung tuyến AD Trên đoạn AD lấy M , N cho AM = MN = ND Vẽ DK // BM ( K AC); KN cắt BM H a)Chứng minh tứ giác DHMK là hình bình hành b)Tính tỉ số diện tích hình bình hành DHMK và diện tích tam giác ABC c)Chứng minh MH.AC = AK MB UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÃO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2005-2006 (8) MÔN TOÁN - LỚP (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1: Giải phương trình: a) (x + 3)3 - ( x + 1)3 = 56 x −5 x − x −100 x −101 b) 100 + 101 = + Bài 2: Chứng minh : a) b) x y + ≤− ( x, y khác dấu) y x x 2+ y ≥ ( với x + y = 1) Bài : Cho n số nguyên dương ( có thể nhau) đó có số 136 Trung bình cộng n số đó là 112 Nếu bỏ số 136 thì trung bình cộng n-1 số còn lại 110 a) Tìm n b) Số lớn n số đã cho bao nhiêu? Bài : Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC Các đường thẳng qua D và song song với AB, AC lần lược cắt cạnh AC , AB E và F a)Chứng minh b)Chứng minh AF AE + =1 AB AC AF AE S AEF = AB AC SABC với S là ký hiệu diện tích c)Xác định D trên cạnh BC để SAEF là lớn (9)