GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đối với một số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy về dạng đơn giản.. Tùy theo dạng phương trình có thể đặt một ẩn, nhiều ẩn, quy về phương trình hoặc [r]
(1)Dạng II GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đối với số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy dạng đơn giản Tùy theo dạng phương trình có thể đặt ẩn, nhiều ẩn, quy phương trình hệ phương trình Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn a Một số dạng thường gặp Nếu có f (x) và f(x) thì đặt t = f (x) Nếu có f ( x) , g ( x) mà f ( x) g ( x) = a (hằng số) đặt t = Nếu có f ( x) ± g ( x) , f ( x) g ( x) , f ( x) ± g ( x) = a đặt t = b Ví dụ áp dụng Ví dụ Giải phương trình: x − x + (4 − x)( x + 2) =11 Lời giải Đặt t = f ( x) ⇒ g ( x) = a / t f ( x) ± g ( x) 4(− x)(2 + x) , t ≥ Phương trình đã cho trở thành t + 4t − = ⇔ t = V t = Ta thấy t = 1, t = thỏa mãn t ≥ Với t = thì (4 − x)(2 + x) = ⇔ (4 − x)(2 + x) = ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 2 Với t = thì (4 − x)(2 + x) = ⇔ (4 − x)(2 + x) = ⇔ x − x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm là x = 1± 2 , x = Ví dụ Giải phương trình + x + − x − (3 + x)(6 − x) = (*) 3 + x ≥ Lời giải Điều kiện ⇔ −3 ≤ x ≤ 6 − x ≥ t2 − Cách 1: Đặt t = + x + − x ⇒ (3 + x)(6 − x) = Pt đã cho có dạng: t2 − t− = ⇒ t − 2t − = ⇔ t = −1(loai ) ∨ t = Với t=3 thay vào biểu thức đặt x = ∨ x = −3 Ví dụ Giải phương trình: 5( x − + x − 1) = x − + x − x + Đkxđ x ≥ đặt t= x − + x − đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0 Ví dụ Giải phương trình: (1 + x) − − x + (1 − x) = x = ±1 không là nghiệm pt đã cho Chia vế PT cho − x ⇔2 1+ x 1− x 1+ x + − = đặt t = ⇒ 2t + / t − = ⇔ 2t − 3t + = 1− x 1+ x 1− x giải có t = 1, t = 1/ suy nghiệm phương trình Bài tập đề nghị − 2x 4x + a ( x − 1)( x + 2) + x + x + = b + =3 x +1 − 2x d c − x + x + = x − x + 13 (2) − x + x + + − x − 6x + = e f x + + 3x + + 3x + 13x + = 51 − x g x + x x − x − x2 − + x + x2 − = h = 3x + x ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x m p x + x + 11 = 31 15 x − x − = x − 15 x + 11 q ( x + 5)(2 − x) = x + 3x r (1 + x)(2 − x) = + x − x s x + 17 − x + x 17 − x = Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn ) ( Ví dụ Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔ t = x − Ví dụ Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ ( x + 1) t = x Khi đó phương trình trở thành : + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn t = t = x − : x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ Bài tập đề nghị 2 (4x-1) x + 8x2+2x+1 x − = x x − x x + x + − ( x + 2) x + = Đặt ẩn phụ đưa dạng tích Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1)( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b )( v − a ) = A2 = B Ví dụ Giải phương trình : x + + x + = + x + 3x + (3) Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 x = x + −1 = ⇔ x = −1 ) Ví dụ Giải phương trình : x + + Giải: + x = , không phải là nghiệm + x ≠ , ta chia hai vế cho x : 3 x2 = x + x2 + x x +1 x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ − 1 x x Ví dụ Giải phương trình: Giải: dk : x ≥ −1 ( ) x −1 = ⇔ x = x + + x x + = x + x2 + x + x = x +1 −1 = ⇔ x = 4x Ví dụ Giải phương trình : x + + =4 x x+3 pt ⇔ ( x + − 2x )( ) Giải: Đk: x ≥ Chia hai vế cho 4x 4x 4x x + : 1+ =2 ⇔ 1 − = ⇔ x =1 x+3 x+3 x + Đặt ẩn phụ quy hệ phương trình u = n a − f ( x) u n + v n = a + b Dạng 1: đặt ẩn phụ a − f ( x) + b + f ( x) = c → ⇒ v = n b + f ( x) u + v = c u = − x u + v = Ví dụ Giải phương trình: − x + + x = → ⇒ 3 v = + x u + v = Ví dụ Giải phươngtrình: u = x = u = − x u + v = − x = 1− x −1 → ⇒ ⇒ u = ⇒ x = v = x − u + v = u = −2 x = 10 n n Dạng 2: ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ : ax + b = c(dx + e) + nx + m Ví dụ Giải phương trình: x + = −4 x + 13 x − ⇒ x + = −(−2 x + 3) + x + dat − y + = x + − y + = −(−2 x + 3) + x + (−2 y + 3) = x + y + x = y ⇔ ⇔ ⇒ (−2 y + 3) = x + (−2 y + 3) = x + 2 y = − x (4) 15 − 97 11 − 73 2)2 y = − x ⇒ x − 11x + = ⇒ x = Ví dụ Giải phương trình: x − x + = (1) Giải : Điều kiện : x + ≥ ⇔ x ≥ −5 Đặt x + = y với y ≥ Từ đó 1) x = y ⇒ x − 15 x + = ⇒ x = x − y = 5(2) phương trình (1) trở thành hệ phương trình : y − x = 5(3) Trừ vế với vế (2) và (3) ta : x − y + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = Xảy trường hợp : a) x − y = hay x = y ≥ , thay vào (2) phương trình : x − x − = giải : x1 = (1 + 21) b) x + y + = hay y = − x − ≥ , thay vào (2) cú : x + x − = giải : x = − (1 + 17 ) Kết luận : Với nghiệm x1 , x thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có nghiệm x1 , x trên Dạng 3: Đưa hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau : A− B = C ⇒ A − B = α , đĩ ta có hệ: A− B A + B = C ⇒ A = C +α A − B = α Ví dụ Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + ( ) ( ) Giải: Ta thấy : x + x + − x − x + = ( x + ) x = −4 không phải là nghiệm Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : 2x + = x + ⇒ x2 + x + − x2 − x + = 2 x2 + x + − x2 − x + Vậy ta có hệ: x = 2 x + x + − x − x + = 2 ⇒ 2x + x + = x + ⇔ 2 x = x + x + + x − x + = x + Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= Ví dụ Giải phương trình : x2 + x + + x − x + = 3x (5) ( ) ( ) Ta thấy : x + x + − x − x + = x + x , không thỏa mãn điều kiện trên Ta có thể chia hai vế cho x và đặt t = thì bài toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau: 1 + − x = x(1 + − x ) x − + x +1 = 3 x + 35 − x = − (1 + x) + x = x + x = x + x + = x − (Đặt y= x − ) − x + x − = x = x − 1 + 1− x x Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành: + α + β = v = thử trực tiếp v v Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) các biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng này a Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải phương pháp trên P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) ( ) Ví dụ Giải phương trình : x + = x3 + Giải: Đặt u = x + 1, v = x − x + u = 2v ± 37 Phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ Tìm được: x = u = v Ví dụ Giải phương trình : x − x + = − x + x2 + 2 Ví dụ giải phương trình sau : x + x − = x − Giải: (6) Đk: x ≥ ( ) Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + = ( ( x − 1) ( x + x + 1) ) Đồng thức ta được: ( x − 1) + x + x + = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Ví dụ Giải phương trình : x − x + Giải: Nhận xét : Đặt y = và y : ( x + 2) − 6x = x + ta hãy biến pt trên phương trình bậc x x = y x3 − x + y − x = ⇔ x3 − xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − B.Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng này thường khó “phát “ dạng trên , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa dạng trên Ví dụ giải phương trình : x + x − = Giải: x4 − x2 + u = x Ta đặt : đó phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − Ví dụ 6.Giải phương trình sau : Giải Đk x ≥ (x x2 + x + x − = 3x2 + x + 1 Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) 1− u= v u = x + x 2 Ta có thể đặt : đó ta có hệ : uv = u − v ⇔ v = x − 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Ví dụ giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + (7) Giải: Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = (x − x − 20 ) ( x + 1) ( ) Nhận xét : không tồn số α , β để : x − x + = α x − x − 20 + β ( x + 1) ta không thể đặt u = x − x − 20 v = x + Nhưng may mắn ta có : (x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + )( x − )( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) ( ) Ta viết lại phương trình: x − x − + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến đây bài toán giải (8)