NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại... Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang Trêng THCS §øc Th¾ng.[r]
(1)Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang Trêng THCS §øc Th¾ng đề thi học sinh giỏi năm học 2012-2013 M«n To¸n líp Thêi gian: 150 phót Ngµy lµm bµi : 24/11/2012 Bµi (1,5 ®iÓm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 Bài (2,0 điểm) Cho hµm sè: y = ( 3k-1)x – 2k (1) a)Tìm k và vẽ đồ thị (d) hàm số (1) biết (d) qua điểm A ( 2; ) b) Tìm giao điểm C và B đờng thẳng (d) với trục hoành và trục tung c) Tính diện tích tam giác OBC và độ dài đờng cao OH tam giác BOC Bµi 3: (2,0 ®iÓm) a b ab a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã: Dấu đẳng thức xảy nào ? b) Cho ba sè thùc a, b, c kh«ng ©m cho a b c 1 Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy nào ? 6 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän th× biÓu thøc P sin cos cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bé đó Bµi 4: (1,5 ®iÓm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t« NÕu mçi « t« chë 22 ngêi th× cßn thõa mét ngêi NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối tất các học sinh lên các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh cắm trại vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ngêi Bµi ( 3,0 ®iÓm ) 1) Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD vµ ABC 1 2 r a a) Chøng minh : R 8R 3r ( R r ) ; ( KÝ hiÖu S ABCD lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD ) b) Chøng minh : BC 2) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BAC 108 Chøng minh : AC lµ sè v« tØ S ABCD (2) Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang Trêng THCS §øc Th¾ng Hd chÊm §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái M«n: To¸n Bµi Bµi (1,5 ®) Cho ®iÓm S¬ lîc lêi gi¶i x x ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x ( x x 2) x 2( x x 2) x2 √ 3+ √ ¿2 x=2 √6 +3 vào được: Thay Bµi (2,0®) 0,75 0,75 ¿ ¿ √¿ 1 = √2 √ 6+2+3 ¿ a) §å thÞ d cña hµm sè (1) ®i qua A (2;2) ta cã = ( 3k – ) -2k <=> k = đồ thị y = 2x - b) Vẽ đồ thị y = 2x - Víi x = => y = -2 => giao diÓm cña d víi trôc Oy lµ B( 0; - 2) Víi y = => x = => giao ®iÓm cña d víi trôc Ox lµ C ( 1; 0) 0,5 0.5 0,5 O C H c) Tính đợc diện tích tam giác BOC là ( đơn vị diện tích ) √5 ; OH = B2 0,25 ( §¬n vÞ dµi ) 0,25 a, Ta cã: a 2ab b a 2ab b a b ab ab 4 Bµi (2,0®) a b 0, a, b R 2 a b ab, a, b R a b 4ab, a, b R VËy: Dấu đẳng thức xảy a b b ,Theo kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: 2 a b c a b c 4a b c mµ a b c 1 (gi¶ thiÕt) 4a b c b c 4a b c nªn: (v× a, b, c kh«ng ©m nªn b + c kh«ng ©m) b c 4bc (kh«ng ©m) Nhng: Suy ra: b c 16abc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) a b c 1 b c , a Dấu đẳng thức xảy khi: b c c , Ta cã: P sin cos sin co s P sin cos sin sin cos cos P sin cos 3sin cos 1 3sin cos ¸p dông kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: sin cos 4sin cos 4sin cos sin cos P 1 3sin cos 1 Suy ra: Pmin Bµi (1,5®) Bµi (3,0®) 1a 1b 4 vµ chØ khi: sin cos sin cos (v× lµ gãc nhän) 0,25 0,25 Do đó: sin 0,25 1 tg 1 450 cos + Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ x ( x nguyªn vµ x 2) Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 0,25 + Theo giả thiết: Nếu số xe là x thì số học sinh phân phối cho tất các xe, 0,25 mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ < y 30) 22 x 23 22 x 1 y 22 x y x x + Do đó ta có phơng trình: 0,25 + Vì x và y là số nguyên dơng, nên x phải là ớc số 23 Mµ 23 nguyªn tè, nªn: x 1 x 2 hoÆc x 23 x 24 NÕu x 2 th× y 22 23 45 30 (tr¸i gi¶ thiÕt) 0,25 y 22 23 x 24 NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n) 0,25 + VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22 24 23 23 529 häc sinh 0,25 Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng trung trực đoạn thẳng BD,BD là đờng B E trung trùc cña AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao điểm đờng trung trực đoạn M th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ O tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác C A I ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy K điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI D vµ AB vu«ng gãc víi vµ c¾t t¹i trung điểm đờng ) 0,25 0,25 0 Ta cã BAI EBA mµ BAI ABO 90 EBA ABO 90 0,25 Xét EBK có EBK 90 ,đờng cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta có 1 2 BE BK BM 0,25 a 1 2 R r a (§pcm) Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn 0,25 XÐt AOB vµ AMI cã AOB AMI 90 vµ A chung AOB AMI (4) 0,25 AO AM AM AB AB AO AB AI AI 2R BO Chứng minh tơng tự ta đợc BM AB AB BK 2r AB 4 Rr Ta cã Mà theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta có 2 1 r AB OA2 OB AB AB 4R R r R r2 8R 3r S ABCD 2 (R r ) Từ đó ta có : S ABCD 2 AO.OB 2 0,25 0,25 0,25 B A x C D Kẻ tia Cx cho CA là tia phân giác BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB D.Khi đó Ta có DCA ACB 36 DCA cân C , BCD cân B AB AC DC Theo tính chất đờng phân giác tam giác BCD ta có CB AB BC CA ; BC BD CD AD CA BD CA BC CA BC ( BC CA) CA2 BC BC.CA CA2 0 CA BC CA 0,25 0,25 BC BC BC 0 CA CA CA BC BC BC 0) CA ( V× CA VËy AC lµ sè v« tØ 0,25 (5)