DE HSG Lop9 - Co DAP AN

Đ1 đề thi học sinh giỏi lớp 9 ( Thời gian 150 phút ) Bài 1 : Cho a,b,c là các số dơng . Chứng minh : 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + Bài 2 : Cho các số x , y không âm thoả mãn x +y = 1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của : 1 1 x y P y x = + + + Bài 3 : Cho biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x A x x x x x x + = + a. Tìm TXĐ và rút gọn biểu thức A b. Tìm các giá trị của x để A < 2 Bài 4 : Cho đờng tròn (O) Nội tiếp tam giác đều ABC . Một tiếp tuến của đờng tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N. a. Tính diện tích tam giác AMN biết BC = 8cm ; MN = 3cm. b. Chứng minh rằng : MN 2 = AM 2 + AN 2 - MN. AN c. Chứng minh 1 AM AN MB NC + = Bài 5 : Giải phơng trình : ( ) 2 2 2 1 2 1x x+ = . H1 Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài 1 : ( 3 điểm ) Vì a,b,c là các số dơng . áp dụng bất đẳng thức Cô -si ta có : 2 2 2 2 . 2. 4 4 2 4 a b c a b c a a b c b c a b c a b c + + + = = + + + + ( 1 điểm ) Tơng tự : 2 2 4 4 b a c b c a c a b c a b + + + + ( 1 điểm ) Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc : 2 2 2 ( ) 2 2 a b c a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + = + + + (1 điểm ) Bài 2 : ( 3 điểm ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . 1 2 2 2 x y xy x x y y x y xy A xy x y xy xy xy + + + + + + + = = = = + + + + + + Ta có 1 1 2 2 4 x y xy xy + = (1 điểm ) Đặt xy = t thì 1 2 2 6 0 ; 2 4 2 2 t t A t t = = + + + A nhỏ nhất 6 2t + nhỏ nhất 6 1 a M a + = + t+2 lớn nhất t lớn nhất 1 4 t = 1 2 x y = = . Khi đó Min 2 . 3 A = (1 điểm ) A lớn nhất 6 2t + lớn nhất t+2 nhỏ nhất t nhỏ nhất t = 0 0, 1 1, 0 x y x y = = = = Khi đó Max A = 1 (1 điểm ) Bài 3 : ( 6 điểm ) a. TXĐ : 2 0 x x < (1 điểm ) + Kết quả rút gọn : 2 2 2A x x= (3 điểm ) b. Giải A< 2 ta đợc 1 2 1 2x < < + Kết hợp với TXĐ suy ra các gioá trị phải tìm của x là : 1 2 0; 2 1 2x x < < < + (2 điểm ) Bài 4 : ( 8 điểm ) Gọi r là bán kính của (O) ; D và E là tiếp điểm trên cạnh AB và AC. Đặt AB = AC = BC = a; AM =x ; AN = y ; MN = z a. (3 điểm )Tính 4 3 3 r = (1 điểm ) Lần lợt tính S ADOE ; S MON Và chú ý S AMN = S ADOE - 2.S MON = ( ) 2 4 3 3 cm (2 điểm ) r r r D M H N E O B C A b. (3 điểm )Kẻ NH vuông góc với AB . Ta có 3 ; ; 2 2 2 y y y AH NH HM x= = = Theo định lý Py - Ta - go ta có : MN 2 = NH 2 + HM 2 = 2 2 2 3 2 2 y y x x y xy + = + ữ ữ ữ c. (2 điểm ) Dễ thấy x + y +z = 2 AD = a . Hệ thức phải chứng minh tơng đơng với 1 1 x y x y a x a y y z x z + = + = + + x(x+z) + y ( y + z ) = ( x+ z )( y+ z ) x 2 + xz + y 2 + yz = xy + xz + yz + z 2 x 2 + y 2 - xy = z 2 Đẳng thức này đã đợc chứng minh ở câu b. Bài 5 : ( 2 điểm ) Đặt y = 1 - 2x 2 y + 2x 2 = 1 ( y 1 ) Ta có hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 2 0 1 2 2 x y a y x b y x y x y x y x y x x y + = + = = = = = * Với y = x ; y 1 ( * ), ta có : (1b) 2x 2 +x -1 = 0 x = 1 ; x = 1/2 thoả mãn (*) - Với 1 2 1 ; 2 2 x y x = ( ** ) ta có : (1b) 2 1 5 4 2 1 0 4 x x x = = Thoả mãn (**) Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm . Ngời ra đề Nguyễn Mạnh Thảo Ngời thẩm định Bùi Thị Tình Hiệu Trởng Nguyễn Xuân Hoàng . biết BC = 8cm ; MN = 3cm. b. Chứng minh rằng : MN 2 = AM 2 + AN 2 - MN. AN c. Chứng minh 1 AM AN MB NC + = Bài 5 : Giải phơng trình : ( ) 2 2 2 1 2 1x x+. = AC = BC = a; AM =x ; AN = y ; MN = z a. (3 điểm )Tính 4 3 3 r = (1 điểm ) Lần lợt tính S ADOE ; S MON Và chú ý S AMN = S ADOE - 2.S MON = ( ) 2 4 3 3