HSG de toan co dap an

đề thi học sinh giỏi khối 9 ( thời gian làm bài 150 phút) Câu 1( 2 đ ). Phân tích đa thức sau ra thừa số . a 4 + 8a 3 + 14a 2 8a 15 . Câu 2( 2 đ ). Chứng minh rằng biểu thức 10 n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên . Câu 3( 2 đ ). Tìm số trị của ba ba + Nếu 2a 2 + 2b 2 = 5ab , và b > a > 0 . Câu 4( 4 đ ). Giải phơng trình. a) 244 222 +=+ xxyxy b) 20062006 24 =++ xx Câu 5( 3 đ ). Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn của hai trờng THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trờng là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi toán của trờng thứ hai là 12. Biết rằng số học sinh đi thi của tr- ờng thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trờng thứ hai và số học sinh đi thi của trờng thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Toán của trờng thứ nhất. Tính số học sinh đi thi của mỗi trờng. Câu 6( 3 đ ). Cho tam giác ABC cân ở A đờng cao AH = 10 cm dờng cao BK = 12 cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC . Câu 7(4 đ ). Cho (O;4cm) và (O;3cm) nằm ngoài nhau , OO=10cm. Tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại E và đờng tròn O tại F, OO cắt đờng tròn tâm O tại A và B, cắt đờng tròn tâm O tại C và D (B,C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N. CMR : MN AD Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 9 Câu 1: a 4 +8a 3 + 14a 2 8a 15 = a 4 +8a 3 +16a 2 a 2 -8a 16-a 2 +1 = (a 4 +8a 3 +16)-(a 2 +8a+16) (a 2 -1) = (a 2 +4) 2 -(a+4) 2 -(a 2 -1) = a 2 (a+4) 2 -(a+4) 2 -(a 2 -1) =(a 2 -1)[(a+4) 2 -1] =(a-1)(a+1)(a+3)(a+5) Câu 2: Ta có: 10 n 1 = n 9 .99 (n chữ số9) Vậy 10 n +18n 1 = n n 2.99 .99 + = 9 ( 9)21 .11 n n + mà ( )21 .11( n n + = )21 .11( n n + -n +3n Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số d trong phép chia cho 3( theo dấu hiệu 3 ) nên )21 .11( n n + 3 10 n +18n - 1 27 Câu 3: 2a 2 +2b 2 = 5ab => 2a 2 5ab +2b 2 =0 <=> (2a-b)(a- 2b) =0 (1) Vì b > a > 0 nên a 2b (1) thoả mãn thì 2a 2b = 0 => 2a = b Vậy ba ba + = = + aa aa 2 2 a a 3 = -3 Câu 4 a, xy + 2 4 = xy 4 - 2 2 + x (1) xy + 2 4 + 2 2 + x = xy 4 4y 2 +x + 2 )2)(4( 22 ++ xxy + x 2 +2 = 4y x (4y 2 -4y + 1) + (x 2 +2x + 1)+ 2 )2)(4( 22 ++ xxy =0 (2y-1) 2 +(x+1) 2 + 2 )2)(4( 22 ++ xxy =0 (2) VT =0 (2y-1) 2 =0 , (x+1) 2 =0 , )2)(4( 22 ++ xxy =0 x=-1 , y = 2 1 ; Vậy nghiệm của phơng trình: x= -1 y = 2 1 b) 20062006 24 =++ xx <=> x 4 = 2006 - 2006 2 + x <=> x 4 + x 2 + 4 1 = x 2 +2006 - 2006 2 + x + 4 1 <=> (x 2 + 2 1 ) 2 = ( 2006 2 + x - 2 1 ) 2 <=> x 2 + 2 1 = | 2006 2 + x - 2 1 | = 2006 2 + x - 2 1 <=> x 2 +1 = 2006 2 + x <=> x 4 + 2x 2 + 1 = x 2 + 2006 <=> x 4 + x 2 2005 = 0 Đặt ,giải theo phơng trình trùng phơng. Câu 5: Gọi học sinh trờng 1 là x Gọi học sinh trờng 2 là y Ta có : x 10 ; y 12 Từ đề bài => x + y > 27 ; x > 2(y 12) ; y > 9(x 10) Tức là : x + y > 27 (1) 2y x < 24 (2) 9x y < 90 (3) Nếu x = 10 thì từ (1) => y >10 hay 2y x > 34 10 = 24 điều này mâu thuẫn với (2) . Vậy x> 10 (4) Nhân hai vế của (3) với 2 rồi cộng với (2) đợc 17x < 204 => x < 12 mà x >10 => x = 11 Thay vào (1) => y > 16 Thay vào (2) => 2y < 35 => y < 18 => y = 17 Đáp số : - Trờng 1: 11 học sinh - Trờng 2: 17 học sinh Câu 6: A Đặt AC = x = AB ; BC = y => 12x = 10y => 5 x = 6 y (1) K ( 10) 22 = x y x (2) x Giải ra ta đợc : B y H C x = 12,5 ; y = 15 Câu 7 : M E 2 K 2 A I D N F C/m : EF lµ tiÕp tuyÕn chung trong OE ⊥ EF ; O’F ⊥ EF => OE // O’F => 11 ' ˆˆ OO = ( so le trong) => OE = OB => 2 ˆ 180 ˆ 1 0 1 O B − = O’C = O’F => 2 ' ˆ 180 ˆ 1 0 1 O C − = 11 ' ˆˆ OO = => = 1 ˆ B 2 ˆ 180 1 0 O − O’C = O’F => = 1 ˆ C 2 ˆ 180 1 0 O − ; 11 ' ˆˆ OO = => 11 ˆ ˆ CB = ; 21 ˆˆ CC = (®èi ®Ønh) => 21 ˆ ˆ CB = => EN // FM T¬ng tù EM // FN  MENF lµ h×nh b×nh hµnh. AB lµ ®êng kÝnh => AEB = 90 0 => MEN = 90 0  MENF lµ h×nh ch÷ nhËt ; EF c¾t MN t¹i K  KE = KM => 21 ˆˆ EM = Sè ®o = 1 ˆ A s® 2 ˆ EB => s® 1 ˆ E = s® 2 ˆ EB => s® 1 ˆ A = s® 1 ˆ E Cã 1 ˆ E + 2 ˆ E = 90 0 => 1 ˆ A + 1 ˆ M = 90 0 => MN ⊥ AD  . đề thi học sinh giỏi khối 9 ( thời gian làm bài 150 phút) Câu 1( 2 đ ). Phân tích đa thức sau ra thừa số . a 4 +