Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Cho P(x) là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11 P(5) = 27. Hãy tính P(-2) + 7P(6). Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình zyx yx z yx y zy x ++= + = ++ = + 11 Câu 3: (2 điểm) Cho 2x+4y + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 Câu 4: ( 2 điểm) Tìm các ngiệm nguyên của phơng trình : x(x+1)(x+2)(x+3) = y 2 Câu 5: (5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O, R), M là điểm chuyển động trên cung BC. Vẽ đờng kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I. a) Chứng minh MA = MB + MC b) Chứng minh: MCMBMI 111 += c) Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 : (3 điểm) Trên dây cung AB của đờng tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q. Chứng minh: ằ ằ AB KL< .Hết . Mã ký hiệu Đ01T-08-HSG9 Hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. 1212121112 Câu 1: (4 điểm) Xét đa thức f(x) = x 2 + 2 thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27 Đặt Q(x) = P(x) f(x) Ta có Q(1) = P(1) f(1) = 0 Q(3) = P(3) f(3) = 0 Q(5) = P(5) f(5) = 0 Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Do P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x r) P(x) = Q(x) + f(x) Ta có P(-2) = (-2 1)(-2 3)(-2 -5)(-2 r) + (-2) 2 + 2 P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6 7P(6) = 7[(6 1)(6 3)(6 5)(6 r) + 6 2 + 2] = 7[5.3.1(6 r) + 36 + 2] = 3.5.6.7 3.5.7.r + 38.7 P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + 6 + 38.7 = 3.5.7.8 + 272 =840 + 272 = 1112 Câu 2. (4 điểm) Đặt x + y + z = t x + y = t z, y + z = t x Khi đó hệ đã cho có dạng (1) (2) (3) (4) Từ (2) ta có x = t 2 xt x + xt = t 2 x = 1 2 + t t Dễ thấy t -1 Từ (4) ta có z = 1 2 + t tt với x t, z t 1 , t 0, t -1 Từ (3) y = t 2 tz + t = 1 3 2 + + t tt (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) (0,25 đ) (0,5 điểm) (0,25điểm) = = + = =++ t zt z t zt y t xt x tzyx 1 1 Mã ký hiệu HD01T-08-HSG9 . thoả mãn f( 1) = 3, f( 3) = 11, f( 5) = 27 Đặt Q(x) = P(x) f(x) Ta có Q( 1) = P( 1) f( 1) = 0 Q( 3) = P( 3) f( 3) = 0 Q( 5) = P( 5) f( 5) = 0 Vậy Q(x) nhận 1;3;5. 5)( x r) P(x) = Q(x) + f(x) Ta có P(- 2) = (-2 1)( -2 3)( -2 - 5)( -2 r) + (- 2) 2 + 2 P(- 2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6 7P( 6) = 7[(6 1)( 6 3)( 6 5)( 6 r) + 6