UBND HUYỆN THANH SƠN PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian phát đề Đề thi có 02 trang I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy ghi câu trả lời (Đáp số) cho câu hỏi sau vào giấy thi: Câu Kết rút gọn biểu thức ( a + b) + ( a − b) 3 − 6ab … x + 3x − đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị x … Câu Dư phép chia x99 + x 55 + x11 + x + cho x − … 2 Câu Cặp số (x; y) thỏa mãn x + y + x + = … Câu Biểu thức ( ) Câu Biết biểu thức P =( n − 1) n + n + có giá trị số nguyên tố, giá trị số tự nhiên n … Câu Tập nghiệm phương trình ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 24 … 2 Câu Giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y − xy + x + y + 2017 Câu Một ô tô từ A đến B với vận tốc 25km/giờ Lúc từ B đến A người với vận tốc 30km/giờ Thời gian 40 phút Độ dài quãng đường AB … 4x + < … Câu Tập nghiệm bất phương trình x−4 a+b−c b+c−a c+a−b = = × Giá trị Câu 10 Cho số dương a, b, c thỏa mãn c a b b 2c 3a biểu thức T = 10 + ÷ + ÷ 2017 + ÷ … a b c Câu 11 Cạnh bé tam giác vuông 6cm, cạnh huyền có độ dài lớn cạnh lại 2cm Độ dài cạnh huyền … Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 9cm, BC = 27cm Độ dài đoạn BH … Câu 13 Cho tam giác NMP vuông M, đường cao MS Biết NS = 5cm, SP = 45cm Độ dài đường cao MS … Câu 14 Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 14cm, BC = 16cm Tia phân giác góc ABC cắt AC M Độ dài đoạn thẳng MA, MC … Câu 15 Cho a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = a + b3 + c3 = 1× Giá trị biểu thức T = a10 + b4 + c2017 … Câu 16 Cho a ≥ 4, giá trị nhỏ biểu thức A=a+ … a I TỰ LUẬN (12 điểm) Trình bày lời giải đầy đủ cho toán sau: Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n cho giá trị biểu thức n2 + 2n + 12 số phương Câu (3 điểm) x − 17 x − x − + + = 2000 1007 672 a b 3c b) Cho abc = 3, rút gọn biểu thức: A = ab + a + + bc + b + + ac + 3c + a) Giải phương trình: Câu (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác BEDF hình bình hành; b) CH.CD = CB.CK; c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (2 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: ( x − y ) ( x + y ) = z y = + z Tính giá trị biểu thức S = x + 10 y − 23z Hết -Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh sử dụng máy tính Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang Đápán Điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm, học sinh tìm thiếu thừa kết không điểm Câu 2a3 Câu S = { x / −13 < x < 4} Câu −3 Câu 10 133 320 Câu 11 Câu 11 cm Câu ( x; y ) = ( −1;0 ) Câu 12 BH = 3cm Câu n=2 Câu 13 MS = 15cm Câu { 0; −5} Câu 14 MC = cm; MA = cm Câu Min A = 2007 Câu 15 T=1 Câu 50 km Câu 16 Min A = 17 II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n cho giá trị biểu thức n2 + 2n + 12 số phương Vì n + 2n + 12 số phương nên đặt n + 2n + 12 = k (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét: k + n + > k - n - chúng số nguyên dương, nên k + n + = 11 ⇔ k − n −1= k = n = 0,50 0,50 Vậy: n = giá trị biểu thức n2 + 2n + 12 số phương Câu (3 điểm) a) Giải phương trình: 0,50 x − 17 x − x − + + = 2000 1007 672 0,50 a b 3c b) Cho abc = 3, rút gọn biểu thức: A = ab + a + + bc + b + + ac + 3c + a) x − 17 x − x − x − 17 x−3 x −1 + + =6⇔ −1+ −2+ −3 = 2000 1007 672 2000 1007 672 0,50 ⇔ x − 2017 x − 2017 x − 2017 1 + + = ⇔ ( x − 2017 ) + + ÷= 2000 1007 672 2000 1007 672 0,50 1 + + ≠ ) 2000 1007 672 a b 3c a ab 3abc b) A = ab + a + + bc + b + + ac + 3c + = ab + a + + a(bc + b + 1) + ab(ac + 3c + 3) a ab 3abc a ab 3.3 = + + = + + ab + a + abc + ab + a abca + 3abc + 3ab ab + a + ab + a + 3a + 3.3 + 3ab a ab = + + =1 ab + a + ab + a + ab + a + ⇔ x = 2017 ( 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 H C B F 0,25 O A E D K a) Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) ⇒ BE // DF Chứng minh: ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) ⇒ BE = DF 0,25 0,25 Suy ra: Tứ giác BEDF hình bình hành 0,25 · · b) Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC = KDC 0,50 Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) 0,50 CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD c) Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) ⇒ 0,50 0,25 AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) ⇒ ⇒ 0,25 0,50 CF AH = CD AC 0,50 Mà : CD = AB ⇒ CF AH = ⇒ AB AH = CF AC AB AC Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Câu (3 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: ( x − y ) ( x + y ) = z ( 1) ; 0,50 0,50 2 y = + z ( ) × Tính giá trị biểu thức S = x + 10 y − 23 z × 2 y − z = Từ (1) (2), suy ra: 2 x − y − z = 0,50 Giả sử tồn hai số a, b thỏa mãn: a x − y − z + b y − z = x + 10 y − 23z 0,50 a = a = Đồng hệ số, ta tìm được: a − 4b = −10 ⇔ b = a + 7b = 23 0,50 Vậy: S = 0,50 ( ) (x ( ) − y − z ) + ( y − z ) = 2.0 + 3.5 = 15 ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa) - Hết - ... ; Số báo danh Thí sinh sử dụng máy tính Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang Đáp án... HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang Đáp án Điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm, học sinh tìm thiếu thừa kết khơng điểm Câu 2a3 Câu S = { x / −13 < x