Bài 4: 3,0 điểm Cho tam giác ABC có góc BAC = 600, đường phân giác trong của góc ABC là BD và đường phân giác trong của góc ACB là CE cắt nhau tại I D AC và E AB a Chứng minh tứ giác AEI[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Khóa ngày: 26 – – 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI: Bài 1: (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d): y = -x + và parabol (P): y = x2 a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ b) Bằng đồ thị hãy xác định tọa độ các giao điểm (d) và (P) Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 – 4x – = b) Giải hệ phương trình: Bài 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = ¿ √ x −2 √ y=−1 √ x + √ y=4 ¿{ ¿ x√x−8 +3(1 − √ x) x +2 √ x + , với x a) Rút gọn biểu thức P 2P b) Tìm các giá trị nguyên dương x để biểu thức Q = − P nhận giá trị nguyên Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc BAC = 600, đường phân giác góc ABC là BD và đường phân giác góc ACB là CE cắt I (D AC và E AB) a) Chứng minh tứ giác AEID nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: ID = IE c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD BI Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua điểm A vẽ đường thẳng cắt cạnh BC E và cắt đường thẳng CD F Chứng minh rằng: 1 = 2+ 2 ΑΒ AΕ ΑF (2) ĐÁP ÁN Bài 1: (2,0 điểm) a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ x -3 -2 -1 y=x x y=-x+2 0 1 -2 O b) Bằng đồ thị hãy xác định tọa độ các giao điểm (d) và (P) Tọa độ các giao điểm (d) và (P) A ( ; ) và B ( -2 ; ) Bài 2: (2,0 điểm) a)Giải phương trình: 3x2 – 4x – = −2 ¿ −3 (−2)=10 Δ ' =¿ (3) x 1= 2+ √ 10 ; x 1= − √ 10 b)Giải hệ phương trình: √ x −2 √ y=−1 ¿ √ x + √ y=4 ¿ ; x ≥0 ; y ≥ ¿ ¿⇔ √ x −2 √ y=−1 √ x +2 √ y =8 ¿ ⇔ √ x=1 √ y=2 ¿ ⇔ x =1 y =4 ¿{ ¿ ¿ ¿¿ Bài 3: (2,0 điểm) a)Rút gọn biểu thức P x√ x−8 +3(1 − √ x) , với x P= x +2 √ x + = √ x −2+3 −3 √ x=1 −2 √ x 2P b)Tìm các giá trị nguyên dương x để biểu thức Q = − P nhận giá trị nguyên 2(1− √ x) −2 √ x 2P = = −2 Q = 1−P = −(1− √ x ) √x √x Q Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x=1 √x Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh tứ giác AEID nội tiếp đường tròn (4) B E I C A D Ta có: ∠ A = 600 ⇒ ∠ B + ∠ C = 1200 ⇒ ∠ IBC + ICB = 600 ( vì BI , CI là phân giác) 0 ⇒ ∠ BIC = 120 ⇒ ∠ EID = 120 Tứ giác AEID có : ∠ EID + ∠ A = 1200 + 600 = 1800 Nên: tứ giác AEID nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: ID = IE Tam giác ABC có BI và CI là hai đường phân giác, nên CI là phân giác thứ ba ⇒ ∠ EAI = ∠ AID ⇒ cung EI = cung ID Vậy: EI = ID c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD BI ∠ EAI = ∠ EDI ∠ ABD chung ⇒ Δ BAI đồng dạng Δ BDE ⇒ BA BI = BD BE BA.BE = BD BI Bài 5: (1,0 điểm) ⇒ Chứng minh : 1 = 2+ 2 ΑΒ AΕ ΑF (5) B F E A C D M Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với AF, đường thẳng này cắt đường thẳng CD M Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( vì ∠ EAM = ∠ ECM = 900) 0 ⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 45 ( ∠ ACE = 45 : Tính chất hình vuông) ⇒ Tam giác AME vuông cân A ⇒ AE = AM Δ AMF vuông A có AD là đường cao, nên: 1 = + 2 ΑD AM ΑF Vì : AD = AB (cạnh hình vuông) ; AM = AE (cmt) Vậy: 1 = 2+ 2 ΑΒ AΕ ΑF (6)